zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Điện - Điện tử

Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số ước lượng

Chia sẻ: Hai Dang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

59
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số ước lượng - giới thiệu - tính hội tụ của tham số ước lượng - phân bố tiệm cận của tham số ước lượng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số ước lượng

Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 1 Chöông 5 TÍNH HOÄI TUÏ VAØ PHAÂN BOÁ TIEÄM CAÄN CUÛA THAM SOÁ ÖÔÙC LÖÔÏNG Chöông 5: TÍNH HOÄI TUÏ VAØ PHAÂN BOÁ TIEÄM CAÄN CUÛA THAM SOÁ ÖÔÙC LÖÔÏNG 5.1. Giôùi thieäu 5.2. Tính hoäi tuï cuûa tham soá öôùc löôïng 5.3. Phaân boá tieäm caän cuûa tham soá öôùc löôïng Tham khaûo: [1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user. chöông 8, 9 5.1 GIÔÙI THIEÄU Chöông 4 ñaõ ñeà caäp ñeán caùc loaïi caáu truùc moâ hình, caùc phöông phaùp öôùc löôïng tham soá vaø caùc thuaät toaùn öôùc öôùc löôïng tham soá. Veà nguyeân taéc, chuùng ta ñaõ öôùc löôïng ñöôïc tham soá θˆ N cuûa moâ hình yˆ (t , θ ) töø taäp döõ lieäu Z N . Vaán ñeà ñaët ra laø: 1. θˆ → ? khi N → ∞ N 2. Phaân boá xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân (θˆ N − θ* ) ? Chöông 5 trình baøy cô sôû lyù thuyeát ñeå traû lôøi caùc caâu hoûi treân. 5.2 TÍNH HOÄI TUÏ CUÛA THAM SOÁ ÖÔÙC LÖÔÏNG Chæ xeùt tính hoäi tuï cuûa tham soá moâ hình tuyeán tính baát bieán. y (t ) = G (q, θ )u (t ) + H (q, θ )e(t ) (5.1) 5.2.1 Ñieàu kieän ñoái vôùi taäp döõ lieäu Cho taäp döõ lieäu: Z N = {y (1), u (1),K, y ( N ), u ( N )} (5.2) ∞ khi N → ∞ ta coù taäp Z .  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 2 Döõ lieäu Z N coù theå taïo ra töø thí nghieäm thu thaäp döõ lieäu voøng hôû hoaëc voøng kín. Sô ñoà khoái thí nghieäm thu thaäp döõ lieäu nhö hình 5.1. Chuù yù raèng neáu thí nghieäm voøng hôû thì haøm truyeàn cuûa khoái chænh ñònh baèng 0. r(t) e0(t) y0=const u (t ) Heä thoáng caàn y(t) Chænh ñònh nhaän daïng Hình 5.1: Sô ñoà khoái thí nghieäm thu thaäp döõ lieäu Ñieàu kieän D1: { Taäp döõ lieäu Z ∞ laø taäp döõ lieäu sao cho toàn taïi caùc boä loïc d t(i ) (k ) , i = 1,4 ,} y (t ) vaø u (t ) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: ∞ ∞ y (t ) = ∑ dt(1) (k )r (t − k ) + ∑ dt( 2) (k )e0 (t − k ) (5.3) k =1 k =1 ∞ ∞ u (t ) = ∑ dt(3 ) (k )r (t − k ) + ∑ dt( 4) (k )e0 (t − k ) (5.4) k =1 k =1 trong ñoù: 1. {r (t )} laø chuoãi tín hieäu vaøo beân ngoaøi, tieàn ñònh, bò chaën. 2. {e0 (t )} laø chuoãi bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp coù trung bình baèng 0 vaø moment ñeán baäc 4 + δ , δ > 0 bò chaën. { 3. Caùc boä loïc d t(i ) (k ) } ∞ k =1 oån ñònh ñeàu ( i = 1,4 , t = 1,2,... ) 4. Caùc tín hieäu {y (t )} , {u (t )} lieân keát gaàn döøng. • Nhaéc laïi caùc khaùi nieäm: 1. Moment baäc k cuûa bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä phaân boá xaùc suaát f X ( x) laø kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ( X − a) k . Neáu a = EX ta goïi ñoù laø moment trung taâm, kyù hieäu laø µ k ; neáu a = 0 ta goïi ñoù laø moment goác, kyù hieäu laø vk . +∞ µ k = ∫ ( x − a) k f X ( x)dx (5.5) −∞  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 