Tích chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân dạng Fouruer và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này đưa ra một số tích chập mới liên kết với biến đổi tích phân dạng Fourier cùng với hàm trọng Hermite và xem xét một số ứng dụng của chúng. Đặc biệt, bài báo thu được điều kiện cần và đủ cho tính giải được của phương trình tích phân dạng chập và đưa ra công thức nghiệm hiển trong L1 (i) cho phương trình đã đưa ra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân dạng Fouruer và ứng dụng

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.2 (2013) TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURUER VÀ ỨNG DỤNG GENERALIZED CONVOLUTIONS ASSOCIATED WIHT THE INTEGRAL TRANSFORMS OF FOURIER TYPE AND THE APPLICATIONS Bùi Thị Giang Phan Đức Tuấn Học viện Kỹ thuật Mật mã Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài báo này đưa ra một số tích chập mới liên kết với biến đổi tích phân dạng Fourier cùng với hàm trọng Hermite và xem xét một số ứng dụng của chúng. Đặc biệt, bài báo thu được điều kiện cần và đủ cho tính giải được của phương trình tích phân dạng chập và đưa ra công thức nghiệm hiển trong L1 ( ¡ ) cho phương trình đã đưa ra. Từ khóa: tích chập; tích chấp suy rộng; biến đổi tích phân; biến đổi Fourier; phương trình tích phân. ABSTRACT This paper provides new generalized convolutions associated with the integral transforms of Fourier type with Hermite weight - function and considers their applications. In particular, the necessary and sufficient condition for solvability of the integral equations of convolution type is obtained and the solutions in explicit form in L1 ( ¡ ) of the equations are given. Key words: convolution; generalized convolution; integral transforms; Fourier transforms; integral equation 1. Mở đầu Fourier ngược và các biến đổi Hartley là các tổ hợp tuyến tính của hai biến đổi Tc , Ts như sau: Việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải các phương trình vi tích phân ra đời rất sớm F = Tc − iTs , F −1 = Tc + iTs , và liên tục phát triển cho đến ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải H1 = Tc + Ts , H 2 = Tc − Ts , kể đến các biến đổi tích phân Fourier, Hartley. trong đó Tc , Ts xác định bởi Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập liên kết với các biến đổi tích 1 phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ XX. (Tc f )( x ) = 2 ¡ f ( y ) cos xydy, Những năm gần đây có khá nhiều bài báo về biến đổi tích phân và tích chập liên kết với biến 1 đổi tích phân được công bố [4, 6, 7, 8]. (Ts f )( x ) = 2  ¡ f ( y ) sin xydy. Biến đổi tích phân Fourier, Fourier Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý ngược và Hartley lần lượt được xác định bởi: tưởng xét biến đổi tích phân mới 1 ( Ff )( x) = 2 ¡ f ( y )e − ixy dy, (Tf )( x) = 1  f ( y)[cos xy + 2sin xy]dy, (0.1) 2 ¡ 1 ( F −1 f )( x) = 2 ¡ f ( y )eixy dy, gọi là biến đổi tích phân dạng Fourier. Điều kiện để tích phân (0.1) tồn tại là hàm 1 f  L1 (¡ ). Do đó, trong bài báo này chúng tôi 2 ¡ ( H1 f )( x) = f ( y ) cas(xy )dy, luôn xét các hàm trong không gian f  L1 (¡ ). 1 Bài báo được chia làm bốn phần. Phần 2 là 2 ¡ ( H 2 f )( x) = f ( y )cas( − xy )dy. nội dung chính của bài báo. Phần này chỉ ra biến đổi ngược của T và xây dựng tám tích chập suy Đây là các biến đổi tích phân có nhiều ứng rộng mới liên kết với các biến đổi T , T −1 . Phần 3 dụng trong khoa học và kỹ thuật (xem [1, 2, 3]). là ứng dụng các tích chập xây dựng được ở Phần 2 Theo quan sát của chúng tôi thì biến đổi Fourier, 1
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ 2 (2013) vào giải phương trình tích phân dạng chập với được chứng minh. nhân Gaussian. Đặc biệt, Định lý 4 thu được điều Từ Định lý 1, ta thấy 0 là hàm riêng kiện cần và đủ để phương trình đang xét có nghiệm và đưa ra công thức nghiệm tường minh. của biến đổi T . Do đó, ta chọn 0 làm hàm 2. Tích chập suy rộng trọng và xây dựng được tám tích chập suy rộng liên kết với các biến đổi T , T −1 như sau: Hàm Hermite được định nghĩa bởi 1 2 Định lý 3. Nếu f , g  L1 (¡ ) thì mỗi x d n − x2 n ( x) = ( −1) e n 2 e , (n ¥ ). biến đổi tích phân (0.6),(0.7), (0.8), (0.9)là tích dx chập suy rộng liên kết với các biến đổi T , T −1 Định lý sau sẽ chỉ cho ta các hàm Hermite là hàm riêng của biến đổi T ứng với với hàm trọng Hermite và thỏa mãn đẳng thức các trị riêng 1,  2. nhân tử hóa tương ứng. 0 1 5 Định lý 1. Cho n  r (mod 4), khi đó ( f  g )( x) = T ,T ,T 4 ¡ ¡ f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) 2  r  (−1) n khi r {0, 2} 5 5 + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) (0.6) 2 (Tn )( x) =  r −1 (0.2) 2 2 (−1) 2 2 khi r {1,3}.  n 1 − 0 ( x − u − v)]dudv, Chứng minh. Khi các biến đổi F , F −1 2 0 và T cùng xét trên không gian L1 (¡ ) , ta có T ( f  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(Tg )( x ). T ,T ,T 1 1 T = ( + i ) F + ( − i ) F −1 (0.3) 0 1 2 2 (f  g )( x) = T ,T ,T −1 4  ¡ ¡ f (u ) g (v) Mặt khác, ( Fn )( x) = ( −i )n n ( x) và ( F −1n )( x) = i nn ( x) (xem [5]). Thay vào (0.3) [− 5  ( x + u + v ) + 5  ( x + u − v ) 0 0 (0.7) 8 8 ta thu được (0.2). Định lý được chứng minh. 11 5 Định lý 2. Nếu + 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 8 8 f  L1 (¡ ), (Tf )  L1 (¡ ) và 0 f 0 ( x) = T( f  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(T −1g )( x ). T ,T ,T −1 1 1 2 ¡ (T f )( y )[cos xy + 2 sin xy ]dy, 0 1 (f −1 g )( x) = 4  ¡ ¡ f (u ) g (v) thì f 0 ( x ) = f ( x ) hầu khắp nơi trên ¡ . T ,T ,T Khi đó ta gọi biến đổi ngược của T −1 [− 5  ( x + u + v) + 11  ( x + u − v) 0 0 (0.8) (T g )( y ) 8 8 5 5 l 1 1 + 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, = 2 ¡ g ( x)[cos xy + sin xy ]dx, 2 8 8 0 (0.4) T( f  g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(Tg )( x). −1 T ,T −1 ,T Chứng minh. Khi các biến đổi F , F −1 và T cùng xét trên không gian L1 (¡ ) , ta có 1 1 1 1 T −1 = ( + i ) F + ( − i ) F −1 (0.5) 2 4 2 4 Kết hợp (0.3), (0.5) và F = I (xem 4 −1 −1 [5]) ta thu được TT = I và T T = I . Định lý 2
