zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

» Môi trường

Tính trắc địa của các đồ thị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

29
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết nhóm hình học được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm từ những năm 90 của thế kỷ trước đến nay. Bài viết chứng minh được một kết quả rằng, với metric được xác định như trên, (X,d) là một không gian metric trắc địa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính trắc địa của các đồ thị

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TÍNH TRẮC ĐỊA CỦA CÁC ĐỒ THỊ Lương Quốc Tuyểna*, Lê Thị Thu Nguyệta Nhận bài: 01 – 10 – 2016 Tóm tắt: Trong bài báo này, trước tiên chúng tôi chứng minh được rằng chiều dài của một đường đi Chấp nhận đăng: tuyến tính từng khúc bất kỳ trong một không gian metric X là không phụ thuộc vào các phép phân hoạch 28 – 11 – 2016  của đoạn [a,b], và các ánh xạ affine ck xác định trên đoạn [tk, tk+1]. Sau đó, chúng tôi chứng minh rằng http://jshe.ued.udn.vn/ với hai điểm x và y bất kỳ trong một không gian metric X, luôn tồn tại một đường đi tuyến tính từng khúc nối x với y. Hơn nữa, chúng tôi đã chứng tỏ rằng công thức: d(x,y) = inf {l(c): c là một đường đi tuyến tính từng khúc nối x với y} là một metric trên X. Cuối cùng, chúng tôi đã chứng minh được một kết quả rằng, với metric được xác định như trên, (X,d) là một không gian metric trắc địa. Từ khóa: đồ thị; không gian metric; không gian metric trắc địa; đường trắc địa; đường đi tuyến tính từng khúc; ánh xạ affine. Cho ( X , d ) là một không gian metric và x, y  X . 1. Giới thiệu Ta nói rằng một đường trắc địa nối x, y trong X là một Lý thuyết nhóm hình học được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm từ những năm 90 của thế kỷ trước ánh xạ đến nay. Qua đó, các nhà toán học đã thu được rất nhiều c : [0, l ] → X (l  0) kết quả liên quan đến không gian metric trắc địa và thỏa mãn không gian metric hyperbolic. Đặc biệt, trong [1], các c (0) = x, c(l ) = y, tác giả đã xây dựng đồ thị và đã thu được một số kết quả | c(t ) − c(t ') | = | t − t ' | với mọi t , t '  [0, l ]. đẹp trên không gian metric. Từ đây ta cũng suy ra được rằng d ( x, y ) = l và c là ánh Trong bài báo này, trước tiên chúng tôi chứng xạ liên tục. minh rằng chiều dài của một đường đi tuyến tính từng Mỗi không gian metric trắc địa là một không gian khúc bất kỳ trong một không gian metric X là không metric mà với bất kỳ hai phần tử của nó đều có một phụ thuộc vào các phép phân hoạch  của đoạn [a, b] đường trắc địa nối chúng. và các ánh xạ affine ck. Tiếp theo, chúng tôi chứng Nhận xét. minh rằng với hai điểm x và y bất kỳ trong một không - Nếu c : [0, l ] → X là một đường trắc địa nối gian metric X, luôn tồn tại một đường đi tuyến tính từng khúc nối x với y. Qua đó, chúng tôi đã xây dựng x, y, thì được một metric d trên X mà (X,d) là một không gian metric trắc địa. c ' : [0, l ] → X t a c '(t ) = c (l − t ) 2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu cũng là một đường trắc địa nối y, x. 2.1. Cơ sở lý thuyết - Với mỗi phần tử x của một không gian metric 2.1.1. Không gian metric trắc địa ( X , d ) luôn có đường trắc địa nối x, x là ánh xạ hằng. Tia trắc địa là một tập con của một không gian metric mà nó đẳng cự với [0, +). aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả 2.1.2. Đồ thị Lương Quốc Tuyển Email: lqtuyen@ued.udn.vn Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 4 (2016),17-26 | 17
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt Đồ thị là một tổ hợp G gồm hai tập hợp, V được f (1 − t )a + tb = (1 − t ) f (a) + tf (b). gọi là tập các đỉnh và E được gọi là tập các cạnh mà tồn tại các ánh xạ Mỗi ánh xạ c :[a, b] → X (a  b) được gọi là một  0 : E → V , 1 : E → V đường đi tuyến tính từng khúc nếu tồn tại phép phân sao cho V =  0 ( E )  1 ( E ). hoạch  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  của [ a, b] sao cho với Ta sẽ gán mỗi đồ thị G với một tập X G còn gọi tắt mọi k 0,..., n −1 , tồn tại ek  E và tồn tại là X như sau: ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] Cho tập E  [0,1], ta xác định một quan hệ R trên là ánh xạ affine sao cho đó như sau: Với mọi (e, t ), (e ', t ')  E  [0,1], ta có c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . (e, t ) R(e ', t ') (e, t ) R(e ', t ')   Giả sử c :[a, b] → X (a  b) là đường đi tuyến tính t (e) = t ' (e ') trong đó t , t '  0,1. Rõ ràng rằng đây là một quan hệ từng khúc, và  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một phép phân tương. Ta đặt X = ( E  [0,1]) / R, và xét ánh xạ hoạch của [ a, b] sao cho với mọi k 0,..., n −1 , tồn p : E  [0,1] → X tại ek  E , và ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ affine sao (e, t ) a [(e, t )]. cho c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Ta đặt Bây giờ, với mọi e  E , ta xét n −1 f e :[0,1] → X l (c) =  | ck (tk ) − ck (tk +1 ) | . k =0 t a p(e, t ). Khi đó, l (c ) được gọi là độ dài của đường đi tuyến tính Khi đó, ta thấy rằng f e là đơn ánh trên (0,1). Ngoài ra, từng khúc c. nếu f e (0) = f e (1), thì e được gọi là một loop. Giả sử x, y  X và c :[a, b] → X (a  b) sao cho Giả sử v V . Khi đó, v   0 ( E )  1 ( E ). Suy ra c(a) = x, c(b) = y. Khi đó, ta nói rằng c nối x với y. tồn tại e  E sao cho  0 (e) = v hoặc tồn tại e '  E sao cho 1 (e ') = v. Nhận xét. Nhận xét. Giả sử  :V → X được xác định như - Giả sử a  b, a '  b ' và c : [a, b] → X là một sau: nếu tồn tại e  E sao cho  0 (e) = v, thì đường đi tuyến tính từng khúc,  : [a ', b '] → [ a, b] là (v) = p(e, 0) , và nếu tồn tại e*  E sao cho ánh xạ affine thỏa mãn  (a ') = a,  (b ') = b. Khi đó, 1 (e*) = v, thì  (v) = p(e*,1). Khi đó,  được xác c o : [ a ', b '] → X định đúng đắn và đơn ánh. Như vậy, ta đồng nhất mỗi cũng là đường đi tuyến tính từng khúc và l (c o ) = l (c). v V với  (v)  X và có thể xem V như là một tập - Giả sử a  b  b' và c : [ a, b] → X , con của X . d : [b, b '] → X là các đường đi tuyến tính từng khúc Giả sử a  b. Ta nói f :[a, b] → R là ánh xạ thỏa mãn c(b) = d (b). Ta đặt e : [a, b '] → X được xác affine nếu với mọi u, v  [a, b], với mọi t  [0,1], ta có định bởi f (1 − t )u + tv = (1 − t ) f (u) + tf (v). c(t ), t  [a, b], e(t ) =  Ta nhận thấy rằng f :[a, b] → R là ánh xạ affine khi và d (t ), t  [b, b ']. chỉ khi tồn tại  ,   ¡ sao cho Bởi vì c(b) = d (b) nên e được xác định đúng đắn. Hơn f (u ) =  u +  , u  [a, b], nữa, e là một đường đi tuyến tính từng khúc và khi và chỉ khi với mọi t  [0,1], ta có 18
ISSN 1859 - 4603 - T Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 4 (2016),17-26 l (e) = l (c) + l (d ). Khi đó, e được gọi là đường đi tuyến p ( ek , ck (t ) ) = c(t ) = p ( e 'k , c 'k (t ) ) tính từng khúc nối c, d . nên ek = e 'k , ck (t ) = c 'k (t ), kéo theo c 'k là ánh xạ hằng. - Giả sử a  b và c : [a, b] → X là một đường đi Điều này mâu thuẫn với c 'k không là hằng trên tuyến tính từng khúc, [tk , tk +1 ]. Như vậy, chỉ xảy ra hai trường hợp sau: c : [ a, b] → X - Trường hợp 1. ck , c 'k cùng là ánh xạ không phải t a c (t ) = c(a + b − t ). là hằng. Khi đó, theo cách lập luận trên ta có Khi đó, c là một đường đi tuyến tính từng khúc và ck (t ) = c 'k (t ) với mọi t  (tk , tk +1 ). Mặt khác, vì các ánh l (c ) = l (c ). xạ affine đều liên tục nên ta cũng có 2.2. Phương pháp nghiên cứu ck (tk ) = c 'k (tk ), ck (tk +1 ) = c 'k (tk +1 ). Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý Suy ra | ck (tk ) − ck (tk +1 ) | = | c 'k (tk ) − c 'k (tk +1 ) | . thuyết trong quá trình thực hiện bài báo. Nghiên cứu các tài liệu của những tác giả đi trước, làm yếu giả thiết để - Trường hợp 2. ck , c 'k cùng là ánh xạ hằng. Khi đó, thu được kết quả tổng quát hơn. | ck (tk ) − ck (tk +1 ) | = 0 = | c 'k (tk ) − c 'k (tk +1 ) | . 