Toán học và tuổi trẻ Số 108 (3/1979)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tuổi trẻ Số 108 (3/1979) trình bày về bài toán Ác-nôn; suy luận trên bàn cờ; hình phỏng lăng trụ và công thức thể tích của nó; phương trình đại số và ứng dụng chứng minh một số là vô tỉ. Với các bạn yêu thích Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 108 (3/1979)

\ €y;f:rtt,{l_, ttdr roAN noe YIST N.{M r BAO RA HAt THANG ruQr Kt ch& nhi€m, neUyfiN C.f,nU foAN 't'hu k{ tda soan: HOANG CHtINe Tru s&: 70 TrD.n Hung E4o Ha N$i - Ddy n6i: S2SZS vE r& y#AF{ Ac-r{6N PHAN DOC TEIANTT r 1. Nhibu bdi to6n hay kh6ng phli bao gi} BAy gio ta chuy6n sang xet bai to6n ctng hinh thAnh ngay m$t hic. Cd khi nd xudt A(B). ph{t tr} rn6t b&,i toAn d6. Bing nhirng Trudc ltdt ta hdy tana gAc c[c nghidm chtt it hay m& rqng them nhitng dibu thay tlgi ki€n crja - chrla t. cd bdi ro6n a6 tro ta lgi thu ilugc nh&ng bdi Gil srl k, y, il lA rngt nghiQm nio dIy eia to6n thri vi.' .. bii toAn A(S). D6 dnng Trong bAi niy chtiag ta hdy theo d6i qra .[}int -nhiu tlay ty -. hai s6 trong b$ ba d6 phAi nguy&rrtd"eng-;rt Vfy c6 thb xem 2 (i
r t- - -Fr- T* .16 Tt d6 ta c6 bb db bi&n nhieu aeu: .4 < 1/2"+ 1/3 + 1lr I rl2'$' 4:27124 Bb de tr . NEu hg (rt, ..., ct) la nghtQm cria bAi to{n A(h) thi b0 (rr, ..":rl, 1) lI nghiQnt "*z{=1. e&a bAi to6n A(t( + 1). NguEe lai n6u trotg Vay (o, U, z) th6a man. k*1 ed lh nghiQm clls b&i ts6n A(k+1) cd lla * llY * llz + tlrgzs !" (1) ch*a 1 thi saukhi b& 1di ta nh$n {Iuqe nght(m c&a bii toAn A(k). Biy gid ta chring minh ec:2' Thqe v$"y ndu Cdn d&y (2. g), (2, 3, 7),... dlsgc ph&n dnh ngo-o. i4i, tue Id n6u r 23 rhl g) 4, z)5 ncn trong bb dE aau. ta cd | = tlr + llg * rlz * tlrgz( t/e + 114 + 115 + Bb ila 2. I'i6u bg (rr,.... rt) lil nghiQm cira + 1/(3.4.5) = 48/60 b&i tofln A(ft) thi b0 (sl ,.',:uk, rt..'e.r'*1) lA iE AiCu kh6ng th8 ttugc' VAy chl c6lhb r=2' nghiAm efra bni to6n li(k * 1)' : (1) =+ 1 = tlz + llg * 7lz * ll2gz Thgc vqy tich eria k sd dhu ti€o c$ng th€m I chia h6t cho rt+t theo ciirih nghia erie s6 4g=2*5i\z-2t* rsal. B&y gi& gii s-& rtit c6 m4t trong tlch' 4z=3 haY z =? +g=l ft6Y g:3" Ta {9i X; lil tlch cira /t-1 sd d}u ti€n trong do kh0og chita ri. Y$y nghiQm kh6ug chua 1 efra bii to6n A(3) iA (2;3,7). N6u kE cl nghiQm chua 1 ta edn c6 Ta chn chrlng nriuh r'frng Xi rr+1 * 1 chia be b0 nta: h6t cho r,. DiBu dd suY ra t*. (1,1,1), (1, 1,2) va (1,2,3), xk+l: Xi.r,1 a 1 "+Xlrsgl +1:,Ii(Iirl +t) - t E6i vdt bili torrn A(4) cflng gtli tuang trp' : ritriz + (Xi + i) D6ng vai trd crh phuong trinh (1) Il phuong s6 hAng thu hai chia h61 ctio ri theo diiu trinh. kign cria bA dE 2. 11rc * llg * llz * Tltt * llrlizu=l' Nhe bb dE 1 va bB aI€ 2 ta nh{n th6v rang xust phirt t& m$t nght{m efra bli lo&n '\(k) Tu phuong triuh d6 ta thu dugc nghiQm kh6ng ia thu ituqc liai ngtri6m *ir* biii toirn A(l+1)' chua i cria lai to{n l& (2,3,7,43)' NEu kE c& Bfrng e6eh dy xu{t phet tir nghi6m cria bii toirt nghi$m chrta 1 ta edn e6 th8m (1, 1' 1' 1)' A(2) ta thu cluqc cae nghiQrn ct" bai tnf," A(3) (1,1, 1,2) (1, 1, 2, 3) vt $,2'3,7)' vir k6 tlo la thu itrugc cac nghi{m cria bii Tuong tg d6i voi bii toan '{fn)' nghi$m toAn A(.1). (r1,...,rn) th6a mlu phuong trinh' D6 dang nb{n thdy ring }:i.ng c{ch d-v ta 1/rr+...*llrn* lfrt...nrr:l (zt thu duEc tdt .* *a* ogfri6n, ciia bai tain A(2)' (,{ lA s6 tB nbi6n) A(3), A(4). Tuy nhi€n diBu dAng.tig0. lh xu[t d{ng: N6u rt, "', r. ll pnai tr) nghi0r:r c&a bii toan A(+) blng c6'eh MQnh tIE ngpgc cfing tq uhien th6a md.u phuuug trinh (2) voi cdrc sd iy ta thu dug'c lchdng phdi tdt cd e{e nghiAn eira biri iodn A(5). Ch&ng hqn ngo{i nghi€m m$t sd ttt nhitn A nio
