Tập san nhóm giáo viên Toán Việt Nam (Số 1/2022)

Chia sẻ: Tri Thu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập san bao gồm các bài viết như: Các kỹ năng căn bản trong bài toán đếm, một kết quả đẹp cho bài toán góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập san nhóm giáo viên Toán Việt Nam (Số 1/2022)

+− ATH ×÷ VIET F NAM NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM TẬP SAN Số 1 , tháng 1 năm 2022 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
CÁC BÀI VIẾT CÁC KỸ NĂNG CĂN BẢN TRONG BÀI TOÁN ĐẾM TRẦN VĂN TRÍ GV chuyên Hùng Vương, Bình Dương Trong bài viết này tôi xin chia sẻ một số kỹ năng căn bản khi giải quyết các bài toán đếm căn bản. Vì mục tiêu tôi hướng tới là các kỹ năng căn bản nhất và gần gủi với giáo viên dạy toán phổ thông và học sinh nên một số bài toán liên quan đến số học, liên quan phép đếm qua tương ứng, truy hồi,... tôi không đề cập đến. Trong bài viết này các khái niệm quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi không đề cập đến nên bạn đọc có thể tham khảo trong sách giáo khoa lớp 11. Bài viết mang tính chất chia sẻ kinh nghiệm bản thân nên chắc còn nhiều thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp từ bạn đọc. I – KỸ NĂNG CHIA TRƯỜNG HỢP TRONG KẺ BẢNG Trong một số bài toán chọn đối tượng xảy ra một số trường hợp nhưng tương đối ít ta sẽ chia trường hợp và tính trực tiếp. Ta thường kẻ bảng để quan sát cho thuận lợi. Ví dụ 1 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? A. 120. B. 90. C. 219. D. 215. LỜI GIẢI. Nhận xét. Ta có hai phân môn phải chọn và ta chỉ cho ra ba người phải đủ hai phân môn nên số trường hợp phải xét tương đối nhỏ. Do đó cách tiếp cận chia trường hợp cụ thể phù hợp
2 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Nhà Toán Học Nhà Vật Lí Số cách chọn Nữ Nam Nam 1 1 1 3×5×4 2 1 C23 × 4 1 2 3 × C24 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 60 + 12 + 18 = 90 cách. Chọn đáp án B II – KỸ NĂNG DÙNG PHẦN BÙ Ví dụ 2 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp 12A có ít nhất một học sinh có mặt trong đội? LỜI GIẢI. Nhận xét. - Nếu ta tiếp cận bài toán trên bằng cách chia các trường hợp có một học sinh 12A, hai học sinh 12A,... Như vật ta chia làm 5 trường hợp trong trường hợp này ta vẫn còn làm tốt. Nhưng nếu số học sinh cả hai lớp đều tăng lên và số học sinh được chọn cũng tăng lên. Khi ấy ta đối diện bài toán nhiều trường hợp. - Nếu ta nhìn với khía cạnh phần bù thì bài toán khá đơn giản. Ta thấy cứ chọn 5 học sinh bất kỳ thì chỉ có hai trường hợp. Trường hợp có học sinh 12A và trường hợp không có học sinh 12A. Do đó kỹ năng áp dụng đếm phần bù trong bài toán này khá hiệu quả. Cụ thể như sau Số cách chọn ra 5 học sinh bất kì trong 11 học sinh là C511 . Số cách chọn ra 5 học sinh mà không có học sinh lớp 12A là C56 (ta chỉ chọn học sinh lớp 12B). Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C511 − C56 . Ví dụ 3 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? LỜI GIẢI.
