Tập hút phụ thuộc thời gian cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian thông qua lý thuyết tập hút. Cụ thể, sử dụng lý thuyết được đưa ra bởi F. Di Linio, G. S. Duane và R. Temam năm 2011, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút phụ thuộc thời gian cho bài toán biên ban đầu đối với phương trình khuếch tán không cổ điển.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập hút phụ thuộc thời gian cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian

TẬP H T PH THU C TH I GIAN CHO PH NG TR NH KHU CH TÁN KH NG C I N V I H S PH THU C TH I GIAN Cao Thị Thu Trang Khoa Toán và KHTN Email: trangctt@dhhp.edu.vn Đỗ Thị Hoài Khoa Toán và KHTN Nguyễn Thị Thanh Thanh Trường THCS Xuân Đỉnh, Bắc Từ Liêm, Hà Nội Ngày nhận bài: 20/3/2023 Ngày PB đánh giá: 28/3/2023 Ngày duyệt đăng: 05/5/2023 TÓM TẮT: Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian thông qua lý thuyết tập hút. Cụ thể, sử dụng lý thuyết được đưa ra bởi F. Di Linio, G. S. Duane và R. Temam năm 2011, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút phụ thuộc thời gian cho bài toán biên ban đầu đối với phương trình khuếch tán không cổ điển. Kết quả chính của bài báo là một mở rộng của Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2014). Từ khóa: Phương trình khuếch tán không cổ điển; hệ số phụ thuộc thời gian; tập hút phụ thuộc thời gian. TIME-DEPENDENT ATTRACTORS FOR THE NON-CLASSICAL DIFFUSION EQUATIONS WITH TIME-DEPENDENT COEFFICIENT ABSTRACT: In this article, we study the asymptotic behavior of the non-classical diffusion equations with time-dependent coefficients through the theory of attractors. Namely, using the theory given by F. Di Linio, G. S. Duane, and R. Temam in 2011, we prove the existence of time-dependent attractors for the initial boundary value problem for the non-classical diffusion equations. The article aims to extend and improve some results in Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2015). Keywords: Non-classical diffusion equations; time-dependent coefficient; time- dependent attractor. 90 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
1. ĐẶT VẤN ĐỀ trình này được xây dựng bởi E.C. Aifantis (1980) [1], nhằm mô tả các hiện Có thể nói, phương trình đạo hàm tượng vật lí như dòng chảy không riêng như chiếc cầu nối giữa Toán học và Newton, các hiện tượng trong cơ học ứng dụng. Rất nhiều mô hình trong thực chất rắn. Từ khi ra đời đến nay, lớp tế được mô tả thông qua phương trình vi phương trình này đã và đang được quan phân - đạo hàm riêng. Khi có một tâm nghiên cứu mở rộng trên nhiều khía phương trình đạo hàm riêng nói chung, cạnh khác nhau như: thay đổi, mở rộng việc đầu tiên chúng ta sẽ nghiên cứu tính các điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến đặt đúng của bài toán (sự tồn tại, tính duy (kiểu Sobolev, kiểu đa thức, kiểu mũ), nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của thay đổi miền xác định của biến không nghiệm vào điều kiện ban đầu). Tiếp sau gian (miền bị chặn, miền không bị chặn, đó, chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm miền không hình trụ, miền thay đổi theo cận nghiệm của mô hình. Bởi vì, thông thời gian).... qua dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có