T& 3) vl (4) te suy Ia Bing quy nqp ta chung minir iluqc rfing /2r. llru.+-t * l/(/rrx+t) * tlfu + ,k+r { t{n ering b*ng 6 v} /zr+r e6 r{,n etng bing 2. - li+ i. Tt d6 suy ra rfing trong ddy eo s& te1 ci eae Ta l6i thu duqe nghigm theo bb dE 2. sd /it+r * 1 dEu chia h6t cho 5. Nhu v&y ndu nghigm crla b0.i toAn A(k+t) T* tinh ch{t, nAy ta uhgn thfy rlng: khi n 16 nh$n duqc b$ng c6ch th0m mSt s6 vio nghiQm nh& bb dE 3 tt d6y eo s& ta trich ra duoc mOt ctia bdi toAn A(ft) tht sr5 nAy cluoe tgo n6n nghiQm, nghigm ndy nhd bA dE Z sinh re dluge ho{e theo bA dE t ho{c theo h& d& p. m{t ddy mdi cAc nghigm. T& aI6 te nhsn th6y rfrng vigc th6rn v&o mQt BAy gi0 ta dl theo mgr hu0ng khtc rtB gili s6 khOng mang l4i cho ta dilu gi m&i ngoili - 6,toAn: bii Xu{t ph6t tr} ughigm crla bii toAn nhtng tttEu d[ bi6t 6 tr6n. A(n) hdy tim c{eh thu duqc m(t nghi0m kh6c 5. BAy gid ta gi& thi6t rfrng (rt, ..., er) ld erja bAi todn d6. Theo hu6ng uAy te c6. trghigm crla bti todn -4(&). Ta e6 tsinh lf (Br6tsky). tlrr*... * tlxy* tlfy* A (5) Gii srl (*1,..,, nn-Z, r1-1,.r1) lA nghi0m thu Hon nta gi6 s& (rl, ..., ,rk, ttk+1, rr+ a) duoc tu nghi€rn (rt,.., , *t_2, ro_t) theo b6 I& ngh.igm cta bii to6n A(k+2) trong d6: dE 2 vA (fn-zxn* t)/rrr*r = dtdz. *k+r + l. ruaz * t. fr c6 (v6i cting-,A & tr€ri) N6u hQ pbuong trinh 1l*t* ... * Tlna * l/a..r+r * llra+z * \ f"-z*lt- d1y (10) I f"-z g * 1: dzr +ll(7vnx+tst+il=A (6) + l/ar+r + llxt*+z + tl$vru+tta4fi *. tlfa fi) cd nghigm nguyen thl + &k+z=fu.+ (fL + 1Jl|ir;yl-l. - ,r1 {ry , . . , rn-z, r, y) cEng ld nghi{m cris b[i (s) to{n. Do 1t.1-2,,phii nguy€n n€n d: xik+t -- /r IA Ohtrng- minh. Biing c{ch nbAn cdc phuong uoc crla /i * 1. VaV trinh e&a hd (10) ta e6 (rr1r:/r*d ( (*o+r:fu.+(f?+ttld {9) f?-z.r.u * fa-z 6 * g) a 1: &:?'d-L ,, f,n_l Nhd clc h6 thrlc (5) (6) (7) (s) ve ts) tc di d€n hry lla + 1ly * tl\fn:2*g) : - f,-L * fn*z?t * | de 3. Gi& sri (.r1,..., rk) lA nghiQrn c&a - Bbto{n b&i AG), f y: trl . . : nk v[ d IA u6.o cris Cht 1i r&ug a'r-/o"-1 *1 fn-Z frn*l r rni ao rg vit fn-l = fr-* *n*l ff+ . |/rr,..., - **, ,^fx+ *'.A a"fu+ Io'+1 ] vI nhd h€ rhue tlar"+- .. * lf rr_1 * tf fn-1 : ,1 \ d l l& nghiQm cria bAi to6n A(k + 2). ta di ddn h0 thtrc Nguge la.i ndu ughifm cfia bAi roen A(k+2) ltfi = ., . * Tfrn-z * 1lc' * llg * l\ff,-zrg)=A. - nh{n cluoc tu rrgt nghiQm nio it{.y cria bii to{n , Pii" d6 chung t6 ring kt,...,nn-2, r, y) th A(le) bing e{ch them v{o hai s6 kh{; 1 thi nghi{m crla bti to{n A(n). c6o sd 6d th€m v{o th6a mdn rl8ng thric (9). Nho tlinh lf trtn ruit ph{r tu nghiQm (2, 3, 7, 47, 395, WSTZ|) ta thu duqo mgt ngl,ipm fnac Ch(l i- r"rog a : I v{ d = fl.* 1 lu6n lu6n lA (2,3,7,47,415,8lt1) cria bAi toAn aO. Ngfrigm u0c crin ff. 1 1. Erii vdi cr4.e u6c nAy. b6 dE 3 niy khOng tao ra rluqc bing c6ch drlng b8tb'3. klg"S cho ta til6u gi mdi so v6i b6 a6 :. roy nhi€n n6u ff + I kh6ng phli In s6 nguy&n 16 thi 116 deng chrlng minh rluge r&ng ildi v0i c6,c bb dE 3 cho ta mOt lo4t nghipm *"i..Ct&ng nghidm tu d6y eo s& hC (10) lu$n luOn c6 nghiQm hau dl6i v6i ughiQm (?, :i, ?) ta cd /32 4 1 : nguyBn. .- 1765 = 353.5. Xu{t ph[t tu nghidur naj vd. ru Cho d6n nay chung ta v6n cbua bidt duEc bA dB S ta thu dugc nghidm {2,:1,2, aZ, :gS) ma bii todu A(n) e6 bao nhi€u nghigm vdi n cho ta 116 ldi d6n trong rnqc B" Tuong tlr xuSt ph6t tru6_c (tuy f). Chring ta chl md,i di duge rnQt tt nghigro (2, A,2,13) nhd bb db Bta thu dugc vii bu6.c tr€n con iludng cdn kh6 dAi iI6 t6i ldi ughi$m (2, 3, 7, 43, 1829, 193667). gifii e&a bi.i todn. Tr6n budc d.udrig ng*n ngrii dd de nhy einh ntrtng vdn 6E m6i" dri-i h6i ta . Sja,t (2, nghia-. DSy nghi(rn thu drrqe tu nghi€m 3) theo bA d0 duoe goi lil nghi(m co s&. phli suy nghi lgi cAc phrong ph6p eii vd ilm N6ri c6 fT+t i& hdo uJ,u, ,nul b6 dE B ta Chrie c{c bq.u rhinh c6og lr8n chflng t{ch ra dugc,it nhdt Id mgt nh6nh nghi6m. . tludng con Igt.
