ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
KHƢƠNG THỊ NHUNG
NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỢP KIM BA THÀNH PHẦN BẰNG PHƢƠNG PHÁP MÔMENT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------
Khƣơng Thị Nhung
NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỢP KIM BA THÀNH PHẦN BẰNG PHƢƠNG PHÁP MÔMENT
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hà Đăng Khoa
Hà Nội – 2015
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất tới TS. Hà
Đăng Khoa – Người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Viện Vật lý kỹ thuật, trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý
báu của các GS, TS, các thầy cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết , Khoa Vật lý,
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau Đại
học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều
kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, chia
sẻ và khích lệ tôi trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 2015
Tác giả
Khương Thị Nhung
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................... Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ KIM LOẠI VÀ HỢP KIM... Error! Bookmark not defined.
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VỀ HỢP KIM .... Error! Bookmark not defined.
1.1. Tổng quan về kim loại và hợp kim .................... Error! Bookmark not defined.
1.1.1. Kim loại .................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.2. Mạng tinh thể kim loại dạng lập phương tâm khối và lập phương tâm diện ..................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.3. Hợp kim .................................................... Error! Bookmark not defined.
1.2. Một số phương pháp nghiên cứu hợp kim ba thành phần Error! Bookmark not defined.
1.2.1. Phương pháp ab initio .............................. Error! Bookmark not defined.
1.2.2. Phương pháp giả thế ................................ Error! Bookmark not defined.
1.3. Kết luận chương 1 .............................................. Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA CÁC TINH THỂ KIM LOẠI .... Error! Bookmark not defined.
2.1. Phương pháp thống kê moment ......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.1. Các công thức tổng quát về mômen ......... Error! Bookmark not defined.
2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do ........... Error! Bookmark not defined.
2.1.3. Độ dời của nguyên tử khỏi nút mạng ....... Error! Bookmark not defined.
2.1.4. Năng lượng tự do, entropy của tinh thể lập phương tâm diện và lập phương tâm khối ................................................. Error! Bookmark not defined.
2.1.5. Các đại lượng nhiệt động của tinh thể ...... Error! Bookmark not defined.
2.2. Phương pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của kim loại .................................................................................. Error! Bookmark not defined.
2.2.1. Thế tương tác giữa các nguyên tử trong kim loại .. Error! Bookmark not defined.
2.2.2. Xác định các thông số của kim loại .......... Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỢP KIM BA THÀNH PHẦN CÓ CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM DIỆN VÀ LẬP PHƢƠNG TÂM KHỐI . Error! Bookmark not defined.
3.1. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần ........ Error! Bookmark not defined.
3.1.1. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần ở T=0K Error! Bookmark not defined.
3.1.2. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần ở T ≠ 0K .... Error! Bookmark not defined.
3.2. Năng lượng tự do Helmholtz và các đại lượng nhiệt động của hợp kim thay thế A-B-C cấu trúc lập phương tâm diện (LPTD) và lập phương tâm khối (LPTK) .................................................................................. Error! Bookmark not defined.
3.2.1. Năng lượng tự do Helmholtz của hợp kim ............. Error! Bookmark not defined.
3.2.2. Các đại lượng nhiệt động của hợp kim ba thành phần: . Error! Bookmark not defined.
3.3. Áp dụng tính toán số cho một số hợp kim cụ thể: ..... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ............................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................... Error! Bookmark not defined.
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1…………………………………………...…………………………………5
Hình 1.2…………………………………………………...…………………………6
Hình 3.1……………………………….……………………………………………60
Hình 3.2…………………………………………………………………………….60
Hình 3.3…………………………………………………………………………….61
Hình 3.4…………………………………………………………………………….61
Hình 3.5…………………………………………………………………………….62
Hình 3.6…………………………………………………………………………….62
Hình 3.7…………………………………………………………………………….63
Hình 3.8…………………………………………………………………………….63
Hình 3.9…………………………………………………………………………….60
Hình 3.10…………………………………………………………………………...60
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1…………………………………………...…………………………………54
Bảng 2…………………………………………...…………………………………55
Bảng 3…………………………………………...…………………………………56
Bảng 4…………………………………………...…………………………………57
Bảng 5…………………………………………...…………………………………57
Bảng 6…………………………………………...…………………………………58
Bảng 7…………………………………………...…………………………………58
Bảng 8…………………………………………...…………………………………58
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, do nhu cầu phát triển ngày càng cao của khoa học kĩ thuật và đặc
biệt là công nghệ chế tạo vật liệu mới đã thu hút được rất nhiều nhà khoa học nói
chung cũng như của các nhà vật lý nói riêng. Trong đó việc nghiên cứu và chế tạo
các loại vật liệu mới có các tính chất như cách nhiệt tốt, cách điện tốt, độ bền
cao...được ưu tiên hàng đầu. Một trong những đối tượng thu hút sự nghiên cứu của
nhiều ngành khoa học đó chính là hợp kim của các kim loại mới. Và đặc biệt là hợp
kim ba thành phần vì chúng gắn liền với thực tế hơn trong các lĩnh vực nghiên cứu
cũng như chế tạo. Cho tới nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về hợp kim cả về
thực nghiệm cũng như lý thuyết.
Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính chất nhiệt động của kim loại và hợp
kim, tuy nhiên các phương pháp này còn nhiều hạn chế như: các biểu thức tính toán
cồng kềnh, phức tạp và khó khăn khi đưa ra số liệu, sai số lớn...Hai phương pháp
điển hình cho bài toán này là Phương pháp trường phonon tự hợp và Phương pháp
hàm phân bố một hạt. Kết quả thu được trong phương pháp trường phonon tự hợp
lớn hơn 3-4 lần, còn phương pháp phân bố một hạt thì lớn hơn 1,3-1,4 lần so với kết
quả thực nghiệm. Vì vậy việc nghiên cứu về các tính chất nhiệt động của các vật
liệu mới vẫn là vấn đề thời đại đối với các nhà nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
Trong 20 năm trở lại đây, một phương pháp thống kê mới gọi là phương
pháp thống kê mômen do GS-TSKH Nguyễn Tăng đề xuất trong luận văn tiến sĩ
“Phương pháp đạo hàm theo thông số cơ học thống kê” và được GS-TS Vũ Văn
Hùng cùng các cộng sự phát triển và áp dụng nghiên cứu một cách có hiệu quả các
tính chất nhiệt động của vật liệu kim loại, hợp kim, hợp kim hai thành phần [1, 3, 4,
5, 16-23…]. Dựa trên các kết quả đã công bố trong các công trình trình trên, nhiều
công trình nghiên cứu được tiếp tục phát triển đã cho phép giải quyết tốt bài toán
1
nghiên cứu ảnh hưởng của dao động phi điều hòa đến các tính chất nhiệt động và
đàn hồi của các tinh thể và hợp kim có cấu trúc lập phương tâm diện, lập phương
tâm khối và cấu trúc lục giác xếp chặt. Các kết quả nhận được phù hợp với thực
nghiệm.
Trên cơ sở của phương pháp thống kê mômen và các công trình đã nghiên
cứu trước đây, trong luận văn này chúng tôi trình bày một số kế quả áp dụng
phương pháp này để nghiên cứu tính chất nhiệt động của kim loại và hợp kim ba
thành phần, với tên đề tài “Nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim ba thành
phần bằng phương pháp môment”
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu năng lượng tự
do Helmholtz và một số tính chất nhiệt động của hợp kim ba thành phần có cấu trúc
lập phương tâm diện và lập phương tâm khối.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng biểu thức tính năng lượng tự do Helmholtz và biểu thức của các
đại lượng nhiệt động của hợp kim ba thành phần có cấu trúc lập phương tâm diện và
lập phương tâm khối. Áp dụng tính toán số cho một số hợp kim ba thành phần cụ
thể. Các kết quả tính số được so sánh với số liệu thực nghiệm.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp thống kê mômen để nghiên cứu tính chất nhiệt động
của hợp kim ba thành phần có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm
khối, vì đây là phương pháp nghiên cứu lý thuyết hiện đại, cho kết quả phù hợp với
thực nghiệm.
2
5. Cấu trúc của luận văn
Chƣơng 1: Tổng quan về kim loại và hợp kim, một số phƣơng pháp nghiên cứu
về hợp kim.
Nội dung của chương này trình bày tổng quan kiến thức về kim loại và hợp
kim, tóm tắt một số phương pháp đã được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của
hợp kim.
Chƣơng 2: Phƣơng pháp thống kê mômen nghiên cứu tính chất nhiệt động của
các tinh thể kim loại.
Trong chương này, chúng tôi trình bày nội dung phương pháp thống kê
mômen và đã được áp dụng nghiên cứu tính chất nhiệt động của kim loại như: xây
dựng các biểu thức như: năng lượng tự do, khoảng lân cận gần nhất, phương trình
trạng thái và các biểu thức xác định hệ số dãn nở, hệ số nén, nhiệt dung đẳng tích,
nhiệt dung đẳng áp cho kim loại.
Chƣơng 3: Phƣơng pháp thống kê mômen nghiên cứu tính chất nhiệt động của
hợp kim ba thành phần có cấu trúc lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm
khối
Chương này, dựa trên phương pháp thống kê môment chúng tôi xây dựng
biểu thức giải tích của năng lượng tự do Helmholtz, hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén
đẳng nhiệt, nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp của hợp kim ba thành phần với cấu trúc
lập phương tâm diện và lập phương tâm khối. Áp dụng tính số cho một số hợp kim
3
cụ thể và so sánh kết quả nhận được với số liệu thực nghiệm.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ KIM LOẠI VÀ HỢP KIM
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VỀ HỢP KIM
1.1. Tổng quan về kim loại và hợp kim [1,2]
1.1.1. Kim loại [1]
Kim loại là một trong những vật liệu đóng vai trò rất quan trọng trong mọi
hoạt động và đời sống của con người.
Hiện nay ta đã biết có hơn 100 nguyên tố hóa học gồm hai loại: Kim loại và
Á kim, trong đó kim loại chiếm tới ¾. Kim loại có những đặc điểm chung sau:
- Kim loại có mầu sắc đặc trưng.
- Dẻo, dễ biến dạng uốn, gập, dát mỏng…
- Dẫn điện, dẫn nhiệt tốt.
Có thể giải thích các đặc điểm của kim loại bằng cấu tạo nguyên tử của nó.
Trong nguyên tử kim loại số điện tử ở lớp ngoài cùng rất ít, chỉ có từ một
đến hai điện tử, chúng liên kết rất yếu với hạt nhân, rất dễ bứt ra trở thành điện tử tự
do không bị ràng buộc với nguyên tử. Chính đặc điểm đó là nguyên nhân quyết định
lên tính chất đặc trưng dẫn điện và dẫn điện tốt của kim loại.
