Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu được thực hiện về tính ổn định theo nghĩa Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng vectơ chứa tham số trong không gian định chuẩn. Cụ thể là để đạt được tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ cho bài toán này, chúng tôi đã sử dụng công cụ hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz, một công cụ rất hữu hiệu trong việc nghiên cứu các tính chất của nghiệm các bài toán liên quan đến tối ưu, cùng với các giả thiết về tính lõm giảm nhẹ của hàm mục tiêu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng

Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 TÍNH LIÊN TỤC LIPSCHITZ CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG Nguyễn Hữu Danh1* và Phạm Thanh Dược2 1 Trường Đại học Tây Đô 2 Trường Đại học Kỹ thuật Công nghệ Cần Thơ (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Ngày nhận: 14/02/2023 Ngày phản biện: 26/3/2023 Ngày duyệt đăng: 20/4/2023 TÓM TẮT Nghiên cứu được thực hiện về tính ổn định theo nghĩa Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng vectơ chứa tham số trong không gian định chuẩn. Cụ thể là để đạt được tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ cho bài toán này, chúng tôi đã sử dụng công cụ hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz, một công cụ rất hữu hiệu trong việc nghiên cứu các tính chất của nghiệm các bài toán liên quan đến tối ưu, cùng với các giả thiết về tính lõm giảm nhẹ của hàm mục tiêu. Chúng tôi cũng đưa ra ví dụ cho thấy rằng tính chất này yếu hơn so với tính lõm theo nón của một ánh xạ có giá trị vectơ. Ngoài ra, tính liên tục Lipschitz và tính đường kính bị chặn đều của ánh xạ ràng buộc đều được sử dụng. Cách tiếp cận và kết quả thu được về tính liên tục Lipschitz cho bài toán này là mới và khác với những kết quả đã có. Từ khóa: Bài toán cân bằng, hàm Gerstewitz, liên tục Lipschitz, tính lõm, vô hướng hóa phi tuyến Trích dẫn: Nguyễn Hữu Danh và Phạm Thanh Dược, 2023. Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô. 17: 330-340. * Ths. Nguyễn Hữu Danh – Giảng viên Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô 330
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 1. GIỚI THIỆU Urruty) đã được sử dụng để nghiên cứu Bài toán cân bằng và các dạng mở rộng tính nửa liên tục dưới (Sach, 2012; Xu của nó chiếm vị trí quan trọng trong lý and Li, 2016) và liên tục thuyết tối ưu và đã được nghiên cứu sâu Hölder/Lipschitz của nghiệm (Li and rộng trong những năm gần đây. Trong Chen, 2014). Ta biết rằng hàm Gerstewitz nhiều chủ đề nghiên cứu về bài toán cân có một số tính chất đẹp như tính liên tục, bằng, việc phân tích sự ổn định của dưới tuyến tính, tính lồi, tính đơn điệu nghiệm được quan tâm đáng kể vì ý nghĩa (nghiêm ngặt),... Những tính chất này đã quan trọng trong cả lý thuyết và thực tiễn, được khai thác một cách triệt để trong và là một công cụ hữu dụng cho việc phân công trình Gerth and Weidner (1990), tích hậu tối ưu. Đặc biệt là tính nửa liên Hernandez and Rodríguez-Marín (2007). tục trên và nửa liên tục dưới, và tính liên Các tính Lipschitz địa phương và toàn tục Hölder hoặc Lipschitz của ánh xạ cục của hàm này đã được thảo luận trong nghiệm các bài toán tham số đã được Tammer and Zălinescu (2010) và được áp nghiên cứu một cách sâu sắc trong nhiều dụng để khảo sát tính liên tục công trình trước đây (Li et al., 2011; Han Hölder/Lipschitz của nghiệm cho bài and Gong, 2014; Peng et al., 2015; Sadeqi toán cân bằng vectơ chứa tham số ở loại and Salehi, 2016; Huong et al., 2017; Anh yếu (Chen and Li, 2014 và Li and Chen, et al., 2020). 