1 a"- 1.- rrfrP TIJC stJY uu.rgru rmfru mAh& e# lt t,rr:'r xca ?R0NG hai s6 b6o 101 va 105, bsn l-€ Th6ng U. V.Si b&i to6n vE btt&c di c&a eon EgEa' Il Nnat 6e gi6i thiQu vdi c6c b4n mot loat Ph&i n6i rXng eon ngrlx ie con c& di I6t ieo c6rc bii to6n trOn bhn cd, md cht y6u In nhdt tr0n bln c0, v$y mb il6i vdri n6 l4i niy ra ci.c bili to{n ph& vir chia b&n cd' L[n. niy t6i uhi0u bti to6n thir vi' xlrr bb sung mQt sd ki6u suy lu{n khr{e tr€n b}n co mil qua d6 mong edc bqn dugc lirm quen v0i tsai toen 2. TrOn m6i 6 cria m6t ban c$ cd s6 nhiEu bli to6n thri vi. 6 tn mQt s6 16, ngutxi ta d4t m$t con ngga' Li{u ed thB cho m6i eou ngqa cung di mQt biroe sao L. Phfi eh*e bin c& b&i c6c domino. cho m6i 6 l4i c6 dring nr$t con ngqa hay khdng'? Tnroc h6t ta gqi cac dudng k6 trdn birn c& li c6c dudng gi6i h4n' Biin cir m X n goi lir duoc Lai gi/Li.'l'r8n bda cd dd ta e f,ng co e6'c 0 phri ch&e cnan nai cdc dOminO ndu n6 dugc phri trfing vA cdLc 6 den xen kE nhau sao cho kh6ng tin r&i c{e dOmino khOng chbng l8n nhau vd e6 2 6 tr8ng ho[c 2 6 den nio chung c4nh \hu n6u chia birn cd theo bf,t cit ttuong gi6i hq'n ndovfy ta sE g;i cdc con nglte dung &-6 trAng In ciiug sE e&t it nhdt mQt hinh tl0rnin6' ngua trXngl cou c6c eon Dgga dung & 6 tien 1A ngua tten. N6u'rn6i con ngua dEu dr mOt b':irc Ta r6t bAi tof,n trdn biln cb 100 x 4: 't e A' *5; 6 lqi e6 6uug mQt con nglta, thi ''1o Bai toin 1. Chrlng miuh ring birn cd 100 X 4 cdch di eria con rlgqa nen c{c con ngua tring id bin cd khOng thb phi eh[c ch&n bivi e6c s€ nhiy viro cr(c 0 den vd cic con ngta den sE ddmin0. nh6.-v viro cac 6 trin6. Suy ra s6 ngrla trlng r-i Ldi gi&i. Ta th6y birn eo 10CI X 4 khi t1ug,c ngua dlen ih r:hu nhau.gi& Suy ra s6 6 biin cd la ehia d6li b&i bflt c& rtudng gi6i han ndo thi m6i cien, mau thr:Xn v6i thi6t birn c& cc so 6 phln ctng ed mQt s6 chXn 6. IA. Vay khdng th6 eho rn6i con dbu ili rndt huse alB sau d6 n.i6i 6 l4i c6 dring mgt con' Gii sft b[n cd duqc phir kin boi cdc ddmia6 khOng ehbng l6n nhau thi & m6i phhn c6 2 Bii toin 3. Coa n$r,ra cd thb di t"r goc niv crii' lo4i 6: bdu eo th0ng ihucrng toi g6c d6i di€n sao cho *loai o b! phrl ir6i domin& khong bi c[t (I) di qua m5i 6 cria birn ed ilung m$t lrin dugc khOng ? - loai 6 bi pbfr b&i ilomtnd bi cE"t {II) Ldi gi&i. Ith6ng thE dusc, gi& o& 6 & g6e eou I'a thdy ngay sd 0 cria logi I ld sd chin, vi nglr& xu6t ph{t l[ 6 den thi sau mQt sd 16 bu0c m6i domino irhOng b! eit s6 phrl 2 6 eria bin ,g,y" plai toi 6 tr{ng. Do eon ngua ph&i c&. Do t8ng sd 6 cric 2 toqi & rnSi ph8'n I* s6 "or, di qua ,r',6i 6 cri* bAn ccr dring mQt l$n db cu6i chin, n6n suy rl sd 0 lo+i II & rn6i phhn ctng c,ing tOi 6 al6i dien v&i 6 xu$t phai n6n n6 d6a lil sd ch6a' Nhu v{y s6 edc d6min0 t}i c5t la $d o u$y t} l:u6c thu 63' 56 hudc di 16 n6n suy ra ehla. Nhu v$y n$u tdt cir 102 duo'ng gi6i han O ney te d ir[ng. MAu thu6n vt n6u 0 xudt ph{t tiuong nio ctng cflt dOmind thi tt nhit tr&n b[u la 6 den iht 6 ai g6c ddi diQn ctng phii 11 6 ed phli cd 162 X 2:204 ddmiu6. Nhung bln den. cd ilrrqc ph& kin b&i 20tl ddmin6. Vny it nh{t phfri c$ Eudug gi6i hqn khOng c&L d6tnin6 riro' 'I'ruo'c khi sai:g bdi toan '{, ta hiBu rnag u:Qt Soy ru b&n c0 1.00 x 4 hhfrng thE phir chic ch*n birn cd goi ti ddng v&i hirntl trlnh e &a coll DgUa b&i c6c d6min6. ndu ccn ngtla ct5 tha €i clua nr6i d dring mQt ldn Cric ban hey 6p dgng e&ch lflp lu{n tr€n cho vd tr6 vb 0 xu{t ph{t. bin c& 6 X 6, sau al6 ctc bgn thir x6t bhu c
