1
TOÁN 2
Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng
2
NỘI DUNG
Chương 1: Ma trận & định thức.
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính.
Chương 3: Không gian vector.
Chương 4: Trịriêng, vector riêng của ma trận và dạng toàn
phương.
Tài liệu:
Toán cao cấp, Đại SốTuyến Tính (Toán 2), Đỗ Công Khanh,
Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, NXB ĐHQG TP HCM.
Tóm tắt bài giảng Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức
Thắng.
3
CHƯƠNG 1
MA TRẬN & ĐỊNH THỨC
4
MA TRẬN
1.1. Định nghĩa.
A là ma trận cấp 3x2
Tập các ma trận n hàng – k cột kí hiệu là Mnxk
Hàng
Cột
13
57
24
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
a12
a23
5
1.2. Các loại ma trận.
-Ma trận vuông: sốhàng = sốcột
135
246
987
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
l
là
àma tr
ma trậ
ận vuông c
n vuông cấ
ấp 3.
p 3.
-Ma trận đơn vị: ngoài đường chéo chính thì bằng 1
3
100
010
001
I
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
l
là
àma tr
ma trậ
ận đơn v
n đơn vị
ịc
cấ
ấp 3.
p 3.
6
-Ma trận chuyển vị:của ma trận A kí hiệu là AT
hàng A----Æcột AT
cột A ----Æhàng AT
13
57
24
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
152
;
374
T
A⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
[
]
574,A=
5
7.
4
T
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
7
1.3. Các phép toán trên ma trận.
1.3.1. Phép cộng hai ma trận.
21 1 2
30 31
04 1 2
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
+−
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
33
01
16
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
21 12
3(3) 01
01 42
++
⎡⎤
⎢⎥
=+− +
⎢⎥
⎢⎥
++
⎣⎦
8
1.3.2. Phép nhân một số với một ma trận.
21 2.22.1 42
23 0 2.3 2.0 6 0
04 2.02.4 08
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
==
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
9
1.3.3. Phép nhân hai ma trận.
Định nghĩa: A * B = C
nxk kxm = nxm
cij= hàng i của A * cột j của B
Lưu ý: sốcột của ma trận A bằng sốhàng của ma trận B.
(1 2 3)*(4 5 1)= 1.4+2.5+3.1=4+10+3=17
10
145
214321
032013
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
2.1 1.3 4.0 2.4 1.2 4.1 2.5 1.1 4.3
0.1 3.3 2.0 0.4 3.2 2.1 0.5 3.1 2.3
++ ++ ++
⎡⎤
=⎢⎥
++ ++ ++
⎣⎦
51423
98 9
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
c
c21
21 = (h
= (hà
àng 2 c
ng 2 củ
ủa A) x (c
a A) x (cộ
ột 1 c
t 1 củ
ủa B)
a B)
=
=
T
Tổ
ổng qu
ng quá
át: c
t: cij
ij = (h
= (hà
àng i c
ng i củ
ủa A) x (c
a A) x (cộ
ột j c
t j củ
ủa B)
a B)
0.1 3.3 2.0++
11
145
214
,321
032 013
AB
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
145
214321
032013
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
2.1 1.3 4.0 2.4 1.2 4.1 2.5 1.1 4.3
0.1 3.3 2.0 0.4 3.2 2.1 0.5 3.1 2.3
++ ++ ++
⎡⎤
=⎢⎥
++ ++ ++
⎣⎦
51423
98 9
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
12
Bài tập
213
042
13
a)
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
2110
01330 0 1
10212 10
b)
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
−
⎣⎦
2.
2. T
Tí
ính
nh t
tí
ích
ch c
củ
ủa
aAB
AB v
và
àBA
BA n
nế
ếu
u
121
232
143
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
001
010
100
B
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
1.
1. T
Tí
ính
nh t
tí
ích
ch c
cá
ác
cma
ma tr
trậ
ận
nsau
sau:
:
40
223 11
53
54 1 01
12
c)
⎡⎤
−
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
13
0100
0010
3. Cho A =
0001
0000
.
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
T
Tí
ính
nh c
cá
ác
cma
ma tr
trậ
ận
nsau
sau:
:
a) A
a) A2
2,
, AI
AI3
3,I
,I3
3A;
A; b) A.A
b) A.AT
T, A
, AT
T.A
.A
14
ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa.
Định thức của A vuông, ký hiệu là det(A) hoặc |A|
||
;aa=
11 12
11 22 12 21
21 22
aa aa aa
aa
=−=
đ/c chính
đ/c phụ
đ/c chính - đ/c phụ
121.4 3.2 2
34
=−=−
|
2
|
2;−=−
15
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
11 12
21 22
31 32
aa
aa
aa
=
= [a
[a11
11a
a22
22a
a33
33 + a
+ a12
12a
a23
23a
a31
31 +
+ a
a13
13a
a21
21a
a32
32]
]
-
-[
[a
a13
13a
a22
22a
a31
31+
+a
a11
11a
a23
23a
a32
32 +
+a
a12
12a
a21
21a
a33
33]
]
ĐỊNH THỨC
16
ĐỊNH THỨC
det( ) [( 2).1.( 1) 2.3.2 ( 3).( 1).0]
[( 3).1.2 ( 2).3.0 2.( 1).( 1)]
[2 12] [ 6 2] [14] [ 4] 18
A=− −+ +− −
−− +− + − −
= + −− + = −− =
22 3 22
11 3 11
20 120
A
−−−
⎡⎤
⎢⎥
=− −
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
17
Phân tích theo hàng i
Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n.
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (1)
trong đó:
Aik được gọi là phần bù đại sốcủa aik
Aik = (-1)i+kdet(A bỏhàng i cột k)
18
22 3
11 3
20 1
A
−−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
3
31 32 33
31 33
2. 0. ( 1).
23 22
2.(1) . (1).(1) .
13 11
2.[2.3 ( 3).1] [( 2).1 2.( 1)]
2.[6 3] [ 2 2] 18
h
AA A
++
=++−
−−
=− +−− −
=−−−−−−
=+−−+=
19
Phân tích theo cột i
detA = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni ,
trong đóA
ki là phần bù đại sốcủa aki
20
22 3
11 3
20 1
A
−−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
2
12 22 32
12 22
2. 1. 0.
13 2 3
2.( 1) . 1.( 1) .
21 21
2.[( 1).( 1) 3.2] [( 2).( 1) ( 3).2]
2[1 6] [2 6] 10 8 18
C
AA A A
++
=++
−−−
=− +−
−−
=− − − − + − − − −
=− − + + = + =
Ví dụ1: