Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình MongeAmpère phức suy biến" đặt ra mục đích tìm hiểu và nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère trên các đa tạp phức. Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler compact. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMKID MANYVANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SOMKID MANYVANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Dương Quang Hải .Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chích của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của tác giả khác. Tôi xin cảm đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đẫ được cảm ơn và các thông tin tích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồi gốc. Tác giả Somkid MANYVANH Xác nhận của Xác nhận của Khoa chuyên môn. Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Nguyên An TS. Dương Quang Hải i
Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Somkid Manyvanh ii
Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 1 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến 3 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic. . . . . . 5 1.3 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic . . . . . . . . . 17 2 Sự tồn tại nghiệm nhớt liên tục của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.1 Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.2 Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact . 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iii
Mở đầu Trong những năm gần đây, phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều được quan tâm nghiên cứu bằng cách sử dụng các công cụ của lý thuyết đa thế vị. Phương pháp nghiệm nhớt giải các phương trình Elliptic suy biến trên các đa tạp compact hoặc các đa tạp Riemann đầy đủ đã đạt được những kết quả quan trọng gần đây bởi M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions vào những năm 1992. Một cách tự nhiên, phương pháp nghiệm nhớt này có thể được áp dụng vào để nghiên cứu các nghiệm của phương trình Monge- Ampère kiểu elliptic dạng: (ω + ddc ϕ)n = eϕ v, trong đó ω là dạng Kahler nhẵn và v là dạng thể tích nhẵn trên đa tạp Kahler compact n chiều X . Tuy nhiên, vì yêu cầu trên các đa tạp Riemann compact hoặc đầy đủ, mọi tensor độ cong Riemann đều không âm nên phương pháp nghiệm nhớt trên của M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions không thể áp dụng vào tìm nghiệm của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến trong các trường hợp tổng quát. Tính duy nhất nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến đã được chứng minh trong các kết quả nghiên cứu của T. Aubin [2] và ST Yau [12] vào năm 1978 và tồn tại trong hơn 30 năm nay vẫn chưa được tiếp tục nghiên cứu cách kết hợp các công cụ của lý thuyết đa thế vị và phương pháp nghiệm dưới nhớt trên. Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình Monge- Ampère phức suy biến" đặt ra mục đích tìm hiểu và nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère trên các đa tạp phức. Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler com- pact. Từ những kết quả nghiên cứu ở trên, trong phần cuối của đề tài chúng tôi dành cho việc nghiên cứu và chứng minh lại giả thuyết Calabi về tính 1
