Tính toán dao động phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm

Chia sẻ: ViChaelisa ViChaelisa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dựa trên cơ sở lý thuyết của đạo hàm cấp phân số và phương pháp số Newmark (phương pháp tích phân một bước) tìm ra nghiệm số của phương trình vi phân dao động phi tuyến. Thông qua nghiệm số của phương trình vi phân dao động phi tuyến nghiên cứu được đặc tính dao động của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính toán dao động phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 22/3/2021 nNgày sửa bài: 19/4/2021 nNgày chấp nhận đăng: 12/5/2021 Tính toán dao động phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm Calculating nonlinear vibration of eccentrically activated engine foundation on viscoelastic foundation of fractional order > TS BÙI THỊ THÚY Trường Đại học Mỏ - Địa chất TÓM TẮT: Báo cáo thiết lập phương trình vi phân dao động phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm: mD2 x  t    0 1 c1x  c2 x 2  Dp x  t   kx  t  m0 e 2 sin t,  0  p  1 . Dựa trên cơ sở lý thuyết của đạo hàm cấp phân số và phương pháp số Newmark (phương pháp tích phân một bước) tìm ra nghiệm số của phương trình vi phân dao động phi tuyến. Thông qua nghiệm số của phương trình vi phân dao động phi tuyến nghiên cứu được đặc tính dao động của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm. Từ kết quả có được, ta có thể thấy rằng: quá trình dao động của mô hình hoàn toàn phù hợp với đặc tính dao động của hệ chịu cản. Nhờ việc khảo sát ứng xử phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số, các kết cấu kỹ thuật phức tạp có thể được thiết kế hợp lý, đảm bảo các tiêu chuẩn kỹ thuật. Từ khóa: dao động, móng máy, cấp phân số, lệch tâm ABSTRACT: The object of the paper is to establish non-linear vibrational differential equation of eccentrically activated engine foundation on viscoelastic foundation of fractional order. The equation has the following form mD2 x  t    0 1 c1x  c2 x 2  Dp x  t   kx  t  m0 e 2 sin t,  0  p  1 Based on the theory of fractional derivative and the numerical method of Newmark, the numerical solution of vibrational differential equation is obtained. Then, we can research vibrational properties of eccentrically activated engine foundation on viscoelastic foundation of fractional order. Through the obtained results, we can realize: vibrational history of model is perfectly conformable to vibrational characteristic of damper. By investigating the non-linear responses of eccentrically activated engine foundation on viscoelastic foundation of fractional order, complex structures can be designed logically, technical standard assurance. Keywords: vibration, engine foundation, fractional order, eccentrically 1. Mở đầu Nhiều máy móc được thiết kế, cấu tạo dựa trên các mô hình khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng, càng ngày giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su tổng hợp, silicone…), mô hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với sự phát triển của những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không 40 05.2021 ISSN 2734-9888
thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó để giải quyết phương pháp lặp Newton – Raphson ta tìm được giá trị của x n1 . vấn đề này, đạo hàm cấp phân số được áp dụng. Sau đó sử dụng các công thức gia tốc và vận tốc (6), (7) ta xác định Các vấn đề nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số khá đa dạng, được  x n1 và x n1 . các nhà khoa học đã có các nghiên cứu về dao động phi tuyến của Điều kiện đầu của x  t 0  được tìm tương tự như trường hợp mô hình cấp phân số. Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu về dao động tuyến tính thông qua điều kiện ban đầu của x  t 0  và dao động phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số x  t 0  đã cho. chịu kích động lệch tâm. Bài báo này nghiên cứu và tìm ra nghiệm 3. Phương trình chuyển động của phương trình vi phân dao động phi tuyến của móng máy trên 3.1. Phương trình chuyển động của móng máy trên nền nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm. đàn nhớt cấp phân số chịu kích động lệch tâm 2. Phương pháp Newmark giải phương trình vi phân cấp hai Véc tơ trạng thái của hệ ở thời điểm tn tn  h được suy ra từ Xét móng máy trên nền đàn nhớt chịu kích động lệch tâm như 1 véc tơ trạng thái của hệ đã biết ở thời điểm tn , qua các khai triển hình 1. y2 F  t   m0e 2 sin t Taylor của dịch chuyển và vận tốc. m0 Ta có các công thức xấp xỉ theo phương pháp Newmark e t x n 1 x n  1   h  x n   h  xn1 , (1) x2 x x m m m m 1  0 1 2 x n 1 x n  hx n      h2 x n  h2 x n1. (2) m1 2  2.1. Phương pháp Newmark đối với dao động tuyến tính m2 Giả sử ta có phương trình dao động tuyến tính của hệ nhiều Fv e bậc tự do mx f t ,   cx  kx  (3) Hình 1a Hình 1b Trong đó m, c,k là các hằng số. Áp dụng các công thức 0.3 Newmark (1) và (2) vào phương trình trên tại thời điểm tn1 ta tính =2 được gia tốc  x n1 =3 0.2 m  h c  h2k   xn1 fn1  c  x n  1   h  xn   1   (4) k  x n  h x n      h2 xn  . 0.1  2    Giải phương trình (4) ta được x n1 . Sử dụng các công thức 0 x(t) Newmark (1), (2) nhận được giá trị của vận tốc và độ dịch chuyển x n1 , x n1 . x  t 0  từ điều kiện ban đầu Ta xác định điều kiện ban đầu của  -0.1 của x  t 0  và x  t 0  đã cho như sau -0.2 x  m1  f  t   c x  k x  ,  x  t 0  m1  f  t 0   c x  t 0   k x  t 0   .  -0.3 2.2. Phương pháp Newmark đối với dao động phi tuyến 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) Giả sử phương trình chuyển động phi tuyến có dạng m  x   x  k  t, x, x   f  t, x, x  , (5) Hình 2 Từ (2) ta rút ra gia tốc  x n1 Ta thiết lập phương trình chuyển động của móng máy trên nền 1 1  1  đàn nhớt chịu kích động lệch tâm theo định luật 2 Newton 2  n1   x n1 x  x n   x n    1  xn , (6) m0  m1  m2  x  t   Fve  Ft , (8) h h  2  Thay  x n1 vào (1) Ta có lực sinh ra bên trong vật liệu đàn nhớt      Fve  0c  x  t   Dp  x  t  b  x  t     kx  t  ,  0  p  1 (9) x n1   xn1  xn    1  x n  h  1  xn . (7) h     2 Thay (9) vào phương trình (8) ta có phương trình chuyển động Như vậy gia tốc và vận tốc đều được biểu diễn qua x n1 và các của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số giá trị đã biết của x n , x n , xn . Thế vào phương trình (5) ta nhận m0  m1  m2  x  t   0c  x  t   Dp  x  t  b  x  t     kx  t  F  t  , (10) được phương trình phi tuyến xác định với ẩn là x n1 . Sử dụng Hay ISSN 2734-9888 05.2021 41
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC   t   0 c  x  t   Dp  x  t  b  x  t     kx  mx t  m0 e 2 sin t. (11) Thay vào phương trình (22) ta được công thức tính x    theo Với m  m0  m1  m2  . (12) x n , x n1 3.2. Áp dụng phương pháp Newmark tính toán dao động x      tn1   x n1   x n  x n1  . (23) phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số t Ta có phương trình vi phân dao động cấp phân số Sau đó thế phương trình (23) vào phương trình (29), ta được mD2x  t  0 1 c1x  c2x2  Dpx  t   kx  t  m0e2 sint,  0  p  1 (13) tn tn x n1 x n  x n1   tn1 In  t   p d   t   tn    p d. (24) Đặt a  0 m, b1  c10 m, b2  c20 m, c  k m, f  m0e2 sint m , tn1 n tn1 ta viết lại phương trình chuyển động trên Các tích phân trong phương trình (24) bây giờ là những tích x  t   aDp x  t   b1xDp x  t   b2 x 2Dp x  t   cx  t    f t , (14) phân xác định thông thường và có thể dễ dàng giải được. Ta có các công thức xấp xỉ theo phương pháp Newmark Tiếp đến ta sẽ đi tới việc giải phương trinh vi phân chuyển 1 1  1  2  n động ở trên bằng phương pháp số Newmark.   xn x  x n1   x n1    1  x n1 , (25) Định nghĩa Riemann – Liouville đối với đạo hàm cấp không t t  2  nguyên  n x n1  1   t  và x x n1   t  xn . (26) 1 d t x    Dp x  t  D Dux  t    d, Bây giờ thay (26) vào (24) ta có   u  dt 0  t   1u (15) t1p t 2p t 2p In  x n1  1    x n1    x , (27) u 1 p, 0  u  1. 1 p 1 p  2  p  1 p  2  p  n Áp dụng quy tắc hợp thành đối với Dp x  t  ta được Tiếp theo ta chú ý đến tích phân In1 của phương trình (18). Nó x  0  u1 là kiểu tích phân chập. Tích phân xác định này có thể được xấp xỉ Dp x  t  D D  u x  t   t  D u x  t  , (16) bằng công thức hình thang như sau  u t  x x n2 x  it   Tính đạo hàm cấp không nguyên Dp x  t  tại thời điểm t  tn ở In1   0p  np1  2 p , n  2. (28) 2  tn t i1  t n  it   phương trình (16)  x  0  p Áp dụng công thức của xn ở (25) vào công thức tính In ở (28)  Dp x  t n  tn  Dp1x  tn   1 p  được t1p        x 0 1  x    x      xn  xn1   2  p   x n1  1  txn1 . (29) tn1 tn 1 In      d   d  ,     1 p 2  p t     2    1 p  tnp  1 p   0  t n    p tn1  t n    p  Sử dụng công thức Newmark đối với vận tốc xn trong phương Ký hiệu trình (25) cùng với phương trình (20) ta thay vào phương trình (21) x 0 I0  p (17) a 1 1 tn  xn  In  b1xn I0  In1   b1xn In  1 p   1 p   1 p  x    tn1 1 1 In1  t d (18)  b2 x n2 I0  In1   b2 xn2 In  cxn (30) n   p 0  1 p   1 p  x    a tn f  tn   I0  In1  .  