Theo khảo sát, có khá nhiều kết quả thể dự đoán được xu thế phát triển của nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán mô hình ở tương lai. Từ đó, ta có thể tác không cổ điển có dạng như (1) với động, điều chỉnh để thu được kết quả t = là hằng số. Các kết quả đạt được mong muốn. chủ yếu là: chứng minh sự tồn tại, duy Trong bài báo này, chúng tôi nhất nghiệm; sự tồn tại của tập hút toàn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cục, tập hút đều, tập hút mũ, tập hút ngẫu (thông qua lí thuyết tập hút) của bài toán nhiên… [2-4, 8-10,12]. biên ban đầu đối với phương trình Bên cạnh đó, thực tế các mô hình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ trong Vật lí, hóa học, sinh học nói thuộc thời gian có dạng chung thường chịu sự tác động của các ut − t Δut − Δu + f u = g , x Ω, t  , yếu tố ngoại lực, các thay đổi trong tự u Ω = 0, t , nhiên hoặc nhân tạo. Với mong muốn u x, =u x , x Ω. nghiên cứu mở rộng lớp phương trình (1) khuếch tán không cổ điển sao cho gần trong đó Ω là miền bị chặn trong 3 với với thực tế hơn, F. Rivero (2013) [7] đã biên trơn, . nghiên cứu lớp phương trình dạng (1) 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời VỀ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN gian (tức là có thể thay đổi theo thời KHÔNG CỔ ĐIỂN gian). Sau F. Rivero, các tác giả Y-F. Phương trình khuếch tán không cổ Liu và D. Tao (2015) [6], J. Wang và điển là một mở rộng của lớp phương Q.Ma (2021) [11], Hoài, Thanh, Thoa trình phản ứng khuếch tán. Lớp phương [5] cũng đã nghiên cứu mô hình (1) và T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 91
cũng đã đạt được một số kết quả về tính hàm phi tuyến và ngoại lực như đặt đúng cũng như sự tồn tại của tập hút sau: (H1) Giả sử phụ thuộc thời gian. Hai kết quả tiêu t : 0, , t C1 biểu nhất hiện nay nghiên cứu về lớp phương trình này là của Y-F. Liu và D. là các hàm giảm, bị chặn và thỏa mãn Tao [6] và J. Wang [11]. Các tác giả Y- lim t = 0. (2) t + F. Liu và D. Tao [6] đã nghiên cứu dáng Đặc biệt, tồn tại L  0 sao cho điệu tiệm cận nghiệm của bài toán (1) sup t + t L. trong trường hợp ngoại lực , t hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng (H2) Hàm thỏa mãn trưởng kiểu Sobolev dạng điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu f '' u C 1+ | u | , C 0. Có thể thấy Sobolev rằng, số mũ tăng trưởng tối đa của f u u − u 2 − C, (3) chỉ bằng 3, chưa phải số mũ tới f u' u − , (4) hạn của tăng trưởng kiểu Sobolev. Tác f u C 1+ | u | , (5) giả J. Wang [11] cũng đưa ra kết quả về sự tồn tại nghiệm và tồn tại tập hút phụ lim inf F u 0 (6) với thuộc thời gian cho bài toán (1) trong u u2 trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn 0 5,0  2  1 , 1 là giá trị riêng điều kiện tăng trưởng kiểu đa thức. đầu tiên của toán tử trong miền Ω với điều kiện biên Dirichlet và Nhìn chung, các kết quả nghiên F u = u f s ds là nguyên hàm của f . cứu về phương trình khuếch tán không 0 cổ điển là khá đa dạng. Trong bài báo (H3) Ngoại lực . này, chúng tôi đi cải tiến một số kết Ta xét bài toán (1) trên không gian quả của Hoài, Thanh, Thoa [5] và Y-F. pha t - là không gian phụ thuộc thời Liu và D. Tao [6]. Cụ thể, chúng tôi sẽ gian, với chuẩn