liên tục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge – Ampère phức suy biến kiểu Eliptic trên các đa tạp Kahler compact trực tiếp mà không sử dụng các kỹ thuật trong Định lý nối tiếng của Aubin-Yau về tính liên tục. Các kết quả chính của luận văn được trình bày dựa vào tài liệu tham khảo chính số [7]. Nội dung của đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến" được chia làm 2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết đa thế vị phức và giải tích phức như hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, toán tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, ... Từ đó nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm nhớt của các phương trình Monge – Ampère phức suy biến trên các đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact. Cuối chương, luận văn nghiên cứu điều kiện của nguyên lý so sánh đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact. Chương 2 áp dụng nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trong chương 1, luận văn trình bày chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic. Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều để thể xây dựng lại nghiệm dưới nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục. 2
Chương 1 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức Định nghĩa 1.1.1 (Hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới). Giả sử (Ω, d) là một không gian metric, một hàm u : Ω → R ∪ {−∞} được gọi là nửa liên tục trên nếu {z ∈ Ω : u (z) < r} là một tập mở với mọi r ∈ R. Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu −u là nửa liên tục trên. Từ định nghĩa của giới hạn lim sup, chúng ta có một hàm u là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu với mọi z0 ∈ Ω, ta có lim sup u (z) = u (z0 ) , trong z→z0 đó lim sup u (z) = inf {sup {u (z) : z ∈ Ω, d (z, z0 ) < ε}} . z→z0 ε>0 Điều này có nghĩa là, với mọi α > u(z0 ) tồn tại ε > 0 sao cho u(z) < α với d (z, z0 ) < ε. Một hàm thực là liên tục nếu và chỉ nếu nó vừa là nửa liên tục dưới, vừa là nửa liên tục trên. Định nghĩa 1.1.2 (Hàm điều hòa dưới). Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại δ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r ≤ δ ta có Z2π 1 u ω + reit dt. u (ω) ≤ (1.1) 2π 0 3
Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là hàm điều hòa dưới trên Ω. Ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH (Ω). Mệnh đề 1.1.3. Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàm điều hòa dưới trên Ω. Định nghĩa 1.1.4 (Hàm đa điều hòa dưới). Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u : Ω → [−∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ 7→ u (a + λb) là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Ký hiệu PSH(Ω) là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong Ω. Và ký hiệu PSH_ (Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω. Định nghĩa 1.1.5 (Tập đa cực). Tập E ⊂ Cn được gọi là tập đa cực nếu với mỗi điểm a ∈ E đều có một lân cận V của a và một hàm u ∈ PSH(V ) sao cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u (z) = −∞}. Định nghĩa 1.1.6. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử 2 ∂ u (ddc u)n = 4n n!det dV, ∂zj ∂ z¯k n ở đây dV = 2i dz1 ∧ d¯ z1 ∧ dz2 ∧ d¯z2 ∧ ... ∧ dzn ∧ d¯ zn là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức. Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyên lý so sánh đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trong các tập giải tích trong Cn . Cho u ∈ PSH(V ) là một hàm bị chặn địa phương, đa điều hòa dưới trên một tập giải tích V . Giả sử dim V = k . Khi đó, ta định nghĩa bằng quy nạp toán tử Monge-Ampère của hàm u trên phần chính quy Vr của V như sau m ddc u := ddc u(ddc u)m−1 , với mọi 1 6 m 6 k . Và độ đo (ddc u) được xác định trên V bởi Z Z k (ddc u := ddc u)k , E E∩Vr với mọi tập con Borel E của V . Tiếp theo, nguyên lý so sánh sau được chứng minh bởi Bedford vào những năm 80 của thế kỷ trước 4