3 ∞ 2. Xeùt hoï caùc boä loïc Gα (q ) = ∑ gα (k )q − k , α ∈ A . Hoï boä loïc Gα (q) ñöôïc k =1 ∞ goïi laø oån ñònh ñeàu neáu gα (k ) ≤ g (k ) , ∀α ∈ A vaø ∑ g (k ) ≤ ∞ . k =1 3. Hai tín hieäu {y (t )} vaø {u (t )} ñöôïc goïi laø lieân keát gaàn döøng neáu {y (t )} , {u (t )} laø caùc tín hieäu gaàn döøng, ñoàng thôøi toàn taïi: R yu (τ ) = E y (t )u (t − τ ) , ∀τ (5.6) Giaû thieát S1: Taäp döõ lieäu Z ∞ ñöôïc taïo ra do heä thoáng thaät: S: y (t ) = G0 (q)u (t ) + H 0 (q )e0 (t ) (5.7) trong ñoù {e0 (t )} laø chuoãi caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp coù trung bình baèng 0, phöông sai laø λ0 vaø moment bò chaën ñeán baäc 4 + δ , δ > 0 ; H 0 (q) laø boä loïc oån ñònh, khaû ñaûo vaø monic. Cho caáu truùc moâ hình tuyeán tính baát bieán: M : {G (q, θ ), H (q, θ ) θ ∈ DM } (5.8) Ta caàn xaùc ñònh xem heä thoáng thaät (5.7) coù naèm trong taäp hôïp ñònh nghóa ôû bieåu thöùc (5.8) hay khoâng? Kyù hieäu: { DT (S , M ) = θ ∈ DM | G (e jω ,θ ) = G0 (e jω ); H (e jω ,θ ) = H 0 (e jω );−π ≤ ω ≤ π } (5.9) Neáu DT (S , M ) ≠ ∅ thì S ∈ M Boå ñeà: Neáu giaû thieát S1 thoûa maõn, vaø tín hieäu vaøo ñöôïc choïn nhö sau: u (t ) = − F (q) y (t ) + r (t ) (5.10) sao cho coù treã trong G0 hoaëc F , caùc boä loïc: [1 + G0 (q ) F (q)]−1 G0 (q) , [1 + G0 (q) F (q )]−1 H 0 (q ) F (q )[1 + G0 (q ) F (q )]−1 G0 (q ) , F (q )[1 + G0 (q) F (q)]−1 H 0 (q) oån ñònh, vaø {w(t )} gaàn döøng thì ñieàu kieän D1 thoûa maõn.  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 4 Thoâng tin trong taäp döõ lieäu: • Taäp döõ lieäu gaàn döøng Z ∞ ñöôïc goïi laø ñuû giaøu thoâng tin ñoái vôùi taäp hôïp moâ hình M * neáu cho hai moâ hình W1 (q) vaø W2 (q) baát kyø thuoäc M * : E[(W1 (q) − W2 (q)) z (t )]2 = 0 (5.11) thì W1 (e jω ) ≡ W1 (e jω ) taïi haàu heát moïi taàn soá ω . • Taäp döõ lieäu gaàn döøng Z ∞ ñöôïc goïi laø giaøu thoâng tin neáu taäp döõ lieäu naøy ñuû giaøu thoâng tin ñoái vôùi taäp hôïp moâ hình L* chöùa taát caû caùc moâ hình tuyeán tính baát bieán. Ñònh lyù 5.1: (Ñònh lyù 8.1, [Ljung,1999]) Tính giaøu thoâng tin cuûa taäp döõ lieäu thöïc nghieäm Taäp döõ lieäu gaàn döøng Z ∞ giaøu thoâng tin neáu ma traän phoå Φ z (ω ) cuûa tín hieäu z (t ) = [u (t ) y (t )]T xaùc ñònh döông taïi haàu heát taát caû caùc taàn soá ω . Trong ñoù:  Φ u (ω ) Φ uy (ω ) Φ z (ω ) =   (5.12) Φ yu (ω ) Φ y (ω )  +∞ Φ u (ω ) = ∑ Ru (τ )e − jωτ (5.13) τ = −∞ +∞ Φ y (ω ) = ∑ R y (τ )e − jωτ (5.14) τ = −∞ +∞ Φ uy (ω ) = ∑ Ruy (τ )e − jωτ (5.15) τ = −∞ 1 N Ru (τ ) = E u (t )u (t − τ ) = lim ∑ Eu (t )u (t − τ ) N → ∞ N t =1 (5.16) 1 N R y (τ ) = E y (t ) y (t − τ ) = lim ∑ Ey (t ) y (t − τ ) (5.17) N → ∞ N t =1 1 N Ruy (τ ) = E u (t ) y (t − τ ) = lim ∑ Eu (t ) y (t − τ ) (5.18) N → ∞ N t =1  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 5 5.2.2 Tính hoäi tuï cuûa tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp sai soá döï baùo Tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp sai soá döï baùo laø: θˆN = arg min VN (θ , Z N ) (5.19) θ ∈DM 1 N trong ñoù: VN (θ , Z N ) = N ∑ ε 2 (t ,θ ) (5.20) t =1 1 N Ñaët: V (θ ) = E [ε (t ,θ )] = lim ∑ E[ε 2 (t ,θ )] 2 (5.21) N → ∞ N t =1 Boå ñeà: Xeùt caáu truùc moâ hình tuyeán tính baát