2014). Theo tìm hiểu của chúng tôi, cho đến nay có rất ít công trình dành riêng cho Khi nghiên cứu tính nửa liên tục và tính liên tục Lipschitz của nghiệm xấp xỉ tính liên tục Hölder hoặc Lipschitz của bài toán cân bằng vectơ dạng mạnh. nghiệm cho các bài toán cân bằng vectơ, các phương pháp vô hướng hóa được sử Trên cơ sở các nghiên cứu trên, nghiên dụng rất hiệu quả. Một mặt, phương pháp cứu này nhằm mục đích khảo sát các điều vô hướng hóa tuyến tính đã được áp dụng kiện ổn định cho nghiệm bài toán cân để xử lý tính nửa liên tục và tính liên tục bằng vectơ dạng mạnh chứa tham số Hölder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm các trong cả hàm mục tiêu và ánh xạ ràng bài toán cân bằng vectơ yếu tổng quát buộc bằng cách sử dụng hàm vô hướng chứa tham số (Chen and Huang, 2013; Xu phi tuyến Gerstewitz. Chi tiết hơn, các and Li, 2013; Anh et al., 2017). Bằng điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz cách sử dụng các điều kiện liên quan đến của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán tính lồi của hàm mục tiêu, nhiều công đang xét được thiết lập. trình đã xây dựng điều kiện ổn định thông 2. MỞ ĐẦU qua phương pháp vô hướng hóa tuyến Cho 𝕏, 𝕐, 𝕎, ℤ là các không gian định tính cho nhiều mô hình trong tối ưu vectơ chuẩn, 𝒜 là một tập con khác rỗng của như Peng et al. (2015), Sadeqi and Salehi 𝕏, và ℒ, ℳ lần lượt là các tập con khác (2016) và Anh et al. (2017). Mặt khác, rỗng của 𝕎, ℤ. Ký hiệu ∥⋅∥ là chuẩn trong các phương pháp tiếp cận bằng hàm vô không gian định chuẩn bất kỳ, và int𝒜 là hướng phi tuyến tính (hàm Gerstewitz và phần trong của 𝒜. Cho ℝ+ là tập hợp các hàm khoảng cách định hướng Hiriart 331
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 số thực không âm, diam𝒜: = sup 𝑥,𝑧∈𝒜 ∥ 𝑔( 𝑥1 ) + ℓ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥ 𝑒 ∈ 𝑔( 𝑥2 ) + 𝒞. ∥ 𝑥 − 𝑧 ∥ là đường kính của 𝒜, và 𝔹[𝑥, 𝑟] (c) Một ánh xạ đa trị 𝑄: 𝕏 ⇉ 𝕐 được là quả cầu đóng bán kính 𝑟 ≥ 0 có tâm tại gọi là ℓ-Lipschitz tại 𝑥0 ∈ 𝕏 nếu tồn tại 𝑥. Cho 𝒞 ⊂ 𝕐 là một nón lồi, đóng, có một lân cận 𝒱 của 𝑥0 sao cho với mọi đỉnh với int𝒞 ≠ ∅, 𝐾: ℒ ⇉ 𝒜 là một ánh 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒱, xạ đa trị có giá trị lồi, bị chặn và khác rỗng, và 𝑓: 𝒜 × 𝒜 × ℳ → 𝕐 là một ánh 𝑄 ( 𝑥1 ) ⊂ 𝑄( 𝑥2 ) + 𝔹[0, ℓ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥]. ∥ xạ có giá trị vectơ. Với mỗi (𝜆, 𝜇) ∈ ℒ × Ta nói rằng một tính chất nào đó được ℳ, ta xét bài toán cân bằng vectơ chứa thỏa mãn trên một tập 𝒟 ⊂ 𝕏 nếu và chỉ tham số sau. nếu nó thỏa mãn tại mọi điểm của 𝒟. (VEP) Tìm ‾ ∈ 𝐾(𝜆) sao 𝑥 Định nghĩa 2.2 (Anh et al., 2022) Một cho với mọi 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆), ánh xạ đa trị 𝑄: 𝕏 ⇉ 𝕐 được gọi là có 𝑓(𝑥 𝑦, 𝜇) ∈ 𝒞. ‾, đường kính bị chặn đều trên một tập con 𝐴 của 𝕏 nếu và chỉ nếu tồn tại một số Với (𝜀, 𝜆, 𝜇) ∈ ℝ+ × ℒ × ℳ, và 𝑒 ∈ dương 𝜌 sao cho với mọi 𝑥 ∈ 𝐴, int𝒞, ta ký hiệu tập 𝜀-nghiệm xấp xỉ của diam𝑄(𝑥) ≤ 𝜌. (VEP) bởi Rõ ràng nếu 𝑄(𝐴) bị chặn, thì 𝑄 có 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇): = {𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇) + 𝜀𝑒 đường kính bị chặn đều trên 𝐴 với mọi ∈ 𝒞, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)} 𝐴 ⊂ 𝕏. Xét 𝑄: ℝ2 ⇉ ℝ2 được xác định Do các điều kiện tồn tại nghiệm đã bởi 𝑄( 𝑥, 𝑦) = [ 𝑥 − 1, 𝑥 + 1] × [𝑦 − được nghiên cứu nhiều trong các tài liệu 1, 𝑦 + 1], khi đó 𝑄 có đường kính bị chặn Durea (2007), Sadeqi and Salehi (2011), đều trên ℝ2 với 𝜌 = 2√2, nhưng Jafari et al. (2017) nên trong bài báo này 𝑄(ℝ2 ) = ℝ2 thì không bị chặn. Vì vậy, chúng tôi chỉ tập trung vào điều kiện ổn chiều ngược lại của nhận xét này nói định và luôn giả thiết tập nghiệm của bài chung không đúng. toán đang xét là khác rỗng. Định nghĩa 2.3 (Kuroiwa, 1996) Một ánh Trước tiên, chúng ta nhắc lại một số xạ có giá trị vectơ 𝑔: 𝕏 → 𝕐 được gọi là khái niệm cần thiết trong phần tiếp theo. 