nghiên cứu bài toán (1) khi hàm phi 2 2 2 u = u + t u1. tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng t kiểu Sobolev với số mũ tới hạn (bằng 3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT 5) và ngoại lực chỉ nằm trong không PHỤ THUỘC THỜI GIAN gian tô-pô yếu H −1  . Trước hết, chúng ta nhắc lại định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1) cũng Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận như định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm nghiệm của bài toán, chúng tôi đặt điều của bài toán. kiện cho hệ số phụ thuộc thời gian t , 92 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
Định nghĩa 3.1. (xem [5]) Hàm 3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ phụ xác định trong Ω ,T được thuộc thời gian gọi là nghiệm yếu của bài toán (1) trên Định lí 3.2. Giả sử các giả thiết ;T nếu u C ,T , t và thoả mãn. Với u u =u R0 . Hơn nữa R0 , tồn tại R1  0 sao cho B = Bt = R1 là một họ các ut , v + t ut , v + u, v + f u , v t t t = g, v , tập hấp thụ phụ thuộc thời gian trong t H −1 , H 0 1 đối với quá trình {U t , }t tương ứng với hầu khắp t ,T và với mọi hàm với bài toán (1). thử v H 0 Ω . 1 Chứng minh. Nhân phương trình Định lí 3.1. (xem [5]) Giả sử các đầu tiên của bài toán (1) với 2u , ta được giả thiết thoả mãn. Với bất d u 2 + t u 12 + 2 − t u 2 1 kì ,T  và cho dt trước, bài toán (1) có duy nhất nghiệm +2 f u , u = 2 g , u . yếu u C , T ; t . Theo Định lí 3.1 ta có (3.1) thể xác định một quá trình liên tục Từ giả thiết (3), áp dụng bất đẳng {U t , }t thức Young và bất đẳng thức Hölder ta được f u udx − u 2 −C Ω (3.2) Ω với U t , u = u t . và Tiếp theo, chúng tôi trình bày kết 1 g, u g 2 + u t 2 . (3.3) quả về dáng điệu tiệm cận nghiệm của −1 4 1 bài toán (1) thông qua việc chứng minh Thay các đánh giá (3.2) và (3.3) sự tồn tại tập hút toàn cục phụ thuộc vào (3.1), ta được thời gian. Theo lí thuyết được đề xuất d 3 bởi M . Conti, V. Pata và R . Temam u 2 + t u 1 2 + − t u 2 1 dt 2 trong [4], để chứng minh sự tồn tại tập −2 u 2 2 g 2 +2C Ω hút phụ thuộc thời gian ta thực hiện hai −1 bước sau: . (3.4) Áp dụng bất đẳng thức Poincaré, ta Bước 1: Chứng minh họ quá trình được , khi đó (3.4) trở {U t , }t có một họ các tập hấp thụ phụ thành thuộc thời gian trong không gian t . d 1 u 2 + t u 2 + − t u 2 Bước 2: Chứng minh tính compact dt 1 2 1 tiệm cận lùi của quá trình {U t , }t . + 1 −2 u 2 2 g 2 −1 +2C Ω . T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 93
Từ giả thiết (H1) cho số hạng t , 3.2. Tính compact tiệm cận và sự ta có tồn tại của tập hút phụ thuộc thời gian 1 1 t Tiếp theo ta chứng minh quá trình − t u 2 u 2 u 2 2 1 2 1 2L 1 {U t , }t tương ứng với bài toán (1) 1 là compact tiệm cận lùi. Để làm được Chọn = min , 1 −2 với 2L điều đó, chúng ta sử dụng phương pháp L, 1 −2  0 , khi đó ta được phân rã nghiệm thành hai phần, sau đó, d chứng minh một phần nghiệm tiêu hao, u 2 + t u 2 + u 2 + t u 2 dt 1 1 một phần nghiệm còn lại bị chặn trong 2 g 2 −1 +2C Ω không gian trơn hơn không gian pha Đặt E1 t = u 2 + t u 2 , khi đó, ban đầu. Từ đó, áp dụng định lý nhúng 1 compact ta thu được tính compact tiệm d E1 t + E1 t 2 g 2 −1 +2C Ω . cận của quá trình liên kết bài toán. Các dt chứng minh