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 3 Nhận xét. Nếu bài toán này tiếp cận theo kiểu chia trường hợp xét trực tiếp. Ta sẽ nhận thấy mỗi lớp phải lấy ít nhất một học sinh như ta phải lấy thêm 2 học sinh nữa. Khi ấy người làm thường sẽ dẫn đến hai trường hợp sau: Một là người làm tiến hành chia trường hợp và tính trực tiếp. Bài toán vẫn xử lí được nhưng nếu không cẩn thận người làm dễ đếm thiếu trường hợp. Hai là đếm theo kiểu chọn ra ba học sinh ở ba lớp sau đó chọn ra thêm hai học sinh bất kì. Ở cách làm này bị lặp và ta không kiểm soát được số lần lặp nên không hiệu chỉnh số lần lặp để trở thành lời giải đúng. Do đó bài toán trên ta dùng kỹ năng đếm bù thì khá hiệu quả. Chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 13 học sinh. Số cách chọn là C513 = 1287 cách. Số cách chọn 5 học sinh có đúng một lớp là C55 + C56 = 7 cách. Số cách chọn 5 học sinh có đúng hai lớp là • Lớp 12A và 12B: C511 − (C55 + C56 ) = 455 cách. • Lớp 12A và 12C: C57 − C55 = 20 cách. • Lớp 12B và 12C: C58 − C56 = 50 cách. Số cách chọn 5 học sinh có đúng hai lớp là 525 cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 1287 − 7 − 524 = 755 cách. III – KỸ NĂNG NHÓM ĐỐI TƯỢNG Ví dụ 4 Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau. A. 7 · 5! · 6! · 8!. B. 6 · 5! · 6! · 8!. C. 6 · 4! · 6! · 8!. D. 6 · 5! · 6! · 7!. LỜI GIẢI. Nhận xét. Khi ta cần sắp xếp các đối tượng cùng loại kề nhau một kỹ năng thường dùng “tạo nhóm”. Cụ thể như sau: Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm. Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách có 3! cách xếp. Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6! cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa. Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 3! · 5! · 6! · 8! cách sắp xếp. Chọn đáp án B
4 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Ví dụ 5 Cho X = {1; 2; 3; 4; 5}. Hỏi từ X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó chữ số 1 xuất hiện hai lần và đứng kề sau, còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần? LỜI GIẢI. Chọn ra hai chữ số khác 1 từ tập X có C24 cách thực hiện. Xếp 4 chữ số đã chọn thành hàng ngang sao cho hai chữ số 1 đứng kề nhau. Khi ấy số cách xếp là 3! · 2!. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là C24 × 3! × 2!. IV – KỸ NĂNG VÁCH NGĂN Khi ta gặp bài toán cần sắp xếp các đối tượng mà các đối tượng cùng loại không kề nhau. Ví dụ 6 Có 5 học sinh An, Bình, Cường, Dũng, Linh được xếp thành một hàng ngang. Hỏi có mấy cách sắp xếp nếu An và Cường không đứng cạnh nhau. LỜI GIẢI. Nhận xét. Do An và Cường không đứng cạnh nhau nên giữa hai người phải có ít nhất một học sinh khác. Như vậy ta chỉ cần một vách ngăn trong khi đó ta có đến ba học sinh xếp vào hàng. Do đó nếu ta xếp hai bạn An và Cường vào trước dẫn đến bài toán nhiều khả năng. Nhưng nếu ta xếp ba bạn còn lại vào trước thì bài toán lại đơn giản hơn. Cụ thể như sau: Xếp ba học sinh Bình, Dũng, Linh thành một hàng ngang. Số cách xếp là 3!. Ứng với mỗi cách xếp ba bạn trên ta có 4 vị trí có thể chọn để xếp hai bạn An và Cường. Khi đó ta chọn ra 2 vị trí và xếp hai bạn An và Cường. Số cách thực hiện là C24 × 2!. Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là 3! × C24 × 2!. Ví dụ 7 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 (ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2018) LỜI GIẢI.