𝒞-lồi trên một tập con lồi 𝒟 ⊂ 𝕏 nếu với Định nghĩa 2.1 (a) Một hàm số 𝜑: 𝕏 → mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟 và 𝑡 ∈ [0,1], ℝ được gọi là ℓ-Lipschitz tại 𝑥0 ∈ 𝕏 nếu 𝑡𝑔( 𝑥2 ) + (1 − 𝑡)𝑔( 𝑥1 ) ∈ 𝑔( 𝑡𝑥2 + tồn tại một lân cận 𝒱 của 𝑥0 sao cho với (1 − 𝑡)𝑥1 ) + 𝒞, (1) mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒱, và 𝑔 được gọi là 𝒞-lõm nếu (1) được thay | 𝜑( 𝑥1 ) − 𝜑( 𝑥2 )| ≤ ℓ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥. ∥ bởi (b) (Anh et al., 2018) Một ánh xạ có 𝑔( 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) giá trị vectơ 𝑔: 𝕏 → 𝕐 được gọi là 𝒞-ℓ- Lipschitz tại 𝑥0 ∈ 𝕏 ứng với 𝑒 nếu tồn tại ∈ 𝑡𝑔⁡ 𝑥2 ) + (1 − 𝑡)𝑔( 𝑥1 ) + 𝒞. ( một lân cận 𝒱 của 𝑥0 sao cho với mọi Định nghĩa 2.4 Cho Γ ⊂ ℝ, 𝜑: 𝕏 → ℝ là 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒱, các hàm số, 𝑔: 𝕏 → 𝕐 là một ánh xạ có 332
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 giá trị vectơ, và 𝒟 là một tập con lồi của Chứng minh. Lấy 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟, 𝑝 ∈ 𝕏. ℝ, 𝑔( 𝑥1 ) ∈ 𝒞 và 𝑔( 𝑥2 ) ∈ 𝑝𝑒 + 𝒞. Khi (a) 𝜑 được gọi là Γ-lõm trên 𝒟 nếu với đó, với bất kỳ 𝑡 ∈ [0,1], tính 𝒞-lõm của 𝑔 mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟, 𝑝 ∈ Γ sao cho với mọi suy ra 𝑡 ∈ [0,1] 𝑔( 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) ∈ 𝑡𝑔( 𝑥2 ) 𝜑( 𝑥1 ) ≥ 0, 𝜑( 𝑥2 ) ≥ 𝑝 +(1 − 𝑡)𝑔( 𝑥1 ) + 𝒞 ⟹ 𝜑( 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) ≥ 𝑡𝑝 ∈ 𝑡(𝑝𝑒 + 𝒞) + (1 − 𝑡)𝒞 + 𝒞 (b) 𝑔 được gọi là Γ-lõm ứng với 𝑒 trên ∈ 𝑡𝑝𝑒 + 𝑡𝒞 + (1 − 𝑡)𝒞 + 𝒞 𝒟 nếu với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟, 𝑝 ∈ Γ sao cho ∈ 𝑡𝑝𝑒 + 𝒞. với mọi 𝑡 ∈ [0,1] Vì vậy, 𝑔 là ℝ-lõm ứng với 𝑒 trên 𝒟. 𝑔( 𝑥1 ) ∈ 𝒞, 𝑔( 𝑥2 ) ∈ 𝑝𝑒 + 𝒞 ⟹ 𝑔( 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại ∈ 𝑡𝑝𝑒 + 𝒞. của Bổ đề 2.6 không đúng. Ví dụ 2.5 Cho 𝕏 = 𝕐 = ℝ, 𝒟 = ℝ, 𝒞 = Ví dụ 2.7 Cho 𝕏 = ℝ, 𝒟 = ℝ, 𝕐 = ℝ+ , Γ = −ℝ+ và ℝ2 , 𝒞 = ℝ2 , 𝑒 = (1,1) và + 𝑥, nếu 𝑥 < 0 (3𝑥, 3𝑥 + 1), nếu 𝑥 ≥ 0 𝜑( 𝑥 ) = { . 𝑔(𝑥) = { . 𝑥2, nếu 𝑥 ≥ 0 (𝑥, 𝑥 + 1), nếu 𝑥 < 0 Ta kiểm tra 𝜑(𝑥) là Γ-lõm trên 𝒟. Thật Với bất kỳ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟, 𝑡 ∈ [0,1] và 𝑝 ∈ vậy, với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒟, 𝑡 ∈ ℝ, nếu 𝑔( 𝑥1 ) ∈ ℝ2 và 𝑔( 𝑥2 ) ∈ (𝑝, 𝑝) + + [0,1], 𝜑 2 ( 𝑥1 ) = 𝑥1 ≥ 0 và 𝜑( 𝑥2 ) − 𝑝 ≥ ℝ2 , thì + 0, với mọi 𝑝 ∈ Γ, ta cần chứng minh rằng 𝑔( 𝑥 𝑡 ) ∈ (𝑡𝑝, 𝑡𝑝) + ℝ2 , + 𝜑( 𝑥 𝑡 ) − 𝑡𝑝 ≥ 0 với 𝑥 𝑡 : = 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 . Ta xét hai trường hợp với 𝑥 𝑡 : = 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 . Thật vậy, ta xét hai trường hợp. Trường hợp 1: Nếu 𝑥1 ≥ 0 và 𝑥2 ≥ 0, thì 𝑥 𝑡 ≥ 0, và do đó 𝜑( 𝑥 𝑡 ) − 𝑡𝑝 = 𝑥 2 − Trường hợp 1: Nếu 𝑥1 ≥ 0 và 𝑥2 ≥ 0, 𝑡 𝑡𝑝 ≥ 0. thì 𝑥 𝑡 ≥ 0. Do đó, Trường hợp 2: Nếu 𝑥1 ≥ 0 và 𝑥2 < 0, 3𝑥 𝑡 − 𝑡𝑝 ≥ 3( 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) − 𝑡𝑝 thì hoặc 𝑥 𝑡 < 0 hoặc 𝑥 𝑡 ≥ 0. Trong ≥ 𝑡 (3𝑥2 − 𝑝) + 3(1 trường hợp 𝑥 𝑡 ≥ 0, tương tự Trường hợp − 𝑡)𝑥1 ≥ 0, 1 , ta được 𝜑( 𝑥 𝑡 ) − 𝑡𝑝 ≥ 0. Nếu 𝑥 𝑡 < 0, suy ra 𝑔( 𝑥 𝑡 ) ∈ (𝑡𝑝, 𝑡𝑝) + ℝ2 . + thì 𝜑( 𝑥 𝑡 ) − 𝑡𝑝 = 𝑥 𝑡 − 𝑡𝑝 = 𝑡𝑥2 + (1 − Trường hợp 2: Nếu 𝑥1 ≥ 0 và 𝑥2 < 0, 𝑡)𝑥1 − 𝑡𝑝 = 𝑡 ( 𝑥2 − 𝑝) + (1 − 𝑡)𝑥1 ≥ 0. thì hoặc 𝑥 𝑡 ≥ 0 hoặc 𝑥 𝑡 < 0. Ta chỉ trình Bổ đề 2.6 Cho 𝑔, 𝒟 như trong Định nghĩa bày trường hợp 𝑥 𝑡 < 0 vì kết quả của 2.4. Nếu 𝑔 là 𝒞-lõm trên 𝒟, thì 𝑔 là ℝ- trường hợp 𝑥 𝑡 ≥ 0 rất đơn giản khi 0 > lõm ứng với 𝑒 trên 𝒟. 𝑥2 ≥ 𝑝. Trong trường hợp 𝑥 𝑡 < 0, ta có 333