Khi ánh sáng chiếu vào, các điện tử nhận năng lượng và chuyển từ trạng thái
cơ bản sang trạng thái kích thích, ở trạng thái này điện tử có năng lượng cao hơn,
nhưng điện tử chỉ duy trì trạng thái này trong khoảng thời gian rất ngắn, khi trở về
trạng thái cơ bản nó giải phóng ra năng lượng dưới dạng sóng có bước sóng khác
nhau. Như vậy phụ thuộc vào bước sóng mà kim loại có màu sắc đặc trưng hay có
ánh kim.
1.1.2. Mạng tinh thể kim loại dạng lập phƣơng tâm khối và lập phƣơng
tâm diện
Một trong những nguyên nhân sâu sắc ảnh hương tới tính chất của mỗi kim
4
loại là cấu trúc mạng tinh thể của chúng. Vì vậy để thuận lợi cho việc nghiên cứu
các tính chất của kim loại, chúng tôi trình bày những đặc điểm cơ bản của một số
dạng cấu trúc tinh thể phổ biến nhất đối với kim loại.
Định nghĩa mạng tinh thể: Mạng tinh thể là một mô hình không gian mô tả sự sắp
xếp của các chất điểm cấu tạo nên tinh thể.
a. Mạng lập phƣơng tâm khối
Hình 1.1. Mạng lập phương tâm khối
Các kim loại thường có kiểu mạng là Fe, W, V...
- Hình dạng mạng: Ô cơ sở là một khối lập phương có cạnh bằng a, các nguyên tử
nằm ở đỉnh của khối và có một nguyên tử nằm ở tâm của khối.
- Số nguyên tử nằm ở một đỉnh của khối chung với tất cả 8 khối cơ bản, vì vậy phần
nguyên tử thuộc về một khối chỉ 1/8, khối lập phương có tám đỉnh.
Vậy trong một khối cơ bản có số nguyên tử:
n = x 8 + 1 = 2 (nguyên tử)
Bán kính của một nguyên tử r =
Thể tích một nguyên tử V =
b. Mạng lập phƣơng tâm diện
Các kim loại có kiểu mạng này là Al, Ag, Ce, Th, Pb...
Mạng có dạng lập phương, các nguyên tử nằm ở đỉnh và ở tâm các mặt bên.
- Các nguyên tử nằm sít trên mặt chéo khối tâm là tam giác đều có cạnh
5
- Số nguyên tử thuộc một khối cơ bản được tính như sau:
n = x 8 + 6 x = 4 (nguyên tử)
Bán kính của một nguyên tử r =
Thể tích một nguyên tử V =
Hình 1.2. Mạng lập phương tâm diện
1.1.3. Hợp kim
Hợp kim là chất rắn thu được sau khi nung chảy một hỗn hợp hai hay nhiều
kim loại khác nhau hoặc hỗn hợp kim loại và phi kim. Có hai loại hợp kim chủ yếu
đó là hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ. Hợp kim thay thế được tạo ra từ các
nguyên tử kim loại khác nhau trong hợp kim, chúng có kích thước tương đương
nhau, trong đó nguyên tử của kim loại thế chỗ của nguyên tử kim loại khác trong
mạng tinh thể. Hợp kim xen kẽ được tạo ra khi ta cho các nguyên tử kim loại hay
phi kim có kích thước rất nhỏ nằm xen kẽ giữa các nút mạng của một kim loại khác.
Giống như kim loại, hợp kim cũng có cấu tạo tinh thể. Hợp kim thường được
cấu tạo bởi các loại tinh thể sau:
+ Tinh thể hỗn hợp: Gồm những tinh thể của các đơn chất trong hỗn hợp ban đầu,
khi nóng chảy chúng không tan vào nhau.
+ Tinh thể dung dịch rắn: Là những tinh thể được tạo ra sau khi nung nóng chảy các
đơn chất trong hỗn hợp, khi nóng chảy chúng tan vào nhau.
+ Tinh thể hợp chất hóa học: Là những tinh thể của những hợp chất hóa học được
6
tạo ra khi nung nóng chảy các đơn chất trong hỗn hợp.
Liên kết hóa học trong hợp kim có tinh thể hỗn hợp hoặc là dung dịch rắn,
kiểu liên kết chủ yếu là liên kết kim loại. Trong loại hợp kim có tinh thể là hợp chất
hóa học, kiểu liên kết là liên kết cộng hóa trị.
Tính chất của hợp kim phụ thuộc vào thành phần và cấu tạo, chế độ nhiệt của
quá trình tạo hợp kim. Hợp kim có tính chất hóa học tương tự như tính chất của các
chất trong hỗn hợp ban đầu nhưng tính chất vật lí và tính chất cơ học lại khác nhau
nhiều. Tính dẫn điện, tính dẫn nhiệt của hợp kim kém các kim loại trong hỗn hợp
ban đầu. Tính chất này là do mật độ electron tự do trong hợp kim giảm vì có sự tạo
thành liên kết cộng hóa trị. Hợp kim thường cứng và giòn hơn các chất trong hỗn
hợp ban đầu. Tính chất này là do có sự thay đổi loại tinh thể trong hợp kim, đặc biệt
là những hợp kim có cấu tạo mạng tinh thể hợp chất hóa học. Nhiệt độ nóng chảy
của hợp kim thường thấp hơn của các kim loại trong hỗn hợp ban đầu. Nhiệt độ
nóng chảy của hợp kim thường thấp hơn của các kim loại trong hỗn hợp ban đầu.