3. Kết quả và đánh giá Như vậy, 3.1. Kết quả n −1 n −1 3.1.1.Định lí. Giả sử a  b và c : [a, b] → X là một  | c (t k =0 k k ) − ck (tk +1 ) |=  | c 'k (tk ) − c 'k (tk +1 ) | . k =0 đường đi tuyến tính từng khúc. Khi đó, l (c ) không phụ Từ kết quả của Bước 1, ta có thể đặt thuộc vào phép phân hoạch  và các ánh xạ affine ck . n −1 n −1 l (c) =  | ck (tk ) − ck (tk +1 ) | =  | c 'k (tk ) − c 'k (tk +1 ) | . Chứng minh. Phép chứng minh được thực hiện theo các k =0 k =0 bước như sau. Bước 2. Giả sử  1 ,  2 là hai phân hoạch bất kỳ của Bước 1. Giả sử  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một phân của [ a, b] mà  2 mịn hơn  1 . Ta sẽ chỉ ra rằng hoạch bất kỳ của [a, b], và giả sử với mọi l1 (c) = l 2 (c). Thật vậy, không giảm tổng quát ta có k 0,..., n −1 , tồn tại ek , e 'k  E và tồn tại thể giả thiết bổ sung rằng  2 hơn  1 một điểm chia, ck , c 'k : [tk , tk +1 ] → [0,1] là các ánh xạ affine sao cho nghĩa là c |[tk ,tk +1 ] = fek ock , c |[tk ,tk +1 ] = fe 'k oc 'k . 1 = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn ;  2 = t0 ,..., tk , u, tk +1 ,..., tn . Ta sẽ chỉ ra rằng Giả sử rằng với mọi k 0,..., n −1 , tồn tại ek  E và n −1 n −1 ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là các ánh xạ affine sao cho  | c (t k =0 k k ) − ck (tk +1 ) | =  | c 'k (tk ) − c 'k (tk +1 ) | . k =0 c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Ta đặt Thật vậy, với mọi k 0,..., n −1 , giả sử ck là hằng e '0 = e0 , d 0 = c0 :[t0 , t1 ] → [0,1],..., trên [tk , tk +1 ] và c 'k không là hằng trên [tk , tk +1 ]. Khi e 'k −1 = ek −1 , d k −1 = ck −1 :[tk −1 , tk ] → [0,1], đó, vì mỗi ánh xạ affine là liên tục và c 'k có các giá trị e 'k = ek , d 'k = ck |[tk ,u ] :[tk , u ] → [0,1], thuộc [0,1] nên với mọi t  (tk , tk +1 ), tồn tại   (0,1) e ''k = ek , d ''k = ck |[u ,tk +1 ] :[u, tk +1 ] → [0,1], sao cho t = (1 −  )tk +  tk +1 . Suy ra e 'k +1 = ek +1 , d k +1 = ck +1 :[tk +1 , tk + 2 ] → [0,1],..., c 'k (t ) = (1 −  )c 'k (tk ) +  c 'k (tk +1 )  (0,1). e 'n −1 = en −1 , d n −1 = cn −1 :[tn −1 , tn ] → [0,1]. Bởi vì Ta có 19
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt l1 (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | +...+ | ck −1 (tk −1 ) − ck −1 (tk ) | (1.1) Nếu x = y = p (e, 0) với e là một phần tử của + | ck (tk ) − ck (tk +1 ) | + | ck +1 (tk +1 ) − ck +1 (tk + 2 ) | E , thì ta đặt + ... + | cn −1 (tn −1 ) − cn −1 (tn ) | c : [0,1] → X = | d 0 (t0 ) − d 0 (t1 ) | +...+ | d k −1 (tk −1 ) − d k −1 (tk ) | t a p (e, 0) + | ck (tk ) − ck (u ) + ck (u ) − ck (tk +1 ) | và với mọi t  [0,1], ta đặt c1 (t ) = 0. Khi đó, c = f e o c1 . + | d k +1 (tk +1 ) − d k +1 (tk + 2 ) | +... Suy ra l (c) = | c1 (0) − c1 (1) | = 0. Như vậy, min A = 0. + | d n −1 (tn −1 ) − d n −1 (tn ) | . (1.2) Nếu x = y = p (e,1) với e là một phần tử của Bởi vì ck là ánh xạ affine nên nó đơn điệu. Do đó, E , thì ta đặt | ck (tk ) − ck (u ) + ck (u ) − ck (tk +1 ) | c : [0,1] → X = | ck (tk ) − ck (u ) | + | ck (u ) − ck (tk +1 ) | t a p (e,1) = | d 'k (tk ) − d 'k (u ) | + | d ''k (u ) − d ''k (tk +1 ) | . và với mọi t  [0,1], ta đặt c1 (t ) = 1. Khi đó, c = f e o c1 , Suy ra kéo theo l (c) = | c1 (0) − c1 (1) | = 0. Như vậy, min A = 0. l1 (c) = | d 0 (t0 ) − d 0 (t1 ) | + ... + | d k −1 (tk −1 ) − d k −1 (tk ) | (1.3) Nếu x = y = p (e, s ) với e  E , s  (0,1), thì + | ck (tk ) − ck (u ) + ck (u ) − ck (tk +1 ) | ta đặt + | d k +1 (tk +1 ) − d k +1 (tk + 2 ) | ...+ | d n −1 (tn −1 ) − d n −1 (tn ) | c :[0,1] → X = | d 0 (t0 ) − d 0 (t1 ) | +...