chi tiết sẽ được thực hiện Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta dưới đây. 2 có E1 t e− t− E1 + g 2 −1 +C Ω . Trước hết, do L2 Ω H −1 Ω là Suy ra u 2 + t u 2 R1 với trù mật, nên với mọi và bất 1 2 E1 kì  0 , tồn tại g L2 Ω sao cho t T= + ln , trong đó R1 g−g . (3.5) H −1 Ω 4 R1 = g 2 −1 +C Ω . Vậy Cố định , ta tách nghiệm Bt = u t : u t 2 + t u t 2 1 R1 U t, u = u t với u thành là tập hấp thụ phụ thuộc thời gian trong không gian t đối với quá trình {U t , }t . với U 0 t, u =v t và Chúng ta có thể giả sử rằng tập hấp U1 t , u =w t là hai nghiệm tương thụ phụ thuộc thời gian là bất biến dương ứng của hai bài toán (tức là U t , B Bt với mọi t . vt − t Δvt − Δv + f u − f w + v Thật vậy, gọi là thời điểm đầu của Bt e =g−g ,  , x Ω, t  , sao cho U t , B Bt , t − e. v = 0, t  , Ω (3.6) Chúng ta có thể thay thế Bt bằng họ v x, = u x , x Ω, tập hấp thụ bất biến U t, B Bt . t− e 94 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
wt − t Δwt − Δw + f w 2 f u − f w ,v − v 2 . (3.9) = g + v, x Ω, t  , Áp dụng bất đẳng thức Young, ta và w Ω = 0, t  , (3.7) được w x, = 0, x Ω. 2 1 2 g − g ,v 2 g−g + v 2 1 . H −1 Ω 2 (3.10) Lập luận tương tự như Định lí 2.1 và Định lí trong [5], ta có thể chứng minh Kết hợp và 3.8 , ta được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài được toán (2.6) và (2.7). Hơn nữa, trong bài toán d 3 (3.7), do g L2 Ω và điều kiện ban đầu v 2 + t v 1 2 + − t v 1 2 + dt 2 bằng 0 (vì vậy w x, H2 Ω H0 Ω 1 2 − v 2 2 g−g 2 . H −1 Ω nên chúng ta có thể chứng minh nghiệm (2.11) là nghiệm mạnh. Cụ thể, chúng ta có Do −  0 , lập luận tương tự như w C ,T ; H 2 Ω H0 Ω 1 với mọi trong chứng minh của Định lí 3.2, ta thu T  , và điều này sẽ được sử dụng trong được tồn tại hằng số d0  0 sao cho phần chứng minh của Định lí 3.3 dưới đây. 2 e− 2 d0 t − U0 t, u v Tiếp theo, trong bổ đề dưới đây, t t . chúng ta sẽ chứng minh nghiệm của bài 1 + g−g 2 C H −1 Ω toán (2.6) là tiêu hao. Bổ đề 2.1. Giả sử các điều kiện Chọn 2 C , ta được điều phải được thỏa mãn. Khi đó, với chứng minh 2 bất kì  0 , nghiệm của bài toán (3.6) U 0 t, u Ce − d 0 t− + . t thỏa mãn đánh giá sau: Tồn tại hằng số Tiếp theo, ta chứng minh cho d 0 phu thuộc vào 1 , , sao cho với bất nghiệm của bài toán (3.7) bị chặn trong kì t , U 0 t, u 2 Ce − d0 t− + . không gian H 2 Ω H 0 Ω . Nhắc lại 1 t rằng, không gian phụ thuộc thời gian Chứng minh. Nhân vô hướng được xác định với chuẩn phương trình thứ nhất trong (3.6) với u = u 1 + t u 2. 2 1 2 2 trong L2 Ω , ta được t Bổ đề 2.2. Giả sử các điều kiện d v 2 + t v 12 + 2 − t v 2 được thỏa mãn. Khi đó, với 1 dt bất kì  0 và u , tồn tại hằng số +2 f u − f w , v + 2 v 2 = 2 g − g ,v M  0 sao cho nghiệm của bài toán (3.7) (3.8) thỏa mãn Từ giả thiết (3.4), ta có 2 U1 t , u 1 M với mọi t T . t T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 95
