Thi thử Toán khối A 2010_THPT chuyên Đại học Vinh

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'thi thử toán khối a 2010_thpt chuyên đại học vinh', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thi thử Toán khối A 2010_THPT chuyên Đại học Vinh

TRƯ NG ðAI H C VINH ®Ò thi thö ®¹i häc n¨m häc 2009-2010 Kh i THPT Chuyên MÔN: TOÁN; Th i gian làm bài: 180 phút ------------------------- ----------------------------------------------- A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I. (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , v i m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng v i m = 1 . 2. Xác ñ nh m ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 . Câu II. (2,0 ñi m) 1 sin 2 x π 1. Gi i phương trình: cot x + = 2 sin( x + ) . 2 sin x + cos x 2 2. Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) . 5 x2 +1 Câu III. (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx . 1 x 3x + 1 Câu IV. (1,0 ñi m) Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC. A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m ( m > 0). Tìm m bi t r ng góc gi a hai ñư ng th ng AB' và BC ' b ng 60 0 . Câu V. (1,0 ñi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 5 A = xy + yz + zx + . x+ y+z B. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n a, ho c b). a. Theo chương trình Chu n: Câu VIa. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , cho tam giác ABC có A( 4; 6) , phương trình các ñư ng th ng ch a ñư ng cao và trung tuy n k t ñ nh C l n lư t là 2 x − y + 13 = 0 và 6 x − 13 y + 29 = 0 . Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz , cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P ( 2; 3; − 4) . Tìm to ñ ñ nh Q bi t r ng ñ nh N n m trong m t ph ng (γ ) : x + y − z − 6 = 0. Câu VIIa. (1,0 ñi m) Cho t p E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. T các ch s c a t p E l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 4 ch s ñôi m t khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , xét elíp ( E ) ñi qua ñi m M ( −2; − 3) và có phương trình m t ñư ng chu n là x + 8 = 0. Vi t phương trình chính t c c a ( E ). 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz , cho các ñi m A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t ph ng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm to ñ c a ñi m M bi t r ng M cách ñ u các ñi m A, B, C và m t ph ng (α ). Câu VIIb. (1,0 ñi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n thu ñư c ña th c P ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên dương tho mãn 1 7 1 2 + 3 = . Cn Cn n ------------------------------------ H t ------------------------------------- http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Tr−êng ð¹i häc vinh . ®¸p ¸n ®Ò kh¶o s¸t chÊt l−îng líp 12 LÇn 1 - 2009 Khèi THPT chuyªn M«n To¸n, khèi A ðÁP ÁN ð THI TH L N 1 – NĂM 2009 Câu ðáp án ði m I 1. (1,25 ñi m) (2,0 Víi m = 1 ta cã y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 . ñi m) * TËp x¸c ®Þnh: D = R * Sù biÕn thiªn • ChiÒu biÕn thiªn: y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x 2 − 4 x + 3) x > 3 0,5 Ta cã y ' > 0 ⇔  , y' < 0 ⇔ 1 < x < 3 . x < 1 Do ®ã: + H m sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞,1) v (3, + ∞) . + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3). • Cùc trÞ: H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 1 v yCD = y (1) = 3 ; ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 3 v yCT = y (3) = −1 . 