Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN QUỐC TUẤN

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số:

9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2023

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Hướng dẫn khoa học: GS.TS. Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí

Viện Toán Học

Phản biện 2: PGS. TS. Lê Văn Hiện

Trường ĐHSP Hà Nội

Phản biện 3: PGS. TS. Dương Anh Tuấn

Đại học Bách Khoa Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường

họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

giờ

ngày

tháng

năm

vào hồi

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội,

hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Phần lớn các quá trình của thực tế được biểu diễn dưới dạng phương trình đạo hàm

riêng ngẫu nhiên (SPDEs). Bởi vì ý nghĩa khoa học và thực tế nên nó đã và đang được

các nhà khoa học nghiên cứu với các hướng sau:

• Nghiên cứu tính đặt đúng;

• Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm;

• Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm;

• Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất các thuật toán và chứng minh sự hội

tụ, đánh giá sai số.

Trong những năm gần đây, các vấn đề trên đang là những hướng nghiên cứu rất thời sự

của lí thuyết các SPDEs.

Lớp hệ phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes có vai trò đặc biệt quan trọng.

Mặc dù đã có rất nhiều nỗ lực của nhiều nhà toán học lớn nhưng các kết quả đạt được

vẫn còn khá khiêm tốn, đặc biệt là trong trường hợp ba chiều (trường hợp có ý nghĩa

thực tiễn nhất). Nói riêng, tính đặt đúng toàn cục vẫn là vấn đề mở rất lớn trong trường

hợp ba chiều. Ngoài ra, khi hệ số nhớt nhỏ thì việc tính toán số trực tiếp nghiệm của

hệ Navier-Stokes ba chiều là vấn đề không khả thi ngay cả với các thuật toán và máy

tính tốt nhất hiện nay. Chính vì những lí do trên, trong khoảng hai thập kỉ gần đây, các

nhà toán học đã đề xuất những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục

đích tính toán số hoặc để thu được tính đặt đúng toàn cục. Một lớp hệ chỉnh hóa quan trọng và thường được sử dụng là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α, hệ Leray-α, hệ Leray-α cải biên và hệ Bardina đơn giản hóa, hệ Navier- Stokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai. Sau đây ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α

ngẫu nhiên và hệ N-S-V ngẫu nhiên.

• Hệ phương trình Leray-α tất định đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi các tác giả A.A. Cheskidov và cộng sự. Một số bài toán khác liên quan đến mô hình Leray-α

như tính chính quy, xấp xỉ số, độ hội tụ và dáng điệu tiệm cận của các nghiệm đã

được nhiều các nhà toán học: H. Ali, V.V Chepyzhov, E.S. Titi, G. Deugoué, A.A.

Dunca,... nghiên cứu . Trong những năm qua, độ lệch lớn, sự tồn tại và sự hội tụ nghiệm của mô hình ngẫu nhiên Leray-α đã được các nhà toán học H. Bessaih, I.

Chueshov, A. Millet, S. Li,... nghiên cứu rộng rãi. Các nhà toán học V. Barbu và C.

Lefter đã nghiên cứu và có các kết quả khác liên quan đến việc ổn định nghiệm

của PDEs bằng nhiễu hoặc bằng các điều khiển phản hồi. Tuy nhiên kết quả dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên: tồn tại và duy nhất của nghiệm

dừng, khi coi nghiệm dừng cũng là nghiệm của hệ ngẫu nhiên thì nghiên cứu sự

hội tụ của nghiệm ngẫu nhiên tới nghiệm dừng khi thời gian đủ lớn, khi nghiệm

dừng không ổn định thì tìm điều kiện đối với nhiễu hoặc thiết kế một điều khiển

phản hồi để ổn định nghiệm đó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

• Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với Leray-α ba chiều ngẫu nhiên. Đồng hóa

dữ liệu là một phương pháp luận để nghiên cứu và dự báo xu hướng của các hiện

tượng tự nhiên, chẳng hạn như thời tiết, các mô hình đại dương và khoa học môi

trường. Ý tưởng của đồng hóa dữ liệu là kết hợp dữ liệu quan sát với các nguyên

tắc động liên quan đến mô hình toán học cơ bản. Phương pháp đồng hóa dữ liệu

cổ điển là "chèn" dữ liệu quan sát trực tiếp vào một mô hình vì mô hình này đang

được tích hợp kịp thời, các nhà toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu này như

: R. Daley và P. Korn. Tuy nhiên, thuật toán này bộc lộ một số khó khăn khi các

phép đo được thu thập từ một tập hợp các điểm nút rời rạc, vì không thể tính

toán chính xác giá trị của các đạo hàm không gian có trong mô hình. Năm 2014,

nhà toán học A. Azouani và các cộng sự đã giới thiệu một cách tiếp cận mới cho

vấn đề đồng hóa dữ liệu, đó là thuật toán điều khiển phản hồi được áp dụng cho

đồng hóa dữ liệu và phương pháp này đã khắc phục được những nhược điểm của

phương pháp cổ điển. Trong thuật toán mới này, thay vì "chèn" trực tiếp các phép

đo vào mô hình, một tham số co dãn (nudging) và các phép đo quan sát được sử

dụng để thiết lập một mô hình mới mà nghiệm gần đúng của nó hội tụ tới nghiệm

chưa biết của mô hình ban đầu. Cách tiếp cận như vậy đã được phát triển sau đó

để đồng hóa dữ liệu của nhiều phương trình quan trọng trong cơ học chất lỏng,

như công trình của A.F. Albanez (2016); A. Farhat (2019) và các cộng sự ; Y. Pei

(2019). Năm 2015, một thuật toán đồng hóa dữ liệu tương tự cho dữ liệu có nhiễu

ngẫu nhiên đã được giới thiệu bởi H. Bessaih và các cộng sự, trong đó bài toán đối

với phương trình Navier-Stokes hai chiều đã được nghiên cứu. Gần đây, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho mô hình Leray-α ba chiều đã được A. Farhat và các

cộng sự nghiên cứu vào năm 2019, trong khi việc đồng hóa dữ liệu rời rạc cho mô

hình này đã được nghiên cứu gần đây hơn trong C.T. Anh và B.H. Bach (2018). Có

thể nhận thấy rằng trong hai công trình này, dữ liệu quan trắc không có sai số đo

lường. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có kết quả chính thức của bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α ba chiều có nhiễu ngẫu nhiên.

• Hệ phương trình N-S-V được Oskolkov đưa ra như một mô hình chuyển động của

một số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính. Hệ phương trình này cũng được đề

xuất bởi Y. Cao, Lunasin và Titi (2006) như là một hệ phương trình chỉnh sai của phương trình Navier-Stokes ba chiều với các giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô

phỏng số trực tiếp. Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu hệ trên, trước hết là sự xuất hiện của số hạng −α2∆ut làm mất đi tính chất parabolic (giống như tính chất của hệ Navier-Stokes ban đầu) của hệ phương trình và áp dụng công thức Itô cũng khó

khăn hơn. Mô hình được mô tả tốt hơn thực tế nếu một số thuật ngữ chứa độ trễ

xuất hiện trong phương trình. Những sự chậm trễ này có thể xuất hiện, chẳng hạn,

khi người ta muốn kiểm soát hệ thống (theo một nghĩa nào đó) bằng cách tác động

một lực có tính đến không chỉ trạng thái hiện tại mà còn cả lịch sử của nó, hoặc

lịch sử thời gian hữu hạn (độ trễ giới hạn) hoặc toàn bộ quá khứ (không giới hạn

hoặc độ trễ vô hạn). Hệ phương trình N-S-V với trễ hữu hạn, vô hạn hoặc có nhớ

đã được nghiên cứu gần đây bởi: C.T. Anh và D.T.P Thanh (2018); T. Caraballo,

A.M. Márquez-Durá (2020); V.M. Toi (2021). Các nhà toán học C.T. Anh và D.T.P

Thanh (2018) đã nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của các nghiệm dừng đối với

trường hợp ngẫu nhiên nhưng không có trễ. Tuy nhiên, theo những gì chúng tôi

biết, trường hợp trễ vô hạn chưa được nghiên cứu đối với hệ phương trình N-S-V

ba chiều ngẫu nhiên có trễ.

Với những phân tích trên, chúng tôi chọn vấn đề Dáng điệu nghiệm của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng làm nội dung nghiên cứu của luận án.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng bằng phương pháp của Giải tích

hàm và Giải tích ngẫu nhiên.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng

hóa dữ liệu đối với một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.

• Phạm vi nghiên cứu:

Nội dung 1: Nghiên cứu bài toán ổn định nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu

nhiên.

Nội dung 2: Nghiên cứu bài toán ổn định nghiệm của hệ phương trình Navier-

Stokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vô hạn.

Nội dung 3: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với Leray-α ba chiều

với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên.

4. Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau:

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact

và các công cụ của Giải tích ngẫu nhiên.

• Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu ngẫu nhiên và bài toán ổn định hóa: Kết hợp

các ý tưởng và kĩ thuật của Giải tích ngẫu nhiên và Lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều

và Lí thuyết điều khiển toán học.

5. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Kiến nghị, Danh mục các công trình công bố và Danh

mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên.

• Chương 3. Dáng điệu nghiệm Navier-Stokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vô hạn.

• Chương 4. Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α ba chiều với dữ liệu có nhiễu

ngẫu nhiên.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, ta nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên cứu các

phương trình trong luận án. Ta cũng trình bày một số khái niệm và kết quả của Giải tích

ngẫu nhiên trong không gian Hilbert và một số kết quả bổ trợ.

1.1. Các không gian hàm

1.1.1. Không gian các hàm phụ thuộc thời gian

1.1.2. Không gian hàm và toán tử cho miền mở

1.1.3. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn

1.2. Một số kết quả về Giải tích ngẫu nhiên trong không gian

Hilbert

1.2.1. Một số khái niệm cơ bản

1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên

1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert

1.2.4. Công thức Itô

1.3. Các bổ đề thường dùng

Chương 2

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN

Trong chương này, ta nghiên cứu hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên với điều kiện biên

Dirichlet trên miền bị chặn và nhiễu ngẫu nhiên nhân tính. Ta chỉ ra tính đặt đúng của

bài toán và sự tồn tại duy nhất nghiệm dừng. Sau đó, ta nghiên cứu tính ổn định bình

phương trung bình theo tốc độ mũ và hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng.

Nếu nghiệm dừng là không ổn định, ta ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu nhân tính

Itô hoặc bằng điều khiển phản hồi có giá trong miền. Nội dung của chương được viết

dựa theo bài báo [CT1] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến

luận án.