Tính chất này là do mật độ electron tự do trong hợp kim giảm đã làm yếu liên kết
kim loại trong hợp kim.
1.2. Một số phƣơng pháp nghiên cứu hợp kim ba thành phần
1.2.1. Phƣơng pháp ab initio
Các phương pháp ab initio được sử dụng trong các tính toán động lực học
phân tử của chất rắn cho phép tính chính xác và linh hoạt nhất các lực tác dụng lên
các nguyên tử trong hệ mô hình, các tính chất điện tử và dao động của mô hình. Một
số lớn các tính toán ab initio dựa trên cơ sở lý thuyết hàm mật độ. Vì vậy, trước hết
chúng tôi xin trình bày nội dung của lý thuyết hàm phiếm hàm mật độ (DFT).
Để xác định chính xác các lực nguyên tử và bản chất của liên kết hóa học
trong hệ đòi hỏi một tính toán chính xác đối với cấu trúc điện tử lượng tử của nó.
Muốn vậy ta cần phải giải phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt:
7
(1.1)
Trong đó là một hàm sóng nhiều hạt thực của hệ, là năng lượng riêng,
tương ứng là các hệ tọa độ của điện tử và ion, các chỉ số và tương ứng
đánh số tất cả các điện tử và ion. Hàm Hamilton của hệ có dạng:
(1.2)
Trong đó , tương ứng là điện tích và khối lượng của ion thứ ; ;
tương ứng là các toán tử xung lượng của ion thứ và điện tử thứ i.
Để giải chính xác phương trình trong vật rắn là điều vô cùng khó khăn, vì vậy phải
đưa các phép đơn giản hóa để làm cho bài toán này trở nên đơn giản hơn và có thể
giải được. Đầu tiên phép gần đúng Born-Openheimer [9] tách riêng chuyển động
điện tử và chuyển động ion.
(1.3)
Ở đây là năng lượng trạng thái cơ bản của hệ một điện tử với các
tọa độ ion đông lạnh và là hàm song điện tử của hệ nhiều hạt.
Các lực nguyên tử khi đó có thể thu được bằng cách lấy đạo hàm riêng của
(1.4)
Nhưng không thể tính toán được các hàm này. Để làm được điều đó đơn giản là
cách tiếp cận lý thuyết trường trung bình khi sử dụng lý thuyết phiếm hàm mật độ
[12,14] . Các phương pháp hàm mật độ dựa trên cơ sở định lý Hohenberg-Kohn
8
[12] bao gồm các nội dung sau:
- Năng lượng tổng cộng của một hệ gồm các điện tử tương tác có thể được biểu diễn
như một hàm chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tích điện tử
(1.5)
Trong đó là số điện tử trong hệ. Khi đó và ta có thể chuyển bài toán
nhiều điện tử thành bài toán một điện tử.
- Mật độ điện tử trạng thái cơ bản là cực tiểu của phiếm hàm , khi đó
năng lượng tổng cộng của hệ
(1.6)
Như vậy thay vì giải phương trình (1.3) ta chỉ cần tìm một cực tiểu của phiếm hàm
. Áp dụng phương pháp Kohn và Sham [14] phiếm hàm năng lượng được tách
thành bốn thành phần
(1.7)
Trong đó là động năng của các điện tử, là năng lượng tương tác điện tử
-ion
(1.8)
9
là năng lượng tương tác điện tử - điện tử Hartree cổ điển
(1.9)
là thế Hartree.
Số hạng cuối cùng là số hạng tính đến các hiệu ứng tương quan, trao đổi điện tử
và chưa biết. Nếu biết phiếm hàm , phương pháp Konh và Sham sẽ cho giá
trị chính xác của năng lượng trạng thái cơ bản và nhờ đó có thể thu được
các lực nguyên tử. Do đó cần tiến hành một phép gần đúng đối với hàm tương quan-
trao đổi. Dùng phép gần đúng mật độ địa phương được giả định là hàm trơn và thay
đổi chậm một cách hợp lí của
(1.10)
Trong đó là mật độ tương quan trao đổi của khí điện tử đồng nhất có mật độ
điện tử .
Các ứng dụng của lý thuyết phiếm hàm mật độ
Khi sử dụng lý thuyết phiếm hàm mật độ, người ta có thể tính các hàm số lực
giữa các nguyên tử từ các nguyên lí đầu tiên. Từ đó có thể thu được tần số, phổ độ
rời chính xác mà không cần các đầu vào thực nghiệm.
Hầu hết các tính toán dưới đây được tiến hành ở phép gần đúng mật độ địa
phương và cho kết quả tất tốt. Việc thực hiện phép gần đúng gradient mở rộng
(GGA) được đề xuất bởi Perdew và các cộng sự do Favot và Dal Corso thử nghiệm
[10]. Các tác giả phát hiện thấy rằng GGA làm giảm một cách có hệ thống các tần
số của các nhánh phonon với các thông số Gruneisen dương. Hiệu ứng này có tương
10
quan với sự giãn hằng số mạng thực nghiệm cao hơn các tần số phonon của gần
đúng mật độ địa phương tương ứng. Trong kim cương, nhôm và đồng, các dạng
hình học cân bằng và những tán sắc phonon của GGA và gần đúng mật độ địa
phương có độ chính xác tương tự với số liệu thực nghiệm.