0,25 • Giíi h¹n: lim y = −∞; lim y = +∞ . x → −∞ x → +∞ • B¶ng biÕn thiªn: x −∞ 1 3 +∞ y’ + 0 − 0 + +∞ 3 0,25 y −∞ -1 * §å thÞ: y §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0, − 1) . 3 2 0,25 1 x O 1 2 3 4 -1 2. (0,75 ®iÓm) Ta cã y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 9. +) H m sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i x1 , x 2 ⇔ ph−¬ng tr×nh y '= 0 cã hai nghiÖm pb l x1 , x 2 0,25 2 ⇔ Pt x − 2(m + 1) x + 3 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt l x1 , x 2 . m > −1 + 3 ⇔ ∆' = (m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔  (1)  m < −1 − 3  +) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi ®ã x1 − x 2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 ≤ 4 ⇔ 4(m + 1) − 12 ≤ 4 2 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 ( 2) 0,5 Tõ (1) v (2) suy ra gi¸ trÞ cña m l − 3 ≤ m < −1 − 3 v − 1 + 3 < m ≤ 1. II 1. (1,0 ®iÓm) (2,0 §iÒu kiÖn: sin x ≠ 0, sin x + cos x ≠ 0. ñi m) cos x 2 sin x cos x Pt ® cho trë th nh + − 2 cos x = 0 2 sin x sin x + cos x cos x 2 cos 2 x ⇔ − =0 2 sin x sin x + cos x 0,5  π  ⇔ cos x sin( x + ) − sin 2 x  = 0  4  π +) cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ . 2  π  π π 2 x = x + 4 + m2π  x = 4 + m 2π +) sin 2 x = sin( x + ) ⇔  ⇔ m, n ∈ Ζ 4 2 x = π − x − π + n 2π  x = π + n 2π   4   4 3 π t 2π 0,5 ⇔x= + , t ∈ Ζ. 4 3 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt l π π t 2π x = + kπ ; x = + , k , t ∈ Ζ. 2 4 3 2. (1,0 ®iÓm) 1 §iÒu kiÖn x > . (*) 3 Víi ®k trªn, pt ® cho ⇔ log 5 (3 x − 1) 2 + 1 = 3 log 5 (2 x + 1) 0,5 ⇔ log 5 5(3 x − 1) 2 = log 5 (2 x + 1) 3 ⇔ 5(3 x − 1) 2 = (2 x + 1) 3 ⇔ 8 x 3 − 33 x 2 + 36 x − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 (8 x − 1) = 0 x = 2 0,5 ⇔ x = 1  8 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt l x = 2. III 3dx 2tdt §Æt t = 3 x + 1 ⇒ dt = ⇒ dx = . (1,0 2 3x + 1 3 ñi m) Khi x = 1 th× t = 2, v khi x = 5 th× t = 4. 2 0,5  t 2 −1  4   +1  4 4 Suy ra I = ∫  3  2tdt 2 dt = ∫ (t − 1)dt + 2∫ t 2 − 1 2 . t −1 2 3 92 2 .t 2 3 4 4 21 3  t −1 100 9 0,5 =  t − t  + ln = + ln . 93  t +1 27 5 2 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- KÎ BD // AB' ( D ∈ A' B' ) ⇒ ( AB' , BC ' ) = ( BD, BC ' ) = 60 0 IV 0,5 ⇒ ∠DBC '= 60 0 hoÆc ∠DBC ' = 120 0. (1,0 ®iÓm) - NÕu ∠DBC '= 600 V× l¨ng trô ®Òu nªn BB' ⊥ ( A' B ' C ' ). ¸p dông ®Þnh lý Pitago v ®Þnh lý cosin ta cã A 0,5 B C BD = BC ' = m 2 + 1 v DC ' = 3. KÕt hîp ∠DBC '= 600 ta suy ra ∆BDC ' 1+ m2 ®Òu. Do ®ã m 2 + 1 = 3 ⇔ m = 2. m A’ - NÕu ∠DBC ' = 1200 ¸p dông ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy 1 B’120 C’ ra m = 0 (lo¹i). 1 0 VËy m = 2. 3 D * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt tr−êng hîp gãc 600 th× chØ cho 0,5® khi gi¶i ®óng. - HS cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p vect¬ hoÆc to¹ ®é víi nhËn xÐt: AB'.BC ' cos( AB ' , BC ' ) = cos( AB ', BC ') = . AB'.BC ' V t2 − 3 (1,0 §Æt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = . 2 ®iÓm) Ta cã 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nªn 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 v× t > 0. 0,5 t2 − 3 5 Khi ®ã A = + . 2 t t2 5 3 XÐt h m sè f (t ) = + − , 3 ≤ t ≤ 3. 2 t 2 5 t3 − 5 Ta cã f ' (t ) = t − 2 = 2 > 0 v× t ≥ 3. t t 14 0,5 Suy ra f (t ) ®ång biÕn trªn [ 3 , 3] . Do ®ã f (t ) ≤ f (3) = . 3 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1. 14 VËy GTLN cña A l , ®¹t ®−îc khi x = y = z = 1. 3 1. (1 ®iÓm) VIa. - Gäi ®−êng cao v trung tuyÕn kÎ tõ C l CH (2,0 v CM. Khi ®ã C(-7; -1) ®iÓm) CH cã ph−¬ng tr×nh 2 x − y + 13 = 0 , CM cã ph−¬ng tr×nh 6 x − 13 y + 29 = 0. 2 x − y + 13 = 0 - Tõ hÖ  ⇒ C (−7; − 1). 0,5 6 x − 13 y + 29 = 0 - AB ⊥ CH ⇒ n AB = u CH = (1, 2) M(6; 5) B(8; 4) A(4; H ⇒ pt AB : x + 2 y − 16 = 0 . 6)  x + 2 y − 16 = 0 - Tõ hÖ  ⇒ M (6; 5) 6 x − 13 y + 29 = 0 http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