2.1. Đặt bài toán

Xét (cid:79) ⊂ (cid:82)3 là miền bị chặn với biên trơn ∂ (cid:79) . Xét hệ phương trình Leray-α ba chiều

ngẫu nhiên có dạng



d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p]d t = f (x)d t + h(v)dW (t),

x ∈ (cid:79) , t > 0,

∇ · u = 0,

v = (I − α2∆)u,

x ∈ (cid:79) , t > 0,

(2.1)

u(x, t) = 0,

v(x, t) = 0,

x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

(x),

x ∈ (cid:79) ,

  u(x, 0) = u0

ở đó u = (u1, u2, u3 ), p = p(x, t) tương ứng là vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt và α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, f (x) là ngoại lực, u0 là vận tốc ban đầu, h(v)W (t) là nhiễu ngẫu nhiên và W (t) là một quá trình Wiener

Ta viết lại hệ (2.1) dưới dạng phương trình toán tử như sau



d v + [νAv + B(u, v)]d t = f (x)d t + h(v)dW (t),

x ∈ (cid:79) , t > 0,

v = (I + α2A)u,

(2.2)

x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

u(x, t) = 0,

v(x, t) = 0,

x ∈ (cid:79) .

(x),

  u(x, 0) = u0

Giả thiết 2.1.

(1) v0 := (I + α2A)u0 là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong H, (cid:70)

0-đo

|4 < ∞;

được thỏa mãn (cid:69)|v0

(2) f ∈ H;

(3) h : H → L2

(K0, H) là ánh xạ đo được và tồn tại hằng số dương γ

0 sao cho

(2.3)

∈ H.

(cid:107)h(w1

) − h(w2

|w1

− w2

|2, ∀w1, w2

)(cid:107)2 L2

(K0,H) ≤ γ

Định nghĩa 2.1. Nghiệm yếu của hệ phương trình (2.2) trên khoảng (0, T ) là quá trình ngẫu nhiên u = u(x, t, ω) sao cho

1. u là đo được theo tiến trình;

2. v := (I + α2A)u thuộc không gian C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) hầu chắc chắn;

3. Với mọi t ∈ [0, T ], với mọi hàm thử φ ∈ V và (cid:80)-hầu chắc chắn

(cid:90) t

(v(t), φ) + ν

((v(s), φ))ds +

(cid:10)B(u(s), v(s)), φ(cid:11) ds

(cid:90) t

0 (cid:90) t

(2.4)

( f , φ)ds +

(cid:10)φ, h(v(s))dW (s)(cid:11) ,

= (v0, φ) +

Định lí 2.1. Giả sử Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm yếu của hệ phương trình (2.2) trên mọi khoảng (0, T ).

2.2. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ Leray-α ba

chiều tất định

Hệ Leray-α ba chiều tất định:

∂

(2.5)

trong V (cid:48)

t v + νAv + B(u, v) = f

ở đó v = (I + α2A)u = N −1

α u và Nα = (I + α2A)−1.

Định nghĩa 2.2. Giả sử f ∈ H. Nghiệm dừng của (2.5) là hàm u∗ ∈ V sao cho

(2.6)

ν (cid:10)Av∗

, φ(cid:11) + b(u∗

, v∗

, φ) = ( f , φ) ∀φ ∈ V,

ở đó v∗ = (I + α2A)u∗.

Định lí 2.2. Giả sử f ∈ H. Khi đó, phương trình(2.5) có ít nhất một nghiệm dừng u∗ thỏa

mãn

(2.7)

(cid:107)v∗(cid:107) ≤

| f | νλ1/2 1

ở đó, v∗ = (I + α2A)u∗. Hơn nữa, nếu

(cid:198)

ν > µ =

(2.8)

| f |,

λ−3/4 1

ở đó C1 hằng số trong bất đẳng thức (??), thì nghiệm dừng u∗ là duy nhất và ổn định mũ toàn cục, nghĩa là, với mọi nghiệm u(t) của phương trình tất định (2.5) thì tồn tại λ > 0,

sao cho

|v(t) − v∗|2 ≤ e−λt|v(0) − v∗|2,

t > 0.

2.3. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ

Định lí 2.3. Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn, h(v∗) = 0 và

+ 16µ2

γ 0

λ−1 1

λ−2 1

ν >

(2.9)

+ (cid:112)γ2 0 4 với γ 0 là hằng số dương trong (2.3). Khi đó mọi nghiệm u(t) của hệ phương trình ngẫu nhiên (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ theo nghĩa bình phương trung bình với tốc độ mũ. Nghĩa là, tồn tại số thực a > 0 và T (a) > 0 thỏa mãn

(cid:69)|v(t) − v∗|2 ≤ (cid:69)|v(0) − v∗|2e−at, ∀t ≥ T (a).

2.4. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ

Định lí 2.4. Giả sử Giả thiết 2.1, điều kiện (2.9) được thỏa mãn và h(v∗) = 0. Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ.

2.5. Ổn định hóa nghiệm dừng

2.5.1. Ổn định hóa bằng nhiễu nhân tính Itô

Giả thiết 2.1 được thỏa mãn, ta cần thêm giả thiết mạnh hơn về nhiễu, tức điều kiện

) sao cho

dưới đây được thỏa mãn. Giả sử, tồn tại hằng số ρ ∈ (0,

γ 0 2

∞ (cid:88)

(2.10)

(h(v)e0

k, v(t) − v∗)2 ≥ ρ|v(t) − v∗|4, ∀v ∈ V, hầu chắc chắn.

k=1

Định lí 2.5. Giả sử Giả thiết 2.1 và (2.10) thỏa mãn. Nếu điều kiện (2.8), h(v∗) = 0 và

bất đẳng thức sau

(cid:130)

(cid:140)

2ν −

+ 2ρ > γ 0

2µ2 ν

được thỏa mãn, khi đó nghiệm u∗ là ổn định hóa được theo cấp độ mũ hầu chắc chắn.

Nghĩa là,

hầu chắc chắn.

log |v(t) − v∗|2 < 0,

lim sup t→∞

2.5.2. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi.

Ta nghiên cứu hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên có điều khiển sau



X d t + h(v)dW (t),

x ∈ (cid:79) , t > 0,

d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p − f ]d t = 1(cid:79)

∇ · u = 0,

v = (I − α2∆)u,

x ∈ (cid:79) , t > 0,

u(x, t) = 0 = v(x, t),

x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

(x),

x ∈ (cid:79) ,

  u(x, 0) = u0

(2.11) 0 và X = X (x, t) là hàm đặc trưng của (cid:79) 0 là miền con mở của (cid:79) với biên trơn, 1(cid:79) ở đó (cid:79) điều khiển tương thích với bộ lọc tự nhiên (cid:8)(cid:70) (cid:9) . Nội dung chính của mục này là ta thiết kế điều khiển phản hồi X = F (v) sao cho nghiệm dừng u∗ của hệ (2.1) là nghiệm ổn định của hệ (2.11), tức là ta đã ổn định hóa nghiệm u∗ bằng điều khiển phản hồi X = F (v). Trong phương trình đầu tiên của hệ phương trình (2.11), ta quan tâm tới điều

khiển phản hồi có dạng

X = −η(v − v∗), η > 0,

và hệ điều khiển tương ứng

(2.12)

d v + [νAv + B(u, v) + f ]d t + ηP(1(cid:79)

(v − v∗))d t = P(h(v)dW (t)).

= η

((cid:34)) sao cho với mọi η ≥ η

Bổ đề 2.1. Với mỗi (cid:34) > 0 cho trước, thì tồn tại số thực η

) y, y

) − (cid:34))| y|2, ∀ y ∈ V.

(cid:172)νAy + ηP(1(cid:79)

((cid:79) 1

(cid:182) ≥ (νλ∗ 1

Định lí 2.6. Nếu

µ2

ν >

(2.13)

)

γ 0 λ∗ ((cid:79) 1

0 đủ lớn nhưng độc lập với v0 thì nghiệm u của hệ (2.12) với

∈ H và η ≥ η với mỗi v0 nghiệm ban đầu u(0) = u0 thỏa mãn

(cid:90) +∞

(2.14)

eγt(cid:69)|v(t) − v∗|2 +

− v∗|2,

eγs(cid:69)|v(t) − v∗|2ds ≤ C(cid:69)|v0

và

(2.15)

eγt(|v(t) − v∗|2) = 0 (cid:80)-hầu chắc chắn,

lim t→∞

với γ > 0 và C > 0. Đặc biệt, hệ (2.11) là ổn định hóa bằng điều khiển có giá bên trong miền (cid:79)

Chú ý 2.1. Điều kiện (2.13) tương đương với điều kiện

) >

((cid:79) 1

λ∗ 1

γ 0 ν − µ2 ν

Sử dụng bất đẳng thức Poincaré, ta có

(cid:130)

(cid:140)−2

) ≥ C

dist(x, ∂ (cid:79) )

((cid:79) 1

λ∗ 1

sup x∈(cid:79)

= (cid:79) \(cid:79)

0 đủ

((cid:79) 1

) có thể làm cho đủ lớn tùy ý miễn là miền vành khăn (cid:79) 1

Từ đây λ∗ 1

"mỏng". Như vậy, Định lí 2.6 nói rằng sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên trong hệ

(2.11) có thể được bù bởi điều khiển phản hồi với giá đủ lớn.

Chương 3

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHIỀU

NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn. Trước

hết, chúng tôi khẳng định được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm dừng của phương

trình tất định. Sau đó, chúng tôi khảo sát tính ổn định bình phương trung bình địa

phương của nghiệm dừng đối với trễ vô hạn tổng quát. Trong trường hợp trễ phân phối,

chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và hội tụ hầu

chắc chắn theo tốc độ mũ. Trong trường hợp trễ tỉ lệ, chứng minh được tính ổn định

bình phương trung bình theo tốc độ đa thức và tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ

đa thức. Chương này được viết dựa theo công trình [CT2].

3.1. Đặt bài toán

Cho (cid:79) ⊂ (cid:82)3 là tập mở bị chặn với biên ∂ (cid:79) đủ trơn. Xét hệ phương trình N-S-V ba

chiều ngẫu nhiên với trễ vô hạn có dạng



d(u − α2∆u) + (cid:2)−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p(cid:3) d t

)dW,

(0 + ∞) × (cid:79) ,

(t, ut

= (cid:2) f + g1

)(cid:3) d t + g2

(3.1)

∇ · u = 0,

(0 + ∞) × (cid:79) ,

u = 0

(0, +∞) × ∂ (cid:79) ,

 

u(s, x) = φ(s, x)

(−∞, 0] × (cid:79) ,

ở đó u = u(t, x) là vectơ vận tốc cần tìm, ut là hàm được định nghĩa như sau ut (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0], p là áp suất chưa biết, ν > 0 là hằng số nhớt, α > 0 là tham số đặc

trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, f là hàm ngoại lực đã cho, g1, g2 là các số hạng chứa trễ, ví dụ trễ phân phối, trễ biến thiên không bị chặn, ..., φ là trường vectơ ban đầu được xác định trên (−∞, 0] và {W (t) : t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên Wiener.

Tiếp theo, ta nhắc không gian

(cid:167)

(cid:170)

eγsϕ(s)

tồn tại trong V

Cγ(V ) =

ϕ ∈ C((−∞, 0]; V ) :

, ở đó γ > 0,

lim s→−∞

gọi là không gian pha và Cγ(V ) là không gian Banach với chuẩn

(cid:107)ϕ(cid:107)

eγs(cid:107)ϕ(s)(cid:107).

Cγ(V ) = sup

s∈(−∞,0]

Các giả thiết cho ngoại lực (không chứa trễ) và số hạng chứa trễ

(F) f ∈ V (cid:48); φ ∈ Cγ(V ).