bieán oån ñònh ñeàu M. Neáu taäp döõ lieäu thöïc nghieäm Z ∞ thoûa maõn giaû thieát D1 thì sup | VN (θ , Z N ) − V (θ ) |→ 0 θ ∈DM vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ . Ñònh lyù 5.2: (Ñònh lyù 8.2, [Ljung,1999]) Tính hoäi tuï cuûa tham soá öôùc löôïng trong tröôøng hôïp caáu truùc moâ hình tuyeán tính baát bieán vaø tieâu chuaån öôùc löôïng daïng toaøn phöông Cho θˆN xaùc ñònh bôûi (5.19) vaø (5.20), trong ñoù ε (t ,θ ) ñöôïc ñònh nghóa töø caáu truùc moâ hình tuyeán tính baát bieán oån ñònh ñeàu M. Neáu taäp döõ lieäu thöïc nghieäm thoûa maõn giaû thieát D1 thì: θˆN → DC vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ (5.22) trong ñoù: DC = arg min V (θ ) = θ ∈ DM | V (θ ) = min V (θ ′) (5.23) θ ∈DM  θ ′∈DM  Neáu taäp hôïp DC chæ coù moät phaàn töû θ ∗ , θ ∗ = arg min V (θ ) thì (5.22) ñöôïc θ ∈DM vieát laïi laø: θˆN → θ ∗ vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ (5.24) Chuù yù: Caùc keát quaû treân coù theå môû roäng cho tröôøng hôïp tieâu chuaån öôùc löôïng toång quaùt: 1 N VN (θ , Z N ) = ∑ l (ε (t , θ ),θ ) (5.25) N t =1 vaø caáu truùc moâ hình phi tuyeán, bieán ñoåi theo thôøi gian: yˆ (t ,θ ) = g ( Z t , t ,θ ) Keát quaû toång quaùt: θˆN → arg min E [l (ε (t ,θ ),θ )] vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ θ ∈DM  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 6 5.2.3 Tính vöõng vaø tính nhaän daïng ñöôïc cuûa tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp sai soá döï baùo ÔÛ muïc tröôùc ta ñaõ ruùt ra keát luaän khi ñieàu kieän D1 thoûa maõn thì θˆN → θ ∗ vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ . Vaán ñeà ñaët ra laø θ ∗ = θ 0 ? (vôùi θ 0 laø tham soá “thaät” cuûa heä thoáng). Neáu θ ∗ = θ 0 thì öôùc löôïng θˆN ñöôïc goïi laø öôùc löôïng vöõng. Ñònh lyù 5.3: (Ñònh lyù 8.3, [Ljung,1999]) Tính vöõng cuûa öôùc löôïng trong tröôøng hôïp S ∈ M vaø tieâu chuaån öôùc löôïng daïng toaøn phöông Giaû thieát: • taäp döõ lieäu Z ∞ thoûa maõn giaû thieát D1 vaø S1, • M laø caáu truùc moâ hình tuyeán tính oån ñònh ñeàu sao cho S ∈ M, • Z ∞ ñuû giaøu thoâng tin ñoái vôùi M. • Neáu tín hieäu vaøo coù chöùa thaønh phaàn hoài tieáp töø ngoõ ra thì giaû thieát coù moät khaâu treå trong boä chænh ñònh hoaëc trong caû G0 (q) vaø G (q,θ ) . Keát luaän: DC = DT (S , M ) (5.26) trong ñoù: DC = arg min V (θ ) = θ ∈ DM | V (θ ) = min V (θ ′) , V (θ ) = E [ε 2 (t ,θ )] θ ∈ DM  θ ′∈DM  { DT (S , M ) = θ ∈ DM | G (e jω ,θ ) = G0 (e jω ); H (e jω ,θ ) = H 0 (e jω );−π ≤ ω ≤ π } Ngoaøi ra neáu caáu truùc moâ hình nhaän daïng ñöôïc toaøn cuïc taïi θ 0 ∈ DT (S , M ) thì: DC = {θ 0 } Keát hôïp ñònh lyù 5.2 vaø ñònh lyù 5.3, ta ruùt ra keát luaän haøm truyeàn nhaän daïng ñöôïc thoûa maõn:  G (e jω ,θˆN ) → G0 (e jω )  jω ˆ jω vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞  H (e ,θ N ) → H 0 (e )  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 7 Ñònh lyù 5.4: (Ñònh lyù 8.4, [Ljung,1999]) Tính vöõng cuûa öôùc löôïng trong tröôøng hôïp taäp hôïp moâ hình chæ coù theå moâ taû chính xaùc haøm truyeàn G, khoâng theå moâ taû chính xaùc boä loïc H vaø tieâu chuaån öôùc löôïng daïng toaøn phöông Giaû thieát: • taäp döõ lieäu Z ∞ thoûa maõn giaû thieát D1 vaø S1, • M laø caáu truùc moâ hình tuyeán tính oån ñònh ñeàu sao cho ♦ G vaø H ñöôïc tham soá hoùa ñoäc laäp: ρ  θ =   G ( q, θ ) = G ( q , ρ ) H ( q,θ ) = H ( q ,η ) η   { } ♦ taäp hôïp DG ( S , M ) = ρ | G (e jω , ρ ) = G0 (e jω ), ∀ω ≠ ∅ • Z ∞ ñuû giaøu thoâng tin ñoái vôùi M. • heä thoáng hoaït ñoäng voøng hôû, töùc laø {u (t )} vaø {e0 (t )} ñoäc laäp.  