I Ta x€t bAi toiin; 6 mat cfia hinh {ep phuong I >< 8 X 8n sao cho BAi Eo;ilr .n" {.Lir*g uiitli r}.dg v{ri rloi s6 tU khOng ili qua noi uho quA rn6t lHr)" rihi8n n iiri hd,a q:ir n X 4 tihorrg d6ug v6i hfruh 3. Vni bii to6n vB con xe {rinh r::n.-il rif r:ri. Ea! tc.&n 6, Ir€n bArr ed nXn x$p Ii con xe & Lbt giii. Gi6 s* vfyi ss tr nhisn n nir-r &*, ban vi tr{ rn6i con khdng & cung hAng vr}i qud 1 ed n X I i-ting v#i hinh trlnh co* ngna. igilu coo xe kh{c. Ch*ng mirlh k(an/3. y&y t4i ;n6i S ph&i ed rngt ?rrri;c vSo v&' mgi hudc ra cira con ngna, tirc iA ph&i cr1 mgt budc Lbi gidi. Giit srl cd A con xe xdp nhu diBu con ngua di vdo 6 5y I'i mgt buoc con llgua kiQn cria trii todn. iv m6i 0 c6 con xe ilung bHt tr't 0 {y dli la. ila hinh dur:g ban cd' ndy gdm ilhu ta ghi s6 0. Sau iI6 ta x6t tr€n c5.c hirug 4 d&i 6, hai d&i & ngoli ta goi li bi€n, cdn hai ngang : d&i & trong ta goi ti gifta. hing nio cO 1 con xe thl 6 c6 con xe - N6u Ta thfly trl 6 & hion, con ngva chi cd thB di ta c6ng v0i 2. v&o 6 & gilia. Ilo c6 2n 6 6 bi6n n6n phAi e6 2n br.r0c bu6c vAo 6 giira. Do m6i 0 di qua - Ndu hlng nAo c6 2 con xe thi 6 c6 con xe ta c6ng v&i l. iluag rndt lin n€n & m6i 6 giira chi cdn e6 mgt bu&c ra. Nhung budc ra ndy hh6ng thb di tdi Ti6p dd ta lqi lirrn vdi cdc hAng dqe tuong tu m$t 0 6 gi&a vl tdt c& c6c 6 5,g.i Ea 116 e6 rngt nhu v{y. Cu6i eirng & c{c 0 c6 con xe drlng chi bu6e vAo, v0.y bu0c rn r-rAy phii tt 6 & gitra d6 c6 th6 iluqc ghi s6 3 hay s6 4. ditdi6&bi&n. V{y t8ng S c{c s6 ghi 6' c{c 6 c6 con xe dung VSy col ngga ph&i irin luot tu bj6n i,iro gifra ph&i th6o m[n: 3k =-( S. rdi ra bi6n, rbi r'$o giira, .r.v,., cr! :ten k6 nhau ilI[t khdc : & m5i hirng ngaug ta cdng khong nhu v&y trong surli hanb trirh. Do m6i huoc qu{ 2 V6y sau khi lim cdc hAug ngang ta cQng tlti con ngqa dr tir (r rniu niy ddn 6 mhu khAe, rAo kh6ng qu6 2n n6n suy ra t6t ci cic d & gi&a cung miu vi Tuerng tg v.6i c6e hirng d(.rc. Do d6 toin b0 c{c 6 & bi4o eirng rndu, v6 li. Viy bin co n X 4 bin cd ta c$ng vao khOng qu6 4n" Tuc li kh6ng ddng v&i h&nh trinh con ngqa \,6i moi sd trr nhidlr n. S.-(+n Cde bnn h5y gi&i trii lo{n Suy ra: 3k --={ +n
Chi cdn ehrtng lainh g(c) ^2*313 + 12 lz4r,r.lt: cd gt{ ui uguyen v6l moi c nguy0a, 4a;3*3c2+5n -r-.,* --=-- (:r.t*n)*(3c$+BrB)+6, : ___ . ._:___-- ,(rcl= 66 16*D(c+1)+ 3r2(r+ 1)*6r 6 CAo e6 hqng crlr t& sd d&u chic h6t eho 6 n€n g(r) nguyen (tlpem). Bni 11105. Ch&ng minh r&ng o6t moi giti Bfl 2/105. T* tti,€m p di itgng tr€n cqnh tri x thi bibu thirc ngugdn c&a BC cita mdt tam gidc cdn ABC nga:Oi la kE 'cdc ,32 r +l9zg *-+b * dabng song song u6i cdc cqnh kia, cdt AB tai q, /(r):1961 AC tai R. Tlm qui tich cdc tti?m D ddi ritng udi :1 26 P qua QR. c6 giA tri nguyen. gidi.'fa chtng minh m€nh d& rdng gutt: Lbt DiEu kifn cln vA itir ilE ham s6 /(r) ar3 + br' * ca c6 gi6. tri oguyen vdi mgi r -DguyOE 16 c{c s6 6a,2b, d + D + c 1I c6c s6 nguyCn. i bft v{y : (r-1)r(r*1) f{r) = 6o 6 + 2b *':' r(.r 1) - -'-' *(agD1 c)r. 2 - VOi mgi c $guy0n tht (:r - l)r(r * 1) lu6n chia hdt eho 6 v& ak, - i lu0a ehia h6t cho 2. Do d6 AE f(rl nguy€n chi ehn 8a, Zb, a * b * c lA cAc s6 nguyOn. * Nguqc lai cho r