Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian trình bày việc xét bài toán Dirichlet cho một dạng phương trình k-Hessian với dữ kiện không trơn trong miền bị chặn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH ( w, k ) - LỒI CỦA NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH k - HESSIAN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Nếu k = n và = 0, phương trình (1) trở Trong báo cáo này, chúng tôi xét bài toán thành phương trình Monge-Ampere n Dirichlet cho một dạng phương trình  det( D 2v)   f ( x, v, Dv)  0, x  . k - Hessian với dữ kiện không trơn trong Nếu k = 1 và  = 0, phương trình (1) trở miền bị chặn. Chúng tôi xét nghiệm nhớt cho thành phương trình Poisson phi tuyến bài toán này và sẽ đề xuất khái niệm về hàm v  f ( x, v, Dv)  0, x  . ( w, k ) - lồi, từ đó chỉ ra rằng các nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới của bài toán Dirichlet Phương trình Monge-Ampere, phương được xét ở đây cũng là các hàm ( w, k ) - lồi. trình Poisson nói riêng và phương trình k - Hessian nói chung có nhiều ứng dụng 2. NỘI DUNG BÁO CÁO trong Vật lý, độ cong hình học… (xem [2], [4]). Nếu các dữ kiện đủ trơn, nghiệm cổ điển 2.1. Đặt vấn đề của bài toán Dirichlet đối với phương trình Cho   ¡ n là miền bị chặn, M n là tập Monge-Ampere đã được nghiên cứu, thậm các ma trận vuông đối xứng cấp n với chuẩn chí đối với cả trường hợp tổng quát hơn các max; với X , Y  M n ta nói X  Y nếu tác giả trong [5] cũng đã đạt được kết quả mở i  i , i  1,2,..., n , trong đó 1  2  ...  n rộng rất đẹp. và 1   2  ...   n là các giá trị riêng tương Trường hợp   0 và f  f ( x) , nghiệm ứng của X , Y . Xét bài toán Dirichlet đối với nhớt của bài toán (1) - (2) đã được A. Colesanti công bố trong [2]. dạng phương trình k  Hessian dạng Trong bài báo này, chúng tôi sẽ mở rộng 1/ k     k  ( D 2v   ( x, v, Dv))    các kết quả của Colesanti trong [2]. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm và  f ( x, v, Dv)  0 , x  , (1) một số kết quả quan trọng về nghiệm nhớt v( x)   ( x), x  , (2) của phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp n ở đây  :   ¡  ¡  M n và 2 đã được công bố trong [1] và [3]. Xét bài f :¡ ¡ n  ¡ , f  0 toán Dirichlet tổng quát là các hàm liên tục cho trước,  F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x    (3)  ( X )  ( 1 ,..., n ) là n giá trị riêng của X ,  v ( x )   ( x ), x    k ( 1 ,..., n )   i1 ...ik cùng các điều kiện sau: 1i1 ...ik  n F ( x, t , p, X )  F ( x, t , p, Y ), X  Y (4) là các đa thức cơ bản đối xứng bậc k ; y là (điều kiện này cho ta tính elliptic suy biến hàm liên tục cho trước xác định trên ¶ W. của hàm F ), 83
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 F ( x, t , p, X )  F ( x, s, p, X ), Fk ( x, v, Dv, D 2v) (5)  ( x, p, X )    ¡ n  M n ,  t  s. Với mỗi 0  R   , tồn tai hàm không      H k  D 2v   ( x, v, Dv)  f ( x, v, Dv).  0  Khi đó phương trình (1) trở thành giảm, liên tục  R ( ) :  R ( )   0 sao F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x . cho: Xét F ( x, t , p , X )  F ( y , t , p , X )   R | x  y | (1 | p |)  , (6)   k :   ¡ n  :  j (  )  0,  j  1,2,..., k . với x, y , | t | R, p  ¡ n , X  M n . Dễ thấy rằng:  n :   ¡ n :  j  0,  j  1,2,..., n Ta nói rằng hàm  tiệm cận hàm v từ  phía trên (t.ư. từ phía dưới) tại x0   nếu i   j , i  j. v   đạt cực đại (t.ư. cực tiểu) tại x0 và Hơn nữa, toán tử k  Hessian H k   ( D 2v )  v( x0 )   ( x0 ) . là elliptic suy biến trên  k . Do đó để có được Định nghĩa nghiệm nhớt của bài toán (3) được phát biểu dưới đây. tính elliptic suy biến của Fk ta cần xét hàm Định nghĩa 1.1([1]) thử   C 2 () sao cho a) Hàm nửa liên tục trên v trên  được   D 2 ( x)   ( x, ( x), D ( x))    k . gọi là nghiệm nhớt dưới của phương trình Để đạt được điều đó, chúng tôi đề xuất trong (3) nếu với   C 2 () tiệm cận v từ khái niệm tính ( w, k )  lồi như sau. phía trên tại x0   , ta có Định nghĩa 2.1 Hàm v  C () được gọi  F x0 ,  ( x0 ), D ( x0 ), D 2 ( x0 )  0. là b) Hàm nửa liên tục dưới v trên  được ( w, k )  lồi trên  nếu với hàm gọi là nghiệm nhớt trên của phương trình   C 2 () ,  tiệm cận v từ phía dưới tại trong (3) nếu với   C 2 () tiệm cận v từ x0   ta có phía dưới tại x0   , ta có   D 2 ( x)   ( x, ( x), D ( x))    k .  