Định lý 1.1.7. Cho u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên V . Giả sử lim (u(z) − v(z)) > 0. Khi đó, ta có z→∂V Z Z c k ddc v)k . (dd u := u
điều hòa dưới (hay gọi tắt là ω -psh) nếu nó là một hàm khả tích, nửa liên tục dưới thỏa mãn ω + ddc ϕ > 0. Năm 1982, theo Bedford và Taylor [3] 00đã chứng minh được một số tính chất sau của hàm ω - đa điều hòa dưới Mệnh đề 1.2.2. Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X . Nếu ϕ là một hàm bị chặn trên X thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon (ω + ddc ϕ)nBT trên X thoản mãn tính chất sau: Nếu ϕj là dãy các hàm ω - đa điều hòa dưới địa phương, nhẵn trên X hộ tụ giảm về hàm ϕ thì dãy các độ đo nhẵn (ω + ddc ϕj )n ) hội tụ yếu tới độ đo Radon (ω + ddc ϕ)nBT . Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X và ϕ là một hàm bị chặn, v là một dạng thể tích nhẵn trên X . Nếu dãy độ đo (ω + ddc ϕj )n ) hội tụ (địa phương) đến eϕ v thì ta có đẳng thức (ω + ddc ϕ)nBT = eϕ v, (DM A)ω,v theo nghĩa đa thế vị. Phương trình (DM A)ω,v được gọi là phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic trên đa tạp Kahler compact X hữu hạn chiều. Trong kết quả nghiên cứu của Bedford và Taylor [3] đã chỉ ra rằng nếu ϕ là hàm bị chặn thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon dương (ω + ddc ϕ)nBT có tính chất sau: Nếu ϕj là dãy các hàm nhẵn, ω - đa điều hòa dưới về mặt địa phương và hội tụ giảm đến hàm ϕ. Khi đó, ta có dãy các độ đo nhẵn (ω + ddc ϕj )n hội tụ yếu tới độ đo (ω + ddc ϕ)nBT . Nếu dãy các độ đo (ω + ddc ϕj )n hội tụ địa phương đến eϕ v thì chúng ta nói rằng đẳng thức (ω + ddc ϕ)nBT = eε v, xảy ra theo nghĩa đa thế vị. 6
1.3 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v Mục đích của phần này là tìm hiểu mối quan hệ giữa lý thuyết đa thế vị của toán tử Monge-Ampère phức được đưa ra bởi Bedford-Taylor [3] năm 1982 và khái niệm nghiệm nhớt đối với phương trình Monge-Ampère thực lần đầu tiên được định nghĩa bởi P.L. Lions năm 1990. Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n chiều và v là một độ đo nửa xác định dương. Ký hiệu B là hình cầu đơn vị của Dn hoặc ảnh của B biểu diễn dưới một hệ trục tọa độ trong M . Định nghĩa 1.3.1. Hàm nửa liên tục trên ϕ : M → R ∪ {−∞} được gọi là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère (ddc ϕ)n = v, (DM A)v nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) ϕ|M 6≡ −∞. (2) Với mọi x0 ∈ M và với mọi hàm q khả vi lớp C 2 được xác định trong một lân cận của điểm x0 sao cho hàm ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0 thì ta có (ddc q)nx0 ≥ vx0 . Khi đó, ta nói rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt trên M . Nhận xét 1.3.2. Nếu v ≥ v 0 thì (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt thì suy ra (ddc ϕ)n ≥ v 0 . Đặc biệt, điều này cũng đúng nếu v 0 = 0. Mặt khác, lớp các nghiệm dưới là ổn định với việc lấy qua supremum. Cụ thể, chúng ta có kết quả sau Mệnh đề 1.3.3. Nếu các hàm ϕ1 , ϕ2 là các nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (ddc ϕ)n = v (1.2) thì sup(ϕ1 , ϕ2 ) cũng là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (1.2). 7