lh.n lugt e6c giA tri nguyOn l, Lbi gidi. Phbn dlo chtng minh khong kh6 * 1, 2 ta duoc c6c sd nguy€n: khdn. Phln thufn c6 nhiBu cdch ehung mioh, a*D* cr *8*b- xin trinh trty mQt c6ch don giln: c, 8af 4b*9c. Do d6: C6c tam gl6,c QDP QBF e|rr nOn D, g,'rp nim trgn ttudng lrdn tAm Q. Tuong tu ta ctng c6 u*b* c le sd nguytu D, P, C nim tren dudng trdn t&m .R. Vl g6c ir 2b:(et + b* * b - c) I,r sO rguyen t&m g6p ddi gQc nQi ti6p ch6n cung mot eung n6n c) *(- z 6o = (8a t ab+ 2d + 2(* a+ b ^BDP = --BQp lz^At2 sd nguyOn. - c) - 3.20 lA -/"\ /z-\ lp dung mgnh ilE vAo bli to6u: PDC - , PRC 12--/-\ Al2 196{it :} 6a :8928 nguvEn, -\, = BDP BDC -^\ + PDC =A, o - nghia li D nhtn BC du6i m6t g6c b&ng.4 kh0ng "* b- 197912 * 2b:1979 nguy$n, il6i. D kh6c phia vdi p ttc crklg phla vOi a aOi v&i Q.R, do d6 D oirng phta vdi d tl6i vdi,AC. :E 9870/6 VSy , nim tr0n cung B,AC eria dudng trdn ngoqi = 164b nguy€o. tiGp tam giAc ABC, Yfy /(r) e6 gi6 tri nguy8n v0i mqi r'nguy€n. Bei 3/105: Cho cdc s6 rr, 12,,.. , xr th6a .N-hi6u bqu tII gili b&i toan bing cAch chring mfrn dibu -ki(n *r)t (i:1, 2, ... , d. ch*ng minh trge ti6p, ch&ng hqn chtng minh nhu sau: minh bdt d\ng thae f(fl = 1964J-3 13 t 197912 t2 + 5r16 (1 * crXl + cz),..(1+ rn) = 65413 * 38912 + Zr313 * n2lZ + 5{lQ. ?"*l > L I rtxz ,,, ro 6
t {" l.bt gidi. lrar :ris l +ai li= 1,2,..., n) 'l"heo Dilu ndy khdng thb riy ra vdi l, b lA eac '[ls c6 s6 nguy€n duong" V$y phucng trtuh kh0ng cd iliA thiFt r'. l. 1 n4rr )1 )> tr. nghiEm nguy0n duong. { I "t ,ut}(t -f"*,e}.",(1 f *s) =, frl nh$n r{.t {fhu ti€n ouy rr phuong trlnh = i?'+ 61trt * Ds)...(2 "i i)') cflng khOng th& e6 nghiQm nguylu Am. :2" +2o-1to' tl Ttl fi&Y suy ra h.y o-s.r)a:VFlfo>o. o(ecx + lcl - 1
qrq\ -\ Do il,{---!ggz k2 + larl * rl( logz t:0, m{t Bdi 8/105. Tim tdt c&. cd.c s6 tg nhi6n m sdo kh{e nT=;2 } 0 nen phuous truh.chl cd ,:l ygi s?i tu nhi6n n & trons kho&ng ughi€m khi vd chi khi rogf tr2 + :y t
I Ding thuc & dlu bai tuong &ucrng v&i: Tdm lqi nghi0m cria bAi to6n lA ff nguytD ' ek4 I zr2 + 1) * (rz -- r)? fr! ]x - [, vd *= Vt+1/2.' x(r-lrlr - l"l:o €) (r4 - 2.r2 +1) (r - fr]i - ic] x L. H. X(r*[r]r"*[r1:s Bdi LOl105 . Cho fk) arz { b r{ c (*) rr, I ++ lr{ (rs4 -- zr2 * 12 = ld hai sd khdc nhau od. ; i l*]t _ o. khtic kh6ng, th6a md"n i Y{y c6 e{c tru&ng hEp aau: f@i: f(tfl : i m (q* rz- 1) c(rr- t)6.t ^ a) l"l:o tue c uguyen 1A Chalt..miyh rdno fie) e6 it nidt-1):0. t (t) P i1t ngm€m I* b) ra zr2 - l*l- o. Khi d(r - g3 nhi6n. Tim nght(m d6. Lbr gr&i. NhiBu b4n d[ giii theo c6eh sau: l'4*z*t+r-r*fr] tuc 1 * l*l) a hay [r] ); - _",r:: gii-lhi6t f(ai : f6) - m n&n , 1, 12 t. ciing lt nghiQm cria phuong trinh l@) _ m:0. vdi Phuong trtnh c6 hai aghi€ir nln a'lO uJ ttreo dinh lf Viet ta c6: f"j =-- 1 thi rla -2*2 + I:0,ia c6 r: _1 rlr-Fxz = * bla', 0t *.2 = (e m)la, (loai a: = I) - Thay cic kdt qui nly vio (I) ta dugc [*]= othi ua- 2r2:a, te c6 r=rr m(-bla - t)tc Lk-m)la*t*bla]_a hoai r :+ t/z l. (+(a-lb*d (e-m)la=0. [*j:t tli 14 * 2*z - 1:0, ra cdr Do rr vi *z=FO n6n c - m j=0.. =1/+tl6 J,6f o {-D * o:0, suy la/(c) c6 it nh6t mgt (toqi-yt+1/r) rghi€m nhi6n v& nghiim d6 chinh bfing i. s6 tr.t Nhdn rtt: Ctng e6 ban nguoc lai dl tr! I(gt ["1-*]z: rni dd r.2]4 hay 14 )4x2. qui cria Viet suy ra hf sd a,"b rbi il"r;e; axj n]t+n thdy tbng cic h( s6 c&a phuong'trinh Nhu th{ ra -2r2 --l*J) 4r% _2*2 _ l,rj } 1ri trf c 2 mdi nAy