ρˆ  • θˆΝ =  Ν  laø vector tham soá löôïng ñöôïc baèng phöông phaùp sai soá döï ηˆ Ν  baùo (coâng thöùc (5.19) vaø (5.20)). Keát luaän: ρˆ N → DG (S , M ) vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ (5.27) hay vieát caùch khaùc: G (e jω , ρˆ N ) = G0 (e jω ) vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ Ñònh lyù 5.5: (Ñònh lyù 8.5, [Ljung,1999]) Tính vöõng cuûa öôùc löôïng trong tröôøng hôïp S ∈ M vaø tieâu chuaån öôùc löôïng toång quaùt l (ε ) Giaû thieát: • l ( x) laø haøm khaû vi hai laàn sao cho: El′(e0 (t )) = 0 l ′′( x) ≥ δ > 0, ∀x • Caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 5.3 ñeàu thoûa maõn. Keát luaän: DC = DT (S , M ) (5.28) trong ñoù: DC = arg min V (θ ) = θ ∈ DM | V (θ ) = min V (θ ′) , V (θ ) = E [ l (ε (t ,θ ))] θ ∈ DM  θ ′∈DM  { jω DT (S , M ) = θ ∈ DM | G (e ,θ ) = G0 (e ); jω H (e jω ,θ ) = H 0 (e jω );−π ≤ ω ≤ π }  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 8 5.2.4 Bieåu dieãn moâ hình giôùi haïn heä tuyeán tính baát bieán trong mieàn taàn soá Nhaéc laïi: Haøm hieäp phöông sai cuûa tín hieäu s (t ) laø: Rs (τ ) = E s (t ) s (t − τ ) (5.29) Phoå cuûa tín hieäu s (t ) laø bieán ñoåi Fourier cuûa haøm hieäp phöông sai: +∞ Φ s (ω ) = ∑ Rs (τ )e − jτω (5.30) τ = −∞ Coù theå tính ñöôïc haøm hieäp phöông sai Rs (τ ) khi bieát phoå Φ s (ω ) baèng caùch laáy bieán ñoåi Fourier ngöôïc: π 1 jτω Rs (τ ) = ∫ Φ s (ω )e dω (5.31) 2π =π Bieåu dieãn V (θ ) trong mieàn taàn soá: Theo caùc coâng thöùc treân ta coù: π 1 V (θ ) = E [ε 2 (t ,θ )] = Rε (0,θ ) = ∫ Φ ε (ω ,θ )dω (5.32) 2π −π Theo giaû thieát S1: y (t ) = G0 (q)u (t ) + H 0 (q)e0 (t ) (5.33) trong ñoù e0 (t ) laø nhieãu ngaãu nhieân coù phöông sai laø λ0 . Ta coù theå bieåu dieãn sai soá döï baùo nhö sau: ε (t ,θ ) = H −1 (q,θ )[ y (t ) − G (q,θ )u (t )] = H −1 (q,θ ){[G0 (q) − G (q,θ )u (t )] + H 0 (q)e0 (t )} = H −1 (q,θ ){[G0 (q) − G (q,θ )u (t )] + [ H 0 (q ) − H (q,θ )]e0 (t )} + e0 (t )   u (t )   = H −1 (q,θ )[G0 (q) − G (q,θ )] [ H 0 (q ) − H (q,θ )]   + e0 (t ) (5.34)   e0 (t )  Giaû thieát: • heä thoáng coù theå hoaït ñoäng voøng kín, nhöng coù trì hoaõn hoaëc trong heä thoáng vaø moâ hình (nghóa laø G0 (q) vaø G (q,θ ) ñeàu coù treå) hoaëc trong boä chænh ñònh (sao cho u (t ) chæ phuï thuoäc vaøo y (t − k ) , k ≥ 1 ). • caùc haøm truyeàn H 0 (q) vaø H (q,θ ) ñeàu momic neân thaønh phaàn [ H 0 (q ) − H (q,θ )]e0 (t ) ñoäc laäp vôùi e0 (t ) . ⇒ e0 (t ) khoâng töông quan vôùi thaønh phaàn ñaàu tieân trong bieåu thöùc (5.34)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 9 Do ñoù phoå cuûa sai soá döï baùo coù theå bieåu dieãn nhö sau: Φ ε (ω ,θ ) = 1 2 [ G0 (e jω ) − G (e jω ,θ )] [ H 0 (e jω ) − H (e jω ,θ ) ] H (e jω ,θ )  Φ u (ω ) Φ ue (ω )  G0 (e jω ) − G (e jω ,θ )  ×   + λ (5.35) Φ eu (ω ) λ0   H 0 (e jω ) − H (e jω ,θ ) 0 (daáu gaïch ngang kyù hieäu