(G) Cho g1 : (cid:82) × Cγ(V ) → V (cid:48) và g2 : (cid:82) × Cγ(V ) → L2(K0, H) thỏa mãn các điều kiện

(·, η) là đo được, i = 1, 2.

(G1) Với bất kì η ∈ Cγ(V ), gi

> 0 sao cho với mọi t ∈ (cid:82) và η, ξ ∈ Cγ(V ),

(G2) Tồn tại hằng số L g1

(cid:107)η − ξ(cid:107)

(t, ξ)(cid:107)

(cid:107)g1

(t, η) − g1

Cγ(V ).

V (cid:48) ≤ L g1

> 0 sao cho với mọi t ∈ (cid:82) và η, ξ ∈ Cγ(V ),

(G3) Tồn tại hằng số L g2

(cid:107)η − ξ(cid:107)

(t, ξ)(cid:107)

(cid:107)g2

(t, η) − g2

Cγ(V ).

L2(K0,H) ≤ L g2

Sau đây, ta đưa ra hai ví dụ cho các hàm gi i = 1, 2.

Ví dụ 1 (Trễ biến thiên không bị chặn). Xét gi, (i = 1, 2) được cho như sau

(3.2)

(ζ(−h(t))),

i = 1, 2,

(t, ζ) = Gi

ở đó G1 : V → V (cid:48), G2 : V → L2(K0, H), là các hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là

(ξ)(cid:107)

(3.3)

(cid:107)η − ξ(cid:107),

(cid:107)G1

(η) − G1

V (cid:48) ≤ LG1

(ξ)(cid:107)

(3.4)

(cid:107)η − ξ(cid:107),

(cid:107)G2

(η) − G2

L2(K0,H) ≤ LG2

và h ∈ C 1([0, ∞)), h(t) ≥ 0 và h∗ = supt≥0 h(cid:48)(t) < 1. Trong trường hợp này, phần chứa (u(t − h(t))). Bằng cách tính toán trực ) = Gi trễ trong bài toán của ta trở thành gi

(t, ut tiếp, ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều kiện (G1), (G2) và (G3).

(i = 1, 2) được gọi là trễ tỉ lệ.

Đặc biệt khi h(t) = (1 − q)t, 0 < q < 1, thì gi

Ví dụ 2 (Trễ phân phối). Xét gi, (i = 1, 2) được cho như sau

(cid:90) 0

(3.5)

(s, ζ(s))ds,

(t, ζ) =

−∞

(·)e−(γ+ρ)· ∈ L2(−∞, 0), với ρ > 0 nào đó, sao cho với mọi

ở đó T1 : (−∞, 0] × V → V (cid:48) và T2 : (−∞, 0] × V → L2(K0, H) là các hàm đo được và (·) ∈ chúng là các hàm liên tục Lipschitz theo biến thứ hai, tức là, tồn tại các số LTi L2(−∞, 0), (i = 1, 2) và LTi s ∈ (−∞, 0] và η, ξ ∈ V,

(3.6)

(s, ξ)(cid:107)

(s)(cid:107)η − ξ(cid:107),

(cid:107)T1

(s, η) − T1

(3.7)

(s, ξ)(cid:107)

(s)(cid:107)η − ξ(cid:107).

(cid:107)T2

(s, η) − T2

V (cid:48) ≤ LT1 L2(K0,H) ≤ LT2

Bằng cách tính toán trực tiếp, ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều kiện

(G1), (G2) và (G3).

Ta viết lại hệ phương trình (3.1) dưới dạng phương trình toán tử:

d[u(t) + α2Au(t)] + [νAu(t) + B(u, u)] d t

(3.8)

)dW, ∀t > 0,

(t, ut

= (cid:2) f + g1

)(cid:3) d t + g2

  

u(τ + s) = φ(s),

s ∈ (−∞, 0].

Bây giờ ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.8).

Định nghĩa 3.1. Quá trình ngẫu nhiên u xác định trên (cid:82) được gọi là nghiệm yếu của hệ

phương trình (3.8) nếu

u ∈ L2(Ω, (cid:70) , (cid:80), C([0, T ]; V )), ∀T > 0,

u(s) = φ(s), ∀s ≤ 0 và (cid:80)-hầu chắc chắn

(cid:90) t

(u(t), w) + α2((u(t), w)) + ν

〈Au(s), w〉 ds +

〈B(u(s), u(s)), w〉 ds

0 (cid:90) t

), w(cid:11) ds

=(φ(0), w) + α2((φ(0), w)) +

(s, us

(cid:10) f + g1

(cid:90) t

)dW (s), w), với mọi t ≥ 0 và w ∈ V.

(s, us

(g2

Phương trình tất định ứng với hệ (3.8), tức là phương trình

(3.9)

(t, ut

(u + α2Au) + νAu + B(u, u) = f + g1

d t

Định nghĩa 3.2. Một hàm u∞ ∈ V được gọi là nghiệm dừng của (3.9) nếu

(3.10)

(t, u∞) ∀t ≥ 0,

νAu∞ + B(u∞, u∞) = f + g1

hoặc tương đương với điều kiện

(t, u∞), β(cid:11) , ∀β ∈ V, ∀t ≥ 0.

ν (cid:10)Au∞, β(cid:11) + (cid:10)B(u∞, u∞), β(cid:11) = (cid:10) f , β(cid:11) + (cid:10)g1

thì, phương trình

Định lí 3.1. Giả sử các điều kiện (F) và (G) thỏa mãn và nếu ν > L g1 (3.10) có ít nhất một nghiệm u∞ thỏa mãn ước lượng sau

(3.11)

(cid:107)u∞(cid:107) ≤

(cid:107) f (cid:107)∗ ν − L g1

λ− 1

(3.12)

4 (cid:107) f (cid:107)∗,

(cid:138)2 > C1

Hơn nữa nếu điều kiện sau được thỏa mãn (cid:128)ν − L g1

ở đó C1 là hằng số tốt nhất trong ước lượng của b(u, v, w) và (cid:107) f (cid:107)∗ là chuẩn của f trong không gian V (cid:48) thì nghiệm u∞ là duy nhất.

3.2. Tính ổn định bình phương trung bình địa phương của hệ trong

trường hợp tổng quát

> 0 (i =

Định lí 3.2. Giả sử các giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Giả sử tồn tại hằng số Cgi 1, 2) sao cho, với mọi t ≥ 0, thì

(cid:90) t

)(cid:107)2

(3.13)

(cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds,

(s, us

(s, vs

(cid:107)g1

) − g1

V (cid:48) ds ≤ C 2 g1

−∞

(cid:90) t

)(cid:107)2

(3.14)

(cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds,

(s, us

(s, vs

(cid:107)g2

) − g2

L2(K0,H)ds ≤ C 2

−∞

và

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2C1

(3.15)

2ν ≥

+ 2Cg1

+ C 2 g2

λ ν − L g1

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138)

(cid:17) (cid:90) 0

+ (cid:16)

(3.16)

(cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds.

Cg1

+ C 2 g2

−∞

Hệ quả 3.1. Giả sử rằng, giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ biến thiên không

(u(t − h(t))), (i = 1, 2) thỏa mãn (3.3) và (3.4). Ta giả sử rằng

bị chặn gi

(t, ut

) = Gi

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2C1

(3.17)

2ν ≥

L2 G2 1 − h∗ .

2LG1(cid:112) 1 − h∗

λ ν − L g1 Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138)

(cid:32)

(cid:33) (cid:90) 0

(3.18)

(cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds.

L2 G2 1 − h∗

LG1(cid:112) 1 − h∗

−∞

Hệ quả 3.2. Giả sử rằng, giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ phân phối

) = (cid:82) 0

(s, u(s + t))ds, (i = 1, 2) thỏa mãn (3.6) và (3.7). Giả sử rằng

(t, ut

−∞ Ti

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2c0

(cid:107)

(3.19)

2ν ≥

+ 2(cid:107)LT1

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

(cid:107)2 L2(−∞,0).

λ ν − L g1

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138)

(cid:18)

(cid:19) (cid:90) 0

(cid:107)

(cid:107)2

(3.20)

(cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds.

(cid:107)LT1

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

L2(−∞,0)

−∞

3.3. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng trong trường hợp trễ phân

phối

3.3.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ

) = (cid:82) 0

Định lí 3.3. Giả sử rằng các giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Giả sử số (s, u(t + s))ds, i = 1, 2 thỏa mãn điều kiện (3.6)-(3.7) và

−∞ Ti

(t, ut hạng chứa trễ gi tồn tại hằng số 0 < ρ < 2γ sao cho

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2c0

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)

+ 2(2ρ)− 1

2ν ≥

L2(−∞,0)

2 (cid:107)LT1

(3.21)

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2

(cid:107)LT2

L2(−∞,0).

λ ν − L g1 ρ 1 + 2ρ

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có

(3.22)

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ e−ρtC(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ),

(3.23)

− u∞(cid:107)2

(cid:69)(cid:107)ut

Cγ(V ) ≤ e−ρt max{1, C}(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ),

với

(cid:19)

(cid:18)

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2

(2ρ) 1

2 (cid:107)LT1

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

C =d −1 0

L2(−∞,0)

1 2ρ(2γ − ρ)

3.3.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ

Định lí 3.4. Giả sử các giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.3 thỏa mãn. Khi đó mọi nghiệm u(t) của (3.8) hội tụ tới nghiệm dừng u∞ trong V hầu chắc chắn theo tốc độ mũ.

3.4. Tính ổn định đa thức của nghiệm dừng trong trường hợp trễ

tỉ lệ

3.4.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức

Định lí 3.5. Giả sử các giả thiết như Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Gọi số hạng chứa (u(qt)), 0 < q < 1, i = 1, 2, ở đó Gi thỏa mãn (3.3)-(3.4). Giả sử rằng

trễ là gi

) = Gi

(t, ut

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

(cid:16)

(cid:17)

2c0

(3.24)

+ d0

2ν > LG1

LG1

+ L2 G2

λ ν − L g1

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có

, (3.25)

− u∞(cid:107)2(cid:138) (1+ t)µ

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ C(cid:69) (cid:128)|u0

− u∞|2 + α2(cid:107)u0

ở đó µ được cho như sau





− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2c0

−

+ 2ν

d −1 0

− LG1

 

 

λ ν − L g1

< 0.

µ = logq

LG1

+ L2 G2

3.4.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức

Định lí 3.6. Giả sử rằng giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.5 thỏa mãn. Ngoài ra, giả

sử

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

(cid:17)

(cid:16)

2c0

(3.26)

2ν > LG1

LG1

+ L2 G2

d0 q

λ ν − L g1

Khi đó mọi nghiệm u(t) của (3.8) hội tụ tới nghiệm dừng u∞ trong V hầu chắc chắn theo

tốc độ đa thức.