Bnt 4il0{i. {tho 0 "( a
lc* $ f . Dinh nghra. Itintr ph6ng taug rlB trr\ hinh $3. Tfnh rhe ticb csa hinh ph6ng limg d* dign I6i mi tdt *& e6e &Inh e,&a r3 nfi,rr tr$. trorrg bai mAt pbfrug rong cong Lfly tliBm 0 h&t ky n[m trnng thi6t diQn truug hlnh LMiYPQR. vi n$i Ll vdi tf,t c& eAc dllnh cf,a htnh phdng lSng trg ta sE tgo fiugc e&c hinh chdp c6. dinh chung l[ Ci vi cdc dAy IA hai ilAy vA c&c ffi{t b6u e&r htnh phdng IIng trg: O,AIJCD, O.EEGHK, O.AEK, O,ADK, O,DKE,.. Tbng th& tteh t6t c!. c{c htnh ch6p nf,y b&ng I I i I :i,;",')'ln, , t , ', _.l.r:'.a"*l tha tioh hinh ph6ng l[ng trp. i Ndu ggi di6n tieh ddy tr€n, dien tich i16y dudi I 1--{!.i /'r''-. F,\i"i.'i l"i., vi &ulng cao cria hinh ph6ng i[ng trg lhn lugt ';,o{ It cr, sz vi ft thl th6. tich hinh ch6p O..ABCD tr I )rI',.-;3J-,- rI *? l '* ' '/.:*1-,' l :r I/.. i b[n6 sr l/6 va thB tich hinh chdp o.EFGHK . r-'* -l- '- tr I trlng rz tr/6. ] i r, \l , I I ,; ^ t!. it ,' : '..i,"' l"'".i ..t i I Nay ta hey tinh th6 tich cfia binb eb6p O.DHK - -'-- i 'r I c6 dlnh O vh dAy lt mgt ra[t b€n cfia hinb li -'' -;.1i , '.-.-'---'.1 ph6ng l5.ng rru (m[t b€n DH,x (h.D. /" i; "." '., ;' , "'.1 K6o ddi DO mgt tloan bIng DO tbi c6 D' n&m At' trong m{t ph3ng 0 ) chrta diy du6i (vi O , \- ,l ;: ,. ./' lLt g\-r---1,'--jz- n{m trong tbi6t di6n trung binh). NEu dit diQn tich tam giitc O.Lltt ni.m trong thi$t dien truDg Hlnh 1 binh I& s thi diQnrttch hinh tarn gi{c D'IlJi blng 1s (vi D'GIX lA hinh v! tg cria O.L,LI trong ph6p vi tq tim D tf s6 ld 2)" 'Irong blnb I ta c6 htuh' ph6ug leug tr.r.r ABCD,EFGIT K. Tr! rlfnh nghia ta suy ra : 1. CAc m$t b6n cta bintr ph6ng l{ng trg ln hinh tam gl6c hay hinh tri gi6c. 2. Miit b8n t* gi.{c cria hinh ph6ng l6ng trg ld htnh thong hay ilfle bigt le hinh binh tianl. t- 3. Einh lEng trg, hlnh ch6p, htrh ehtip crlt t. _ ld nh&ng dang ddc 6i{{ crla logi hiah ph6ng ,r i lSng trg. r.'- li \\ ie 2. Y&i y6ru td ktrede c&a htnh phong \ ". lEng rru. t \ # I{oi m{.t oria hinh ph6ng ilng trg nim trong \ \ hai m!.t ph&ng song song (S) vA e) ehria c{e \ dinh cria hinh ph6ng IEng tru lA hai itiy cria \ binh ph6ng l6ng tru (h.1). Kh-oing c6ch gifta hai mdt ph&ng song song tl6 b&ng dudng cao cirs nd. M{t ph&og (Ir) song *ong v&. e6ch iIEu hai m{t Einft 2 ph6ng song song chua hai d{y cria binh ph6ng lilng trq aE tgo ra thi6t di€u trung hinh crla hinh ph6ng IEng irg. Th&tich cira llnh cb6p D.D'IIR IA: a1,o,nr :4sh/B Trong h.1 thi6t di$n rrung blnh c&a hinh e!-6ls ^l[ng tru AB$D.EaGgr lA hinh da gi6e Th& ttch cria hlnh obbp O.D'HK li: LMNPQII. 2shl3' Po'D'Htr - ll
V{y th& tich cfra hinh ch6p 0.DHK cln tirr Ii : $ 5 Tirn them eong th{rc rhb rieh met l-lo.DirK :4sil3 * 2shl3:2shl8. vdi hlnh, lch6i hay g{gr. ln dd suy re ring: tbng lhi tictr r5t ci c6e l) li&u rnQttrong hri d6y erla hinhph6ngl{ng hinh ch6p c6 chung aliuh O vd c6 c6c d6y lir trg suy bi6n thA;:h mOt doqn th&r:g, d{y cr}n lai c6e rnflt hen cria hinh ph6ng l[ng trq s6 h[n6 : [& hlnlr tha*g thl ta eti.ftin,h cci nin {h. 3). 