lieân hôïp phöùc) Chuù yù raèng phoå döõ lieäu coù theå phaân tích nhö sau:  Φ u (ω ) Φ ue (ω )  I 0 Φ u (ω ) 0  I Φ ue (ω )  Φ (ω ) =     Φ u (ω )  (5.36) λ0   Φ u (ω ) I   0 2 Φ (ω ) Φ ( ω )  eu eu λ0 − Φeuu (ω )  0 I  [ H 0 (e jω ) − H (e jω ,θ )]Φ ue (ω ) Ñaët: B(e jω ,θ ) = (5.37) Φ u (ω ) Thay (5.36) vaøo (5.35), ñeå yù (5.37) ta coù theå vieát laïi phoå cuûa sai soá döï baùo nhö sau: 2 G0 (e jω ) + B(e jω ,θ ) − G (e jω ,θ ) Φ u (ω ) Φ ε (ω ,θ ) = 2 H ( e jω , θ ) H 0 (e jω ) − H (e jω , θ )  λ 0 −  2 2 Φ ue (ω ) Φ u (ω )    + 2 + λ0 (5.38) jω H (e ,θ ) Thay (5.38) vaøo (5.32), ta ñöôïc: π  H 0 − Hθ  λ0 −   2 2 Φ ue  2  G0 + Bθ − Gθ Φ u  + λ  dω ∫ 1 Φu V (θ ) = +   0 (5.39) 2π  Hθ 2 Hθ 2  −π   (trong (5.39) ta ñaõ giaûn löôïc ñoái soá cuûa caùc haøm) Tham soá öôùc löôïng trong tröôøng hôïp N → ∞ laø: DC = arg min V (θ ) θ π  2 Φ ue 2      G0 + Bθ − Gθ 2 Φ u H 0 − Hθ  λ0 −   + λ  dω  (5.40) ∫ Φu DC = arg min   2 + 2 0  θ H Hθ −π  θ        Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 10 Nhaän xeùt: 1. Neáu toàn taïi vector tham soá θ 0 sao cho G (e jω ,θ 0 ) = G0 (e jω ) vaø H (e jω ,θ 0 ) = H 0 (e jω ) thì (5.39) ñaït cöïc tieåu vì hai thaønh phaàn ñaàu tieân cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân bò trieät tieâu. Keát quaû naøy ñaõ ñöôïc bieát ñeán ôû ñònh lyù 5.3. 2. Trong tröôøng hôïp caáu truùc moâ hình choïn khoâng thích hôïp thì khoâng theå nhaän daïng chính xaùc heä thoáng thaät. Ñeå bieåu thöùc (5.39) ñaït cöïc tieåu thì: Φu G (e jω ,θ ) bò “keùo” veà G0 (e jω ) + B(e jω ,θ ) vôùi troïng soá 2 Hθ  λ − Φ ue 2   0 Φu  H (e jω ,θ ) bò “keùo” veà H 0 (e jω ) vôùi troïng soá  2  Hθ Ñeå cuï theå hôn, ta xeùt moät soá tröôøng hôïp: Tröôøng hôïp nhaän daïng voøng hôû: Neáu heä thoáng hoaït ñoäng voøng hôû, u (t ) vaø e(t ) ñoäc laäp, Φ ue (ω ) = 0 , do ñoù B(e jω ,θ ) = 0 . Neáu moâ hình nhieãu ñöôïc choïn coá ñònh H (q, θ ) = H * (q) , töø (5.40) ta suy ra: π 2  DC = arg min  ∫ G0 (e jω ) − G (e jω ,θ ) Q* (ω )dω  (5.41) θ −π  Φ u (ω ) trong ñoù: Q* (ω ) = (5.42) jω 2 H * (e ) Ñaët θ * ∈ DC , trong tröôøng hôïp naøy moâ hình giôùi haïn G (e jω ,θ * ) xaáp xæ moâ hình thaät G0 (e jω ) theo chuaån bình phöông vôùi troïng soá Q* (ω ) . Tröôøng hôïp nhaän daïng voøng kín: Neáu boä chænh ñònh tuyeán tính, töùc laø u (t ) laø haøm tuyeán tính cuûa tính hieäu chuaån r (t ) vaø nhieãu e0 (t ) nhö giaû thieát D1, thì ta coù theå phaân tích phoå tín hieäu vaøo Φ u (ω ) nhö sau: Φ u (ω ) = Φ ur (ω ) + Φ ue (ω ) (5.43) Neáu boä loïc tuyeán tính xaùc ñònh tín hieäu vaøo u (t ) laø baát bieán: u (t ) = K1 (q)r (t ) + K 2 (q)e0 (t ) ta thaáy raèng Φ ue (ω ) = λ0 K 2 (e jω ) , vì vaäy: 2 Φ ue (ω ) = λ0 Φ ue (ω ) (5.44)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 11 Do ñoù B(e jω ,θ ) coù theå bieåu dieãn roõ hôn nhö sau: jω 2 λ0 Φ ue (ω ) 2 B (e , θ ) = . H 0 ( e jω ) − H ( e jω , θ ) (5.45) Φ u (ω ) Φ u (ω ) Vì vaäy tham soá xaùc ñònh bôûi:  π  G + B − G 2 Φ  π  H 0 − Hθ 2 Φ ur   θ θ θ = arg min  ∫  0 * u  dω + λ0 ∫   dω  θ −π  Hθ 2  −π   Hθ 2 Φ u    5.2.5 Tính hoäi tuï vaø tính vöõng cuûa tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp töông quan Hoïc vieân töï ñoïc taøi lieäu [Ljung,1999], trang 269-273. 