Chương 4

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN

Trong mục này ta nghiên cứu bài toán đồng hóa liên tục cho hệ Leray-α ba chiều

với dữ liệu ngẫu nhiên. Trước hết ta xây dựng mô hình đồng hóa dữ liệu từ các dữ liệu

quan sát được. Từ đó, ta chứng minh tính đặt đúng của bài toán đó. Cuối cùng, ta tìm

các điều kiện để đảm bảo nghiệm của bài toán đồng hóa dữ liệu hội tụ tới nghiệm của

hệ gốc ban đầu khi thời gian đủ lớn. Nội dung của chương được viết theo bài báo [3]

trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

4.1. Đặt bài toán

Trong mục này, ta nghiên cứu thuật toán đồng hóa liên tục với dữ liệu có nhiễu ngẫu

nhiên cho bài toán Leray-α ba chiều



− ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f ,



∂ v ∂ t

(4.1)



∇ · u = ∇ · v = 0,

ở đó u − α2∆u = v, u = (u1, u2, u3 ) tương ứng là vectơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng và f (x) là ngoại lực. Ta giả sử điều kiện biên tuần hoàn trên miền (cid:79) = [0, L]3, (x) và hàm ngoại lực f = f (x) là một hàm tuần hoàn với điều kiện ban đầu v(x, 0) = v0 chu kỳ L với trung bình tích phân bằng không.

Trong phần tiếp theo, ta sẽ mô tả vấn đề đồng hóa dữ liệu. Giả sử rằng v(t) là một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục của hệ Leray-α ba chiều (4.1). Kí hiệu (cid:73) (v(t)), với h t ≥ 0, các phép đo quan sát chính xác mà không có sai số của nghiệm chính xác v tại (v(t)) nội suy thời điểm t. Ta giả sử (cid:73)

h : V → (cid:82)D là một toán tử tuyến tính và kí hiệu Rh

của dữ liệu quan sát, tức là

(v(t)) = (cid:76)

◦ (cid:73) (v(t)),

ở đó (cid:76)

h : (cid:82)D → V là toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử nội suy Rh thỏa mãn

(4.2)

(cid:107)w − Rh

≤ c1h2(cid:107)∇w(cid:107)2

(w)(cid:107)2 L2

L2, với mọi w ∈ V.

Do đó, các quan sát được dùng cho bài toán đồng hóa là các quan sát có nhiễu

(4.3)

(v(t)) + (cid:69) (t),

˜(cid:73) h

(v(t)) = (cid:73) h

(v(t)) được đưa ra bởi hệ tiến hóa ngẫu nhiên sau đây

ở đó (cid:69) : [0, ∞) → (cid:82)D đại diện cho lỗi đo lường. Thuật toán xây dựng z(t) từ các phép đo quan sát ˜(cid:73) h



(v)]d t + µξd t,

dz + [−ν∆z + (w · ∇)z + ∇p]d t = f d t − µ[Rh

(z) − Rh



(4.4)



∇ · z = 0,

ở đó z = w − α2∆w và giá trị ban đầu z(0) = z0.

Áp dụng phép chiếu trực giao Leray vào hệ Leray-α (4.1) thu được



d v

+ νAv + B(u, v) = f ,



(4.5)



d t v(0) = v0

∈ H. Tương tự, phương trình (4.4) trở thành

ở v = u + α2Au, f ∈ H và v0

(4.6)

(z − v)]d t + µdW,

dz + [νAz + B(w, z)]d t = [ f − µPRh

ở đó z = w + α2Aw và dW (t) = Pξ(t)d t là số hạng chứa nhiễu.

4.2. Hệ Leray-α ba chiều tất định

Cho f ∈ H, số Grashof cho không gian ba chiều là G r =

| f | ν 2λ3/4 1

∈ H. Khi đó, với bất kì T > 0, hệ phương trình (4.5) có

Định lí 4.1. Cho f ∈ H và v0 nghiệm yếu duy nhất v thỏa mãn

d v

và

v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V )

∈ L2(0, T ; V (cid:48)).

d t

Ngoài ra, nửa nhóm liên kết S(t) : H → H có tập hút toàn cục (cid:65) trong H. Và với bất kì v ∈ (cid:65) , ta có

(4.7)

|v|2 ≤ M 2

0 :=

2ν 2G r 2 λ1/2 1

4.3. Số hạng chứa nhiễu

Phép đo sai số được mô tả bởi

(4.8)

(cid:69) (t)d t = (dβ

(t), dβ

(t), . . . , dβ

(t)).

Biểu diễn toán tử tuyến tính (cid:76)

h : (cid:82)D → [ ˙H 1((cid:79) )]3 như sau

D (cid:88)

(cid:96)

(cid:76)

(ζ)(·) =

(4.9)

(·), ζ ∈ (cid:82)D và (cid:96)

∈ [ ˙H 1((cid:79) )]3,

d=1

Số hạng chứa chứa nhiễu trong (4.6) là quá trình Wiener có dạng

D (cid:88)

= Π(cid:96)

(4.10)

W (t) =

(t)γ

d=1

Toán tử nội suy quan sát được xây dựng theo đơn vị thể tích (cid:73)

h : [ ˙H 1((cid:79) )]3 → (cid:82)3N được

cho bởi





3n−2

(cid:90)

(4.11)

Φ(x)d x =

(Φ) = ( ¯ϕ

), ở đó

Φ(x)d x,

(cid:73) h

1, ¯ϕ

2, . . . , ¯ϕ

N L3

1 |Qn

   

   

¯ϕ ¯ϕ 3n−1 ¯ϕ

cho n = 1, . . . , N , ở đó miền (cid:79) = [0, L]3 được chia bởi N = K 3 khối lập phương đơn vị

= (cid:76)

◦ (cid:73)

| =

L (cid:112)

và có thể tích |Qn

. Định nghĩa Rh

L3 N

h, ở N (ζ) là hàm tuần hoàn với chu kì L trên miền (cid:79) được cho

phân biệt Qn với độ dài cạnh h : (cid:82)3N → [˙L2((cid:79) )]3 với (cid:76) đó (cid:76)

bởi





3n−2

(cid:130)

(cid:140)

N (cid:88)

(cid:76)

(x) −

(ζ)(x) =

h3 L3

n=1

   

   

3n−1 ζ

Gọi









(x) − h3/L3

(x) =

(x) − h3/L3

(cid:96) 3n−1

(cid:96) 3n−2

   

   

   

   

(4.12)





và (cid:96)

(x) =

   

   

(x) − h3/L3

với n = 1, 2, . . . , N .

Mệnh đề 4.1. Cho W (t) là quá trình Wiener trong (4.10), ở đó (cid:96) d giống như (4.12) cho d = 1, . . . , 3N . Khi đó W là chuyển động Q−Brown nhận giá trị trong [˙L2((cid:79) )]3 với toán

tử hiệp phương sai Q thỏa mãn

Tr(Q) ≤ σ2 L3.

4.4. Thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục

4.4.1. Tính đặt đúng của bài toán

Định nghĩa 4.1. Quá trình ngẫu nhiên (z(t))

t∈[0,T ] được gọi là nghiệm yếu trên (0, T )

của hệ ngẫu nhiên (4.6) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) z là hàm đo được theo tiến trình;

(ii) z = w + α2Aw thuộc vào C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) hầu chắc chắn;

(iii) Với mọi t ∈ [0, T ] và (cid:80)-hầu chắc chắn,

(cid:90) t

(z(t), ϕ) + ν

(cid:10)Az(s), ϕ(cid:11) ds +

〈B(w(s), z(s)), ϕ〉ds

0 (cid:90) t

(cid:90) t

( f , ϕ)ds − µ

(z(s) − v(s)), ϕ)ds + µ

(dW (s), ϕ),

(Rh

= (z0, ϕ) +

với mọi hàm thử ϕ ∈ V .

Định lí 4.2. Giả sử toán tử nội suy Rh : ( ˙H 1((cid:79) ))3 → (˙L2((cid:79) ))3 thỏa mãn (4.2) và 2µc1h2 ≤

L M0

∈ H và T > 0 cho trước, tồn tại duy nhất quá trình

. Khi đó với mọi z0

23/2C 2 να3

ν với µ ≥ ngẫu nhiên z ∈ C([0, T ]; V ) là nghiệm của phương trình (4.6). Hơn nữa,

(cid:130)

(cid:140)

(cid:69)

(4.13)

(|z(t)|2)

< ∞,

sup 0≤t≤T





T (cid:90)

(cid:69)

(4.14)

(cid:107)z(t)(cid:107)2d t

< ∞.

  

  

4.4.2. Định lí về hội tụ

Định lí 4.3. Giả sử rằng v là nghiệm của (4.5) và Rh : ( ˙H 1((cid:79) ))3 → (˙L2((cid:79) ))3 là toán tử quan sát thỏa mãn (4.2). Giả sử µ là đủ lớn và h là đủ nhỏ sao cho

L M 2

≥

(4.15)

2c1 ν

23/2c1C 2 ν 2α3

1 h2

Khi đó nghiệm z của phương trình đồng hóa (4.6) được cho bởi Định lí 4.2 thỏa mãn

(4.16)

(cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤ µTr(Q),

lim sup t→+∞

t+T (cid:90)

(4.17)

(cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤

Tr(Q) + µ2Tr(Q).

lim sup t→+∞

d là chuyển động Brown độc

L M 2

, và chọn N = K 3 đủ lớn sao cho

Hệ quả 4.1. Giả sử rằng các phép đo quan sát được cho bởi phần tử thể tích hữu hạn (4.11) và có thêm số hạng chứa nhiễu như trong (4.8), ở đó mỗi β lập một chiều với phương sai σ2/3. Gọi µ = 21/2C 2

να3

(cid:114) ν

≤

h =

2c1

Khi đó nghiệm z của phương trình đồng hóa (4.6) thỏa mãn

(cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤

ν G r 2σ2 L4 α3

lim sup t→+∞

và

(cid:140)

(cid:90) t+T

(cid:130) k1

k2 1

(cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤

σ2 L4,

ν 2G r 4 L α6

ν G r 2 α3T

ở đó k1

lim sup t→+∞ 21/2C 2 L π

Hệ quả 4.2. Giả sử rằng phép đo quan sát được cho bởi các phần tử thể tích hữu hạn trong (4.11) và có thêm số hạng chứa nhiễu (4.8), ở đó β d là một chuyển độc Brown độc lập một chiều với phương sai σ2/3. Cho µ là hằng số trong Hệ quả 4.1 và ε ∈ (0, 1). Khi

đó tồn tại nội suy của dữ liệu quan sát dựa trên các phần tử thể tích với mật độ quan sát h

sao cho

≤

c(cid:48)Gr 3 L3

max{ε, 64c(cid:48)G r 3} L3

(cid:139)3/2

ở đó c(cid:48) =

, và

(cid:129) 25/2c1C 2 L L3 2π1/2α3

(4.18)

(cid:69)(|z(t) − v(t)|2) ≤ µσ2 L3ε.

lim sup t→+∞

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Các kết quả đạt được

Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, đồng hóa dữ liệu của một số α- mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng bao gồm Leray-α, N-S-V. Các kết quả đạt được là:

• Đối với hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên: Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất

của nghiệm yếu của hệ ngẫu nhiên, nghiệm dừng của hệ tất định. Chứng minh

được sự ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và hầu chắc chắn theo

tốc độ mũ của nghiệm dừng. Nếu nghiệm dừng này là không ổn định, chứng minh

được có thể ổn định hóa nó bằng điều kiện về cường độ của nhiễu hoặc bằng cách

thiết kế một điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên trong miền.