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.2 (2013) 0 1 Đổi biến số y = t  u  v trong tích 4 ¡ ¡ (f  −1 −1 g )( x) = f (u ) g (v) phân (0.12), ta thu được T ,T ,T 1 [0 ( x + u + v) 1 + 50 ( x + u − v) 2 (0.9) (2 )3  ¡ (cos xy + 2sin xy )dy + 50 ( x − u + v) + 50 ( x − u − v)]dudv, 1 0 ¡ ¡ f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) 2 T( f  g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(T −1g )( x ) 1 + 0 ( y + u + v)]dudv. −1 −1 T ,T ,T . Chứng minh. Trước tiên ta đi chứng 2 minh bổ đề sau: Chứng minh (0.11) hoàn toàn tương tự Bổ đề 1. Nếu f , g  L1 (¡ ) thì (0.10). Bổ đề đã được chứng minh. 0 ( x) Chứng minh Định lý 3. Ta đi chứng 2 ¡  f (u ) g (v) cos x(u + v)dudv minh tích chập (0.6). ¡ 1 Trước tiên, ta chỉ ra = (2 )3  ¡ (cos xy + 2 sin xy) dy (0.10) 0 ( f  g )  L1 (¡ ). Thật vậy T ,T ,T 1   f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) 0 ¡ ¡ 2 ¡ | ( f  g )( x) |dx T ,T ,T 1 + 0 ( y + u + v)]dudv. 5 8 ¡ ¡ ¡ 2  | f (u ) || g (v) || 0 ( x + u + v) | dudvdx 0 ( x) 2 ¡  f (u ) g (v) sin x(u + v)dudv 5 8 ¡ ¡ ¡ ¡ + | f (u ) || g (v) || 0 ( x + u − v) | dudvdx 1 = (2 )3  (cos xy + 2sin xy) dy 5 8 ¡ ¡ ¡ ¡ (0.11) + | f (u ) || g (v) || 0 ( x − u + v) | dudvdx 1  f (u ) g (v)[ 0 ( y − u − v) 1 8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 4 + | f (u ) || g (v) || 0 ( x − u − v) | dudvdx 1 − 0 ( y + u + v)]dudv.  +. 4 Bây giờ ta đi chứng minh đẳng thức Chứng minh bổ đề. Sử dụng Định lý 1, nhân tử hóa. Sử dụng Bổ đề 1, ta có ta có 0 ( x)(Tf )( x)(Tg )( x) 0 ( x) 2 ¡  f (u) g (v)cos x(u + v)dudv  ( x) 2 ¡ ¡ ¡ = 0 f (u ) g (v)(cos xu + 2sin xu ) 1 = (2 ) 3  ¡ 0 (t )[cos xt + 2sin xt ]dt (cos xv + 2sin xv)dudv 0 ( x) 4 ¡  = f (u ) g (v)[−3cos x(u + v) ¡ ¡ f (u ) g (v) cos x(u + v)dudv ¡ 1 + 5cos x(u − v) + 4sin x(u + v)]dudv = (2 )3  ¡ ¡ ¡ [cos xt + 2sin xt ] 1 = 2 (2 )3  ¡ (cos xy + 2sin xy ) cos x(u + v)0 (t ) f (u ) g (v)dtdudv 1 5 = 2 (2 )3    [cos x(t + u + v) ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) 2 + 2sin x(t + u + v) + cos x(t − u − v) (0.12) 5 5 + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) + 2sin x(t − u − v)]0 (t ) f (u ) g (v)dtdudv. 2 2 3