5.3 PHAÂN BOÁ TIEÄM CAÄN CUÛA THAM SOÁ ÖÔÙC LÖÔÏNG - ÔÛ muïc 5.2 ta ñaõ bieát khi döõ lieäu thöïc nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän D1 thì: θˆN → θ ∗ = arg min E [l (ε (t ,θ ),θ )] vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ . θ ∈DM - Caâu hoûi ñaët ra laø toác ñoä hoäi tuï cuûa θˆN ñeán θ ∗ ? ⇒ Caàn xaùc ñònh phaân boá xaùc xuaát cuûa bieán ngaãu nhieân θˆN − θ ∗ hay cuï theå hôn laø xaùc ñònh ma traän hieäp phöông sai cuûa bieán ngaãu nhieân θˆ − θ ∗ . N Do ta chæ xaùc ñònh ñöôïc ma traän hieäp phöông sai cuûa bieán ngaãu nhieân ˆ θ N − θ ∗ trong tröôøng hôïp N lôùn neân phöông sai ñoù ñöôïc goïi laø phöông sai tieäm caän cuûa tham soá öôùc löôïng. Nhaéc laïi lyù thuyeát xaùc suaát thoáng keâ Phaân boá chuaån: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân boá chuaån vôùi hai tham soá µ vaø λ neáu haøm maät ñoä phaân boá xaùc suaát cuûa noù laø: 1  ( x − µ )2  f X ( x) = exp −  (5.46) 2π  2λ  Kyù hieäu: X ∈ N (µ , λ ) (5.47)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 12 Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm Lyapunov: N Cho X N = ∑ α (t , N ) w(t ) t =1 trong ñoù {w(t )} laø chuoåi bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp thoûa: E[ w(t )] = 0 E[ w2 (t )] = λt E[| w3 (t ) |] = γ t N Neáu: lim ∑ α 2 (t , N )λt = λ N → ∞ k =1 N lim ∑ α 3 (t , N )γ t = 0 N → ∞ k =1 Thì X N laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân boá xaáp xæ chuaån vôùi giaù trò trung bình laø 0 vaø phöông sai laø λ . Kyù hieäu: X N ∈ As N (0, λ ) (5.48) Phaùt bieåu khaùc cuûa ñònh lyù giôùi haïn trung taâm: Neáu {X k } laø chuoãi caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp coù cuøng phaân boá xaùc suaát vôùi giaù trò trung bình baèng µ vaø phöông sai laø λ thì trung bình coäng 1 N YN = ∑ X k seõ coù phaân boá xaáp xæ chuaån vôùi giaù trò trung bình laø µ vaø N k =1 λ phöông sai laø . N 5.3.1 Phöông sai tieäm caän cuûa tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp sai soá döï baùo Phaân tích tröïc giaùc Vì θˆN = arg min VN (θ , Z N ) (5.49) θ ∈DM 1 N 2 trong ñoù VN (θ , Z N ) = ∑ ε (t ,θ ) N t =1 (5.50) neân VN′ (θ , Z N ) = 0 (5.51) Giaû söû taäp hôïp DC ôû bieåu thöùc (5.23) chæ coù moät phaàn töû θ ∗ : θ ∗ = arg min V (θ ) (5.52) θ ∈DM  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 13 Khai trieån Taylor VN′ (θ , Z N ) xung quanh θ ∗ ta ñöôïc: 0 = V ′ (θ * , Z ) + V ′′ (ξ , Z )(θˆ − θ * ) N N N N N N (5.53) trong ñoù ξ N laø giaù trò “naèm giöõa” θˆN vaø θ . ∗ Khi N → ∞ : VN′′ (ξ N , Z N ) → V ′′(θ * ) (5.54) Thay (5.54) vaøo (5.53) ta ñöôïc: θˆN − θ * = −[V ′′(θ * )]−1VN′ (θ * , Z N ) (5.55) Deã thaáy: 1 N − VN′ (θ * , Z N ) = ∑ N t =1 ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) (5.56) ∂yˆ (t ,θ ) trong ñoù: ψ (t ,θ * ) = * (5.57) ∂θ θ =θ Theo ñònh nghóa (θ * ), ta coù: 1 N V ′(θ * ) = − E[ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )] = − lim N →∞ N ∑ E[ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )] = 0 (5.58) t =1 1 N  Ñaët: DN = E  ∑ [ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) − E [ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )] (5.59) N t =1  Neáu DN suy giaûm raát