• Đối với hệ N-S-V ba chiều ngẫu nhiên có trễ vô hạn: Chứng minh được tính ổn định

bình phương trung bình địa phương của nghiệm dừng trong trường hợp trễ tổng

quát. Chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và

hội tụ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng trong trường hợp số hạng

có trễ phân phối. Trong trường hợp số hạng có trễ tỉ lệ, chứng minh được tính ổn

định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức và hội tụ hầu chắc chắn theo tốc

độ đa thức của nghiệm dừng

• Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α ba chiều với dữ liệu

có nhiễu ngẫu nhiên: Thiết lập được phương trình đồng hóa dựa trên các dữ liệu

quan sát được có nhiễu ngẫu nhiên. Chứng minh được tính đặt đúng toàn cục của

bài toán này. Tìm được các điều kiện đảm bảo nghiệm của bài toán đồng hóa dữ

liệu hội tụ tới nghiệm tham chiếu của hệ gốc ban đầu khi thời gian tiến ra vô cùng.

2. Kiến nghị một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở cần tiếp tục

nghiên cứu như:

• Nghiên cứu mô hình đồng hóa dữ liệu liên tục cho một số α-mô hình ngẫu nhiên

khác hoặc trong trường hợp toán tử nội suy loại 2.

• Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các mô hình ngẫu nhiên khác.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[CT1]. N. V. Thanh and T. Q. Tuan (2022), Asymptotic behavior of solutions to the three-dimensional stochastic Leray-α model, Random Oper. Stoch. Equ. 30 (2022),

137-148. DOI: 10.1515/rose-2022-2077.

[CT2]. C. T. Anh, V. M. Toi and T. Q. Tuan (2022), Stability analysis of stochastic

3D Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, submitted.

[CT3]. B. K. My and T. Q. Tuan (2023), Continuous data assimilation for the three- dimensional Leray-α model with stochastically noisy data, Bull. Korean Math. Soc.

60 (2023), 93-111. DOI: 10.4134/BKMS.b210919.

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: Xê-mi-na của Bộ môn Giải tích, Khoa

Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING

HANOI NATIONAL UNIVERSITY OF EDUCATION

——————–o0o———————

TRAN QUOC TUAN

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS TO SOME

STOCHASTIC α-MODEL IN FLUID MECHANICS

Speciality: Differential and Integral Equations

Code: 9460103

SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION IN MATHEMATICS

HA NOI-2023

The dissertation was written on the basis of the author’s research

works carried at

Hanoi National University of Education

Supervisor: Prof. PhD Cung The Anh

Referee 1: Prof. PhD. Nguyen Minh Tri

Institute of Mathematics

Referee 2: Assoc.Prof. Le Van Hien

Hanoi National University of Education.

Referee 3: Assoc.Prof. Duong Anh Tuan

Hanoi University of Science and Technology

This dissertation is presented to the examining committee at Hanoi National University

of Education, 136 Xuan Thuy Road, Hanoi, Vietnam

At the time of ...., 2023.

Full-text of the dissertation is publicly available and can be accessed at:

- The National Library of Vietnam

- The Library of Hanoi National University of Education

INTRODUCTION

1. Motivation and history of the problem

Stochastic partial differential equations appear a lot in the processes of reality. The

study of these classes of equations has important implications in science and technology.

Therefore, it has been attracting the attention of many scientists around the world. The

qualitative problem is to study the unique existence, approximation of the solution and the

asymptotic behavior of the solution when time goes out to inﬁnity. In particular, the study

of the asymptotic shape of the solution when the time is out is very important because it

allows us to understand and predict the development trend of the system in the future, from

which appropriate adjustments can be made. to achieve the desired results. Basic qualitative

problems arise when studying stochastic partial differential equations:

• To study the existence and uniqueness of weak solution;

• To study the asymptotic behavior of stochastic solution when time large enough;

• To study the rate of convergence of the stochastic solution;

• To study the numerical schemes of the stochastic partial differential equations.

Over the past decade or so, the above problems are very current research directions of

the theory of stochastic partial differential equations. For the class of partial differential

equations in ﬂuid mechanics, the Navier-Stokes system plays a particularly important role.

Despite the great efforts of many great mathematicians, the results achieved are still quite

modest, especially in the three-dimensional case (the most practical case). In particular,

global correctness is still a very large open problem in the three-dimensional case. In addi-

tion, when the viscosity coefﬁcient is small, the direct numerical calculation of the solution

of the three-dimensional Navier-Stokes system is not feasible even with the best algorithms

and computers available today. Because of these reasons, in the last two decades, math-

ematicians have proposed normalization systems of the Navier-Stokes system to serve the

purpose of numerical computation or to obtain globally correctness. An important and com-

monly used class of conditioning systems are the α-models in ﬂuid mechanics, including

the Navier-Stokes-α system, the Leray-α, modiﬁed Leray-α system and simpliﬁed Bardina

system, Navier-Stokes-Voigt system, second grade ﬂuid system. We focus on introducing the

stochastic Leray-α model system and the stochastic Navier-Stokes-Voigt system.

• The deterministic system of Leray-α equations was introduced and studied by the au-

thors A.A. Cheskidov et al. Some other problems related to Leray-α model such as

regularity, numerical approximation, convergence and asymptotic behavior of solu-

tions have been studied by many mathematicians: H. Ali, V.V Chepyzhov, E.S. Titi, G.

Deugoué, A.A. Duncan,... research. Over the years, the large deviation, existence and

convergence of solutions of Leray-α random model have been proposed by mathemati-

cians H. Bessaih, I. Chueshov, A. Millet, S. Li,... widely researched. Mathematicians

V. Barbu and C. Lefter have worked on and have other results related to the stabiliza-

tion of solutions of PDEs by noise or by feedback controls. However, the results of

the solution shape of the random three-dimensional Leray-α system: existence and

uniqueness of the stationary solution, when considering the stationary solution is also

the solution of the stochastic system, the convergence of the stochastic solution to the

stationary solution is studied. When the time is large enough, when the stationary so-

lution is unstable, ﬁnding the condition for the noise or designing a feedback control

to stabilize the solution has not been fully studied.

• Data assimilation is a methodology to study and forecast the trend of natural phe-

nomena, such as the weather, ocean models and environmental sciences. The idea

of data assimilation is to combine observational data with dynamic principles related

to the basic mathematical model. The classical data assimilation method is to "in-

sert" direct observational data into a model because the model is being integrated in

a timely manner, mathematicians represent this research direction such as: R. Daley

and P. Korn. However, this algorithm reveals some difﬁculties when measurements

are gathered from a discrete set of nodal points, because it is impossible to accurately

calculate the value of the spatial derivatives present in the model. In 2014, A. Azouani

and colleagues introduced a new approach to the problem of data assimilation, that is,

a feedback control algorithm is applied to data assimilation and this method has over-

come it disadvantages of the classical method. Such an approach was later developed

to assimilate the data of many important equations in ﬂuid mechanics, such as the

work of A.F. Albanez (2016); A. Farhat (2019) et al.; Y. Pei (2019). In 2015, a similar

data assimilation algorithm for data with stochastic noise was introduced by H. Bes-

saih et al., in which the problem for the two-dimensional Navier-Stokes equation was

studied. Recently, the continuous data assimilation problem for the three-dimensional

Leray-α model was studied by A. Farhat et al in 2019, while the assimilation of discrete

data for this model has been studied more recently in C.T. Anh and B.H. Bach (2018).

It can be seen that in these two works, the observed data has no measurement error.

The continuous data assimilation problem for the three-dimensional Leray-α system

with stochastic noisy have been not studied.

• The Navier-Stokes-Voigt system of equations was proposed by Oskolkov as a motion

model of some linear elastic viscous ﬂuids. This system of equations was also proposed

by Y. Cao, Lunasin and Titi (2006) as a system of error correction equations of three-

dimensional Navier-Stokes equations with small values α, to serve to direct numerical

simulation. The model is better described than it actually is if some delay terms appear

in the equation. These delays can appear, for example, when one wants to control the

system (in a sense) by applying a force that takes into account not only its current

state but also its history. , or a ﬁnite time history (limited delay) or the entire past

(unlimited or inﬁnite delay). The system of Navier-Stokes-Voigt equations with ﬁnite,

inﬁnite or memory delay has been studied recently by: C.T. Anh and D.T.P Thanh

(2018); T. Caraballo, A.M. Márquez-Durá (2020); V.M. Toi (2021). C.T. Anh and

D.T.P Thanh (2018) studied the existence and stability of stationary solutions for the

random case but without delay. However, we know, the case of inﬁnite delay has not

been studied before for a stochastic three-dimensional Navier-Stokes-Voigt system of

equations.

In conclusion, with the above analysis, we found that the results on: existence of so-

lutions, asymptotic behavior and data assimilation problem for some random α-models in

ﬂuid mechanics are still valid. and there are many open issues. Therefore, we choose these

issues to study in the thesis entitled "Asymptotic behavior of solutions to some stochastic

α-model in ﬂuid mechanics"

2. Purpose of the thesis

To study the existence of solutions, long-time behavior and a nudging continuous data

assimilation algorithm for some stochastic α-model in ﬂuid mechanics.

3. Object and scope of the thesis

• Research object: the existence of solutions, long-time behavior and a nudging contin-

uous data assimilation algorithm for some stochastic α-model in ﬂuid mechanics.

• Research scope:

Content 1: To study the existence and long-time behavior of the three-dimensional

stochastic Leray-α model with homogeneous Dirichlet boundary conditions and inﬁ-

nite dimensional Wiener process.

Content 2: To study the asymptotic behavior of stochastic three-dimensional Navier-

Stokes-Voigt equations with inﬁnite delay and nonlinear hereditary noise is analysed.

Content 3: To study a nudging continuous data assimilation algorithm for the three-

dimensional Leray-α model, where measurement errors are represented by stochastic

noise.

4. Research methods

• To study the existence of solutions: Galerkin approximation, the compactness and some

tools of stochastic analysis.

• To study ta nudging continuous data assimilation algorithm and stabilize an unstable

stationary solution : Using the main idea and teaching of stochastic analysis, control

theory inﬁnite dimensional dynamic system theory and control theory.

5. Structure of the thesis

Beside Introduction, Conclusion, Author’s works related to the thesis and References,

the thesis includes 4 chapters:

• Chapter 1. Preliminaries.

• Chapter 2. Asymptotic behavior of solutions to the three-dimensional stochastic Leray-

α model.

• Chapter 3. Stability analysis of stochastic 3D Navier-Stokes-Voigt equations with inﬁ-

nite delay.

• Chapter 4. Continuous data assimilation for the three-dimensional Leray-α model with

stochastically noisy data.

Chapter 1 PRELIMINARIES

In this chapter, we present some preliminaries including: Operators; Function spaces for

ﬂuid mechanics; Some results for stochastic analysis in Hilbert space; Some auxiliary results

that are used to prove the main results of the thesis.