2 F x0 ,  ( x0 ), D ( x0 ), D  ( x0 )  0.  Từ đó dễ thấy rằng: nếu v  C 2 () và v là c) Hàm v là nghiệm nhớt của phương trình trong (3) nếu v vừa là nghiệm nhớt trên, vừa ( w, k )  lồi trên  thì là nghiệm nhớt dưới.   D 2v( x)   ( x, v( x), Dv( x))    k , x  , Trong [3] H. Ishii đã thiết lập được kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của và với hàm thuộc lớp C 2 tính (0, n)  lồi bài toán (3) như sau. chính là tính lồi thông thường. Định lý 2.1([3]) Cho F là hàm thỏa mãn Định lý dưới đây là kết quả về tính các điều kiện (4), (5) và (6). Nếu phương ( w, k )  lồi của nghiệm nhớt trên và nghiệm trình trong (3) có một nghiệm nhớt dưới v1 nhớt dưới của (1). và một nghiệm nhớt trên v2 liên tục Lipschitz Định lý 2.2 Giải sử  , f là các hàm liên địa phương trên  và v1  v2   trên  , tục, f  0 . Nếu v là một nghiệm nhớt dưới khi đó bài toán (3) sẽ tồn tại duy nhất một hoặc là một nghiệm nhớt trên của (1) thì v là nghiệm nhớt. hàm ( w, k )  lồi trên  . 2.2. Kết quả chính Chứng minh. Giả sử v là một nghiệm nhớt 1/ k dưới của (1) nhưng v không phải là hàm Đặt H k ( 1 ,..., n )   k ( 1 ,..., n ) và ( w, k )  lồi trên  , khi đó tồn tại x0   và 84
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 một hàm hàm 0  C 2 () , 0 tiệm cận v từ 3. KẾT LUẬN phía dưới tại x0   nhưng Báo cáo là một mở rộng các kết quả trong   D 20 ( x0 )   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))    k . [2]. Qua việc đề xuất khải niệm hàm ( w, k ) - lồi, kết quả của chúng tôi đã mở rộng  tính lồi thành tính ( w, k ) - lồi của nghiệm Chọn  ( x)  0 ( x)  | x  x0 |2 ,   0. 2 nhớt của bài toán Dirichlet cho một dạng Khi đó,  tiệm cận với v từ phía dưới tại phương trình k  Hessian. Với kết quả này, x0   với   0 và chúng tôi sẽ nghiên cứu tiếp về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán   C 2 (),  ( x0 )  0 ( x0 )  Dirichlet (1) - (2).  D ( x0 )  D0 ( x0 ),  2 2 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO  D  ( x0 )  D 0 ( x0 )   I . Theo định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta có [1] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions, (1992), User’s guide to viscosity solution of   H k  D 20 ( x0 )   I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 )  second-order PDEs, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S) 27, No. 1, pp. 1-67.  f ( x, v, Dv)  0. (8) [2] A. Colesanti, P. Salani, (1999), Hessian Mặt khác, với  đủ lớn equations in non-smooth domain, Nonlinear   D 20 ( x0 )   I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))  Anal., Vol. 38, No. 6, Ser.A: Theory Methods, pp. 803-812.  n  k , [3] H. Ishii, P.L. Lions, (1990), Viscosity từ đó sẽ tồn tại  0 sao cho solution of fully nonlinear second-order elliptic PDEs, J. Diffrential equations, Vol.   D 20 ( x0 )   0 I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))  83, pp. 26-78. [4] F. Jiang, N.S. Trudinger, X.P. Yang (2015),   k . On the Dirichlet problem for a class of Do tính liên tục của Fk ta có augmented Hessian equations, J. Differential equations, Vol. 248, pp. 1548-1576   H k  D 20 ( x0 )   0 I   ( x0 , 0 ( x0 ), D0 ( x0 )  [5] H.T. Ngoan, T.T.K. Chung, (2019), Elliptic  0, solution to nonsymetric Monge-Ampere điều này mâu thuẫn với (8) và từ đó ta có type equations II. A priori estimates and the Dirichletp problem, Acta Math. Vietnam, điều phải chứng minh. No. 44, pp. 723-748. 85