nhanh veà 0 thì bieåu thöùc (5.56) laø toång cuûa caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) coù trung bình baèng 0. Do ñoù theo ñònh lyù giôùi haïn trung taâm ta ruùt ta ñöôïc: 1 N ∑ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) ∈ AsN (0, Q) (5.60) N t =1 trong ñoù: { Q = lim N .E [VN′ (θ * , Z N )][VN′ (θ * , Z N )]T N →∞ } (5.61) Neáu (5.60) thoûa maõn thì töø (5.55) ta suy ra: N (θˆN − θ * ) ∈ AsN (0, Pθ ) (5.62) Pθ = [V ′′(θ * )]−1 Q[V ′′(θ * )]−1 (5.63) Chöùng minh chaët cheõ: xem phuï luïc 9A, trang 309-313, [Ljung, 1999].  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 14 Ñònh lyù 5.6 (Ñònh lyù 9.1, [Ljung, 1999] trang 282) Phaân boá tieäm caän cuûa tham soá öôùc löôïng theo phöông phaùp sai soá döï baùo vôùi tieâu chuaån öôùc löôïng daïng toaøn phöông. Xeùt öôùc löôïng θˆN xaùc ñònh bôûi caùc bieåu thöùc (5.49) vaø (5.50). θˆ = arg min V (θ , Z ) N N N θ ∈DM 1 N VN (θ , Z N ) = N ∑ ε 2 (t ,θ ) t =1 Giaû thieát: • Caáu truùc moâ hình tuyeán tính, oån ñònh ñeàu. • Taäp döõ lieäu thöïc nghieäm Z ∞ thoûa maõn giaû thieát D1. • Toàn taïi duy nhaát moät giaù trò θ * ∈ DM sao cho: ♦ θˆ → θ * vôùi xaùc suaát baèng 1 khi N → ∞ . N ♦ V ′′(θ * ) > 0 ♦ N DN → 0 khi N → ∞ , vôùi DN ñònh nghóa ôû bieåu thöùc (5.59): 1 N  DN = E  ∑ [ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) − E [ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )] N t =1  Keát luaän: N (θˆN − θ * ) ∈ AsN (0, Pθ )  P  hay (θˆN − θ * ) ∈ AsN  0, θ   N vôùi Pθ cho bôûi caùc bieåu thöùc (5.63) vaø (5.61): Pθ = [V ′′(θ * )]−1 Q[V ′′(θ * )]−1 { Q = lim N .E [VN′ (θ * , Z N )][VN′ (θ * , Z N )]T N →∞ } Ma traän Pθ chính laø ma traän hieäp phöông sai cuûa phaân boá tieäm caän N (θˆ − θ * ) . Do ñoù ta coù theå vieát: N 1 cov θˆN ~ Pθ (5.64) N  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 15 Caùc keát luaän cuûa ñònh lyù treân cuõng ñuùng trong tröôøng hôïp chuaån öôùc löôïng l (ε ,θ , t ) toång quaùt ñuû trôn theo ε vaø θ . Tuy nhieân trong tröôøng hôïp naøy tính toaùn ñaïo haøm VN′ vaø V ′′ phöùc taïp hôn. 1 N Xeùt: VN (θ , Z N ) = N ∑ l (ε (t ,θ ),θ , t ) (5.65) t =1 Ta coù: 1 N • VN′ (θ , Z N ) = ∑ [−ψ (t ,θ ) lε′ (ε (t ,θ ) ,θ , t ) + lθ′ (ε (t ,θ ) ,θ , t )] (5.66) N t =1 ∂ trong ñoù: lε′ (ε (t ,θ ) ,θ , t ) = l (ε ,θ , t ) (5.67) ∂ε ∂ lθ′ (ε (t ,θ ) ,θ , t ) = l (ε ,θ , t ) (5.68) ∂θ • V ′′(θ ) = E [ψ (t ,θ ) lεε′′ (ε (t ,θ ) ,θ , t )ψ T (t ,θ )] − E [ψ θ′ (t ,θ ) lε′ (ε (t ,θ ) ,θ , t )] − E [ψ (t ,θ ) lε′′θ (ε (t ,θ ) ,θ , t )] − E [ lθ′′ε (ε (t ,θ ) ,θ , t )ψ T (t ,θ )] + E [ lθθ ′′ (ε (t ,θ ) ,θ , t )] (5.69) 5.3.2 Bieåu thöùc phöông sai tieäm caän Bieåu thöùc tính Pθ trong tröôøng hôïp toång quaùt khaù phöùc taïp, muïc naøy seõ tính Pθ cho moät soá tröôøng hôïp cuï theå. Tröôøng hôïp 1: S ∈ M vaø tieâu chuaån öôùc löôïng daïng toaøn phöông Giaû thieát caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 5.3 thoûa maõn. Theá thì θ ∗ = θ 0 vaø ε (t ,θ 0 ) = e0 (t ) laø chuoãi bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp coù trung bình baèng 0 vaø phöông sai laø λ0 . Theo (5.61): Q = lim N .E {[VN′ (θ * , Z N )][VN′ (θ * , Z N )]T } N →∞ N 1 Vaø (5.56): VN′ (θ * , Z N ) = − N ∑ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * ) t =1 Ta coù:  1 N  1 N  • Q = lim N .E   ∑ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )  ∑ ε ( s,θ * )ψ T ( s,θ * )  N →∞   N t =1  N s =1  1 N N  = lim E ∑ ∑ψ (t ,θ * )ε (t ,θ * )ε ( s,θ * )ψ T ( s,θ * ) N →∞ N t =1 s =1  1 N  = lim E ∑ λ0ψ (t ,θ * )ψ T (t ,θ * ) N →∞ N t =1  ⇒ { Q = λ0 E ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 ) } (5.70)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 16 • V ′′(θ 0 ) = E [ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 )] − E [ψ θ′ (t ,θ 0 )e0 (t )] Do ψ θ′ (t ,θ 0 ) chæ chöùa döõ lieäu trong quaù khöù Z t −1 neân E [ψ θ′ (t ,θ 0 )e0 (t )] = 0 ⇒ V ′′(θ 0 ) = E [ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 )] (5.71) Thay (5.70) vaø (5.71) vaøo (5.63) ta ñöôïc: [{ Pθ = λ0 E ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 ) }]−1 (5.72) YÙ nghóa: ñoä nhaïy cuûa boä döï baùo ñoái vôùi tham soá naøo caøng lôùn thì phöông sai cuûa tham soá öôùc löôïng caøng nhoû. Coù theå tính gaàn ñuùng Pθ döïa vaøo N maãu döõ lieäu thöïc nghieäm vaø tham soá öôùc löôïng θˆ nhö sau: N −1 1 N  PˆN = λˆN  ∑ψ (t ,θˆN )ψ T (t ,θˆN ) (5.73)  N t =1  1 N λˆN = ∑ ε 2 (t ,θˆN ) (5.74) N t =1 Tröôøng hôïp 2: S ∈ M vaø tieâu chuaån öôùc löôïng toång quaùt l (ε ) Xeùt chuaån l (ε ,θ , t ) = l (ε ) (khoâng phuï thuoäc töôøng minh vaøo θ vaø t). Giaû thieát S ∈ M , theá thì θ ∗ = θ 0 vaø ε (t ,θ 0 ) = e0 (t ) laø chuoãi bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp . Ta coù: 1 N • VN′ (θ 0 , Z N ) = − ∑ [ψ (t ,θ 0 ) l ′(e0 (t ) )] N t =1  1 N  1 N  • Q = lim N .E   ∑ψ (t ,θ 0 ) l′(e0 (t ) )  ∑ l′(e0 ( s) )ψ T ( s,θ 0 )  N →∞   N t =1  N s =1  1  N N  = lim E   ∑ ∑ψ (t ,θ 0 ) l′(e0 (t ) ) l ′(e0 ( s) )ψ T ( s,θ 0 )  N →∞ N   t =1 s =1  ⇒ { }{ Q = E [ l ′(e0 (t ) ]2 E ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 ) } (5.75) • V ′′(θ 0 ) = E [ψ (t ,θ 0 ) l′′(e(t ) )ψ T (t ,θ 0 )] ⇒ V ′′(θ 0 ) = E [ l′′(e(t ) )].E [ψ (t , θ 0 )ψ T (t ,θ 0 )] (5.76)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
Chương 5: Tính hoäi tuï vaø phaân boá tieäm caän cuûa tham soá 17 Thay (5.75) vaø (5.76) vaøo (5.63) ta ñöôïc: [{ }] Pθ = κ ( l ) E ψ (t ,θ 0 )ψ T (t ,θ 0 ) −1 (5.77) trong ñoù: κ (l) = { E [ l ′(e0 (t ) ]2} (5.78) {E [l′′(e0 (t ))]}2 1 Deã daøng kieåm chöùng ñöôïc khi l (ε ) = ε 2 thì hai coâng thöùc (5.77) vaø 2 (5.78) ñöôïc ruùt goïn thaønh (5.72). 5.3.3 Bieåu thöùc phöông sai tieäm caän trong mieàn taàn soá Tröôøng hôïp S ∈ M vaø tieâu chuaån öôùc löôïng laø chuaån toaøn phöông −1 1 π 1  CovθˆN ~  ∫ T ′(e jω , θ 0 )Φ χ 0 (ω )T ′T (e − jω ,θ 0 )dω  (5.79) N −π Φ v (ω )  trong ñoù:  Φ (ω ) Φ ue (ω )  Φ χ 0 (ω ) =  u (5.80)  Φ eu (ω ) λ 0  2 Φ v (ω ) = λ0 H 0 (e jω ) (5.81) ∂ T ′(e jω , θ ) = T ( e jω , θ ) (5.82) ∂θ jω  G (e jω ,θ )  T (e , θ ) =  jω  (5.83)  H (e , θ )  Bieåu thöùc phöông sai tieäm caän cuûa haøm truyeàn: −1  G (e jω ,θˆN )  n  Φ u (ω ) Φ ue (−ω ) Cov  jω ˆ  ≈ Φ v (ω )  (5.84)  H (e , θ N )  N Φ ue (ω ) λ0  Heä quaû: Tröôøng hôïp nhaän daïng heä hôû: Φ ue (ω ) = 0 : n Φ v (ω ) Cov G (e jω ,θˆN ) ≈ (5.85) N Φ u (ω ) n 2 Cov H (e jω , θˆN ) ≈ H 0 (e jω ) (5.86) N  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.