Chứng minh. Nhân vô hướng Do là nhúng compact nên phương trình thứ nhất trong (3.7) với Kt là compact. Mặt khác, là tập bị −Δw trong L Ω , ta được 2 chặn đều. Vì vậy, từ các Bổ đề 3.1 và 3.2 suy ra có tính hút lùi, và khi đó ta cũng d w 12 + t w 2 + 2 − 2 t w 2 2 thu được kết quả sau: dt +2 f w , −Δw + w, −Δw Định lí 3.3. Quá trình {U t , }t của bài toán (1) là compact tiệm cận lùi = 2 g + u, −Δw trong t . (3.12) Từ Định lí 3.2 về sự tồn tại tập hấp Từ giả thiết (3.4), ta có thụ phụ thuộc thời gian và Định lí 3.3 về 2 f w , −Δw = 2 f w | w |2 dx tính compact tiệm cận lùi, ta thu được kết Ω quả bài toán (1) tồn tại duy nhất một tập − w 2 1 hút phụ thuộc thời gian như sau (3.13) Định lí 3.4. Giả sử các điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Young, ta được được thỏa mãn. Khi đó, quá 2 trinh U t , : t sinh bởi Bài toán 2 g + u , −Δw 2 g + u 2 (1) có một tập hút toàn cục bất biến phụ + 1 w 2 C g 2 + R1 + 1 w 2 t T . thuộc thời gian A = At t . 2 2 2 2 4. KẾT LUẬN (3.14) Kết quả của bài báo là cải tiến, mở Kết hợp (3.13), (3.14) và (3.12), ta rộng các điều kiện áp đặt lên các thành được phần của phương trình khuếch tán d 3 không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời w 2 1 + t w 2 2 + − t w 2 2 gian. Từ đó giúp ta nghiên cứu được dt 2 2 một lớp phương trình khuếch tán không + − w 2 1 C g + R1 cổ điển rộng hơn. Sử dụng được đưa ra (2.15) bởi F. Di Linio, G. S. Duane, and R. Temam in 2011 và cải tiến các kĩ thuật Lập luận tương tự như trong chứng đánh giá, chúng tôi đã chứng minh minh của Định lí 3.2, ta thu được tồn tại được bài toán tồn tại tập hút phụ thuộc hằng số T  0 đủ lớn sao cho thời gian, một tập compact hút lùi các 2 quỹ đạo bị chặn. U1 t , u M. t TÀI LIỆU THAM KHẢO Từ Bổ đề 3.2, ta xét họ = Kt 1. E.C. Aifantis (1980), “On the problem of t diffusion in solids”, Acta Mech, 37, 265- với K t = u t 1 : u 1 t M . 296. 96 TR NG Đ I H C H I PHÒNG
2. C.T. Anh and T.Q. Bao (2010), “Pullback 7. F. Rivero (2013), “Time dependent attractors for a class of nonautonomous perturbation in a non-autonomous non- nonclassical diffusion equations”, classical parabolic equation”, Discrete Nonlinear Anal, 73, 399-412. Contin. Dyn. Syst. Ser, B18, 209-221. 3. C.T. Anh and T.Q. Bao (2012), 8. C. Sun and M. Yang (2009), “Dynamics “Dynamics of non-autonomous of the nonclassical diffusion equations”, nonclassical diffusion equations on RN”, Asymp. Anal. 59, 51-81. Comm. Pure Appl. Anal, 11, 1231-1252. 9. T.W. Ting (1963), “Certain non-steady 4. F.Di Plinio, G.S. Duane, R. Temam flows of second-order fluids”, Arch. (2011), “Time-Dependent attractor for Ration. Mech. Anal. 14, 1-26.41. the oscillon equation”, Discrete Contin. 10. S. Wang, D. Li and C. Zhong (2006), Dyn. Syst. 29, 141 - 167 “On the dynamic of a class of 5. Đỗ Thị Hoài, Nguyễn Thị Thanh Thanh, nonclassical parabolic equations”, J. Lâm Thị Thoa (2022), “Tính đặt đúng của Math. Anal. Appl, 317, 565-582. bài toán biên ban đầu cho phương trình 11. J. Wang and Q. Ma (2021), “Asymptotic khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ dynamic of the nonclassical diffusion thuộc thời gian”, Tạp chí Khoa học Trường equation with time-dependent Đại học Hải Phòng, số 22 (9/2022). coefficient”, J. Appl. Anal. Comput.11, 6. Y-F. Liu, D. Tao (2015), “Time- no. 1, 445-463. dependent global attractor for the 12. Y. Xiao (2002), “Attractors for a nonclassical diffusion equations”, Appl. nonclassical diffusion equation”, Acta Anal. 94, no. 7, 1439-1449. Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 18, 273-276. T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 97