intTypePromotion=1

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 3

Chia sẻ: Nguyen Bac A. Châu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
183
lượt xem
98
download

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu. Tiến sĩ: Đinh Đức Anh Vũ.Chương 3: Biến đổi Z

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 3

  1. Chương 3 BK TP.HCM BIẾN ĐỔI Z Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, T.S. Đinh Đức Anh Vũ District 10, HoChiMinh city Telephone : (08) 864-7256 (ext. 5843) Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu
  2. Nội dung § Biến đổi Z ª BĐ thuận ª BĐ ngược § Các tính chất của BĐ Z § BĐ Z hữu tỉ ª Điểm không (Zero) – Điểm cực (Pole) ª Pole và t/h nhân quả trong miền thời gian ª Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống § Biến đổi Z ngược ª Phương pháp tích phân ª Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa ª Phương pháp phân rã thành các hữu tỉ § Biến đổi Z một phía (Z+) ª Tính chất ª Giải PTSP bằng BĐ Z+ § Phân tích hệ LTI ª Đáp ứng của hệ ª Đáp ứng tức thời, quá độ ª Tính ổn định và nhân quả DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 2
  3. Biến đổi Z § Tổng quát ª Một cách biểu diễn t/h khác về mặt toán học ª Biến đổi t/h từ miền thời gian sang miền Z ª Dễ khảo sát t/h và h/t trong nhiều trường hợp (dựa vào các t/c của BĐ Z) § Định nghĩa +¥ ª Công thức X (z) = å n =-¥ x(n)z - n ª Quan hệ x(n) ¬¾ z ® X (z ) ª Ký hiệu X(z) ≡ Z{x(n)} ª Biến z Điểm thuộc mặt phẳng z z = a + jb hay z = rejδ ª Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞} Chỉ quan tâm X(z) tại những điểm z thuộc ROC DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 3
  4. Biến đổi Z § Ví dụ ª T/h nhân quả x(n) = anu(n) +¥ +¥ X ( z) = å x(n) z n = -¥ -n = å ( az -1 ) n n =0 1 Khi az -1 < 1 (i.e. z > a ), X ( z) = 1 - az -1 Þ ROC : z > a ª T/h phản nhân quả x(n) = –anu(–n–1) +¥ -1 ¥ X ( z) = å x ( n) z n = -¥ -n = å (-a ) z n = -¥ n -n = -å ( a -1 z ) l l =1 -1 a -1 z 1 Khi a z < 1(i.e. z < a ), X ( z) = - = 1 - a -1 z 1 - az -1 Þ ROC : z < a ª Ý nghĩa • T/h RRTG x(n) được xác định duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của nó • ROC của t/h nhân quả là phần ngoài của vòng tròn bán kính r2, trong khi ROC của t/h phản nhân quả là phần trong của vòng tròn bán kính r1 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 4
  5. Biến đổi Z § ROC của các t/h T/h hữu hạn T/h vô hạn T/h ROC T/h ROC Nhân quả (t/h Nhân quả Mpz \ {0} bên phải) │z│> r2 [x(n)=0 n0] Re Vành khuyên 2 bên Mpz \ {0, ¥} 2 bên r1 >│z│> r2 +¥ § BĐ Z một phía X + ( z ) = å x ( n) z - n n =0 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 5
  6. Biến đổi Z § Tích phân Cauchy 1 ì1 k = n ò n -1- k z dz = í 2pj C î0 k ¹ n § Biến đổi Z ngược +¥ ª Từ X ( z) = å x ( k = -¥ k ) z -k ª Nhân 2 vế với zn–1 ª Tích phân 2 vế theo đường cong kín C bao gốc O thuộc ROC của X(z) +¥ òC X ( z ) z n -1dz = ò C å x ( k = -¥ k ) z n -1-k dz ª Áp dụng tích phân Cauchy +¥ ò C n -1 X ( z ) z dz = å k = -¥ x(k ) ò z n-1-k dz = 2pjx(n) C 1 Þ ò n -1 x ( n) = X ( z ) z dz 2pj C DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 6