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 5 Nhận xét. Khi gặp bài toán này học sinh thường sẽ đếm thiếu hoặc đếm lặp. Khi tiến hành xếp đối tượng thì hay phân vân ta nên xếp đối tượng nào trước đây. Trong trường hợp này để thuận lợi ta thường chọn trường hợp cần nhiều vách ngăn nhấn để bài toán trở nên gọn. Cụ thể như sau, nếu ta xếp 5 học sinh lớp 12C ta cần ít nhất 4 đối tượng (đối tượng có thể là một học sinh hoặc một nhóm học sinh) để đứng giữa khoảng trống hai học sinh lớp 12C. Khi ấy, để tiện trong cách dẫn dắt tôi hay gọi đó là “vách ngăn”. Gọi A là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”. Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 10!. Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp. C V1 C V2 C V3 C V4 C Chọn đáp án A TH1: Có đúng 4 vách ngăn: • Chọn một vách ngăn và chọn hai học sinh khác lớp và xếp các vách ngăn ấy có 4 · 2 · 3 · 2! cách. • Xếp ba học sinh còn lại vào ba vách ngăn bắt buộc phải có còn lại là 3!. Theo quy tắc nhân ta có 4 · 2 · 3 · 2! · 3! cách. TH2: Có 5 vách ngăn: Khi đó ta phải chọn 4 vách ngăn bắt buộc nằm xen kẻ giữa hai học sinh lớp 12C và một vách đầu hàng hoặc cuối hàng. Sau đó xếp 5 học sinh vào 5 vách ngăn đã chọn mỗi vách một học sinh. Số cách thực hiện là 2 · 5!. Suy ra, n(A) = 5! (2 · 5! + 2! · 2 · 3 · 4!). 11 Vậy xác suất của biến cố A là P (A) = . 630 V – KỸ NĂNG PHÂN NHÓM Ví dụ 8 Lớp học 11T1 có 4 tổ, thầy giáo muốn chia lớp học thành hai đội thi giải toán nhanh. Hỏi thầy giáo cho bao nhiêu cách chia? LỜI GIẢI. Nhận xét. Thoạt nhìn ta sẽ nghĩ số cách chia là: C24 = 6. Nhưng thực tế không phải vậy. Ta quan sát bằng cách viết cụ thể như sau: Xét 4 tổ là A, B, C, D, khi ấy ta chỉ việc chọn một tổ sẽ có duy nhất một cách chọn tổ còn lại: Cụ thể: (A, B) ↔ (C, D); (A, C) ↔ (B, D); (A, D) ↔ (C, B).
6 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN + Cách 1: Như vậy nếu ta tính số cách chia là C24 = 6 bị lặp lại 2 lần. Nên số cách C2 chia thành hai đội là 4 = 3. 2 + Cách 2: Mỗi tổ đều phải nằm trong một đội. Do đó ta cố định một tổ ta chọn tổ còn lại ghép thành đội. Nên số cách chia đội là C13 = 3. + Cách 3: (A, B) ↔ (C, D). Mỗi cách chia đội như thế này tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử. Sau đó ta cắt đôi thành hai khối, trong mỗi khối là một 4! hoán vị lặp, và nên số cách chia đội là = 3. 2! · 2! · 2! Ví dụ 9 Có 5 cặp vợ chồng cùng tham gia một trò chơi trải nghiệm. Ban tổ chức yêu cầu chia họ thành 5 đội A, B, C, D, E sao cho mỗi đội có 2 người hoặc là một cặp vợ chồng cùng nam hoặc cùng nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia đội. A. 6720. B. 6600. C. 22920. D. 120. LỜI GIẢI. Nhận xét. Thường gặp bài toán trên học sinh và giáo viên sẽ có lời giải dưới đây. TH1: Mỗi đội là một cặp vợ chồng nên chia 5 đội có 5! = 120 cách chọn. TH2: Chọn 1 đội là 1 cặp vợ chồng có 5 cách chọn. • Chọn 2 đội mỗi đội gồm 2 nam có C24 · C22 cách chọn. • Chọn 2 đội mỗi đội có 2 nữa có C24 · C22 cách chọn. 2 Nên có 5 · (C24 · C22 ) · 5! = 21600 cách chia. TH3: Có 3 đội, mỗi đội có 2 nam và một đội có 2 nữ có 1 cách chọn. Nên có C35 · 5! cách chia. Vậy có 120 + 21600 + 1200 = 22920 cách chia. Khi giải như trên thì người giải so với đáp số thấy mình sai nhưng một số thường thắc mắc lời giải trên sai ở đâu và sai thế nào? Có thể điều chỉnh thế nào để thành lời giải đúng. Lý do sai lầm trong lời giải trên: Trong trường hợp 2 đã đếm lặp. Bước chia 2 