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ 2 (2013) 0 0 1  − 0 ( x − u − v)]dudvdy = T ( f  g )( x). (f T −1 ,T ,T g )( x) 2 T ,T ,T 1 11 Các tích chập (0.7), (0.8), (0.9) chứng minh hoàn = 4 ¡ ¡ f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) (0.16) 2 toàn tương tự như phép chứng minh của tích 5 5 chập (0.6). Định lý 3 đã được chứng minh. + 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v ) 2 2 Đổi vai trò T và T −1 trong Định lý 3 ta 5 + 0 ( x − u − v )]dudv, thu được hệ quả sau: 2 Hệ quả 1. Nếu f , g  L1 (¡ ) thì mỗi 0 T −1 ( f  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x )(Tg )( x ) biến đổi tích phân (0.13), (0.14), (0.15), (0.16) là T −1 ,T ,T tích chập suy rộng liên kết với các biến đổi 3. Ứng dụng giải phương trình tích phân T −1 , T với hàm trọng Hermite và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng. Xét phương trình 9 (f 0 −1 g )( x) = 1  f (u ) g (v)  ( x) +  ¡ ¡ [ p(u )0 ( x + u + v) (0.17) T −1 ,T ,T −1 4 ¡ ¡ + q(u )0 ( x − u − v)] (v)dudv = f ( x), [− 5  ( x + u + v ) + 5  ( x + u − v ) 0 0 (0.13) trong đó  £ , các hàm 8 8 5 11 p, q, f  L1 (¡ ) là các hàm cho trước và  là + 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 8 0 8 hàm cần tìm trong L1 ( ¡ ). Phương trình (0.17) −1 T (f  g )( x ) = 0 ( x )(T f )( x )(T g )( x ). −1 −1 được gọi là phương trình tích phân dạng chập T −1 ,T −1 ,T −1 với nhân Gaussian. Phương trình này có nhiều 0 1 ứng dụng trong Vật lý, Y học và Sinh học (xem (f  T −1 ,T −1 ,T g )( x) = 4  ¡ ¡ f (u ) g (v) [4]). Đặt [− 5  ( x + u + v ) + 5  ( x + u − v ) 0 0 A1 =  + 0 [10(Tp) − 40(T −1 p) − 22(Tq) (0.14) + 40(T −1q)], 2 2 1 5 B1 = 0 [−40(Tp) + 11(T −1 p) + 40(Tq) − 5(T −1q)], − 0 ( x − u + v) + 0 ( x − u − v)]dudv, 2 2 A2 = 0 [−2(Tp) − 10(T −1 p) − 10(Tq) + 10(T −1q)], 0 B2 =  + 0 [−10(Tp) + 40(T −1 p) + 10(Tq) + 8(T −1q)], T −1 ( f  g )( x ) = 0 ( x )(T −1 f )( x )(Tg )( x ). −1 −1 T ,T ,T D = A1 B2 − A2 B1 ; D1 = (Tf ) B2 − (T −1 f ) B1 ; 0 (0.18) (f  g )( x) D2 = (T −1 f ) A1 − (Tf ) A2 . −1 −1 T ,T ,T 1 5 Định lý 4. Cho p, q, f  L1 ( ¡ ). Giả sử = 4 ¡ ¡ f (u ) g (v)[− 0 ( x + u + v) 2 D( x )  0 với mọi x thuộc ¡ , và D1 D  L1 ( ¡ ) . (0.15) 1 5 Phương trình (0.17) có nghiệm thuộc L1 (¡ ) khi − 0 ( x + u − v) + 0 ( x − u + v) 2 2 và chỉ khi (T −1 D1 ) = (T D2 )  L1 ( ¡ ) . D D 5 + 0 ( x − u − v)]dudv, Khi đó, nghiệm của phương trình (0.17) 2 xác định bởi công thức sau 0 T −1 ( f  g )( x ) = 0 ( x )(Tf )( x)(T −1g )( x).  ( x ) = (T D2 D )( x ). (0.19) T −1 ,T ,T −1 Chứng minh. Từ các tích chập (0.6) - (0.9)và (0.13) - (0.16), ta có: 4
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.2 (2013) 9 Theo Định lý 2, ta thu được   [ p (u ) (v)0 ( x + u + v)dudv ¡ ¡  ( x ) = (T −1 D1 D )( x ) = (T D2 D )( x ). 0 0 = 10( f  g ) − 40( f  g) Do vậy, (T −1 D1 ) = (T D2 )  L1 ( ¡ ). T ,T ,T T ,T ,T −1 D D 0 0 (0.20) − 40( f  g ) + 11( f  g) Điều kiện đủ. Xét hàm T ,T −1 ,T T ,T −1 ,T −1 0 0  ( x ) = (T −1 DD )( x ) = (T 1 D2 D )( x ). (0.23) = 40( f  g ) − 10( f  g) T −1 ,T −1 ,T −1 T −1 ,T −1 ,T Suy ra   L1 (¡ ) . Áp biến đổi T , T −1 0 0 − 10( f  g ) − 2( f  g ). vào hai vế (0.23) ta thu được T −1 ,T ,T −1 T −1 ,T ,T (T )( x ) = D ( x ) , (T  )( x ) = D ( x ) . Như vậy D1 ( x ) −1 D2 ( x ) 9    [ p(u) (v) ( x − u − v)dudv = ¡ ¡ 0 (T ), (T −1 ) thỏa mãn hệ phương trình (0.22). 