  7. Biến đổi Z – Tính chất § ROC = ROC1 ∩ ROC2 ∩ … ∩ ROCn § Tuyến tính x1 (n) ¬ ¾® z X1 ( z) x2 ( n ) ¬ ¾®z X 2 ( z) Þ x(n) = ax1 (n) + bx2 (n) ¬ ¾®z X ( z ) = aX 1 ( z ) + bX 2 ( z ) ª Ví dụ x(n) = anu(n) + bnu(–n–1) 1 x1 (n) = a n u (n) ¬ ¾®z X1 ( z) = -1 ROC : z > a 1 - az 1 x2 (n) = -b u (-n - 1) ¬ n ¾® X 2 ( z ) = z -1 ROC : z < b 1 - bz 1 1 Do đó x ( n ) = x1 ( n ) - x2 ( n ) ¬ ¾® z X ( z) = X 1( z) - X 2 ( z) = - 1 - az -1 1 - bz -1 ROC : a < z < b DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 7
  8. Biến đổi Z – Tính chất § Dịch theo thời gian x ( n) ¬¾®z X ( z) x(n - k ) ¬ ¾® z z -k X ( z) Þ ì0 k > 0 ROC = ROC x ( n ) \ í î¥ k < 0 § ROC của việc kết hợp các BĐ Z ª Nếu kết hợp tuyến tính của các BĐ Z có khoảng thời gian hữu hạn, ROC của BĐ Z được xác định bởi bản chất hữu hạn của t/h này, mà không phải ROC của các BĐ riêng lẻ ì1 0 £ n £ N -1 ª Ví dụ x(n) = í N -1 î0 others ìï N z =1 X ( z ) = å 1. z -n -1 = 1+ z +L + z - ( N -1) = í1 - z - N ROC : mpz \ {0} n =0 ïî 1 - z -1 z ¹1 Mặt khác, có thể biểu diễn x(n) = u(n) – u(n–N) X(z) = Z{u(n)} – Z{u(n–N)} = (1–z-N)Z{u(n)} 1 Z {u (n)} = ROC : z > 1 1 - z -1 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 8
  9. Biến đổi Z – Tính chất § Co giãn trong miền Z x ( n) ¬ ¾®z X ( z) ROC : r1 < z < r2 a n x(n) ¬ ¾®z X ( a -1 z ) "a (thuc hay phuc) Þ ROC : a r1 < z < a r2 Im(z) z § Ý nghĩa r ω a = r0 e jw 0 Re(z) jw Z {x(n)} = X ( z ) z = re Þ Z {a n x(n)} = X ( w) w = a -1 z w=a–1z æ1 ö j (w -w 0 ) w = a z = çç -1 r ÷÷e Im(w) w è r0 r/r0 ø ω–ω0 ì co r0 > 1ü Re(w) Thay bien Û í ý + quay mpz î gian r0 < 1þ DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 9
  10. Biến đổi Z – Tính chất z § Đảo thời gian x ( n ) ¬ ¾® X ( z) ROC : r1 < z < r2 Z 1 1 Þ x (-n) ¬¾® X ( z ) -1 ROC : < z < r2 r1 ªÝ nghĩa • ROCx(n) là nghịch đảo của ROCx(–n) • Nếu z0 Î ROCx(n), 1/z0 Î ROCx(–n) § Vi phân trong miền Z x ( n) ¬ ¾®z X ( z) dX ( z ) Þ nx(n) ¬ ¾® - z z dz DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 10
  11. Biến đổi Z – Tính chất § Tích chập x1 (n) ¬ ¾® z X1 ( z) x2 ( n ) ¬ ¾®z X 2 ( z) Þ x(n) = x1 (n) * x2 (n) ¬ ¾®z X ( z) = X1 ( z) X 2 ( z) § Tính tích chập của 2 t/h dùng phép BĐ Z ª Xác định BĐ Z của 2 t/h X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)} Miền thời gian ® miền Z ª Nhân 2 BĐ Z với nhau X(z) = X1(z)X2(z) Xử lý trong miền Z ª Tìm BĐ Z ngược của X(z) x(n) = Z-1{X(z)} Miền Z ® miền thời gian DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 11
  12. Biến đổi Z – Tính chất § Tương quan x1 (n) ¬ ¾®z X1 ( z) x2 ( n ) ¬ ¾®z X 2 ( z) ¥ Þ rx1 x2 (l ) = å 1 2 x ( n n = -¥ ) x ( n - l ) ¬ ¾®z R x1 x 2 ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z -1 ) § Việc tính tương quan giữa 2 t/h được thực hiện dễ dàng nhờ BĐ Z § Ví dụ: xác định chuỗi tự tương quan của t/h x(n) = anu(n) (|a| < 1) 1 x ( n) = a n u ( n) ¬ ¾®z X ( z) = -1 ROC : z > a 1 - az 1 1 X ( z -1 ) = ROC : z < 1 - az a 1 1 1 Rxx ( z ) = X ( z ) X ( z -1 ) = = 1 - az -1 1 - az 1 - a ( z + z -1 ) + a 2 1 ROC : a < z < a 1 l rxx (l ) = a -¥ < l < ¥ 1- a 2 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 12