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 𝑥 𝑡 − 𝑡𝑝 = 𝑡𝑥2 + (1 − 𝑡)𝑥1 − 𝑡𝑝 suy ra 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) ≤ 𝜀, với mọi 𝑦 ∈ = 𝑡 ( 𝑥2 − 𝑝) + (1 − 𝑡)𝑥1 𝐾(𝜆) suy ra ≥ 0, 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇) ⊂ { 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) vì 𝑥1 ≥ 0 và 𝑥2 − 𝑝 ≥ 0. Do đó, 𝑔( 𝑥 𝑡 ) ∈ ≤ 𝜀, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)}. (𝑡𝑝, 𝑡𝑝) + ℝ2 . Vì vậy, 𝑔 là ℝ -lõm ứng + (⊃) Lấy 𝑥 là một phần tử của tập hợp với 𝑒 trên 𝒟. Tuy nhiên, lấy 𝑥1 = 1 { 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) ≤ 𝜀, ∀𝑦 −1; 𝑥2 = 1 và 𝑡 = , thì⁡𝑔( 𝑡𝑥2 + (1 − 2 1 ∈ 𝐾(𝜆)}. 𝑡)𝑥1 ) = 𝑔(0) = (0,1) ∉ 𝑔(−1) + 1 2 Khi đó, 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) ≤ 𝜀 với mọi 𝑔(1) + ℝ2 + = [1, +∞[× [2, +∞[, suy 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆), kết hợp điều này với Bổ đề 2.9 2 ra 𝑔 không 𝒞-lõm trên 𝒟. (i) suy ra Định nghĩa 2.8 (Anh et al., 2023) Hàm 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝜇) + 𝜀𝑒 ∈ 𝒞 với⁡mọi 𝑦 ∈ 𝐾 ( 𝜆). phi tuyến 𝜉 𝑒 : 𝕐 → ℝ được xác định bởi, Do đó, với mọi 𝑦 ∈ 𝕐, ⁡{ 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) ≤ 𝜀, ∀𝑦 𝜉 𝑒 (𝑦): = inf{𝑡 ∈ ℝ ∣ 𝑦 + 𝑡𝑒 ∈ 𝒞}. ∈ 𝐾(𝜆)} ⊂ 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇). Áp dụng các kỹ thuật được sử dụng Ta được điều phải chứng minh. trong Gerth and Weidner (1990), Tammer and Zălinescu (2010) ta cũng đạt 3. TÍNH LIÊN TỤC LIPSCHITZ được các tính chất quan trọng sau đây của CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN hàm 𝜉 𝑒 . CÂN BẰNG Bổ đề 2.9 Cho 𝑒 ∈ int𝒞, 𝑟 ∈ ℝ và 𝑦 ∈ Trong mục này, chúng ta thiết lập các 𝕐. Khi đó, điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xạ 𝜀-nghiệm của (SEP). (i) 𝜉 𝑒 (𝑦) ≤ 𝑟 ⇔ 𝑦 + 𝑟𝑒 ∈ 𝒞. Bổ đề 3.1 Cho 𝜀0 ∈]0, +∞[ và ( 𝜆0 , 𝜇0 ) ∈ (ii) 𝜉 𝑒 (𝑦 + 𝑟𝑒) = 𝜉 𝑒 (𝑦) − 𝑟. ℒ × ℳ. Giả sử 𝑓 là −ℝ+ -lõm ứng với 𝑒 (iii) 𝜉 𝑒 là một hàm lồi, liên tục và theo biến thứ nhất trên 𝐾(𝜆) với 𝜆 ∈ ℒ. dưới tuyến tính trên 𝕐. Khi đó, 𝑆 liên tục Lipschitz theo biến (iv) với mọi 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝕐, 𝑦1 − 𝑦2 ∈ 𝒞, thứ nhất trên ]𝜀0 , +∞[. 𝜉 𝑒 ( 𝑦1 ) ≤ 𝜉 𝑒 ( 𝑦2 ). Chứng minh. Cho ‾ ∈]𝜀0 , +∞[. Khi đó, 𝜀 Bổ đề 2.10 Với mỗi (𝜀, 𝜆, 𝜇) ∈ ℝ+ × ]𝜀0 , 2𝜀 − 𝜀0 [ là một lân cận của ‾. Lấy bất ‾ 𝜀 ℒ × ℳ, ta có: kỳ 𝜀1 , 𝜀2 ∈]𝜀0 , 2𝜀 − 𝜀0 [ với 𝜀1 < 𝜀2 , ta có ‾ 𝑆( 𝜀1 , 𝜆, 𝜇) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆, 𝜇) với mọi (𝜆, 𝜇) ∈ 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇) = { 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) ∣ 𝜉 𝑒 (𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇)) ℒ × ℳ, và do đó ≤ 𝜀, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)}. 𝑆( 𝜀1 , 𝜆, 𝜇) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆, 𝜇) + Chứng minh. (⊂) Lấy tùy ý 𝑥 ∈ ̅ 𝜌 𝑆(𝜀, 𝜆, 𝜇), ta có 𝑥 ∈ 𝐾(𝜆) và 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜇) + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 |] (2) 𝜀0 𝜀𝑒 ∈ 𝒞, với mọi 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆). Bổ đề 2.9 (i) 334
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 trong đó 𝜌̅ = diam 𝐾 ( 𝜆0 ). Với mỗi 𝑥2 ∈ Định lý 3.2 Cho 𝜀0 ∈]0, +∞[ và 𝑆( 𝜀2 , 𝜆, 𝜇), 𝑥0 ∈ 𝑆(0, 𝜆, 𝜇) và 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆), ( 𝜆0 , 𝜇0 ) ∈ ℒ × ℳ. Giả sử các điều kiện ta có sau đây được thỏa mãn 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑦, 𝜇) ∈ 𝒞, ⁡𝑓 ( 𝑥2 , 𝑦, 𝜇) ∈ −𝜀2 𝑒 + 𝒞. (i) tồn tại một lân cận 𝒱 của 𝜆0 sao cho Từ tính lồi của 𝐾(𝜆), ta được 𝑥1 : = với mọi 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝒱, 𝜀1 𝜀 −𝜀 𝑥2 + 2 1 𝑥0 ∈ 𝐾(𝜆). Vì 𝑓 là −ℝ+ - 𝐾 ( 𝜆1 ) ⊂ 𝐾( 𝜆2 ) + 𝔹[0, ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥], 𝜀2 𝜀2 lõm ứng với 𝑒 trên 𝐾(𝜆), ta được và 𝐾 có đường kính bị chặn đều trên ℒ. 𝜀1 𝜀2 − 𝜀1 (ii) 𝑓 là −ℝ+ -lõm ứng với 𝑒 theo biến 𝑓 ( 𝑥2 + 𝑥0 , 𝑦, 𝜇) ∈ −𝜀1 𝑒 + 𝒞. 𝜀2 𝜀2 thứ nhất trên 𝐾(𝜆) với mọi 𝜆 ∈ 𝒱; Suy ra 𝜉 𝑒 (𝑓 ( 𝑥1 , 𝑦, 𝜇)) ≤ 𝜀1 hoặc (iii) tồn tại một lân cận 𝒰 của 𝜇0 sao tương đương, 𝑥1 ∈ 𝑆( 𝜀1 , 𝜆, 𝜇). Ta được cho với mọi ( 𝑥1 , 𝑦1 , 𝜇1 ), ( 𝑥2 , 𝑦2 , 𝜇2 ) ∈ 𝐾(𝒱) × 𝐾(𝒱) × 𝒰 | 𝜀1 − 𝜀2 | ∥ 𝑥2 − 𝑥1 ∥ = ∥ 𝑥2 − 𝑥0 ∥. 