+ | d k −1 (tk −1 ) − d k −1 (tk ) | t a p (e, s ) + | d 'k (tk ) − d 'k (u ) | + | d ''k (u ) − d ''k (tk +1 ) | và với mọi t  [0,1], ta đặt c1 (t ) = s. Khi đó, c = f e o c1 , + | d k +1 (tk +1 ) − d k +1 (tk + 2 ) | ...+ | d n −1 (tn −1 ) − d n −1 (tn ) | kéo theo l (c) = | c1 (0) − c1 (1) | = 0. Như vậy, min A = 0. = l 2 (c). Trường hợp 2. x  y. Bước 3. Giả sử  1 ,  2 là các phân hoạch bất kỳ của (2.1) Nếu x, y cùng là các đỉnh của X , thì trước của [a, b]. Ta chọn một phân hoạch  mịn hơn  1 và tiên ta chỉ ra rằng tồn tại u  A sao cho tồn tại  2 . Khi đó, sử dụng kết quả của Bước 2, ta thu được vu  A  ¥ mà vu  u. Thật vậy, với mọi u  A, l1 (c) = l (c) = l 2 (c). u = l (c ) với c : [a, b] → X là một đường tuyến tính 3.1.2. Định lí. Với mọi x, y  X , tồn tại một đường đi từng khúc nối x, y. Xét tập tất cả các đường đi tuyến tuyến tính từng khúc nối x, y. tính từng khúc d nối x, y mà l ( d )  u. Khi đó, ta chọn một đường đi trong tập này mà có số các đoạn chia Chứng minh. Ta đặt tương ứng là bé nhất, và ta gọi số bé nhất này là n. Ta d ( x, y ) = inf{l (c) : c là đường đi tuyến tính thấy rằng tập này khác rỗng do chứa c. Bởi vì mỗi tập từng khúc nối x, y}. con khác rỗng của ¥ đều có phần tử bé nhất nên đường đi như thế là tồn tại. Ta gọi đường đi này là Khi đó, tồn tại d : [a ', b '] → X . min{l (c) : c là đường đi tuyến tính từng khúc nối x, y}. Giả sử  = s0 ,..., sn  là một phân hoạch tương ứng Thật vậy, ta đặt của [a ', b '] sao cho với mọi k 0,..., n −1 , tồn tại A = {l (c) : c là đường đi tuyến tính từng khúc nối x, y}. ek  E và d k : [ sk , sk +1 ] → [0,1] là các ánh xạ affine Ta thấy rằng A   và u  0 với mọi u  A. Hơn nữa, A có phần tử bé nhất. Thật vậy, thỏa mãn d |[ sk , sk +1 ] = fek odk và Trường hợp 1. x = y. 20
ISSN 1859 - 4603 - T Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 4 (2016),17-26 n −1 d 0 ( sm0 +1 ) = d1 ( sm0 +1 ), | d k ( sk ) − d k ( sk +1 ) |= l (d ). k =0 d1 ( sm0 + 2 ) = d 2 ( sm0 + 2 ), Nếu n = 1, thì do d ( s0 ), d ( s1 ) là các đỉnh của X nên ..., d m1 − 2 ( sm1 −1 ) = d m1 −1 ( sm1 −1 ) d ( s0 ) = f e0 ( d 0 ( s0 ) ) = p ( e0 , d 0 ( s0 ) ) . Từ đó, ta suy ra Suy ra d0 (s0 ) 0,1 và | d 0 ( sm0 ) − d 0 ( sm0 +1 ) | + | d1 ( sm0 +1 ) − d1 ( sm0 + 2 ) | d ( s1 ) = f e0 ( d 0 ( s1 ) ) = p ( e0 , d 0 ( s1 ) ) , + | d 2 ( sm0 + 2 ) − d 2 ( sm0 + 3 ) | +... kéo theo d0 (s1 ) 0,1. Do đó, + | d m1 −1 ( sm1 −1 ) − d m1 −1 ( sm1 ) |  | d 0 ( sm0 ) − d m1 −1 ( sm1 ) | . | d ( s0 ) − d ( s1 ) | ¥ , suy ra l ( d )  ¥ . Như vậy, nếu ta đặt vu = l (d ), thì Hơn nữa, vì d (sm0 +1 ),..., d (sm1 −1 ) không là đỉnh của X vu  A  ¥ và vu  u. nên e0 = ... = em1 −1. Suy ra Bây giờ, giả sử n  2. Khi đó,nếu tồn tại ( ) ( p e0 , d0 (sm0 ) = d (sm0 )  d (sm1 ) = p e0 , d m1 −1 (sm1 ) , ) k 0,..., n −1 sao cho d k là hằng trên [ sk , sk +1 ], thì kéo theo d0 (sm0 )  dm1 −1 (sm1 ). Mặt khác, vì bằng cách bỏ đi đoạn [ sk , sk +1 ] ta có thể lập được một đường đi tuyến tính từng khúc nối x, y có độ dài nhỏ d0 ( sm0 ), d m1 −1 ( sm1 )  0,1 hơn hay bằng l ( d )  u. Mặt khác, vì số đoạn chia nhỏ nên | d0 (sm0 ) − dm1 −1 (sm1 ) |  1. hơn n nên ta suy ra vô lý. Do đó, với mỗi Bởi vì d (sm0 ), d (sm1 ) là hai đỉnh khác nhau của k 0,..., n −1 , d k không là hằng trên [ sk , sk +1 ]. Như cùng một cạnh e0 nên sử dụng hàm f e0 ta tìm được một vậy, với mọi k 0,..., n −1 , và với mọi s  ( sk , sk +1 ), tồn tại   (0,1) sao cho đường đi tuyến tính từng khúc nối d (sm0 ), d (sm1 ) có độ dài bằng 1. Ta thay d |[ sm bằng đường đi mới này. s = (1 −  ) sk + stk +1 . 0 , sm1 ] Tiếp tục làm như thế đối với các đoạn Suy ra [sm1 , sm2 ], ...,[smp−1 , smp ] ta tìm được một đường đi d k ( s ) = (1 −  )d k ( sk ) +  d k ( sk +1 )  (0,1), tuyến tính từng khúc  nối x, y mà l ( )  u và có độ kéo theo d (s) = p ( ek , dk (s) ) . Do vậy, d ( s ) không là dài là một số tự nhiên. đỉnh của đồ thị X . Bây giờ, ta đặt Tiếp theo, vì vu : u  A là một tập con khác rỗng {k  {0,..., n}: d ( sk ) là đỉnh của X } = m0 ,..., mp , của tập ¥ nên nó có phần tử bé nhất, và phần tử này trong đó 0 = m0  ...  