Chứng minh. Từ (2) của Định nghĩa (1.3.1) và Nhận xét (1.3.2) suy ra trự tiếp kết quả của mệnh đề. Kết quả sau đây về tính chéo hóa của một ma trận Hermit. Mệnh đề 1.3.4. [Bổ đề 1.4, [7]] Cho Q là một ma trận Hermit sao cho mọi ma trân Hermit nửa xác định dương H ta có det (Q + H) ≥ 0. Khi đó, Q là một ma trận nửa xác định dương. Tiếp theo, nếu hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n > 0 theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới. Mệnh đề 1.3.5. Nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (ddc ϕ)n = 0 là các hàm đa điều hòa dưới trên M . Chứng minh. Để chứng minh khẳng định của Mệnh đề 1.3.5 có tính chất địa phương nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử M = B . Cho ϕ là một nghiệm dưới của phương trình (ddc ϕ)n = 0. Gọi x0 ∈ B sao cho ϕ(x0 ) 6= −∞. Gọi q ∈ C 2 (B) sao cho ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại x0 . Khi đó, ta có ma trận Q = ddc qx0 thỏa mãn det(Q) ≥ 0. Với mọi ma trận Hermite nửa xác định dương H , ta có det(Q + H) ≥ 0. Đặt qH := q + H(x − x0 ). Suy ra hàm ϕ − qH đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0 . Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ma trận Hermite Q = ddc qx0 nửa xác định ¯ dương. Từ đó suy ra, với mọi ma trận Hermite xác định dương hij , ta có ¯ 2 ∆H q(x0 ) := hij ∂z∂ ∂qz¯ (x0 ) ≥ 0. Do đó, hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của i j phương trình Laplace ∆Hϕ = 0. Trong một hệ tọa độ phức thích hợp, toán tử vi phân hệ số không đổi này chính là các toán tử Laplace. Do đó, theo Mệnh đề 3.2.10, trang 147 của Hormander [10] áp dụng cho các hàm ϕ là ∆H − điều hòa, do đó hàm ϕ nằm trong lớp các hàm L1loc (B) và thỏa mãn ∆Hϕ≥0 theo nghĩa phân bố. Giả sử (wi ) là một véc tơ bất kỳ trong Cn . Xét một ma trận Hermite xác định dương (hij ) suy biến thành một ma trận (wi w−j ) có hạng 1. Theo tính liên tục của hàm ϕ ta có i −j ∂ 2ϕ ww ≥ 0, ∂zi ∂ z¯j theo nghĩa phân bố. Do đó, ta có ϕ là đa điều hòa dưới. 8
Ngược lại, giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới. Cố định x0 ∈ B, q ∈ C 2 (B)) sao cho ϕ − q đạt cực đại địa phương tại điểm x0 . Khi đó, với mỗi hình cầu đủ nhỏ B 0 ⊂ B có tâm tại điểm x0 ta có 1 Z ϕ(x0 ) − q(x0 ) ≥ (ϕ − q)dV, V (B 0 ) B 0 vì vậy ta có 1 1 Z Z qdV − q(x0 ) ≥ ϕdV − ϕ(x0 ) ≥ 0. V (B 0 ) B0 V (B 0 ) B0 Cho bán kính của B 0 tiến tới 0, suy ra vì q là hàm thuộc lớp C 2 nên ∆qx0 ≥ 0. Sử dụng phép thay đổi tuyến tính hệ tọa độ phức suy ra ∆H q(x0 ) ≥ 0, với mọi ma trận Hermite xác định dương. Vì vậy ddc qx0 ≥ 0 và (ddc ϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt. Tiếp theo, nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới và bị chặn địa phương thì đo đo Monge - Ampère (ddc ϕ)nBT hoàn toàn được định nghĩa theo [3] thì (ddc ϕ)nBT là giới hạn duy nhất của dãy các độ đo nhẵn (ddc ϕj )n , trong đó ϕj là dãy các hàm đa điều hòa dưới nhẵn hội tụ giảm đến hàm ϕ). Kết quả sau đây chỉ rõ mối liên hệ cơ bản giữa khái niệm đa thế vị và khái niệm nghiệm nhớt nó Mệnh đề 1.3.6. Cho ϕ là hàm nửa liên tục trên bị chặn địa phương trên M . Khi đó, hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu nó là đa điều hòa dưới và độ đo Monge-Ampère của nó thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v theo nghĩa đa thế vị. Chứng minh. Trước khi chứng minh, chúng ta nhớ lại kết quả cổ điển sau đây về nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn (Xem [3]) Bổ đề 1.3.7. Cho u, w ∈ P SH ∩ L∞ (B). Khi đó, ta có nếu u ≥ w trong lân cận của ∂B và (ddc u)nBT ≤ (ddc w)nBT thì u ≥ w trên B . Tiếp theo, giả sử ϕ ∈ P SH ∩ L∞ (B) thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v . Xét q là một hàm khả vi lớp C 2 sao cho hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương tại điểm x0 và ϕ(x0 ) = q(x0 ). Vì hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt nên theo Mệnh đề 1.3.4, ta có (ddc q)nx0 ≥ 0 và ddc qx0 ≥ 0. Mặt khác, 9