𝑓 ( 𝑥1 , 𝑦1 , 𝜇1 ) + ℓ2 ∥( 𝑥1 , 𝑦1 , 𝜇1 ) 𝜀2 − ( 𝑥2 , 𝑦2 , 𝜇2 )∥ 𝑒 Kết hợp điều này với tính bị chặn của ∈ 𝑓( 𝑥2 , 𝑦2 , 𝜇2 ) + 𝒞, 𝐾(𝜆), ta được trong đó ∥( 𝑥1 , 𝑦1 , 𝜇1 ) − ( 𝑥2 , 𝑦2 , 𝜇2 )∥ = diam𝐾 ( 𝜆0 ) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥ + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥. ∥ 𝑥2 − 𝑥1 ∥ ≤ | 𝜀1 − 𝜀2 |. 𝜀0 Khi đó, 𝑆 liên tục Lipschitz trên Do đó, ]𝜀0 , +∞[× 𝒱 × 𝒰. diam𝐾 ( 𝜆0 ) Chứng minh. Với 𝑥2 ∈ 𝑥1 + 𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 |], 𝜀0 ( 𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ), ( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) ∈] 𝜀0 , +∞[× 𝒱 × 𝒰, ta đặt suy ra, 𝑟: = 2ℓ1 ℓ2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥, 𝑠: = ℓ2 ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆, 𝜇) ⊂ 𝑆( 𝜀1 , 𝜆, 𝜇) + ̅ 𝜌 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 |] (3) và 𝜃: = 𝜀2 − 𝜀0 , và ta xét hai trường hợp. 𝜀0 Trường hợp 1. Nếu 𝑟 + 𝑠 ≤ 𝜃, thì trong đó 𝜌̅ = diam 𝐾 ( 𝜆0 ). 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠 ≥ 𝜀2 − 𝜃 = 𝜀0 . Lấy ‾ ∈ 𝑥 ̅ 𝜌 Từ (2) và (3), ta được 𝑆 là ⁡-Lipschitz 𝑆 ( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠, 𝜆1 , 𝜇1 ) tùy ý. Vì ‾ ∈ 𝑥 𝜀0 𝐾 ( 𝜆1 ), từ giả thiết (i) suy ra tồn tại theo biến thứ nhất tại ‾. Vì ‾ là bất kỳ, 𝜀 𝜀 𝑥22 ∈ 𝐾( 𝜆2 ), sao cho ̅𝜌 nên ta kết luận rằng 𝑆 là -Lipschitz theo 𝜀0 ∥ ‾ − 𝑥22 ∥ ≤ ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥. 𝑥 (4) biến thứ nhất trên ]𝜀0 , +∞[. Ta chứng minh rằng 𝑥22 ∈ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ). Áp dụng Bổ đề 3.1, ta thiết lập tính Lấy bất kỳ 𝑦2 ∈ 𝐾 ( 𝜆2 ), thì tồn tại 𝑦1 ∈ Lipschitz của ánh xạ nghiệm 𝑆. 𝐾 ( 𝜆1 ) sao ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ ≤ ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥. (5) 335
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 Từ ‾ ∈ 𝑆( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠, 𝜆1 , 𝜇1 ) và 𝑦1 ∈ 𝑥 |𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) − 𝜉 𝑒 (𝑓 ( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 ))| 𝑥 𝐾 ( 𝜆1 ) suy ra ≤ ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ 𝑥 𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) ≤ ( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠), 𝑥 + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥) và do đó ≤ ℓ1 ℓ2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + ℓ1 ℓ2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + ℓ2 ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥ 𝜉 𝑒 (𝑓 ( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 )) + ≤ 2ℓ1 ℓ2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + ℓ2 ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥ 𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) − 𝜉 𝑒 (𝑓 ( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 )) ≤ 𝑥 ( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠). (6) ≤ 𝑟 + 𝑠. Từ giả thiết (iii), ta có Kết hợp điều này với (6) ta suy ra 𝜉 𝑒 (𝑓( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 )) ≤ 𝜀2 , và do đó 𝑥22 ∈ 𝑓(𝑥 𝑦1 , 𝜇1 ) + ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ ‾, 𝑥 + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥)𝑒 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ). ∈ 𝑓(𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 ) + 𝒞. Tiếp theo, ta thiết lập mối quan hệ giữa Suy ra 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) và 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ). 𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 ) − [ 𝑓( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 ) 𝑥 Theo Bổ đề 3.1, và do 𝐾 có đường kính − ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ 𝑥 bị chặn đều, nên tồn tại một số thực + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ dương 𝜌 sao cho + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥) 𝑒] ∈ 𝒞. 