mp = n. Khi đó, ta suy ra cũng là phần tử bé nhất của A. Như vậy, ta đã chứng minh được cho trường hợp x, y là các đỉnh của X . Hơn d (sm0 ),..., d (smp ) là phân biệt. Thật vậy, giả sử ngược nữa, nếu d ( x, y ) = n  ¥ * , thì tồn tại các đỉnh lại rằng có hai đỉnh trùng nhau. Bằng cách bỏ đi một số đoạn ta tìm được một đường đi tuyến tính từng khúc nối x = d 0 , d1 ,..., d k , d k +1 ,..., d n = y x, y có độ dài nhỏ hơn hay bằng u và số các đoạn chia và tồn tại e0 , ... ek , ek +1 , ..., en −1  E và d k , d k +1 là hai nhỏ hơn n. Điều này dẫn đến vô lý. đầu mút khác nhau của ek với mọi k 0,..., n − 1. Bởi vì d (sm0 +1 ),..., d (sm1 −1 ) không là đỉnh của X nên ta có 21
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2.2) Nếu x không là một đỉnh nào của X và y là k0 0,..., n −1 sao cho c(t0 ),..., c(tk0 ) không là đỉnh một đỉnh của X , thì tồn tại e  E , t '0  (0,1) sao cho của X , c(tk0 +1 ) là một đỉnh của X . Ta có, x = p (e, t '0 ). Bây giờ, giả sử e = e0 = ... = ek0 , c0 (t1 ) = c1 (t1 ), d :[0, t0 '] → X c1 (t2 ) = c2 (t2 ), ..., ck0 −1 (tk0 ) = ck0 (tk0 ). t a d (t ) = p(e, t ). Khi đó, d là một đường đi tuyến tính từng khúc nối Khi đó, x, p (e, 0) có độ dài t '0 . Ta đặt +) Nếu ck0 (tk0 +1 ) = 0, thì u = d ( p(e,0), y ) . c(tk0 +1 ) = p(ek0 , ck0 (tk0 +1 )) = p(e,0) Khi đó, u  ¥ . Hoàn toàn tương tự ta suy ra và ta có d ' :[t0 ',1] → X l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | t a d '(t ) = p(e, t ). + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u là một đường đi tuyến tính từng khúc nối x, p (e,1) có = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u độ dài 1 − t '0 . Bây giờ, ta đặt  | t '0 | +u v = d ( p(e,1), y ) .  . Suy ra v  ¥ . Ta sẽ chứng minh rằng +) Nếu ck0 (tk0 +1 ) = 1, thì d ( x, y) = min u + t '0 , v + 1 − t '0 . ( ) c(tk0 +1 ) = p ek0 , ck0 (tk0 +1 ) = p(e,1) Thật vậy, đặt  = min u + t '0 , v + 1 − t '0 . Khi đó, hiển nhiên rằng tồn tại một đường đi tuyến tính nối x, y mà và ta có có độ dài bằng  . Giả sử c : [a, b] → X là một đường l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +v đi tuyến tính từng khúc nối x, y. Ta chứng tỏ rằng l (c )   . = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u Giả sử  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một phân hoạch  | t '0 − 1| +v của [ a, b] sao cho với mọi k 0,..., n −1 , tồn tại  . ek  E và tồn tại ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ affine (2.3) Nếu x không là một đỉnh nào của X và y thỏa mãn c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Ta có không là một đỉnh nào của X, thì tồn tại c(a ) = x = p (e, t0 ) , t0  (0,1), e  E , t '0  (0,1) sao cho x = p (e, t '0 ) , và tồn tại e '  E , t ''0  (0,1) sao cho y = p (e ', t ''0 ). c(a) = p ( e0 , c0 (a) ) . Nếu e  e ', thì xét Suy ra e0 = e, c0 (a ) = t0 . Xét d :[0, t '0 ] → X c0 (t0 ), c0 (t1 ), c1 (t1 ), c1 (t2 ), c2 (t2 ), ..., cn −1 (tn −1 ), cn −1 (tn ). t a d (t ) = p(e, t ). Ta thấy rằng với mọi k 0,..., n −1 , ck (tk +1 ), ck +1 (tk +1 ) Khi đó, d là một đường đi tuyến tính từng khúc nối x, đồng thời cùng thuộc hoặc đồng thời không cùng thuộc tập (0,1). Hơn nữa, ta thấy c(t0 ) không là đỉnh của X , p (e, 0) có độ dài là t '0 . Ta đặt c(tn ) là đỉnh của X. Do đó, ta tìm được u = d ( p(e,0), y ) . Hoàn toàn tương tự ta suy ra 22