giả sử (ddc q)nx0 < vx0 . Đặt q ε := q + ε kx − x0 k2 . Chọn ε > 0 đủ nhỏ, ta có bất đẳng thức sau: 0 < (ddc qxε 0 )n < vx0 . Vì v hàm liên tục nên ta có thể chọn một hình cầu nhỏ B 0 chứa x0 bán kính r > 0 sao cho r2 q¯ε := q ε − ε ≥ ϕ, 2 trong lân cận của ∂B 0 và (ddc q¯ε )nBT ≤ (ddc ϕ)nB T . Áp dụng Nguyên lý so sánh (Mệnh đề 1.3.7) suy ra ta có q¯ε ≥ ϕ trên B 0 . Nhưng bất đẳng thức này không đúng tại điểm x0 . Do đó, ta có (ddc q)nx0 ≥ vx0 và ϕ nghiệm dưới nhớt. Ngược lại, giả sử ϕ là nghiệm dưới nhớt. Cố định x0 ∈ B sao cho ϕ(x0 ) 6= −∞ và q ∈ C 2 thỏa mãn hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương tại x0 . Khi đó, ta có ma trận Hermit Q := ddc qx0 thỏa mãn cố định thức det(Q) ≥ vx0 . Tiếp theo, áp dụng bổ để dưới đây của B. Gaveau khi xem xét phương trình Monge-Ampère phức là phương trình Bellmann sau đây Bổ đề 1.3.8. [8] Cho Q là ma trận Hermit xác định không âm cấp n × n. Khi đó, ta có det(Q)1 /n = inf tr(HQ) | H ∈ Hn+ và det(H) = n−n , trong dó Hn+ tập hợp ma trận Hermite xác định dương cấp n × n Áp dụng Mệnh đề 1.3.8 cho các ma trận xác định dương (hi¯j ) với det(h) = −n n và ∂ 2q ∆H q(x0 ) := (hi¯j ) ≥ v 1/n (x0 ), ∂zi ∂ z¯j tức là ta có hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình tuyến tính ∆H ϕ ≥ v 1/n . Phương trình này là một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. Giả sử v 1/n là hàm khả vi lớp C α với α > 0 và chọn một hàm khả vi lớp C 2 là nghiệm của của phương trình ∆H ϕ = v 1/n trong lân cận của điểm x0 . Khi đó, ta có hàm u = ϕ − f thỏa mãn ∆H u ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt. Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 3.2.10, trang 147 trong [10] suy ra hàm u là hàm ∆H - đa điều hòa dưới, vì vậy ta có ∆H ϕ ≥ v 1/n theo nghĩa của độ đo Radon dương. 10
Sử dụng tích chập chính quy hóa của hàm ϕ, đặt ϕε = ϕ ∗ ρε thì dễ thấy ∆H ϕε ≥ (v 1/n )n . Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.3.8 suy ra (ddc ϕε )n ≥ ((v 1/n )ε )n Ta có dãy hàm ϕ˜k := ϕ1/k là một dãy giảm các hàm nhẵn hội tụ đến hàm ϕ. Vì tính liên tục của (ddc ϕ)nBT nên suy ra (ddc ϕ)nBT ≥ v . Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khi v > 0 và v là các hàm liên tục Holder. Trong trường hợp v > 0 liên tục, quan sát thấy hàm v = sup {w | w ∈ C ∞ , v ≥ w > 0} . Ta có, vì mọi nghiệm dưới của phương trình (ddc ϕ)n = v đều là nghiệm dưới của phương trình (ddc ϕ)n = w nên v ≥ w. Do đó, suy ra (ddc ϕ)nBT ≥ v. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta thấy hàm ψε (z) = ϕ(z) + ε kzk2 thỏa mãn (ddc ψε )n ≥ v + εn λ theo nghĩa nghiệm nhớt với λ là dạng thế tích Euclid. Do đó, ta có (ddc ψε )nBT ≥ v. Vậy (ddc ϕ)nBT ≥ v . Vậy Mệnh đề 1.3.6 được chứng minh. Tiếp theo, giả sử rằng ϕ là hàm bị chặn. Mối liên hệ nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức với nghiệm dưới đa thế vị là kết quả sau đây Định lý 1.3.9. Giả sử v = (ddc ρ)nBT đối với một hàm đa điều hòa dưới ρ bị chặn. Cho ϕ là một hàm nủa liên tục trên sao cho ϕ 6≡ −∞ trên mọi thành phần liên thông. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: i) Hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt; ii) Hàm ϕ là hàm điều hòa dưới và với mọi c > 0, ta có (ddc sup [ϕ, ρ − c])nBT ≥ v. Chứng minh. Trước tiên, giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (ddc ρ)n = v . Vì hàm ρ − c cũng là một nghiệm dưới của phương trình 11