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠, 𝜆1 , 𝜇1 ) Từ Bổ đề 2.9 (iv) và (ii), ta được +𝔹 [0, 𝜌 |𝑟 + 𝑠|]. (7) 𝜀0 𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) 𝑥 Từ (4) ta có ≤ 𝜉 𝑒 (𝑓( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 )) + ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ 𝑥 ‾ ∈ 𝑥22 + 𝔹[0, ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥]. 𝑥 + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥). Do đó, Lập luận tương tự, ta cũng có 𝑆( 𝜀2 − 𝑟 − 𝑠, 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝜉 𝑒 (𝑓( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 )) 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) + 𝔹[0, ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥]. (8) ≤ 𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) 𝑥 Kết hợp (7) và (8), ta có + ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ 𝑥 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥). 𝜌 Vì vậy, +𝔹 [0, ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + |𝑟 + 𝑠|] 𝜀0 |𝜉 𝑒 (𝑓( ‾, 𝑦1 , 𝜇1 )) − 𝜉 𝑒 (𝑓 ( 𝑥22 , 𝑦2 , 𝜇2 ))| 𝑥 ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) ≤ ℓ2 (∥ ‾ − 𝑥22 ∥ 𝑥 + ∥ 𝑦1 − 𝑦2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥). +𝔹 [0, ℓ1 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ Kết hợp điều này với (4) và (5), ta 𝜌 + (2ℓ1 ℓ2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ được 𝜀0 + ℓ2 ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥)] 336
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) Áp dụng Trường hợp 1, ta được 2𝜌ℓ1 ℓ2 𝑆(𝜀2 , 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) ⊂ 𝑆(𝜀2 , 𝑢 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+1 ) + 𝔹 [0, (ℓ1 + ) ∥ 𝜆1 𝜀0 2𝜌ℓ1 ℓ2 𝜌ℓ2 + 𝔹 [0, (ℓ1 + ) ∥ 𝑢𝑖 𝜀0 − 𝜆2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥]. 𝜌ℓ2 𝜀0 − 𝑢 𝑖+1 ∥ + ∥ 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖+1 ∥] Tương tự, ta cũng có 𝜀0 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝑢 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+1 ) 2𝜌ℓ1 ℓ2 + 𝔹 [0, (ℓ1 + 𝔹 [0, (ℓ1 + ) ∥ 𝜆1 𝜀0 2𝜌ℓ1 ℓ2 1 𝜌ℓ2 + ) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ − 𝜆2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥]. 𝜀0 𝑛 𝜀0 𝜌ℓ2 1 + ∥ 𝜇 − 𝜇2 ∥]. Trường hợp 2. Nếu 𝑟 + 𝑠 > 𝜃, thì tồn 𝜀0 𝑛 1 1 tại một số tự nhiên 𝑛 sao cho ≤ Do đó, 𝑛 𝜃 𝜃 min { , }. Xét ℙ là một phân hoạch của 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) + 2𝑟 2𝑠 2𝜌ℓ ℓ đoạn [ 𝜆1 , 𝜆2 ] với 𝑛+1 nút 𝔹 [0, (ℓ1 + 1 2) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + 𝜀0 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢 𝑛+1 sao cho 𝑢1 = 𝜆1 , 𝑢 𝑛+1 = 𝜌ℓ2 ∥ 𝜆 −𝜆 ∥ ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥] (11) 𝜆2 , ∥ 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑖+1 ∥ = 1 2 . Khi đó, 𝜀0 𝑛 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ 𝜃 Tương tự, ta cũng có ∥ 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑖+1 ∥ = ≤ , 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) + 𝑛 4ℓ1 ℓ2 2𝜌ℓ ℓ nghĩa là, 𝔹 [0, (ℓ1 + 1 2) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ + 𝜀0 𝜃 𝜌ℓ2 2ℓ1 ℓ2 ∥ 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑖+1 ∥ ≤ . (9) ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥] (12) 2 𝜀0 Hơn nữa, xét 𝕍 là một phân hoạch của Kết hợp (11), (12), và Bổ đề 3.1, ta đoạn [ 𝜇1 , 𝜇2 ] với 𝑛+1 nút kết luận 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣 𝑛+1 , 𝑣1 = 𝜇1 , 𝑣 𝑛+1 = 𝑆( 𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ∥ 𝜇1 −𝜇2 ∥ 𝜌 𝜇2 , ∥ 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖+1 ∥ = . Rõ ràng + 𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 |] 𝑛 𝜀0 ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥ 𝜃 ∥ 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖+1 ∥ = ≤ , 𝜌 𝑛 2ℓ2 ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) + 𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 |] 𝜀0 và do đó 2𝜌ℓ1 ℓ2 𝜃 +𝔹 [0, (ℓ1 + ) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ ℓ2 ∥ 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖+1 ∥ ≤ . (10) 𝜀0 2 𝜌ℓ2 Từ bất đẳng thức (9) và (10), ta có + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥]. 