ISSN 1859 - 4603 - T Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 4 (2016),17-26 d ' :[t '0 ,1] → X l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | t a d '(t ) = p(e, t ). + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u là một đường đi tuyến tính từng khúc nối x, p (e,1) có = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u độ dài là 1 − t '0 . Ta đặt v = d ( p(e,1), y ) . Như vậy,  | t '0 | +u v  ¥ . Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng  . d ( x, y) = min u + t '0 , v + 1 − t '0 . - Nếu ck0 (tk0 +1 ) = 1, thì Thật vậy, ta đặt  = min u + t '0 , v + 1 − t '0 . ( ) c(tk0 +1 ) = p ek0 , ck0 (tk0 +1 ) = p(e,1) Khi đó, theo chứng minh trên ta suy ra rằng tồn tại một và ta có đường đi tuyến tính nối x, y mà có độ dài bằng  . Giả l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | sử c : [a, b] → X là một đường đi tuyến tính từng khúc + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +v nối x, y ta phải chứng minh l (c )   . = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | Thật vậy, giả sử  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một + ...+ | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u  | t '0 − 1| +v phân hoạch của [ a, b] sao cho với mọi k 0,..., n −1 ,  . tồn tại ek  E và tồn tại ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ Ta thấy rằng, nếu e = e ', thì rõ ràng ta tìm được một affine sao cho c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Ta xét hai trường hợp đường đi tuyến tính từng khúc nối x, y có độ dài là sau. | t '0 − t ''0 | (*). 1. Trường hợp c(t0 ),..., c(tn ) không là đỉnh của X . Bây giờ, giả sử Khi đó, e = e0 = e1 = ... = en −1 = e '. Điều này là vô lý. d :[0, t '0 ] → X 2. Trường hợp ngược lại ta tìm được t a d (t ) = p(e, t ). k0  0,..., n − 2 sao cho c(t0 ),..., c(tk0 ) không là đỉnh Khi đó, d là một đường đi tuyến tính từng khúc nối của X , c(tk0 +1 ) là một đỉnh của X . Ta có x, p (e, 0) có độ dài là t '0 . Ta đặt e = e0 = ... = ek0 , u = d ( p(e,0), y ) . c0 (t1 ) = c1 (t1 ), c1 (t2 ) = c2 (t2 ),..., ck0 −1 (tk0 ) = ck0 (tk0 ). Hoàn toàn tương tự ta suy ra rằng Hơn nữa, d :[0, t '0 ] → X - Nếu ck0 (tk0 +1 ) = 0, thì t a d (t ) = p(e, t ). ( ) c(tk0 +1 ) = p ek0 , ck0 (tk0 +1 ) = p(e,0), là một đường đi tuyến tính từng khúc nối x với p (e,1) và có độ dài là 1 − t '0 , ta đặt v = d ( p(e,1), y ) . Ta sẽ và ta có chứng minh rằng d ( x, y) = min u + t '0 , v + 1 − t '0 ,| t '0 − t ''0 |. Thật vậy, ta đặt  = min u + t '0 , v + 1 − t '0 ,| t '0 − t ''0 |. 23
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt Khi đó, sử dụng (*) ta suy ra rằng tồn tại một đường đi Như vậy, ta đã chứng minh được rằng A có phần tuyến tính nối x, y mà có độ dài bằng  . Bây giờ, giả tử bé nhất. Do đó, tồn tại một đường đi tuyến tính từng sử c : [a, b] → X là một đường đi tuyến tính từng khúc khúc c nối x, y sao cho l (c) = d ( x, y ). nối x, y. Ta phải chứng minh l (c )   . 3.1.3. Định lí. d được xây dựng trong chứng minh của Định lí 3.1.2 là một metric trên X . Giả sử  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một phân hoạch Chứng minh. Giả sử x, y, z  X . Khi đó, của [ a, b] thỏa mãn rằng với mọi k 0,..., n −1 , tồn (1) Bởi vì tại ek  E , ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ affine sao cho d ( x, y ) = inf{l (c) : c là đường đi tuyến tính c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Khi đó, từng khúc nối x, y}. Nếu c(t0 ),..., c(tn ) không là đỉnh của X . Khi đó, e = e0 = e1 = ... = en −1 . Suy ra nên d ( x, y )  0. Hơn nữa, ta có l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t0 ) − c1 (t1 ) | +... (1.1) Nếu x = y, thì hiển nhiên rằng d ( x, y ) = 0. + | cn −1 (tn −1 ) − cn −1 (tn ) | (1.2) Nếu x  y , thì ta chọn c là đường đi tuyến  | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t0 ) − c2 (t1 ) | +... tính từng khúc nối x, y sao cho l (c) = d ( x, y ). Giả sử + | cn −1 (tn −1 ) − cn −1 (tn ) |  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một phân hoạch của [ a, b]  | t '0 − t ''0 |   . sao cho với mọi k 0,..., n −1 , tồn tại ek  E và Nếu ngược lại ta tìm được k0  0,..., n − 2 sao ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ affine thỏa mãn cho c(t0 ),..., c(tk0 ) không là đỉnh của X , c(tk0 +1 ) là một c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Bây giờ, nếu d ( x, y ) = 0, thì đỉnh của X . Ta có e = e0 = ... = ek0 , 0 = l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | +... + | cn −1 (tn −1 ) − cn −1 (tn ) | . c0 (t1 ) = c1 (t1 ), c1 (t2 ) = c2 (t2 ),..., ck0 −1 (tk0 ) = ck0 (tk0 ); Bây giờ, ta xét hai trường hợp sau: Suy ra + Trường hợp ck0 (tk0 +1 ) = 0 : c0 (t0 ) = c0 (t1 ), c1 (t1 ) = c1 (t2 ),..., cn −1 (tn −1 ) = cn −1 (tn ), Khi đó, c(tk0 +1 ) = p(ek0 , ck0 (tk0 +1 )) = p(e,0), và kéo theo l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | +... x = c(t0 ) = c(t1 ) = c(t2 ) = ... = c(tn −1 ) = c(tn ) = y. + | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u Điều này mâu thuẫn với x  y. Như vậy, d ( x, y )  0. = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | +... Do đó, nếu d ( x, y ) = 0, thì x = y. + | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u (2) Ta có  | t '0 | +u   . d ( x, y ) = inf{l (c) : c là đường đi tuyến tính + Trường hợp ck0 (tk0 +1 ) = 1: từng khúc nối x, y}. Khi đó, c(tk0 +1 ) = p(ek0 , ck0 (tk0 +1 )) = p(e,1), và Đặt l (c) = | c0 (t0 ) − c0 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c1 (t2 ) | +... A = {l (c) : c là đường đi tuyến tính + | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +v từng khúc nối x, y}. = | c0 (t0 ) − c1 (t1 ) | + | c1 (t1 ) − c2 (t2 ) | +... B = {l (c) : c là đường đi tuyến tính + | ck0 (tk0 ) − ck0 (tk0 +1 ) | +u từng khúc nối y , x}.  | t '0 − 1| +v   . 24
ISSN 1859 - 4603 - T Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 4 (2016),17-26 Khi đó, d ( x, y ) = inf A, d ( y, x) = inf B. l ( )  l (c) = d ( x, y ). Giả sử c : [a, b] → X là một đường đi tuyến tính Suy ra d ( x, z )  d ( x, y ), kéo theo  ( z )  [0, d ( x, y )]. từng khúc nối x, y. Khi đó, c (t ) = c(a + b − t ) là đường + Nếu d không là điểm chia của đi tuyến tính từng khúc nối y, x và l (c ) = l (c ). Bởi thế,  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  , A = B, kéo theo inf A = inf B. Như vậy, thì ta thêm vào  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  một điểm chia d ( x, y ) = d ( y, x). d ta thu được một đường đi tuyến tính từng khúc  nối (3) Giả sử c : [a, b] → X là đường đi tuyến tính x, z mà l ( )  l (c) = d ( x, y ). Suy ra d ( x, z )  d ( x, y ), từng khúc nối x, y sao cho l (c ) = d ( x, y ) và kéo theo  ( z )  [0, d ( x, y )]. c ' : [b, b '] → X là đường đi tuyến tính từng khúc nối Như vậy,  được xác định đúng đắn. Hơn nữa, y, z sao cho l (c ') = d ( y, z ). Như vậy, đường đi nối c, c ' là tuyến tính từng khúc nối x, z có độ dài là  ( x) = d ( x, x) = 0,  ( y ) = d ( x, y ). d ( x, y ) + d ( y, z ) . Suy ra Tiếp theo, ta chứng minh  bảo toàn khoảng cách. d ( x, z )  d ( x, y ) + d ( y, z ). Giả sử z1 , z2  c([a, b]), ta sẽ chỉ ra rằng Từ chứng minh trên ta suy ra rằng d là một metric d ( z1 , z2 ) = | d ( x, z1 ) − d ( x, z 2 ) | . trên X . Thật vậy, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng 3.1.4. Định lí. ( X , d ) là một không gian metric trắc d ( x, z1 )  d ( x, z2 ), z1  z2 . địa. Bởi vì z1 , z2  c ([a, b]) nên tồn tại d1 , d 2  [a, b] sao Chứng minh. Giả sử x, y  X . Khi đó, cho d1  d 2 , c ( d1 ) = z1 , c ( d 2 ) = z2 . Bây giờ, giả sử +) Nếu x = y, thì ta chọn c :[0, 0] → {x}. Bởi thế, d1  d 2 . Khi đó, l (c |[ a, d1 ] )  d ( x, z1 ). Hơn nữa, nếu ta thu được c là một đường trắc địa nối x, y. l (c |[ a, d1 ] )  d ( x, z1 ), thì ta sẽ tìm được một đường đi +) Nếu x  y , thì ta lấy c : [a, b] → X ( a  b) là tuyến tính từng khúc nối x , z1 mà có độ dài bé hơn một đường đi tuyến tính từng khúc nối x, y sao cho l (c |[ a,d1 ] ). Bởi thế, ta tìm được một