đội nam đã có thứ tự cuối cùng lại xếp thứ tự lần nữa. Tương tự với 2 đội nữ cũng vậy, cũng bị lặp. Ta sẽ giải bài toán trên như sau: Gồm hai bước: Chia nhóm và xếp vào 5 đội. Bước 1: Chia nhóm (không quan tâm thứ tự các nhóm) có 3 TH xảy ra. + TH1: Có đúng 1 nhóm là cặp vợ chồng: Khi đó có hai nhóm nam và hai nhóm nữ nên số cách chia nhóm là 5 × 3 × 3 = 45. + TH2: Có đúng 3 nhóm là cặp vợ chồng. Khi ấy có một nhóm nam và một nhóm nữ. Số cách chia nhóm là C35 . + Th3: Có đúng 5 nhóm là cặp vợ chồng. Có đúng 1 cách. Bước 2: Xếp 5 nhóm vào 5 đội có 5! cách xếp.
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 7 Vậy số cách là 56 × 5! = 6720. Chọn đáp án A VI – KỸ NĂNG CHỌN ĐỐI TƯỢNG VÀ SẮP XẾP ĐỐI TƯỢNG Ví dụ 10 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đội một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng 17 41 31 5 A. . B. . C. . D. . 42 126 126 21 (BGD - Đợt 1 - Mã đề 102 - 2020) LỜI GIẢI. Nhận xét. Bài toán này ta sẽ sử dụng kỹ năng vách ngăn. Nhưng khi đối tượng chọn ra sẽ ảnh hưởng đến số vách ngăn tối thiểu và tối đa cần. Số các phần tử của S là A49 = 3024. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024 (cách chọn). Suy ra n(Ω) = 3024. Gọi biến cố A: “Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”. • Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! = 24 (số). • Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5 · 4 · 4! = 480 (số). • Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có C25 × C24 × 2! × 3! (số). Do đó, n(A) = 24 + 480 + 720 = 1224. n(A) 1224 17 Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = = . n(Ω) 3024 42 Chọn đáp án A Ví dụ 11 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang, xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 6 20 15 5 (ĐTK - BGD&ĐT - L1 - Năm 2020) LỜI GIẢI.
8 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh trên 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang có 6! cách. Để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B có hai trường hợp: TH1: Học sinh lớp C chỉ ngồi kế bên một học sinh lớp B: B C • Chọn vị trí đầu hàng hoặc cuối hàng cho học sinh lớp C ngồi: Có 2 cách thực hiện. • Chọn học sinh lớp B ngồi kế bên bạn lớp C có 2 cách. • Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 vị trí trống có 4! cách. Vậy trường hợp 1 có 96 cách xếp. TH2: Học sinh C ngồi giữa hai học sinh B: B C B Khi ấy ta cột ba học sinh B, C, B thành một đối tượng. Xếp 4 học sinh A và đối tượng cột thành hàng ngang, sau đó sắp xếp vị trí trong đối tượng hai học sinh B sao cho C luôn đứng giữa. Số cách xếp 4! × 2! cách xếp. Vậy trường hợp 2 có 48 cách xếp. 96 + 48 1 Xác suất cần tìm là = . 6! 5 Chọn đáp án D MỘT KẾT QUẢ ĐẸP CHO BÀI TOÁN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG NGÔ CHÂU DUNG THPT Yên Phong Số 1, Yên Phong, Bắc Ninh Bài toán góc giữa hai mặt phẳng là bài toán vận dụng cao thường gặp trong đề thi Tốt nghiệp THPT của học sinh. Vì là bài thi trắc nghiệm nên mỗi dạng toán dạy học sinh chúng ta thường sẽ tìm những con đường ngắn nhất để học sinh hoàn thành bài thi. Trong phạm vi nhỏ của Tập San tôi muốn đề cập đến một kết quả đẹp có thể giúp ích học sinh khi giải bài toán trắc nghiệm về Góc giữa hai mặt phẳng. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q). Thì α = (a, ’ b), ở đây a, b là hai đường thẳng sao cho a ⊥ (P ), b ⊥ (Q). Ta sẽ chứng minh một kết quả có áp dụng rất tốt cho một dạng bài toán góc.