𝜀0 2ℓ1 ℓ2 ∥ 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑖+1 ∥ + ℓ2 ∥ 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖+1 ∥ ≤ 𝜃. Suy ra, 337
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 𝑆( 𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊂ 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) và các tính chất lõm giảm nhẹ, chúng tôi 𝜌 thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục + 𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 | 𝜀0 Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ cho 2𝜌ℓ1 ℓ2 bài toán này. Cách giải quyết vấn đề của + (ℓ1 + ) ∥ 𝜆1 chúng tôi có thể được sử dụng để nghiên 𝜀0 𝜌ℓ2 cứu các bài toán liên quan đến tối ưu tổng − 𝜆2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥] quát hơn, chẳng hạn như các bài toán về 𝜀0 quan hệ biến phân, các bài toán bao hàm Tương tự, ta có biến phân,… 𝑆( 𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ) ⊂ 𝑆( 𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ) TÀI LIỆU THAM KHẢO 𝜌 + 𝔹 [0, | 𝜀1 − 𝜀2 | 1. Anh L.Q., Nguyen K.T., Tam 𝜀0 2𝜌ℓ1 ℓ2 T.N., 2017. On Hölder continuity of + (ℓ1 + ) ∥ 𝜆1 approximate solution maps to vector 𝜀0 equilibrium problems. Turkish Journal 𝜌ℓ2 − 𝜆2 ∥ + ∥ 𝜇1 − 𝜇2 ∥] of Mathematics. 41(6):1591-1607. 𝜀0 2. Anh L.Q., Tam T.N., 2017. Ta được điều phải chứng minh. Sensitivity analysis for parametric vector Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng giả thiết equilibrium problems. Journal of của chúng tôi trong Định lý 3.2 đã giảm Nonlinear and Convex Analysis. nhẹ so với kết quả trong Anh and Tam 18(9):1707-1716. (2017). 3. Anh L.Q., Duoc P.T., Tam T.N., Ví dụ 3.3 Cho 𝕏 = 𝕎 = ℤ = ℝ, 𝕐 = 2018. On Hölder continuity of solution ℝ2 , 𝒜 = [0, +∞[, ℒ = ℝ+ , 𝒞 = maps to parametric vector primal and ℝ2 , 𝑒 = (1,1) ∈ int𝒞, ℳ = + dual equilibrium problems. [1,2], 𝐾 ( 𝜆) = [ 𝜆, 𝜆 + 1] và 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝜇) = Optimization. 67(8):1169-1182. (𝜇𝑦 − 𝜇𝑥, 𝜇𝑦 − 𝜇𝑥). Khi đó tất cả các giả 4. Anh L.Q., Duoc P.T., Tam T.N., thiết của Định lý 3.2 đều thỏa mãn. Tập 2020. On the stability of approximate 𝜀 nghiệm 𝑆( 𝜀⁡ , 𝜆⁡ , 𝜇⁡ ) = [𝜆, 𝜆 + min { , 1}] solutions to set-valued equilibrium 𝜇 problems. Optimization. 69(7-8):1583- là liên tục Lipschitz. Tuy nhiên, 𝐾 (ℒ ) = 1599. 𝒜 thì không bị chặn. Do đó kết quả trong Anh and Tam (2017) không áp dụng 5. Anh L.Q, Duoc P.T, Tung N.M., được. 2022. On Lipschitz continuity of solutions to equilibrium problems via 4. KẾT LUẬN the Hiriart-Urruty oriented distance Các điều kiện ổn định theo nghĩa liên function. Computational and Applied tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ Mathematics. 41(1):1-17 cho bài toán cân bằng vectơ phụ thuộc 6. Anh L.Q., Tam T.N., Danh N.H., tham số trong không gian định chuẩn 2023. On Lipschitz continuity of được khảo sát. Dựa trên hàm Gerstewitz 338