1.1. Function spaces

1.1.1. Time-dependent spaces

1.1.2. Function spaces for ﬂuid mechanics in the case of smooth domain

1.1.3. Function spaces for ﬂuid mechanics in the case of box domain

1.2. Some results for stochastic analysis in Hilbert space

1.2.1. Some basic deﬁnitions

1.2.2. Function spaces for stochastic process

1.2.3. Itô’s formula

1.3. Some auxiliary results

1.3.1. Some usual inequalities

1.3.2. Some important lemmas

Chapter 2 ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS TO THE THREE-DIMENSIONAL STOCHASTIC LERAY-α MODEL

We consider the three-dimensional stochastic Leray-α model with homogeneous Dirich-

let boundary conditions and inﬁnite dimensional Wiener process. We ﬁrst study the mean

square and pathwise exponential stability of a stationary solution to the model. Then we

show that one can stabilize an unstable stationary solution by using a multiplicative Itô noise

of sufﬁcient intensity or a linear internal feedback control with support large enough.The

contents of this chapter is written based on the paper [CT1] in the section of author’s works

related to the thesis that has been published.

2.1. Problem setting

Let (cid:79) be a bounded domain in (cid:82)3 with smooth boundary ∂ (cid:79) . We consider the following

three-dimensional (3D) stochastic Leray-α model

 d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), x ∈ (cid:79) , t > 0,

∇ · u = 0, v = (I − α2∆)u, x ∈ (cid:79) , t > 0, (2.1) u(x, t) = 0, v(x, t) = 0, x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

  (x), x ∈ (cid:79) , u(x, 0) = u0

) is the unknown velocity vector, p = p(x, t) is the unknown pressure,

where u = (u1, u2, u3 ν > 0 is the kinematic viscosity coefﬁcient, u0 is a given random initial velocity ﬁeld and W (t) is Wiener process.

0 measurable random process

Assumption 2.1.1. (1) v0 := (I + α2A)u0 is a H-valued (cid:70)

|4 < ∞; such that (cid:69)|v0

(2) f ∈ H;

(3) h : H → L2 (H0, H) is a measurable mapping and there exists a nonnegative constant

γ 0 such that

(H0,H) ≤ γ

∈ H, (2.2) |w1 − w2 (cid:107)h(w1 ) − h(w2 |2, ∀w1, w2 )(cid:107)2 L2

and h(0) ∈ L2 (H0, H).

2.2. Exponential stability of stationary solutions

2.2.1. Existence and stability of stationary solutions to the deterministic Leray-

α model

We ﬁrst consider the deterministic Leray-α model

t v + νAv + B(u, v) = f

∂ V (cid:48) in , (2.3)

α u, here Nα = (I + α2A)−1.

where v = (I + α2A)u = N −1

Deﬁnition 2.1. Let f ∈ H. A stationary solution to (3.7) is a function u∗ ∈ V such that

νAv∗ + B(u∗ , v∗) = f in V (cid:48) ,

or equivalently

ν(Av∗ , φ) + b(u∗ , v∗ , φ) = ( f , φ) ∀φ ∈ V, (2.4)

where v∗ = (I + α2A)u∗.

Theorem 2.1. Let f ∈ H. Then, the equation (3.7) has at least one solution u∗ satisfying

(cid:107)v∗(cid:107) ≤ , (2.5) | f | νλ1/2 1

where v∗ = (I + α2A)u∗. Moreover, if the following condition holds

ν > µ, (2.6)

(cid:198) where µ = C1 λ−3/4 1

| f | and C1 is the best constant in inequality of b(u, v, w, then the solution u∗ is unique and globally exponentially stable, that is, for any solution u(t) to the deterministic

model (3.7), one has

|v(t) − v∗|2 ≤ e−λt |v(0) − v∗|2 for some λ > 0.

2.2.2. Mean square exponential stability

Theorem 2.2. Under Assumption 2.1.1, if h(v∗) = 0 and

+ 16µ2 γ 0 λ−1 1 λ−2 1 ν > , (2.7) + (cid:112)γ2 0 4

0 is the positive constant in (2.2), then any solution u(t) to stochastic model (2.1) converges to the stationary solution u∗ exponentially in the mean square. That is, there exist a

where γ

real number a > 0 and T (a) > 0 such that

(cid:69)|v(t) − v∗|2 ≤ (cid:69)|v(0) − v∗|2e−at , ∀t ≥ T (a).

2.2.3. Pathwise exponential stability.

Theorem 2.3. Under Assumption 2.1.1, if h(v∗) = 0 and condition (2.7) hold, then any

solution u(t) to stochastic model (2.1) converges to the stationary solution u∗ almost surely

exponentially.

2.3. Stabilization of the stationary solution

2.3.1. Stabilization by a multiplicative Ito noise

∞ (cid:88)

There exists a constant ρ > 0 such that

k, v(t) − v∗)2 ≥ ρ|v(t) − v∗|4, ∀v ∈ V a.s.

k=1

(h(v)e0 (2.8)

Theorem 2.4. Let Assumption 2.1.1 and (2.8) be satisﬁed. If condition (2.6) and the following

inequality (cid:130) (cid:140) λ 2ν − + 2ρ > γ 0 2µ2 ν

hold, then the stationary solution u∗ is almost sure exponentially stable. That is,

1 log |v(t) − v∗|2 < 0 a.s. t lim sup t→∞

2.3.2. Stabilization by an internal feedback control.

We consider the following controlled stochastic Leray-α model

 X d t + h(v)dW (t), x ∈ (cid:79) , t > 0, d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p − f ]d t = 1(cid:79)

∇ · u = 0, v = (I − α2∆)u, x ∈ (cid:79) , t > 0, (2.9) u(x, t) = 0 = v(x, t), x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

  (x), x ∈ (cid:79) , u(x, 0) = u0

0 is an open subdomain of (cid:79) with smooth boundary, 1(cid:79)

where (cid:79)

0 and X = X (x, t) is an adapted controller with respect to natural ﬁltration (cid:8)(cid:70)

of (cid:79) is the characteristic function (cid:9) . In the

ﬁrst equation in (2.9), consider the feedback controller of the form

X = −η(v − v∗), η > 0,

and we get the following closed loop system

(v − v∗))d t = P(h(v)dW (t)). (2.10) d v + [νAv + B(u, v) + f ]d t + ηP(1(cid:79)

= η ((cid:34)) such that for all η ≥ η Lemma 2.1. For each (cid:34) > 0 given, there exists an η

((cid:79) ) − (cid:34))| y|2, ∀ y ∈ V. (νAy + ηP(1(cid:79) ) y, y) ≥ (νλ∗ 1

Theorem 2.5. If µ2 ν > + , (2.11) ν ) γ 0 λ∗ ((cid:79) 1

0 large enough but independent of v0, the corresponding solution

∈ H and η ≥ η

then for each v0 u to the closed loop system (2.10) with initial condition u(0) = u0 satisﬁes

(cid:90) ∞ eγt (cid:69)|v(t) − v∗|2 + − v∗|2, (2.12) eγs(cid:69)|v(t) − v∗|2ds ≤ C(cid:69)|v0

and

eγt (|v(t) − v∗|2) = 0 (cid:80) − a.s, (2.13) lim t→∞

for some γ > 0 and C > 0. In particular, system (2.10) is exponentially stabilizable from (cid:79)

0 ν− µ2 ν

((cid:79) ) > γ . By the Poincaré inequal- Remark 2.1. The condition (2.11) is equivalent to λ∗ 1

(cid:140)−2 (cid:130) ((cid:79) ((cid:79) ) ≥ C dist(x, ∂ (cid:79) ) ) can be made arbitrarily large ity, we have λ∗ 1 . Hence λ∗ 1

0 is thin enough. Therefore, Theorem 2.5 says that the

sup x∈(cid:79) 1 = (cid:79) \(cid:79) by making the domain (cid:79)

stochastic perturbation destabilizing effect in systems (2.9) can be compensated by a linear

stabilizing feedback controller with support large enough.

Chapter 3 STABILITY ANALYSIS OF STOCHASTIC 3D NAVIER-STOKES-VOIGT EQUATIONS WITH INFINITE DELAY

In this chapter, the asymptotic behavior of stochastic three-dimensional Navier-Stokes-

Voigt equations with inﬁnite delay and nonlinear hereditary noise is analysed. The existence

and uniqueness of stationary solutions to the corresponding deterministic equation will be

proved. Then we focus on the stability properties of stationary solutions. We ﬁrst discuss

the local stability of stationary solutions for general delay terms by using a direct method

and then apply the abstract results to two kinds of inﬁnite delay. Then, the exponential

stability of stationary solutions is also established in the case of unbounded distributed delay.

Moreover, we investigate the polynomial asymptotic stability of stationary solutions in the

case of proportional delay. Eventually, the almost sure exponential/polynomial stability of

the stationary solutions is investigated. The contents of this chapter is written based on the

paper [CT2] in the section of author’s works related to the thesis that has been published.

3.1. Problem setting

Let (cid:79) ⊂ (cid:82)3 be a bounded open set with sufﬁciently regular boundary ∂ (cid:79) . We consider

the following stochastic 3D Navier-Stokes-Voigt equations

 d(u − α2∆u) + (cid:2)−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p(cid:3) d t

)dW, in (0, ∞) × (cid:79) , (t, ut (t, ut = (cid:2) f + g1 )(cid:3) d t + g2

(3.1) ∇ · u = 0, in (0, ∞) × (cid:79) ,

u = 0 on (0, ∞) × ∂ (cid:79) ,

  u(s, x) = φ(s, x) s ∈ (−∞, 0] , x ∈ (cid:79) ,

where u = u(t, x) is the unknown velocity vector, ut is the function deﬁned by the relation (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0], p is the unknown pressure, ν > 0 is the kinematic viscosity

ut coefﬁcient, α is a length scale parameter characterizing the elasticity of the ﬂuid, u0 is the

initial velocity, f is a given force ﬁeld, the terms g1, g2 contain some hereditary character- istics, such as memory, unbounded variable or inﬁnite distributed delay, etc, φ is an initial

velocity ﬁeld deﬁned in (−∞, 0], and {W (t) : t ≥ 0} is a cylindrical Wiener process with

value in suitable space.

Recall the phase space

(cid:167) (cid:170) eγsϕ(s) ϕ ∈ C((−∞, 0]; V ) : exists in V , where γ > 0, Cγ(V ) = lim s→−∞

which is a Banach space with the norms

Cγ(V ) = sup

s∈(−∞,0]

(cid:107)ϕ(cid:107) eγs(cid:107)ϕ(s)(cid:107).

We have some assumptions on the non-delay external force and delay terms respectively.

(F) f ∈ V (cid:48); φ ∈ Cγ(V ).

(G) Let g1 : (cid:82) × Cγ(V ) → V (cid:48) and g2 : (cid:82) × Cγ(V ) → L2(K0, H) satisfy the following condi-

tions:

(·, η) are measurable, i = 1, 2. (G1) For any η ∈ Cγ(V ), gi

> 0 such that for all t ∈ (cid:82) and η, ξ ∈ Cγ(V ), (G2) There exists L g1

Cγ(V ).