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 9 KẾT QUẢ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật, biết SA = h, AB = a, AD = b. Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng α. Khi đó AB AD a b cos α = · =√ ·√ .(1) (I.1) SB SD 2 h +a 2 h + b2 2 a2 Đặc biệt khi ABCD là hình vuông thì cos α = . (2) h2 + a2 Thật vậy S F E D A B C Cách 1: Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khi đó ta có AE ⊥
(SBC) và
AF ⊥ (SDC), do đó ((SBC), (SDC)) = (AE, AF ) =
−→ −→
AE · AF
α. Khi đó cos α = . (3) AE · AF AB · SA SA2 Ta có AE = (∗) và SE = . SB SB Suy ra −→ SA2 −→ −→ SA2 −→ AB 2 −→ SE = SB ⇔ AE = AB + AS SB 2 SB 2 SB 2 AD · SA SA2 Tương tự, AF = (∗∗), SF = . SD SD Suy ra −→ SA2 −→ −→ SA2 −−→ AD2 −→ SF = SD ⇔ AF = AD + AS SD2 SD2 SD2 −→ −→ AB 2 · AD2 Do đó AE · AF = · AS 2 (∗ ∗ ∗). SB 2 · SD2 Thay (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) vào (3) ta được công thức (1). Cho a = b ta được (2). Cách 2:
10 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Gọi K là hình chiếu của D lên SC, khi đó d(D, (SBC)) d(A, (SBC)) AE AS · AB SC AS · SC sin α = = = = · = DK DK DK SB SD · DC SB · SD 2 2 2 2 2 2 2 2 AS · SC SB · SD − SA (SA + AB + AD ) cos α = 1 − 2 2 = SB · SD SB 2 · SD2 (SA2 + AB 2 ) · (SA2 + AD2 ) − SA2 (SA2 + AB 2 + AD2 ) AD · AB = 2 2 = . SB · SD SD · SB Cách 3: Phương pháp tọa độ hóa. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SBA ’ = SCA ’ = 90◦ , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60◦ . Thể tích khối chóp đó bằng a3 a3 a3 A. a3 . B. . C. . D. . 3 2 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BGD - 2019) LỜI GIẢI. S D C B A Gọi D®là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). AB ⊥ SB Ta có ⇒ AB ⊥ (SBD) ⇒ AB ⊥ BD. AB ⊥ SD Tương tự, ta có AC ⊥ CD ⇒ ABCD là hình vuông cạnh a. Đặt SD = h, h > 0. Áp dụng kết quả (2) trên ta có: a2 a2 1 cos α = 2 2 ⇔ 2 2 = ⇒ h = a ⇒ SD = a. h +a h +a 2 2 1 a Lại có S4ABC = AB · AC = . 2 2 1 a3 Vậy VS.ABC = S4ABC · SD = . 3 6
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 11 Chọn đáp án D Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = 5a; SAB ’ = SCB ’ = 90◦ . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBA) bằng α 9 với cos α = . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 16 √ √ 50a3 125 7a3 125 7a3 50a3 A. . B. . C. . D. . 