⇒ B (8; 4). - Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC : x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0. 52 + 4m + 6n + p = 0 m = −4 0,5   V× A, B, C thuéc ®−êng trßn nªn 80 + 8m + 4n + p = 0 ⇔ n = 6 . 50 − 7 m − n + p = 0  p = −72   Suy ra pt ®−êng trßn: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 72 = 0 hay ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 85. 2. (1 ®iÓm) - Gi¶ sö N ( x0 ; y0 ; z0 ) . V× N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z0 − 6 = 0 (1) MN = PN  - MNPQ l h×nh vu«ng ⇒ ∆MNP vu«ng c©n t¹i N ⇔  MN .PN = 0  0,5  ( x0 − 5) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1) = ( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 4) 2 2 2 2 2 2 ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0   x0 + z0 − 1 = 0 ( 2) ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0 2 (3)  y0 = −2 x0 + 7 2 0,5 - Tõ (1) v (2) suy ra  . Thay v o (3) ta ®−îc x0 − 5 x0 + 6 = 0  z 0 = − x0 + 1  x0 = 2, y 0 = 3, z 0 = −1  N (2; 3; − 1) ⇒ hay  .  x0 = 3, y0 = 1, z 0 = −2  N (3; 1; − 2) 7 5 - Gäi I l t©m h×nh vu«ng ⇒ I l trung ®iÓm MP v NQ ⇒ I ( ; 3; − ) . 2 2 NÕu N (2; 3 − 1) th× Q(5; 3; − 4). NÕu N (3;1; − 2) th× Q(4; 5; − 3). VIIa. Gi¶ sö abcd l sè tho¶ m n ycbt. Suy ra d ∈ {0, 2, 4, 6}. (1,0 3 0,5 ®iÓm) +) d = 0. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 . 3 2 +) d = 2. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 − A5 . +) Víi d = 4 hoÆc d = 6 kÕt qu¶ gièng nh− tr−êng hîp d = 2. 3 3 (2 Do ®ã ta cã sè c¸c sè lËp ®−îc l A6 + 3 A6 − A5 = 420. ) 0,5 1. (1 ®iÓm) VIb. (2,0 x2 y2 ®iÓm) - Gäi ph−¬ng tr×nh ( E ) : + =1 ( a > b > 0) . a2 b2 4 9  a 2 + b2 = 1  (1) 0,5 - Gi¶ thiÕt ⇔  2 a = 8 ( 2) c  Ta cã (2) ⇔ a 2 = 8c ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 8c − c 2 = c(8 − c). 4 9 Thay v o (1) ta ®−îc + =1. 8c c(8 − c) c = 2 ⇔ 2c − 17c + 26 = 0 ⇔  13 2 c =  2 http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x2 y2 * NÕu c = 2 th× a = 16, b = 12 ⇒ ( E ) : 2 2 + = 1. 0,5 16 12 13 39 x2 y2 * NÕu c = th× a 2 = 52, b 2 = ⇒ (E) : + = 1. 2 4 52 39 / 4 2. (1 ®iÓm) Gi¶ sö M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra x0 + 2 y0 + 2 ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 = 2 2 2 2 2 5  0,5 ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 2 2 2 2 (1)   2 ⇔  x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 2 2 ( 2)  ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = ( x0 + 2 y0 + 2) 2 2 2 (3)   5  y0 = x0 Tõ (1) v (2) suy ra  .  z0 = 3 − x0 Thay v o (3) ta ®−îc 5(3 x0 − 8 x0 + 10) = (3 x0 + 2) 2 2 0,5  x0 = 1  M (1; 1; 2) ⇔  ⇒  23 23 14  x0 = 23  M ( ; ; − ).  3  3 3 3 VIIb. n ≥ 3 (1,0 1 7 1  Ta cã 2 + 3 = ⇔  2 7.3! 1 ®iÓm) Cn Cn n  n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) = n 0,5  n ≥ 3 ⇔ 2 ⇔ n = 9. n − 5n − 36 = 0 Suy ra a8 l hÖ sè cña x8 trong biÓu thøc 8(1 − x)8 + 9(1 − x)9 . 8 8 0,5 §ã l 8.C8 + 9.C9 = 89. http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n