Và In  t tn1   p d (19)  1 p  n Thay In ở phương trình (29) và xn ở phương trình (25) vào Khi đó phương trình Dp x  tn  sẽ trở thành phương trình có dạng phương trình trên ta có phương trình tính x n như sau 1 Dp x  t n   I0  In1  In  (20)  1 p  tp 3  1 t1p     b2 xn  b2 I0  In1   b2  xn1   2  p   x n1 Giả thiết tại thời điểm tn phương trình chuyển động của hệ   3  p   1 p  3  p  t   như sau    tp  2  1 tp 1 x  tn   aDpx  tn   b1x  tn  Dpx  tn   b2x2  tn  Dpx  tn   cx  tn   f  tn  (21)  1  txn1  b1  xn   2  a  b1 I0  In1  2    3  p  t   3  p 1 p với x  tn  và  x  tn  lần lượt là độ dịch chuyển và gia tốc tại thời t1p         b1  xn1   2  p   x n1  1  txn1  c xn điểm tn .   3  p  t     2    Với tn1    tn , sử dụng khai triển Taylor và ta có thể bỏ qua  1 a 1  1   số hạng bậc cao do   tn1 giả thiết rằng rất nhỏ  f  tn   I0  In1   2 xn1  x n1   1xn1 1 p  t t  2   x    x n1     tn1   xn1. (22) t1p        a  xn1   p  2   x n1   1 tx n1 . x    thay đổi trong khoảng  tn1 , tn  và ký hiệu x n  x  tn  .   3  p  t     2  (31)  Ngoài ra ta có  x n1   x n  x n1  , t  tn  tn1 , Như vậy ta được phương trình bậc ba để tính x n t Anxn3  Bnxn2  Cnx n  Fn . (32) 42 05.2021 ISSN 2734-9888
Với [3]. H. Nasuno, N. Shimizu (2007), “Power Time Numerical Integration Algorithm for t p Nonlinear Fractional Differential Equations”, pp.1-32. A n  b2 ,   3  p  [4]. N. Shimizu, H. Nasuno (2007), “Modeling and Analysis of Nonlinear Viscoelastic  1 t1p     Systems by means of Fractional Calculus – Numerical Integration Algorithms”, Bn b2 I0  In1   b2  x n1   2  p   x n1   1 p    3  p   t   Internaitonal Conference on Material Theory and Nonlinear Dynamics, Hanoi. [5]. K. Diethelm (2003), Fractional Differential Equations, Vorlesunysskrifit der TU   p   t n1  b1   1  tx , 2   3  p  Braunschweig.     [6]. Q. Chen, B. Suki, K.N. An (2004), “Dynamic Mechanical Properties of Agarose  1 t p 1 Cn  a  b1 I0  In1  Gels Modeled by a Fractional Derivative Model”, ASME J. Appl. Mech, Vol.126, pp. 666-671.  t 2   3  p   1 p  [7]. N. Gil-Negrete, J. Vinolas, L. Kari (2009), “A Nonlinear Rubber Material Model t1p          b1  x n1   2  p   x n1   1  t xn1   c  , Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent Effects”, ASME J.   3  p   t    2    Appl. Mech, Vol.76, pp. 110091-110099. a  1 1  1   Fn  f  tn   I0  In1    2 xn1  x n1    1 xn1   1 p   t  t  2   t1p        a  x n1   p  2   x n1    1 tx n1  .   3  p   t    2   Giải phương trình trên ta tìm được nghiệm số x n của phương trình vi phân dao động mx   t   0 1 c1x  c 2 x 2  Dp x  t   kx  t   m0 e 2 sin t. x  t   aDp x  t   b1xDp x  t   b2 x 2Dp x  t   cx  t   hay  f  t  theo các giá trị của x n1 , x n1 ,  x n1 với x n1 và  x n1 được tính như sau  1  1 1  1   xn t x  2 n t x  2 n1  t x n1    1  2 x n1       (33)  x  n    tx n    x  n1  1    txn1  Giả thiết rằng điều kiện ban đầu của các công thức trên x  0  , x  0  đã cho. 3.3. Tính toán số Với các số liệu m 1, p 0.5, k 1, 0 2, m0e 2 sin t 0.5sin t,  c1 1.5, c 2,  t 0.01,  1 ,   1 , x  0 0, x  0 0. 2 2 4 với  2 và  3 ta có đồ thị dao động (hình 2). 4. Kết luận Sau khi tìm được nghiệm số của phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số và qua đồ thị dao động có được, chúng ta có thể rút ra kết luận: Quá trình dao động của mô hình hoàn toàn phù hợp với đặc tính dao động của hệ chịu cản. Nhờ việc khảo sát ứng xử phi tuyến của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số, các kết cấu kỹ thuật phức tạp có thể được thiết kế hợp lý, đảm bảo các tiêu chuẩn kỹ thuật. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Khang (2008), “Bài giảng phương trình vi phân cấp phân số”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. [2]. Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. ISSN 2734-9888 05.2021 43