Các tính toán đã được công bố về các tính chất nhiệt động, thông số
Grunneisen, những đường cong phonon tán sắc, mật độ phonon trong những trạng
thái khác nhau của các hợp kim của các hợp kim LaB6 và CeB6 [29], tính toán này
có kể đến đóng góp cua dao động mạng ở những nhiệt độ khác nhau tới entropi của
LaB6 và CeB6. Kết quả đã được so sánh với số liệu thực nghiệm cho thấy sự phù
hợp rất tốt của lý thuyết phiếm hàm mật độ áp dụng tính toán các tính chất của hợp
kim đất hiếm.
Một số công trình nghiên cứu dựa trên cấu hình điện tử của kim loại đất hiếm
và hợp kim đất hiếm sử dụng sử dụng phép gần đúng mật độ địa phương, đã thu
được kết quả về hằng số mạng và tính chất nhiệt động của [25] rất phù hợp
với số liệu thực nghiệm. Cũng đề cập những vấn đề đó một số tài liệu [13] đã công
bố kết quả tính toán về hằng số mạng của các tinh thể kim loại đất hiếm, thể tích
nguyên tử của chúng, những thuộc tính từ phụ thuộc và tỉ lệ c/a và cấu trúc tinh thể
của từng kim loại đất hiếm, giải thích hiện tượng tăng số nguyên tử nhưng thể tích
của chúng lại giảm dựa trên cấu hình điện tử. Trong công bố này các tính chất, đặc
điểm của kim loại đất hiếm đã được nghiên cứu và so sánh với thực nghiệm, sự sai
khác không đáng kể do quá trình đơn giản hóa tính toán bằng các phép gần đúng.
Tính chất từ của kim loại đất hiếm và hợp kim đất hiếm cũng ảnh hưởng
không nhỏ đến các tính chất nhiệt động của các loại vật liệu này. Công bố [15] song
song với việc áp dụng phương pháp ab initio để nghiên cứu ảnh hưởng của từ tính,
nông độ kim loại V trong hợp kim NbFeV tới các tính chất nhiệt của NbFeV, họ đã
tiến hành sử dụng tia X để đo các số liệu thực nghiệm tương ứng với tính toán này.
Cho thấy kết quả có sai khác không đáng kể với thực nghiệm thu được. Một tính
toán khác [6] cũng sử dụng lý thuyết phiếm hàm mật độ và phương trình trạng thái
11
ở các áp suất khác nhau để tính toán các đơn chất Ce, Th, Pu, Am và các hợp kim
của chúng trong hai trường hợp: Bỏ qua đóng góp của tương tác từ và kể đến đóng
góp của tương tác này, họ thu được kết quả về hằng số mạng, thể tích nguyên tử, tỉ
số c/a, năng lượng toàn phần, nhiệt độ chuyển pha của chúng. Những kết quả tính
toán gần hơn với số liệu thực nghiệm rất nhiều nếu trong tính toán có kể đến đóng
góp của tương tác từ.
Ngoài việc nghiên cứu những tính chất của hợp kim đất hiếm khi thành phần
cơ bản của hợp kim là kim loại đất hiêm thì cũng có những nghiên cứu xét đến sự
thay đổi tính chất của kim loại tinh khiết so với trường hợp được pha trộn với một
lượng nhỏ kim loại đất hiếm. Thông thường để tăng độ cứng cho Au nguyên chất
người ta thường pha thêm các kim loại như: Cu, Cr, Pd, Mn…Nghiên cứu [28] sẽ
cho chúng ta những kết quả rất thú vị về độ cứng, điện trở suất, độ mòn, khi pha
thêm một lượng nhỏ kim loại đất hiếm vào Au ở các nhiệt độ và áp suất khác nhau,
cũng như khi thay đổi nồng độ thêm vào của kim loại đất hiếm.
Các kết quả tổng quan trên đây về lý thuyết hàm mật độ chứng tỏ sự phát
triển đầy hứa hẹn của các tính toán động lực mạng ab initio trong các chất rắn dựa
trên cơ sở lý thuyết phiếm hàm mật độ. Khả năng của lý thuyết này nhằm dự đoán
từ các nguyên lí đầu tiên về các tính chất liên quan đến phonon của các vật liệu, phụ
thuộc vào cả độ chính xác của tính toán ab initio của các dao động mạng và chất
lượng của phép gần đúng cần để liên hệ tính toán này với tính chất riêng cần quan
tâm. Độ chính xác của tính toán có thể được đánh giá bằng cách so sánh kết quả
tính được với số liệu thực nghiệm hồng ngoại, tia X hay nhiễu xạ notron. Mặc dù
buộc phải đơn giản hóa, các điều kiện vật lý của mẫu nghiên cứu khi tính toán số
hoàn toàn có thể kiểm soát được và do đó có thể thay đổi một cách tùy ý. Điều này
cho phép đánh giá chất lượng và giá trị của các mô hình mà chúng ta liên hệ cấu
trúc nguyên tử và điện tử thường chưa biết của các vật liệu với các tính chất vĩ mô
và có thể tiếp cận về thực nghiệm. Một khi độ chính xác của các tần số phonon
được đánh giá, sự phù hợp của các dự đoán với các đại lượng đưa ra cung cấp một
12
dấu hiệu về giá trị của các phép gần đúng được sử dụng để đưa ra chúng.