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 approximate solutions to set-valued sensitivity of a consumer problem. equilibrium problems via nonlinear Journal of Optimization Theory and scalarization, Optimization, 72(2): 439- Applications. 175(2):567-589. 461 14. Jafari S., Farajzadeh A.P., Moradi 7. Chen B., Huang N.J., 2013. S., 2017. Existence results for Continuity of the solution mapping to quasimonotone equilibrium problems in parametric generalized vector convex metric spaces. Optimization. equilibrium problems. Journal of Global 66(3):293–310 Optimization. 56:1515-1528. 15. Kuroiwa D., 1996. Convexity for 8. Chen C.R., Li M.H., 2014. set-valued maps. Applied Mathematics Hölder continuity of solutions to Letters. 9(2):97-101. parametric vector equilibrium problems 16. Li S.J., Chen C.R., Li X.B., 2011. with nonlinear scalarization. Numerical Hölder continuity and upper estimates of Functional Analysis and Optimization. solutions to vector quasi-equilibrium 35:685-707. problems. European Journal of 9. Durea M., 2007. On the existence Operational Research. 210(2):148-157. and stability of approximate solutions of 17. Li L., Chen C., 2014. Nonlinear perturbed vector equilibrium problems. scalarization with applications to Hölder Journal of Mathematical Analysis and continuity of approximate solutions. Applications. 333(2):1165-1179. Numerical Algebra Control and 10. Gerth C., Weidner P., 1990. Optimization. 4(4):295-307. Nonconvex separation theorems and 18. Peng Z.Y., Yang X.M., Teo K.L., some applications in vector 2015. On the Hölder continuity of optimization. Journal of Optimization approximate solution mappings to Theory and Applications. 67(2):297- parametric weak generalized Ky Fan 320. inequality. Journal of Industrial and 11. Han Y., Gong X.H., 2014. Lower Management Optimization. 11(2):549- semicontinuity of solution mapping to 562. parametric generalized strong vector 19. Sach P.H., 2012. New nonlinear equilibrium problems. Applied scalarization functions and applications. Mathematics Letters. 28:38-41. Nonlinear Analysis. 75(4):2281-2292. 12. Hernández E., Rodríguez-Marín 20. Sadeqi I., Salehi Paydar M., L., 2007. Nonconvex scalarization in set 2016. Lipschitz continuity of an optimization with set-valued maps. approximate solution mapping for Journal of Mathematical Analysis and parametric set-valued vector equilibrium Applications. 325(1):1-18. problems. Optimization. 65(5):1003- 13. Huong V.T., Yao J.C., Yen N.D., 1021. 2017. On the stability and solution 339
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 17 - 2023 21. Tammer C., Zălinescu C., 2010. strong vector equilibrium problem. Lipschitz properties of the scalarization Positivity.17(2):341-353. function and applications. Optimization. 23. Xu Y.D., Li S.J., 2016. A new 59(2):305-319. nonlinear scalarization function and 22. Xu Y.D., Li S.J., 2013. On the applications. Optimization. 65(1):207- lower semicontinuity of the solution 231. mappings to a parametric generalized LIPSCHITZ CONTINUITY OF THE SOLUTION MAPS TO EQUILIBRIUM PROBLEMS Nguyen Huu Danh1* and Pham Thanh Duoc2 1 Tay Do University 2 Can Tho University of Technology (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) ABSTRACT This paper investigates the stability in the sense of Lipschitz continuity of the approximate solution maps to the parametric vector equilibrium problem in the normed spaces. More precisely, to achieve the Lipschitz continuity of the approximate solution maps for this problem, we used the Gerstewitz nonlinear scalar function (a very useful tool in studying properties solutions related to optimization problems) together with assumptions about the relaxed conditions related to concavity properties of the objective function. We also give an example showing that this property is weaker than the cone concavity of the vector-valued map. Besides, the Lipschitz continuity and the uniformly bounded diameter of the constrained map are both used. The approach and obtained results on Lipschitz continuity for this problem are new and different from the existing ones. Keywords: Concavity, equilibrium problem, Gerstewitz function, Lipschitz continuity, nonlinear scalarization 340