đó nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra hàm sup(ϕ, ρ − c) cũng là một nghiệm dưới. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 suy ra n ddc sup(ϕ, ρ − c) BT ≥ v. Ngược lại, cố định điểm x0 ∈ M và giả sử tính chất i) của định lý trên là đúng. Khi đó, ta có nếu hàm ϕ bị chặn địa phương gần điểm x0 thì từ Mệnh đề 1.3.6 suy ra hàm ϕ cũng là một nghiệm dưới nhớt gần điểm x0 . Giả sử hàm ϕ(x0 ) 6= −∞ nhưng ϕ không bị chặn địa phương gần x0 . Cố định q ∈ C 2 sao cho q ≥ ϕ gần x0 và q(x0 ) = ϕ(x0 ). Khi đó, với c > 0 đủ lớn ta có q ≥ ϕc = sup(ϕ, ρ − c) và q(x0 ) = ϕc (x0 ). Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 ta có (ddc q)nx0 ≥ vx0 . (1.3) Cuối cùng, nếu hàm ϕ(x0 ) = −∞ không tồn tại hàm q thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.3) nên tính chất (ii) đúng cho mọi hàm q cho bởi như trên. Vậy Định lý 1.3.9 đã cho được chứng minh. Chú ý rằng theo S. Kolodziej năm 1998 trong [11] đã chứng minh được các tính chất phát biểu trong Định lý 1.3.9 là các tính chất mang tính địa phương và độ đo nửa xác định dương v có thể được viết một cách địa phương dưới dạng v = (ddc ρ)nBT , với một hàm đa điều hòa dưới bị chặt ρ nào đó. Chúng ta nhận thấy, toán tử Monge-Ampère phức có thể không được định nghĩa trên toàn bộ không gian các hàm đa điều hòa dưới. Tuy nhiên, toán tử này lại được định nghĩa trên lớp các hàm đa điều hòa dưới mà toán tử Monge-Ampère phức là giới hạn liên tục bởi một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới bị chặn và do đó nguyên lý so sánh vẫn đúng. Ta gọi tập các hàm đa điều hòa dưới như vậy là miền xác định của toán tử Monge-Ampère phức. Định nghĩa 1.3.10. (Miều siêu lồi) Giả sử Ω là miền bị chặn trong CN . Ta nói rằng Ω là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm liên tục đa điều hòa dưới âm ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho tập {z ∈ Ω : ρ (z) < c} là compact tương đối của Ω, với mỗi c < 0. Hàm ρ được gọi là hàm định nghĩa của miền Ω. 12
Định nghĩa 1.3.11. (Lớp năng lượng Cegrell) Cho Ω là một siêu lồi bị chặn trong Cn . Lớp năng lượng Cegrell F(Ω) được xác định bởi: Một hàm u ∈ F(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy các hàm uj ∈ E 0 (Ω) sao cho uj n hội tụ giảm tới hàm u, khi j → ∞ và supj Ω ddc uj < +∞, trong đó R Z ∞ n E 0 (Ω) := {u ∈ PSH(Ω) ∩ L (Ω) : lim u(z) = 0, ddc uj < +∞}. z→∂Ω Ω Tiếp theo, ta có hệ quả sau Hệ quả 1.3.12. Cho Ω ⊂ Cn là một miền siêu lồi. Khi đó, ta có hàm ϕ ∈ F(Ω) - lớp năng lượng Cegrell, thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu độ đo Monge - Ampère phức của nó (ddc ϕ)nBT thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v . Chứng minh. Trên lớp Cegrell F(Ω) khi n = 2, một hàm đa điều hòa dưới ϕ thuộc ε(Ω) khi và chỉ khi 5ϕ ∈ L2loc . Khi đó, ta có nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới thuộc vào miền xác định của toán tử Monge-Ampère phức, tính chất (ii) của Định lý 1.3.9 tương đương với (ddc ϕ)nBT ≥ v theo nghĩa đa thế vị. Theo Định lý 1.3.9 suy ra điều phải chứng minh. 1.4 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n-chiều và v là một độ đo nửa xác định dương. Trước hết, chúng ta có định nghĩa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến như sau Định nghĩa 1.4.1. Cho ε > 0 là một số thực dương. Khi đó, ta nói rằng một hàm nửa liên tục trên ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge- Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v, nếu hàm ϕ không dồng nhất bằng −∞ và với mọi điểm x0 ∈ M , với mọi hàm q ∈ C 2 (M ) trong lân cận của điểm x0 thỏa mãn q − ϕ đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0 và ϕ(x0 ) = q(x0 ) thì ta có (ddc q(x0 ))n ≥ eεq(x0 ) v(x0 ). 13