0 0 0 Do đó −22( f  g ) + 40( f  −1 g ) + 40( f −1 g ) T ,T ,T T ,T ,T T ,T ,T A1 ( x)(T )( x) + B1 ( x)(T −1 )( x ) = (Tf )((0.21) x ). (0.24) 0 0 0 −5( f  g ) = 8( f −1 g ) + 10( f  g) Phương trình (0.24) được viết lại −1 −1 T −1 ,T ,T −1 T −1 ,T −1 ,T  T ,T ,T 9 0 0 T   ( x) +   [ p(u )0 ( x + u + v) +10( f  g ) − 10( f  g ).   ¡ ¡ T −1 ,T ,T −1 T −1 ,T ,T + q(u )0 ( x − u − v)] (v)dudv ) = (Tf )( x) Điều kiện cần. Giả sử phương trình (0.17) có nghiệm   L1 ( ¡ ). Áp dụng biến đổi Suy ra hàm  ( x ) thỏa mãn phương T , T −1 vào hai vế của phương trình (0.17), sử trình (0.17) hầu khắp nơi trên ¡ . Định lý đã được chứng minh. dụng (0.20), (0.21) và các đẳng thức nhân tử hóa tương ứng, ta thu được hệ phương trình 4. Kết luận  A1 ( x )(T )( x ) + B1 ( x )(T  )( x ) = (Tf )( x )  −1 Bài báo đã đưa ra một biến đổi tích phân  , (0.22) mới dạng Fourier, chứng minh tích khả nghịch  A2 ( x )(T )( x ) + B2 ( x )(T  )( x ) = (T f )( x ) −1 −1  và biến đổi ngược; xây dựng tám tích chập suy trong đó (T )( x ), (T −1 )( x ) là các hàm rộng mới liên kết với biến đổi tích phân mới đưa cần tìm. Các định thức của hệ (0.22) được xác ra; thu được điều kiện cần và đủ để phương trình định bởi (0.18). Từ D( x )  0 với mọi x thuộc tích phân dạng chập với nhân Gaussian có nghiệm và đưa ra công thức nghiệm tường minh. ¡ , suy ra (T )( x ) = D1 ( x ) D( x ) , (T −1 )( x ) = D2 ( x ) D( x ) . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bracewell R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, N. Y. [2] Bracewell R. N. (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford. [3] Garcia-Vicente F. (2000), Delgado J. M., and Rodriguez C., “Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gaussian detector kernel”, Phys. Med. and Biol., 45(3), 2000, pp. 645 - 650. [4] Giang B. T., and Tuan N. M. (2010), “Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type”, Complex Var. Elliptic Equ., 55(4), 2010, pp. 331-345. [5] Rudin W. (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N. Y.. [6] Tuan N. M., and Huyen N. T. T. (2010), “The solvability and explicit solutions of two integral equations via generalized convolutions”, J. Math. Anal. Appl., 369, 2010, pp. 712-718. [7] Tuan N. M., and Tuan P. D. (2009), “Generalized convolutions relative to the Hartley transforms 5
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ 2 (2013) with applications”, Sci. Math. Jpn, 1(70), 2009, pp. 77 - 89. [8] Tuan N. M., and Tuan P. D. (2012), “Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator”, Integral Transforms and Special Functions, 23(1), 2012, pp. 1 - 12. 6