đường đi tuyến tính l (c) = d ( x, y ). Giả sử  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  là một từng khúc nối x, y có độ dài bé hơn l (c ). Suy ra phân hoạch của [ a, b] sao cho với mọi k 0,..., n −1 , l (c |[ a, d1 ] ) = d ( x, z1 ), đây là một mâu thuẫn. Như vậy, tồn tại ek  E , ck : [tk , tk +1 ] → [0,1] là ánh xạ affine mà l (c |[ a, d1 ] ) = d ( x, z1 ). Hoàn toàn tương tự, ta có c |[tk ,tk +1 ] = fek ock . Lập ánh xạ l (c |[ a, d2 ] ) = d ( x, z2 ), suy ra  : c([a, b]) → [0, d ( x, y )] z a  ( z ) = d ( x, z ). d ( x, z1 ) = l (c |[ a, d1 ] )  l (c |[ a, d2 ] ) = d ( x, z2 ). Đầu tiên, ta chỉ ra rằng  được xác định đúng đắn. Thật Điều mâu thuẩn này chứng tỏ rằng d1  d 2 . vậy, lấy d  [a, b] sao cho c(d ) = z. Khi đó, Ta lại có + Nếu d là một điểm chia của l (c |[ d1 ,d2 ] )  d ( z1 , z2 ).  = t0 ,..., tk , tk +1 ,..., tn  , Nếu l (c |[ d1 , d2 ] )  d ( z1 , z2 ), thì ta tìm được một đường đi thì ta tìm được một đường đi tuyến tính từng khúc  tuyến tính từng khúc nối z1 , z 2 có độ dài bé hơn nối x, z sao cho l (c |[ d1 , d2 ] ). Như vậy, ta tìm được một đường đi tuyến 25
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt tính từng khúc nối x, y có độ dài bé hơn l (c ). Điều Từ chứng minh trên ta suy ra rằng ( X , d ) là không mâu thuẫn này chứng tỏ rằng l (c |[ d1 , d2 ] ) = d ( z1 , z2 ). gian metric trắc địa. 3.2. Đánh giá Bởi vì l (c |[ a, d1 ] ) + l (c |[ d1 , d2 ] ) = l (c |[ a,d2 ] ) nên Các kết quả trong bài báo này có ý nghĩa về mặt lý d ( x, z1 ) + d ( z1 , z2 ) = d ( x, z2 ), thuyết và góp phần quan trọng trong Lý thuyết nhóm hình học. kéo theo d ( z1 , z2 ) = d ( x, z2 ) − d ( x, z1 ) 4. Kết luận d ( z1 , z2 ) = | d ( x, z2 ) − d ( x, z1 ) | . Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh rằng Ta thấy c : [a, b] → X là đường đi tuyến tính từng khúc, chiều dài của một đường đi tuyến tính từng khúc bất kỳ trong một không gian metric X không phụ thuộc vào các các ánh xạ affine liên tục và với mọi d1 , d 2  [a, b] sao phép phân hoạch  của đoạn [a, b] và các ánh xạ affine cho d1  d 2 , ta có ck, và với hai điểm x và y bất kỳ trong X, luôn tồn tại ( d ( c(d1 ), c(d2 ) )  l c |[ d1 , d2 ] . ) một đường đi tuyến tính từng khúc nối x với y. Qua đó, chúng tôi đã xây dựng được một metric d trên X mà (X, Do vậy, c : [a, b] → X là ánh xạ liên tục, kéo theo d) là không gian metric trắc địa trên X. c ([a, b]) là tập con liên thông của X . Mặt khác, vì  Tài liệu tham khảo bảo toàn khoảng cách nên nó cũng liên tục. Hơn nữa, vì  nhận giá trị 0 và d ( x, y ) nên [1] Martin R. B. (1999), Metric spaces of non- positive curvature, Springer-Verlag, Berlin.  : c([a, b]) → [0, d ( x, y )] [2] Batty M. (2003), Notes on hyperbolic and automatic groups, http://www.academia.edu/ là toàn ánh. Cuối cùng, vì  là bảo toàn khoảng cách nên 182087/Notes_on_Hyperbolic_and_Automatic_G nó cũng là song ánh. Như vậy, [0, d ( x, y )] đẳng cự với roups. [3] Howie J. (2015), Hyperbolic Groups Lecture Notes, c ([a, b]) và c : [a, b] → X là đường trắc địa nối x, y. http://www.macs.hw. ac.uk/~jim/samos.pdf. GEODESY OF GRAPHS Abstract: In this article, we firstly prove that the length of every piecewise linear path in a metric space X does not depend on the partitions  of section [a,b], and affine mappings ck defined on section [tk, tk+1]. Secondly, we prove that with any x and y in a metric space X, there exists a piecewise linear path joining x to y. Thirdly, we prove that the formula d(x,y) = inf {l(c): c is a piecewise linear path joining x to y} is a metric on X. Finally, we prove that with the metric defined above, (X,d) is a geodesic metric space. Key words: graph; metric space; geodesic metric space; geodesic path; piecewise linear path; affine mapping. 26

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.