Lĩnh vực tính toán động lực mạng trên cơ sở lý thuyết hàm mật độ đã được
phát triển đến mức cho phép ứng dụng một cách hệ thống lý thuyết hàm mật độ cho
các hệ và vật liệu với độ phức tạp ngày càng tăng.
Ƣu điểm của việc sử dụng các phƣơng pháp ab initio
- Các lực giữa các nguyên tử và các trạng thái riêng điện tử được tính từ các nguyên
lý đầu tiên đòi hỏi không làm khớp với bất kì thông số ngoài nào.
- Phương pháp có khả năng nghiên cứu các pha vật liệu khác nhau và có thể được
sử dụng để mô hình hóa các môi trường liên kết phức tạp như thủy tinh, chất rắn vô
định hình. Nó cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa các vật liệu không sẵn có
số liệu thực nghiệm.
- Các lực giữa các nguyên tử, các trị riêng và vectơ riêng của điện tử tạo ra thường
rất chính xác. Các tính chất cấu trúc, điện tử và dao động của một số vật liệu mô
hình đều có thể tính toán được khi sử dụng cùng một kĩ thuật.
- Nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể dễ dàng được bao hàm vào trong các tính
toán nhờ sử dụng các giả thế thích hợp.
Nhƣợc điểm của phƣơng pháp ab initio
- Khả năng tính toán phức tạp đòi hỏi giới hạn khả năng ứng dụng của phương pháp
cho các hệ tương đối nhỏ.
1.2.2. Phƣơng pháp giả thế
Phương pháp giả thế cho phép giải quyết nhiều vấn đề như tính chất nhiệt
động trong kim loại và hợp kim, khuyết tật điểm và khuyết tật đường, tính các thế
nhiệt động và xây dựng cân bằng pha tuyến tính…
Phillips và Kleinman đã chỉ ra rằng, trong phương trình Schrodinger để tìm vùng
phổ của trường tinh thể mạnh , có thể thay bằng một thế yếu hơn gọi là giả
13
thế. Dạng giả thế đưa vào tương ứng với phép biến đổi phương trình Schrodinger
như thế nào đó, trong đó trị riêng của phương trình này trùng với trị riêng của
phương trình giả sóng:
(1.11)
là giả thế của tinh thể, là hàm giả sóng. Trong đó
Có nhiều cách đưa vào giả thế, một trong các cách đó là phương pháp sóng
phẳng trực giao ở dạng sóng phẳng trực giao biểu thức đối với giả thế có dạng:
(1.12)
Trong đó là hàm sóng electron của lõi nguyên tử.
: năng lượng của trạng thái tương ứng, chỉ số đánh số trạng thái cơ
bản của electron trong nguyên tử và vị trí nguyên tử trong mạng.
Để xây dựng giả thế (1.12) trước hết giải bài toán đối với nguyên tử, tìm hàm
sóng và năng lượng của electron, tính mật độ electron trong nguyên tử và sau đó
xây dựng giả thế của tinh thể. Giả thế định xứ là hàm chỉ phụ thuộc của r (không
phụ thuộc năng lượng), khi phân tích các tính chất vật lý khác nhau của kim loại và
hợp kim, sử dụng giả thế định xứ chứa một vài thông số là thuận lợi hơn cả. Các
thông số của giả thế được xác định theo các tính chất nào đó của kim loại (hợp
kim).
Trong các giả thế định xứ, thường sử dụng rộng rãi giả thế một thông số
Ashcroft [7] (mô hình lõi rỗng).
khi r < rc
14
khi r > rc (1.13)
Giả thế hai thông số loại Haine-Abarenkova [7]
khi r < Rm
khi r > Rm (1.14)
Giả thế hai thông số Krasko-Gurski [11]
(1.15)
Với : giả thế của ion, z là hóa trị
rc, Rm, a: các thông số
Biểu diễn Fourier các giả thế này có dạng:
(1.16)
(1.17)
(1.18)
Ở đây : thể tích ứng với một nguyên tử trong kim loại.
1.3. Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày tổng quan về kim loại, hợp kim nói
chung, các phương pháp ab initio được sử dụng để nghiên cứu về hợp kim, một số
15
công trình nghiên cứu cho kết quả được đánh giá rất tốt với số liệu thực nghiệm.
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT
NHIỆT ĐỘNG CỦA CÁC TINH THỂ KIM LOẠI
2.1. Phƣơng pháp thống kê moment
2.1.1. Các công thức tổng quát về moment [1,16]
Trong lý thuyết xác suất và vật lý thống kê, khái niệm moment được định nghĩa như
sau
Giả sử có một tập hợp các biến số ngẫu nhiên q1, q2, …,qn tuân theo quy luật thống
kê, được mô tả bởi hàm phân bố , hàm này thỏa mãn điều kiện
chuẩn hóa. Trong lý thuyết xác suất, mômen cấp m được định nghĩa như sau:
(2.1)
Mômen này còn được gọi là mômen gốc. Ngoài ra theo định nghĩa mômen trung
tâm cấp m:
(2.2)
Như vậy đại lượng trung bình thống kê chính là mômen cấp một và
phương sai <(q1-
thấy rằng, về nghuyên tắc nếu biết hàm phân bố hoàn toàn xác định được
mômen.