V (cid:48) ≤ L g1

(cid:107)η − ξ(cid:107) (t, ξ)(cid:107) (cid:107)g1 (t, η) − g1

> 0 such that for all t ∈ (cid:82) and η, ξ ∈ Cγ(V ), (G3) There exists L g2

Cγ(V ).

L2(K0,H) ≤ L g2

(cid:107)η − ξ(cid:107) (t, ξ)(cid:107) (cid:107)g2 (t, η) − g2

(i = 1, 2) are driven by unbounded variable delay, deﬁned by For example, if gi

(ζ(−h(t))), i = 1, 2, gi (t, ζ) = Gi

where G1 : V → V (cid:48), G2 : V → L2(K0, H), are Lipschitz continuous, that is

V (cid:48) ≤ LG1

(ξ)(cid:107) (cid:107)η − ξ(cid:107), (3.2) (cid:107)G1 (η) − G1

L2(K0,H) ≤ LG2

(ξ)(cid:107) (cid:107)η − ξ(cid:107). (3.3) (cid:107)G2 (η) − G2

where h ∈ C 1([0, ∞)), h(t) ≥ 0 and supt≥0 h(cid:48)(t) < 1. In this case, the delay terms in our (u(t − h(t))). If h(t) = (1 − q)t, 0 < q < 1 then gi, (i = 1, 2) problem become gi ) = Gi (t, ut

are driven proportional delay.

(i = 1, 2) are deﬁned by Another example, the delay terms gi

−∞

(cid:90) 0 (3.4) (t, ζ) = (s, ζ(s))ds, gi Ti

where T1 : (−∞, 0] × V → V (cid:48) and T2 : (−∞, 0] × V → L2(K0, H) are measurable and

they are Lipschitz continuous with respect to their second variable, that is, there exists

(·)e−(γ+ρ)· ∈ L2(−∞, 0), for certain ρ > 0, such that for ∈ L2(−∞, 0) (i = 1, 2) with LTi

LTi all s ∈ (−∞, 0], η, ξ ∈ V,

V (cid:48) ≤ LT1

(3.5) (s)(cid:107)η − ξ(cid:107), (s, ξ)(cid:107) (cid:107)T1 (s, η) − T1

L2(K0,H) ≤ LT2

(3.6) (s, ξ)(cid:107) (s)(cid:107)η − ξ(cid:107). (cid:107)T2 (s, η) − T2

We rewrite (3.1) in the following abstract equations:

 )(cid:3) d t (t, ut d[u(t) + α2Au(t)] + [νAu(t) + B(u, u)] d t = (cid:2) f + g1

(3.7) )dW, ∀t > 0, (t, ut +g2

  u(s) = φ(s), s ∈ (−∞, 0].

We now have the following deﬁnition of weak solutions to (3.7)

Deﬁnition 3.1. A process u deﬁned on (cid:82) is called a solution to system (3.7) if

u ∈ L2(Ω, (cid:70) , (cid:80), C([τ, T ]; V )), ∀T > τ,

u(s) = φ(s), ∀s ≤ 0 and (cid:80)−almost surely

(cid:90) t (cid:90) t (u(t), w) + α2((u(t), w)) + 〈Au(s), w〉 ds + 〈B(u(s), u(s)), w〉 ds

(cid:90) t (cid:90) t = (φ(0), w) + α2((φ(τ), w)) + ), w(cid:11) ds + )dW (s), w), (s, us (s, us (cid:10) f + g1 (g2

for all t ≥ 0 and w ∈ V.

The deterministic equations of (3.7), i.e, the equations

d ). (3.8) (t, ut (u + α2Au) + νAu + B(u, u) = f + g1 d t

Deﬁnition 3.2. A function u∞ ∈ V is called a weak stationary solution to (3.8) if

(3.9) (t, u∞) ∀t ≥ 0, νAu∞ + B(u∞, u∞) = f + g1

or equivalent to

(t, u∞), ϕ(cid:11) ∀ϕ ∈ V, ∀t ≥ 0. ν (cid:10)Au∞, ϕ(cid:11) + (cid:10)B(u∞, u∞), ϕ(cid:11) = (cid:10) f , ϕ(cid:11) + (cid:10)g1

(t, u∞) = 0. From now on, g2 is always assumed that g2

then, equation (3.9)

Theorem 3.1. Let f ∈ V (cid:48). Under above assumptions of gi and if ν > L g1 has at least one solution u∞ satisfying

. (3.10) (cid:107)u∞(cid:107) ≤ (cid:107) f (cid:107)∗ ν − L g1

4 (cid:107) f (cid:107)∗, then u∞ is unique.

λ− 1 Moreover, if the following condition holds (cid:138)2 > c0 (cid:128)ν − L g1

3.2. Local stability of stationary solution

Theorem 3.2. Suppose that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 hold. In addi-

> 0 (i = 1, 2) such that, for all t ≥ 0, it holds tion, assume that there exists Cgi

V (cid:48) ds ≤ C 2 g1

−∞

(cid:90) t (cid:90) t )(cid:107)2 (cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds, (3.11) (s, us (s, vs (cid:107)g1 ) − g1

L2(K0,H)ds ≤ C 2

−∞

(cid:90) t (cid:90) t )(cid:107)2 (cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds, (3.12) (s, us (s, vs (cid:107)g2 ) − g2

− 1 4

and

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 2ν ≥ . (3.13) + 2Cg1 + C 2 g2 λ ν − L g1

If u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8), then

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138)

−∞

(cid:17) (cid:90) 0 (3.14) (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)u − u∞(cid:107)2(cid:138) + (cid:16) Cg1 + C 2 g2

Corollary 3.1. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and 3.2 hold.

− 1 4

(u(t − h(t))) (i = 1, 2) satisfy (3.2)-(3.3). We assume that Let the delay terms gi (t, ut ) = Gi

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 + + (3.15) 2ν ≥ L2 G2 1 − h∗ 2LG1(cid:112) 1 − h∗ λ ν − L g1

If u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then we have

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138)

−∞

(cid:32) (cid:33) (cid:90) 0 + + (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. L2 G2 1 − h∗ LG1(cid:112) 1 − h∗

(3.16)

Corollary 3.2. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and 3.2 hold.

−∞ Ti

) = (cid:82) 0 (s, u(s + t))ds (i = 1, 2) satisfy (3.4)-(3.6). Assuming Let the delay terms gi (t, ut

− 1 4

that

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (cid:107) (3.17) 2ν ≥ + 2(cid:107)LT1 (cid:107)2 L2(−∞,0). λ ν − L g1

Then if u(t) is any solution of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then we have

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

L2(−∞,0)

−∞

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138) (cid:19) (cid:90) 0 (cid:18) + (cid:107) (cid:107)2 (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. (cid:107)LT1

(3.18)

3.3. Exponential convergence of stationary solution for a case of

inﬁnite distributed delay

3.3.1. Exponential convergence of stationary solution

Theorem 3.3. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem

−∞ Ti

) = (cid:82) 0 (s, u(t + s))ds, i = 1, 2 satisfy (3.5)-(3.6), and (t, ut

− 1 4

3.2 hold. Let the delay terms gi moreover, the exists a constant 0 < ρ < 2γ such that

L2(−∞,0)

2 (cid:107)LT1

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) 2ν ≥ + 2(2ρ)− 1

L2(−∞,0).

+ + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (3.19) (cid:107)LT2 λ ν − L g1 ρ 1 2ρ d0

If u(·) is any solutions of (3.7) and u∞ is the unique solution of (3.8) then

Cγ(V ),

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ e−ρt C(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 (3.20)

Cγ(V ) ≤ e−ρt max{1, C}(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ),

(3.21) − u∞(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)ut

with

C =

2 (cid:107)LT1

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

L2(−∞,0)

(cid:17) + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:16)(2ρ) 1 . 1 + α2λ λ 1 2ρ(2γ − ρ)

3.3.2. Almost sure stability

Theorem 3.4. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem

3.3 hold. Then any solution u(t) to (3.1) converges to the stationary solution u∞ in V , almost

surely at an exponential rate.

3.4. Polynomial asymptotic stability for a case of proportional de-

lay

3.4.1. Exponential convergence of stationary solution

Theorem 3.5. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem

3.2 hold. Let the delay terms gi (t, ut ) = Gi (u(qt), (0 < q < 1) i = 1, 2, where Gi satisfy

− 1 4

(3.2)-(3.3). Assume that

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:16) (cid:17) 2c0 + . (3.22) + d0 LG1 2ν > LG1 + L2 G2 λ ν − L g1

Then any solution u(t) to (3.1), we have

, (3.23) − u∞(cid:107)2(cid:138) (1 + t)µ (cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ C(cid:69) (cid:128)|u0 − u∞|2 + α2(cid:107)u0

− 1 4

  (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 − + 2ν d −1 0 − LG1     λ ν − L g1 < 0. where µ is given by µ = logq LG1 + L2 G2

3.4.2. Almost sure stability

Theorem 3.6. Assume that the same hypotheses and notations in Theorem 3.1 and Theorem

− 1 4

3.5 hold. In addition, we assume that

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:17) (cid:16) 2c0 + + . (3.24) 2ν > LG1 LG1 + L2 G2 d0 q λ ν − L g1

Then any solution u(t) to (3.7) converges to the stationary solution u∞ in V , almost surely at

a polynomial rate.

Chapter 4 CONTINUOUS DATA ASSIMILATION FOR THE THREE-DIMENSIONAL LERAY-α MODEL WITH STOCHASTICALLY NOISY DATA

In this chaper we study a nudging continuous data assimilation algorithm for the three-

dimensional Leray-α model, where measurement errors are represented by stochastic noise.

First, we show that the stochastic data assimilation equations are well-posed. Then we pro-

vide explicit conditions on the observation density (resolution) and the relaxation (nudging)

parameter which guarantee explicit asymptotic bounds, as the time tends to inﬁnity, on the

error between the approximate solution and the actual solution which is corresponding to

these measurements, in terms of the variance of the noise in the measurements. The con-

tents of this chapter is written based on the paper [CT3] in the section of author’s works

related to the thesis that has been published.

4.1. Problem setting

In this chapter we study the continuous data assimilation algorithm with stochastically

noisy data for the following three-dimensional Leray-α model

 − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f ,  ∂ v ∂ t (4.1)  ∇ · u = ∇ · v = 0,

where v = u−α2∆u, and u = u(x, t) is the unknown velocity vector ﬁeld, p(x, t) is the scalar

unknown pressure ﬁeld, ν > 0 is the kinematic viscosity, and α > 0 is a scale parameter with

dimension of length. We assume periodic boundary conditions with the fundamental domain

(x) and the body forcing f = f (x) to (cid:68) = [0, L]3 and take the initial condition v(x, 0) = v0

be an L-periodic function with zero spatial average.