  13. Biến đổi Z – Tính chất § Nhân 2 chuỗi x1 (n) ¬ ¾®z X1 ( z) x2 ( n ) ¬ ¾®z X 2 ( z) 1 z -1 x(n) = x1 (n) x2 (n) ¬ ¾® X ( z ) = ò z X 1 (v) X 2 ( )v dv Þ 2pj C v C : bao dong quanh goc 0, thuoc ROC chung cua X 1 (v) va X 2 (1 / v) § Cách xác định miền hội tụ X 1 (v) hoi tu r1l < v < r1u X 2 ( z ) hoi tu r2l < z < r2u z Þ X 2 ( z / v) hoi tu r2l < < r2u v Do do, X ( z ) hoi tu r1l r2l < z < r1u r2u DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 13
  14. Biến đổi Z – Tính chất § Định lý giá trị đầu ª Nếu x(n) nhân quả [x(n) = 0 "n
  15. Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole § Zero của BĐ X(z): các giá trị z sao cho X(z) = 0 § Pole của BĐ Z: các giá trị của z sao cho X(z) = ¥ § ROC không chứa bất kỳ pole nào § Ký hiệu trên mpz: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x) 1 1 - z -1 X (z) = X (z) = 1 - 0 .9 z -1 1 - z -1 - 2 z - 2 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 15
  16. Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole § Biến đổi Z dạng hữu tỉ ª Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG ª Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào đó ® chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm zero-pole M § Các cách biểu diễn åk b z -k N ( z ) b0 + b1 z -1 + L + bM z - M ª Dạng mũ âm X ( z) = = -1 -N = k =0 D( z ) a0 + a1 z + L + a N z M åa z k =0 k -k M -1 bM b0 N - M z + b10 z +L + M b b0 ª Dạng mũ dương X ( z ) = z a0 z N + aa10 z N -1 + L + aN a0 M ( z - z1 )( z - z 2 ) K ( z - z M ) Õ (z - z k ) ª Dạng Zero-Pole X ( z ) = Gz N - M = Gz N - M k =1 ( z - p1 )( z - p2 ) K ( z - p N ) N b Õ (z - p ) k =1 k Gº 0 a0 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 16
  17. Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole § Dạng hữu tỉ từ zeros-poles ( z - z1 )( z - z 2 ) K ( z - z M ) X ( z ) = Gz N - M ( z - p1 )( z - p2 ) K ( z - p N ) ª G: độ lợi (gain) § VD: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole cho X(z): Zeros: Zk=0.8ej2πk/M , k=1..M %Tim Huu ti, zplane: zpm.m Poles: M pole tại 0 %---------------------------------- M=8; a=0.8; p=zeros(M,1); z=zeros(M,1); for k=1:M, z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M); end; [num den] = zp2tf(z,p,1); disp(num); disp(den); zplane(z,p); DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 17
  18. Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole § Mô tả hình học cho X(z) ª |X(z)| là hàm thực, dương của biến z ® bề mặt ª Zeros: các đỉnh dương, cao ª Poles: các đỉnh âm, thấp ª VD: 1 X ( z) = 1 - 0.9 z -1 Dạng hình học dùng Matlab ezmesh('a', 'b', '0.1*log10(abs(1/(1 - 0.9*(a+j*b)^-1)))', [-2,2,-2,2]); DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 18
  19. Biến đổi Z hữu tỉ § Vị trí pole và hành vi của t/h nhân quả ở miền thời gian ªVị trí pole ảnh hưởng tính chất bị chận, phân kỳ của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian ªVị trí pole quyết định tính ổn định của hệ thống nhân quả ªTính chất của tín hiệu ở miền thời gian, trong trường hợp pole nằm ngoài hay trong hay trên vòng tròn đơn vị qua những ví dụ sau DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 19
  20. Biến đổi Z hữu tỉ – Vị trí pole DSP – Lecture 3, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 20
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2