Trong vật lý thống kê, riêng đối với hệ lượng tử được mô tả bởi toán tử thống kê ,
16
các moment được xác định như sau:
Moment cấp m:
Moment trung tâm cấp m: (2.3)
với toán tử tuân theo phương trình Liouville lượng tử.
Ở đây, […,…] là dấu ngoặc poisson lượng tử.
Như vậy nếu biết toán tử thống kê thì có thể tìm được moment. Tuy nhiên
việc tính các moment không phải là bài toán đơn giản. Ngay cả với các hệ cân bằng
nhiệt động, dạng của toán tử thường đã biết (phân bố chính tắc, phân bố lớn …)
việc tìm các moment cũng rất phức tạp. Giữa các moment có mối quan hệ với nhau,
moment cấp cao có thể biểu diễn qua moment cấp thấp hơn. Các hệ thức liên hệ
giữa các moment đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt
động của tinh thể phi tuyến.
Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa
độ suy rông Qi. Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:
(2.4)
trong đó H0 là Hamiltonian của hệ khi không chịu tác dụng của ngoại lực
Khi hệ chịu tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ sẽ chuyển tới trạng thái cân
bằng nhiệt động mới, được mô tả bởi phân bố chính tắc:
với (2.5)
17
Trong đó là năng lượng tự do của hệ; kB là hằng số Boltz-man.
Bây giờ chúng ta thực hiện đạo hàm theo ak đối với điều kiện chuẩn của toán tử
thống kê: Tr =1.
Muốn vậy chúng ta hãy sử dụng các công thức toán tử được viết trong :
Trong đó các toán tử tuỳ ý; là các thông số. chúng ta
rút được biểu thức:
, (2.6)
với <….>a biểu thị trung bình theo (2.5) và:
Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có . Như vậy, ta thu được
biểu thức : (2.7)
Bây giờ lấy đạo hàm biểu thức của giá trị trung bình đối với đại lượng F tuỳ ý theo
ak :
Khi sử dụng (2.6) và bằng phép biến đổi kỳ diệu đã tìm ra được công thức
18
tổng quát chính xác:
(2.8)
Trong đó B2n là số Bernouli.
Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và toạ độ Qk. Muốn
vậy cần phải biết các đậi lượng và . Đại lượng có thể được xác
định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn từ các phương trình động lực.
Trường hợp đặc biệt , ta có biểu thức chính xác đối với phương sai:
(2.9)
Chú ý rằng Qk không phụ thuộc rõ ràng vào ak, nên đối với hệ cổ điển, công thức
(2.9) trở nên đơn giản:
(2.10)
Công thức (2.10) là một công thức quen thuộc trong cơ học cổ điển. Ngoài ra công
thức (2.8) còn cho khả năng xác định hàm tương quan giữa F và Qk đối với hệ
hamiltonino H0:
(2.11)
Trong đó <…>biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với hamiltonino H0. Trong
19
công trình [31] các tác giả còn thu được hệ thức chính xác khác:
(2.12)
Trường hợp đặc biệt chúng ta thu được hệ thức thăng giáng của xung:
(2.13)
Công thức (2.8) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mômen
tương quan cấp cao. Định nghĩa toán tử tương quan bậc n có dạng:
(2.14)
Nếu thay ta sẽ nhận được công thức truy chứng:
(2.15)
Kí hiệu biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng, là hệ số
Bernoukli.
Công thức (2.6) là công thức tổng quát của moment cho phép xác định các
moment cấp cao qua moment cấp thấp hơn.
Đối với hệ chỉ xét trong trường hợp cổ điển thì công thức trên trở thành:
(2.16)
2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do
Năng lượng tự do đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất
20
nhiệt động của hệ. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thống kê mômen để xác
định công thức tổng quát tính năng lượng tự do và áp dụng công thức này vào việc
giải quyết bài toán giao tử điều hòa và phi điều hòa lượng tử cũng như bài toán
nghiên cứu tinh thể.
Trong vật lý thống kê, năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái bởi hệ thức:
(2.17)
Tuy nhiên việc tìm không đơn giản. Thông thường đối với các hệ lý tưởng có thể
tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do. Còn nói chung chỉ có thể tìm nó
dưới dạng gần đúng. Hiện nay có một số phương pháp khác nhau trong việc xá định
năng lượng tự do. Nhưng ở đay chúng tôi trình bày công thức tổng quát tính năng
lượng tự do theo phương pháp mômen vì nó áp dụng vào tinh thể.
Giả sử Hamiltonian của hệ lượng tử có dạng:
(2.18)
Với đăc trưng cho phần đóng góp điều hòa, α là thông số đặc trưng cho
dao động phi điều hòa và là toán tử tùy ý.
Dựa vào biểu thức đã thu được bằng phương pháp thống kê moment đối với
hệ cân bằng nhiệt động:
(2.19)
ta được: (2.20)
21
Suy ra năng lượng tự do của hệ cân bằng:
(2.21)
trong đó là năng lượng tự của hệ ứng với Hamiltonian coi như đã biết.
Sử dụng công thức moment ta có thể tìm được như vậy ta sẽ thu được
biểu thức đối với năng lượng tự do của hệ .
Nếu Hamiltonian có dạng phức tạp thì ta tách:
(2.22)
sao cho
, Khi đó năng lượng tự do ứng với ứng với
, … kết quả cuối cùng ta thu được biểu thức đối với năng lượng tự do
ψ của hệ.