213 di€n ileh thi6t dign trur:g ijtDh xn. Trong hir:h 3, rloqu ihirng { IiL} sr}rxg soirg Ndu tlfit di6r tich thi€t d.i6n trung blntr e&a -hlnh vdi hinh thang d6y ABCD. phdr,g i5:rg tru I.i so rhi cudi crrng th& tich u cte htnh pb6ng llng tig bhng: D:s1ft/6+rzni9*2sohll I h, )' ,= (s1* 4s6 -f. sz) (l) ;O trong d6 h li iludn8 c&or slr s6, s2 I[n luqt II dif n tich d5.y tr6n, di€n tich thi6t di0n trung binh vA di6n tich ct{y du6i c&a hinh ph6ng l[ng lr+. $ a. Dflo bigt h6a hinh ph6ng lErrg trg. 1) Khi tldry trtn cfra nd suy bi6n thiruh mgt ili8m, ta eo hinh cpip" Khi 6y sl=6, ,o tli*h -1 ,Z --L 4 Ta hay v{n dur:g t 6ng thuc th6 tich hin h ph6ng nen thoy vdo (1) ta c6 ilrb tich cria hinh ch6p li llng trq tl6 tintr th6 tich hinh crii : n€m. uch6p = !o{n,' Dung mdt ph8ng vuong g6c v6,i c{c cqnh ,4D, 'l Lo,r.r, ' 6 \ r ,r+sz\: 6 BC, I{L cfin hirh cdi n6rn ta c6 tiridt diOn th&ng Ei-G va goi dl€n tich crla rhidt di0n thfrng nny u"66o : I ln s, dudng eao hinhc{in6m Fil : h.D\t AD a, -J ,hS2 BC: b, KL:c. - (lz : duong cao,s2 : di€n tich ddy hinh e hdp) VAn dung cdng thuc tha rich hlnh ph6ng ling 2) Khi hai d6ry cta hinh phdng l[ng trq bing tru (l) thi tha iich hlnh c{i n6m b[ng: nhau vir cdc cqnh bOn cria n6 song song v6i I nhau ta s€ cd ftini ldng tru. p=--l-ft($+.iso*s2) 6 Khi {y sI = s2 = so ndn thav yAo (1) ta c6 thB ( NIfNPQ ld thi6t di6n trung binh) tlch eria hinh ling trq IA : 1 a)-c b*c \ -"'tang lru ,,'(sl+4si-l-st):1.h.6rt 22 a1-b -- 6 u:: '- o (n. G,E' +.- GE ] Dlang tr, - ftsl ,, 6\ 2l I (ft : dulng cao, sl : rii0n tich tro)l g dbGE,vvudc g gdc vcri dD, tron .BC ndrr ia duong d6.y lhng trg). caoo erria hinlht tha ng r15y ABCD : G' E' iA dudng cao 3) Khi hai ddy cria hinh ph6ng l{ng iru yi rW cgco eria lhi6ltr di 0r cao Q{tr trung binh (c{1 ng ln hinh tha:rg) v6i nhau (cdc cgnh b€n cfi* AOr"g quy tai ndnn 2G,8,: GE, t0m vi tq) ta s6 c6 hinft chop"a cnt. vay: i(rri dy ," : (G+G)' ,u, rhay viro (1), u: --I (u * b * c) h.GE -::---- 32 ta e6: t itc I 0ch6p cut = -1 i (sr -1- /rr"t + ,z) I D= --(a*D*c)..s 3 .3 s1, sz ll dign tich hai dAy i ft; du&ng cao cira ta tim th6 tich cria hinh phdrig l5ng 2) Nay hinh ch6p cqt). tru mi bai tl6y Id hai hinh eht nhfl.t cd c6e canh 12
I* tuong tiog song song m& ta goi ia hinh nlm ctll I dac.bi€t ho{c }rinh ddng cdt (h. 1). Hinh ABCD. A'B'C'D' c6 iAc il{y ABCD, A'B'C'D' li hai hlnb ohtr nh[t vi. ADIIA,D" ABIIA,B,. B?t AD : a, AB = b, A'D' - a', A'B' : b' vir chiEu cao cria ,4BCD. A'B'C'D' le h. V{n dqng c6ng ttruc thA tich hlnh ph6ng lflng tru (1) ta c6 th6 tich cria hinh n6m eqt hodc cria hinh il6ng c6t lir : . 4--a*a 1 u= h (a'D + ' J_+_y_ 4 ab) 6 J 2 : t h * Q'b' *ab* a'b* ab' * a'b' ub) 6 ijic,4 4 tuc u- i- h \2n'b' *2ab + ab' +a'bt. I 6 C0ng thuc th6 ltch criu hinh ph6ng llng trg: Nhu vgy li. eau khi dE nghi0n cuu th& tich h (sr * cria hlntr ph6ng l6.rig trg (mi c6c hinh ldng tru. D: 1 4so + sz) 6 hinh ch6p, hinh eh6p cgt ln nh&ng dq.ng d1c biQt cria n6) ta suy 14i iluqc cOng th&c thF tich duoc goi lir e6ng thuc Torndt Simsorr, 16n nhA eflc hinh ling tru. hinh ch6p, htnh ch6p cqrt va toiu hqc ngudi Anh (1710 - 1761). tim th6m dugc th6 tleh cia hinh cdi n6m, hinh d6ng c6.i (efi.ng Ia nliirng d1ng dfc bi$t cira hinh C0ng thrlc. t16 qul c6 tinh chf,t tbng qu6t vi ph6ng ldng Lrg) thuc t6. pffi*$'ffi'ffiffi Yffi#ffiffi' S# W& #'*ruC UltgilS #&N cefiffi'ffi& ffi*ffiffi ffi*T s# r& w& Tt I rB rHdn{c NHAI I t. l I i' l_ t: A.C bqn d5 duqc gidi thi6u phuong phAp sd nfro dd (ricng co+0) gSi li c{c hQ s6 cria chung minh sci VXn rA v0 ti trong chuong phuong trlnh (1) t trinh phb thOtrg. Ap dqng ki&u I{p lufn & trudng phb thdng crie ban til xet phuong v s6 hoc d6. e{c b4n cfing sB chr?ng rninh duoc trtnh tlai s6 b{c 2, bie 4 trring phuong khA ky. () dey ta x6i cde pbu'ong trluh d4i sd !r{c n m} rngt loat cdrc s6, eh&ng ha.,n ntr" /a /0, r/r re c6e s6 v6 ti. cde h€ sd cria n6 la cAc s6 nguy6n (ndu cfc hQ s6 16, s6 hiru ti, e6c b4n ctng e6 thA iri6n tt6i dv fai lao niy tdi xin gini thiQu vdi cdc bari tu