3 9 18 9 LỜI GIẢI. S I D A C B Ta có hai tam giác vuông SAB và SBC bằng nhau và chung cạnh huyền SB. Kẻ AI ⊥ SB ⇒ CI ⊥ SB và góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng AI và CI, suy ra (AI, CI) = α. ’ = 90◦ ⇒ 180◦ > AIC Do CBA ‘ > 90◦ ⇒ AIC ‘ =−9. ‘ = 180◦ − α ⇒ cos AIC √ 16 Có AC = 5 2a, 4AIC cân tại I, nên có 2AI 2 − AC 2 2 2 ‘ ⇔ 2AI − AC = − 9 ⇔ AI 2 = 16a2 ⇒ AI = 4a. = cos AIC 2AI 2 2AI 2 16 2 AI 16 25a Suy ra BI = 3a ⇒ SI = = a ⇒ SB = . IB 3 3 Gọi D®là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). AB ⊥ SB Ta có ⇒ AB ⊥ (SBD) ⇒ AB ⊥ BD. AB ⊥ SD Tương tự, ta có AC ⊥ CD ⇒ ABDC là hình vuông cạnh a. Đặt SD = h, h > 0. Áp dụng công thức (2) kết quả trên ta có √ (5a)2 25a2 9 5 7a cos α = 2 ⇔ 2 = ⇒h= = SD. h + (5a)2 h + 25a2 16 3 √ 1 125 7a3 Từ đây tiếp tục tính thể tích VS.ABC = S4ABC · SD = . 3 18 Chọn đáp án C
12 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Ví dụ 3 √ √ Cho hình chóp S.ABC, có SAB ’ = ABC ’ = 90◦ , AB = 10a, BC = 3a ’ = SCB và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 45◦ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.√ 3 √ √ 3 √ 3 15a 2 15a3 15a 15a A. . B. . C. . D. . 3 3 6 2 LỜI GIẢI. S D C A B Gọi góc cần tìm là α = ((SAB), ¤ (SBC)). Ta sẽ phục dựng hình ẩn là chóp S.ABCD: Giả sử gọi D là hình ´ chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). AB ⊥ SA Ta có ⇒ AB ⊥ AD. Tương tự, ta có BC ⊥ CD ⇒ ABCD là hình AB ⊥ SD chữ nhật. Nên S.ABCD là hình chóp có SD ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Đặt SD = h, h > 0. Coi a = 1 để tiện tính toán. Áp dụng kết quả (1) vào bài, ta có √ √ ñ 2 3 10 1 h =2 √ ·√ = √ ⇔ h4 + 13h2 − 30 = 0 ⇔ 2 ⇒ h2 = 2 h2 + 3 h2 + 10 2 h = −15 √ √ suy ra h = 2. Ta được SD = 2a. √ 1 √ 1 √ √ 15a3 VS.ABC = · 2 · · 3 · 10a3 = . 3 2 3 Bình luận. Rõ ràng công thức tính nhanh giúp giải trắc nghiệm rất hiệu quả. Chọn đáp án A
SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 13 Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD,√đáy ABCD là hình thang cân có BC k AD, BC = 2a ’ = 90◦ , góc giữa hai mặt phẳng 2AD = 2a, AB = CD = . Biết SBA ’ = SCD 2 (SAB) và √(SCD) bằng 60c irc. √ Tính tích khối chóp√S.ABCD. √ 3 3 3 3a 2 a 2 3a 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 LỜI GIẢI. S H B C A D E Gọi α = ((SAB), ¤ (SBC)). √ Gọi E = AB ∩ CD ⇒ BE = CE = a 2 ⇒ BE 2 + CE 2 = BC 2 ⇒ 4BEC vuông cân đỉnh E. Suy ra α = ((SBE), ¤ (SCE)). Ta đưa về bài toán gốc. ´ EB ⊥ SB Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD), thì ⇒ EB ⊥ BH. EB ⊥ SH √ Tương tự EC ⊥ CH. Từ đây ta suy ra tứ giác HBEC là hình vuông cạnh a 2. Gọi SH = h, h > 0. Áp dụng công thức tính nhanh (2): Ä √ ä2 a 2 1 2 2 √ Ä √ ä2 = ⇒ h = 2a ⇒ h = a 2. h2 + a 2 2 Ç √ å2 √ 3 a 2 3a2 1 3a2 √ a3 2 SABCD = 3SAED = = ⇒ VS.ABCD = · ·a 2= . 2 2 4 3 4 4 Chọn đáp án D