Assume that v(t) is a solution lying on the global attractor of the 3D Leray-α model

(3.1). Denote by (cid:79) (v(t)), for t ≥ 0, the exact observational measurements without error of

h : V → (cid:82)D to be a linear operator, where V is the function space deﬁned in Section 2 below, D is of the order (L/h)3, L is a typical large

the exact solution v at time t. We assume (cid:79)

length scale of the physical domain of interest, h is the observation density or resolution,

(v(t)) the interpolation of the observational data, i.e., and denote by Rh

(v(t)) = (cid:76) ◦ (cid:79) (v(t)), Rh

h : (cid:82)D → V is a bounded linear operator. Here we assume the interpolant operator

where (cid:76)

Rh satisﬁes the approximating identity property

L2, for all w ∈ V.

(4.2) (cid:107)w − Rh ≤ c1h2(cid:107)∇w(cid:107)2 (w)(cid:107)2 L2

Suppose the exact measurements (cid:79) (v(t)) are subjected to some random errors. Therefore,

(v(t)) given the only observations available for data assimilation are noisy observations ˜Oh

(v(t)) = (cid:79) (v(t)) + (cid:69) (t), (4.3) ˜(cid:79) h

where (cid:69) : [0, +∞) → (cid:82)D represents the measurement error, for example, due to instrumen-

tal errors. This implies that the measurements of v(t) contain random errors and are given

((cid:79) (v(t)) = (cid:76) ( ˜(cid:79) (v(t))) = (cid:76) (v(t))) + (cid:76) (v(t)) + ξ(t). (4.4) ˜Rh ((cid:69) (t)) = Rh

(v(t)) is given the algorithm for constructing z(t) from the observational measurements ˜Oh

by the following stochastic evolution equation

 (v)]d t + µξd t, dz + [−ν∆z + (w · ∇)z + ∇p]d t = f d t − µ[Rh (z) − Rh  (4.5)  ∇ · z = 0,

where z = w − α2∆w and with arbitrary initial condition z(0) = z0. Applying the Leray- Helmholtz orthogonal projector Π to the Leray-α model (4.1) to obtain the functional evo-

lution equation  d v + νAv + B(u, v) = f ,  (4.6)  d t v(0) = v0

∈ H. Similarly, the stochastic data assimilation equa- where v = u + α2Au, f ∈ H, and v0

tion (4.5) becomes

(z − v)]d t + µdW, (4.7) dz + [νAz + B(w, z)]d t = [ f − µΠRh

where z = w + α2Aw and dW (t) = Πξ(t)d t is the noise term.

4.1.1. The deterministic Leray-α model

Let f ∈ H, we denote the Grashof number in three dimensions by G r = . | f | ν 2λ3/4 1

∈ H. Then for any T > 0, problem (4.6) has a unique weak Theorem 4.1. Let f ∈ H and v0

solution v that satisﬁes

d v and ∈ L2(0, T ; V (cid:48)). v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) d t

Additionally, the associated semigroup S(t) : H → H has a global attractor (cid:65) in H. And for

any v ∈ (cid:65) , we have

0 :=

|v|2 ≤ M 2 . (4.8) 2ν 2G r 2 λ1/2 1

4.1.2. The noise term

The measurement errors may now be described by

(cid:69) (t)d t = (dβ (t), dβ (t), . . . , dβ (t)). (4.9)

h : (cid:82)D → [ ˙H 1((cid:68))]3 as

D (cid:88)

Writing the linear operator (cid:76)

d=1

(cid:76) (ζ)(·) = ζ (cid:96) (·), ζ ∈ (cid:82)D and (cid:96) ∈ [ ˙H 1((cid:68))]3, (4.10)

D (cid:88)

it follows the noise term in (4.7) is the Wiener process

d=1

β γ = Π(cid:96) W (t) = (t)γ (4.11)

We now give an example for interpolant observable based on volume elements. Suppose the

h : [ ˙H 1((cid:68))]3 → (cid:82)3N are given by

observations of volume elements (cid:79)

3n−2

1, ¯ϕ

2, . . . , ¯ϕ

3n−1 ¯ϕ

  ¯ϕ (cid:90) (cid:90) (cid:79) = Φ(x)d x = (Φ) = ( ¯ϕ Φ(x)d x, (4.12) ), where ¯ϕ | N L3 1 |Qn          

for n = 1, . . . , N , where the domain (cid:68) = [0, L]3 has been divided into N = K 3 disjoint equal

h, where (cid:76)

h : (cid:82)3N →

| = = (cid:76) ◦ (cid:79) and so |Qn L (cid:112) 3 L3 N N cubes with Qn with edges [˙L2((cid:68))]3 with (cid:76) . Deﬁne Rh (ζ) is the L-periodic function on (cid:68) given by

3n−2

N (cid:88)

3n−1

n=1

  ζ (cid:130) (cid:140) (cid:76) χ ζ (ζ)(x) = (x) − . h3 L3           ζ

Let

      χ (x) − h3/L3 0 0

3n−1

(x) = (x) = (x) = , (cid:96) , (cid:96) (x) − h3/L3 χΩ 0 0 (cid:96) 3n−2                               (x) − h3/L3 0 0 χΩ

for n = 1, 2, . . . , N . We have the following proposition.

d as in (??) for d = 1, . . . , 3N . Then W is an [˙L2((cid:68))]3-valued Q-Brownian motion with covariance operator Q that

Proposition 4.1. Let W (t) be the Wiener process in (4.11), where (cid:96)

satisﬁes

Tr(Q) ≤ σ2 L3.

4.1.3. Well-posedness

t∈[0,T ] is called a weak solution on (0, T ) of the

Deﬁnition 4.1. A stochastic process (z(t))

stochastic problem (4.7) if the following conditions holds:

(i) z is progressively measurable;

(ii) z = w + α2Aw belongs to C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) a.s.;

(iii) for all t ∈ [0, T ] and (cid:80)-a.s.,

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t (z(t), ϕ) + ν (Az(s), ϕ)ds − 〈B(w(s), z(s)), ϕ〉ds

(cid:90) t (cid:90) t ( f , ϕ)ds − µ (z(s) − v(s)), ϕ)ds + µ (dW (s), ϕ), (Rh = (z0, ϕ) +

for all test functions ϕ ∈ V .

L M0

Theorem 4.2. Suppose that the interpolant operator Rh : ( ˙H 1((cid:68)))3 → (˙L2((cid:68)))3 satisﬁes (3.7)

∈ H and T > 0 given, there exists a . Then for any z0 23/2C 2 να3

and that 2µc1h2 ≤ ν with µ ≥ unique stochastic process solution z ∈ C([0, T ]; V ) of problem (4.7). Moreover,

T (cid:90)

(cid:130) (cid:140) (cid:69) (|z(t)|2) < ∞, (4.13) sup 0≤t≤T  

(cid:69) (cid:107)z(t)(cid:107)2d t < ∞. (4.14)      

4.1.4. The convergence theorem

Theorem 4.3. Assume that v is a solution of (4.6) and Rh : ( ˙H 1((cid:68)))3 → (˙L2((cid:68)))3 is a linear interpolant operator satisfying assumption (4.2). Assume that µ is large enough and h is small

L M 2

enough such that µ ≥ ≥ , (4.15) 2c1 ν 23/2c1C 2 ν 2α3 1 h2

where c1, CL are respectively given in (3.7) and estimate of b(u, v, w). Then the solution z of

the data assimilation equation (4.7) given by Theorem 4.2 satisﬁes

t+T (cid:90)

(4.16) (cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤ µTr(Q), lim sup t→∞

µ ν (cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤ Tr(Q) + µ2Tr(Q). (4.17) T T lim sup t→∞

Corollary 4.1. Suppose that the observational measurements are given by ﬁnite volume ele-

ments in (4.12) plus a noise term as in (4.9), where each β

L M 2

να3

d is an independent one-dimensional Brownian motion with variance σ2/3. Interpolate these noisy observations using (4.10) where d are given by (??). Let µ = 21/2C 2 (cid:199) ν

L ≤ (cid:96) , and choose N = K 3 large enough such that h = K

. Then the solution z to the data assimilation equation (4.7) satisﬁes µ 2c1

k1 (cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤ , ν Gr 2σ2 L4 α3 lim sup t→∞ (cid:140) (cid:90) t+T ν (cid:130) k1 k2 1 + = (cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤ . σ2 L4, where k1 21/2C 2 L π ν 2G r 4 L α6 T ν G r 2 α3T lim sup t→∞

Corollary 4.2. Suppose that the observational measurements are given by ﬁnite volume ele-

d is an independent one-dimensional Brownian motion with variance σ2/3. Let µ be as in Corollary 4.1 and ε ∈ (0, 1). Then, there

ments in (4.12) plus a noise term as in (4.9), where each β

exists an interpolant observable based on volume elements with observation density h such that

ε ≤ ≤ , c(cid:48)Gr 3 L3 h3 max{ε, 64c(cid:48)G r 3} L3

(cid:139)3/2 where c(cid:48) = , and (cid:129) 25/2c1C 2 L L3 2π1/2α3

(cid:69)(|z(t) − v(t)|2) ≤ µσ2 L3ε. (4.18) lim sup t→∞

CONCLUSION AND RECOMMENDATION

1. Results of the thesis

In this thesis, we study the existence of solutions, long-time behavior and a nudging

continuous data assimilation algorithm for some stochastic α-model in ﬂuid mechanics. The

results of the thesis include:

• Proving the existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding

deterministic equation. We prove that the mean square and pathwise exponential

stability of a stationary solution to the model. Then we show that one can stabilize an

unstable stationary solution by using a multiplicative Itô noise of sufﬁcient intensity

or a linear internal feedback control with support large enough.

• Proving the existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding

deterministic equation. We prove that the local stability of stationary solutions for

general delay terms by using a direct method and then apply the abstract results to two

kinds of inﬁnite delay. Proving the exponential stability of stationary solutions in the

case of unbounded distributed delay. Moreover, we prove the polynomial asymptotic

stability of stationary solutions in the case of proportional delay. Eventually, the almost

sure exponential/polynomial stability of the stationary solutions is investigated.

• Proving the stochastic data assimilation equations are well-posed. Then we provide ex-

plicit conditions on the observation density (resolution) and the relaxation (nudging)

parameter which guarantee explicit asymptotic bounds, as the time tends to inﬁnity,

on the error between the approximate solution and the actual solution.

2. Future works

• Study the continuous data assimilation for the some models with stochastically

noisy data or in the case of type 2 interpolation operators.

• Study behavior of solutions to some stochastic model.

AUTHOR’S WORKS RELATED TO THE THESIS THAT HAVE BEEN PUBLISHED

[CT1]. N. V. Thanh and T. Q. Tuan (2022), Asymptotic behavior of solutions to the

three-dimensional stochastic Leray-α model, Random Oper. Stoch. Equ. 30 (2022),

137-148. DOI: 10.1515/rose-2022-2077.

[CT2]. C. T. Anh, V. M. Toi and T. Q. Tuan (2022), Stability analysis of stochastic 3D

Navier-Stokes-Voigt equations with inﬁnite delay, submitted.

[CT3]. B. K. My and T. Q. Tuan (2023), Continuous data assimilation for the three-

dimensional Leray-α model with stochastically noisy data, Bull. Korean Math. Soc. 60

(2023), 93-111. DOI: 10.4134/BKMS.b210919.

Results of the thesis have been reported at:

Seminar of Department of Analysis, Faculty of Mathematics, Hanoi National University

of Eduacation;