Chtng rninh. Eo a/& l& nghi0m cria (1) n6n thay Bei t$p 2. cbung minh .-3- la e6 vo ti. ,:alb ta cd : 16 -3V 15 crfulb)\ 4' c,*r{a/r)"-r+ ...*cr(a/b) + co 0 (2) BAy gi& ta x6t ti6p: = NhAn ci hai vd viri bn ta c6: Thi du 2. chtDg minh s6 y'z + r/r ta ro vd ti. cnan* cn-lcn- ID+ ...1c1ab*- l *crDo=0 (3) Ering thuc {3) co thE vi6t: x,bi sidi. Gi& srl ":t/{+/s
\ tir. 7 rrr.,i?", , I ----.F,,: rOAN HQC T Mt5-y,v**-,{F{ ch-3ay [-Y T]-{u cua s6 vO TV }IGUYEN TI'IANTI tlA qua cbdng t6i r{e grp mQt bai io&n nhu D6 uhfln s6t ih6y r5ng: sau : Cho a la rn$t s6 vS tj'. H6i riug tgp - hqp c{c phBn thip ph*n l*-o"f l,rt-rf - - [z,t-of [(il +.t)/r*al = ... ,, : li1t.a| - [tzir- lr-a[. ,, Itol : ta- ftrj: k = !, 2,3,... D[i rr - I : d thi rl&ng thr]c trea tr& thdnk c6 trt m&t tr0n doan [0, 1] hay kh6ng ? Ndi c6eh : P it khdc, c6 phii r&i b6t ky di6m c nao thuqc [0, r] Ir-c"f - [tr+a)i.-dl [tr+a)r*al - [(t * 2d)/c*dl. va b'6t kj' s6 elO n.io cdag tlbu tim tiuqe s6 Nh$n x6t tuo'ng tq nhu vSy. ta co d{y tr+ nhitn k sao cho *e { [O"l < n+s hay li]rong ? ac [r*aJ, frr+a*-orf , [{t+za),t*al, ltr+:alr.ol,... Chung tdi dA giii ttugc bhi toin,_cq.thb ln de ia m.Qt c{p ed cSng lni_(d6i ciia cOng sai bX.ng chung minh riusc tflp hp'p cic s6 [ra] rru m4t [t-"]- firr-af ( 112*+t vi b[ng hi€u cria hsi trtn tloan [0, t]. Xet qu& d6 lA mSt tinh ch6t sS cung n$rn trong khofing (1/2m+r, 112-il. Vi v[y If tht cria s6 vd t$. Tinh cbdt nAy kh6ng c6 ph:E! qd It uh6t mQt phhn tu cfia ddy nh6 hon & sd h&u tf, vi ndu o: plqvbi p, g In cfic s6 1,/?-+r: gi& sri rt6 la phln tir lti + ualf-ef . a trr nhi6n thi vdi b{t k-1} sd tu nhitn ft nho, lkel ta l5y km-Fl : (1 + udU{-. etng chi nh$n m$t tron6^ q gi6. tri : \'/{.v_\qo gi} cflng tim dugc k6ft sao cbo lk*aral o, [aJ, lzaf ,..., liq - ue.l -:1/!"+', inQnh dii dung vdi n+m* 1(dpcmt. Sau d0y ehung t6i xin gi0i thiQu rdi cAc baa Chirng ninh tinh chdt T. B&y gid giA s& cho cdch chung minh tinh ch6t n0u tr6n c,ja sd vd trudc t ln mSt s6 duong nh6 tty ;i, bao gid c$ng ti. BE cho gon ta gqi tii:l-i chdt d6 li iiah chit tim i[uge s6 tr3nhionn aao cho l/ln
?'. t" they rdng vdi m6i c va 6;0 eho trudc, vi in6i sE ld mgt s6 vr- --n- U blo,,SiO,"{rg tbn tqi a6 tg nhi6n n sao cho ' n: i,2,..., 8r+0 khi : ^h ehst T, ln'l (6, trong d6 lal'ld phln thfp phan vdi m6i n ta co od tqr n*.r= -.,,n ,re! .1" iL"rii; 'i"l'-s6 a tinh theo ilon vi mdi (toc Zct). eira {0" (lol' l& phin thgp phan a theo don Mlt khac ta c6 rx.,'= [oin lrl'* eie lrl'l + ",ia-s6 trlc_la tdn tqi sd tq nhi€n In o{-eo: ;i II'; .^,!l 'IB +r cos lrl'- cos l,l, j( + | si, l,l-- ini"- l',ro l:r:r-#l:f-ti'--{'?; i !t-X;r';j-; khi n --> 6 nOn / (:rrr) -g (a',.):i (r, + In 13) - I Z I ilo mu6n c6 ssn ( e thi chi vt{e ehon 0 sao g {aro * / (cl. + frn Tf -sr)*g(ru-o) = f(r6-srr)-g(r") -+/ (ro) - g(ro) : f 0. khi ., o -. i e sin l'l'- l"l' |