Bổ đề 1.4.2. ([7, Mệnh đề 1.12]) Cho u là một hàm điều hòa dưới bị chặn trong miền Ω ⊂ Cn và v = f βn một dạng thể tích liên tục với hàm trù mật liên tục f ≥ 0. Giả sử hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ eϕ f βn , theo nghĩa đa thế vị trong miền Ω. Khi đó, ta có với δ > 0 đủ nhỏ, hàm chính quy hóa ϕδ := ϕ ? χδ thỏa mãn (ddc ϕδ )nBT ≥ eϕδ fδ βn , với fδ (x) := inf{|f (y)| ; |y − x| ≤ δ, trong miền Ωδ . Mệnh đề 1.4.3. Cho ϕ : M → R là một hàm nửa liên tục trên, bị chặn. Khi đó, ta có (ddc ϕ)n ≥ eεϕ v theo nghĩa nghiệm nhớt khi và chỉ khi ϕ là đa điều hòa dưới và (ddc ϕ)n ≥ eεϕ v theo nghĩa đa thế vị. Chứng minh. Nếu ϕ là một hàm liên tục sao cho eεϕ v và áp dụng Mệnh đề 1.3.6 ta có ngay điều phải chứng minh. Vì vậy, để chứng minh Mệnh đề 1.4.3, ta chỉ cần xét trường hợp hàm ϕ là không liên tục. Và bài toán trở nên phức tạp hơn. Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ε = 1 và M = Ω là một miền trong Cn . Giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.3 thì ϕ là một hàm đa điều hòa dưới. Đặt v := f βn , trong đó f > 0 là một hàm trù mật liên tục của dạng thể tích Euclid trên Cn . Chúng ta có thể xấp xỉ hàm ϕ bởi hàm: 1 ϕδ (x) := sup ϕ(y) − 2 |x − y|2 , x ∈ Ωδ , y 2δ với δ > 0 đủ nhỏ và trong đó Ωδ := {x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) > Aδ} và A > 0 là một hằng số đủ lớn sao cho A2 > 2oscΩ ϕ. Họ các hàm bán lồi ϕδ hội tụ giảm đến hàm ϕ vì δ hội tụ giảm đến 0. Hơn nữa, vì các hàm ϕδ thỏa mãn bất đẳng thức sau trong nghĩa nghiệm nhớt trên miền Ωδ δ (ddc ϕδ )n ≥ eϕ fδ βn , fδ (x) = inf {f (y)/ |y − x| ≤ Aδ} , 14
nên theo Mệnh đề 1.1.3, ta có hàm ϕδ cũng là một hàm đa điều hòa dưới. Vì ϕδ là liên tục nên áp dụng Mệnh đề 1.3.6 suy ra δ (ddc ϕδ )n ≥ eϕ fδ βn ≥ eϕ fδ βn , theo nghĩa đa thế vị. Vì toán tử Monge-Ampère phức là liên tục dọc theo các dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới bị chặn và vì fδ hội tụ tăng đến hàm f nên ta có (ddc ϕ)n ≥ eϕ v theo nghĩa đa thế vị. Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khác hơn. Đặt ϕ là một hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn bất đẳng thức (ddc )n ≥ eϕ v, (1.4) theo nghĩa đa thế vị trên Ω. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.7) trên theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω. Thật vậy, nếu ϕ là hàm liên tục, ta có ngay kết quả bằng cách áp dụng Mệnh đề 1.3.6. Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp với ϕ không nhất thiết phải là hàm liên tục. Gọi f là hàm xấp xỉ chính quy hóa bởi tích chập ϕδ := ϕ ? χδ trên miền Ωδ . Khi đó, theo Bổ đề 1.4.2 suy ra các bất đẳng thức theo điểm trong miền Ωδ (ddc ϕδ )n ≥ eϕδ fδ βn , với fδ (x) := inf {f (y); |y − x| ≤ δ} (1.5) Cho x0 ∈ Ω, q là một dạng toàn phương đa thức sao cho ϕ(x0 ) = q(x0 ) và ϕ ≤ q trong một lân cận của điểm (x0 ), gọi là hình cầu 2B , trong đó B := B(x0 , r) b Ω. Vì ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω nên theo Mệnh đề 1.3.6 hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω. Do đó, theo Bổ đề 1.3.4 suy ra ddc q(x0 ) ≥ 0. Thay thế hàm q bởi hàm q(x) + ε |x − x0 |2 và lấy r > 0 đủ nhỏ. Chúng ta có thể giả sử rằng q là một hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu 2B . Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (ddc q(x0 ))n ≥ eϕ(x0 ) f (x0 )βn . Thật vậy, với mỗi ε > 0 và đặt q ε (x) := q(x) + 2ε(|x − x0 |2 − r2 ) + εr2 Quan sát rằng vì ϕ ≤ q trên hình cầu 2B , ta có - Nếu x ∈ ∂B, ϕδ (x) − q ε (x) = ϕδ (x) − q(x) − εr2 . 15