2.1.3. Độ dời của nguyên tử khỏi nút mạng
2.1.3.1. Trƣờng hợp mạch thẳng
Để đơn giản, trước hết chúng ta khảo sát một mạch thẳng gồm N hạt, có cấu trúc
tuần hoàn. Tương tác chủ yếu trong mạch là tương tác cặp. Khi sử dụng của cầu
phối vị thế năng tương tác có thể viết dưới dạng:
(2. 23)
là thế năng tương tác ở đây ai là vị trí cân bằng của hạt thứ i, ui là độ dời của nó,
22
hạt thứ i và hạt thứ 0 (hạt chọn làm gốc).
Trong trường hợp các hạt dao động mạnh chúng ta có thể khai triển thế năng
theo độ dời ui. Ở phép gần đúng bậc 4 thế năng tương tác giữa 2 hạt có
dạng:
Các số hạng , v.v…có dạng như sau:
(2.24)
Trong đó:
(2.25)
với các kí hiệu (1),(2),(3), (4) trên đầu hàm (x) là đạo hàm các cấp tương ứng.
23
Như vậy, tổng lực tác dụng lên hạt thứ 0 bằng:
Chú ý rằng ở biểu thức này tổng lực đã giảm đi ½ vì chúng ta đã tính tới sự tương
tác giữa các hạt thứ i.
Nếu hạt thứ 0 còn chịu tác dụng thêm lực không đổi phụ a (thường là nhỏ)
thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình:
(2.26)
Các moment và có thể biểu diễn qua và chú ý tính chất đối
xứng nên độ dời của các hạt nút mạng đều bằng nhau và có thể đưa ra ngoài dấu
tổng. Ta có:
Như vậy phương trình (2.26) biến đổi về dạng đơn giản:
(2.27)
Đây là một phương trình vi phân phi tuyến. Chúng ta tìm nghiệm của nó
dưới dạng gần đúng. Vì ngoại lực a là tùy ý và nhỏ nên có thể nghiệm dưới dạng
24
(2.28)
y0 là độ dời tương ứng với trường hợp không có ngoại lực tác dụng lên mạch.
Khi thay (2.28) vào (2.27) thu được hệ phương trình đối với A1 và A2:
(2.29)
Hệ này cho phương trình tương đương chứa y0 và A1:
(2.30)
Phương trình này cho khả năng tìm được biểu thức đối với y0. Muốn vậy, chú ý
trong phép gần đúng chuẩn điều hoà phương trình (2.27) có dạng đơn giản:
ky –a =0
nghĩa là ở phép gần đúng này tìm được A1 =1/k thay kết quả vào phương trình
(2.30) ta có phương trình đối với y0:
(2.31)
Đối với mạng tinh thể thường , do đó nghiệm của phương trình (2.31) dưới
dạng:
(2.32)
Biểu thức này là độ rời trong phép gần đúng chuẩn điều hoà.Muốn kết quả tốt hơn
25
ta thay (2.30) vào (2.32) và thu được phương trình đối với A1:
(2.33)
Phương trình này có nghiệm gần đúng:
(2.34)
lại thay kết quả này vào phương trình (2.30) ta thu được phương trình trung phương
đối với y0.Cuối cùng độ dời y0 được xác định như sau:
(2.35)
Trong đó A được xác định bởi biểu thức:
26
(2.36)
Với x= , ,
Tóm lại, chúng ta thiết lập được biểu thức tính độ dời của hạt khỏi nút mạng trong
trường hợp mạch thẳng (2.36) bằng phương pháp thống kê moment. Để xác định
ta cần phải xác định được giá trị của k, , ở T = 0 K. Sau khi xác định được độ
dời , ta có thể tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ khác và
áp suất khác nhau theo biểu thức:
(2.37)
Với , là khoảng lân cận giữa hai hạt (nguyên tử) ở 0 K.
2.1.3.2. Trƣờng hợp lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối
Trong phần này, chúng tôi sử dung phương pháp moment để tính độ rời của hạt
khỏi nút mạng trong trường hợp tinh thể có cấu trúc lập phương tâm khối và lập
phương tâm diện. Trong trường hợp tinh thể 3 chiều biểu thức khai triển có dạng:
27
(2.38)
Do tính chất đối xứng nên đối với tinh thể lập phương tâm diện và lập
phương tâm khối có các số hạng sau đây đều bằng không:
(2.39)
Khi tính tới tính chất này thì điều kiện cân bằng với hạt thứ 0:
Cho phương trình có dạng như (2.26) nhưng các thông số bằng:
(2.40)
Như vậy, đối với tinh thể lập phương tâm diện và lập phương tâm khối độ
dời của hạt khỏi nút mạng vẫn có dạng của biểu thức (2.37). Biểu thức này cho biết
sự thay đổi độ dời của hạt khỏi nút theo nhiệt độ.
Do đó khoảng cách gần nhất giữa 2 hạt được xác định bởi trong
đó a0 là khoảng cách giữa hai hạt ở 00K. Nói cách khác biểu thức (2.37) hoàn toàn
28
cho khả năng xác định khoảng cách giữa hai hạt a ở các nhiệt độ khác nhau.
Tóm lại, ta đã xây dựng được biểu thức tính độ dời của hạt khỏi nút mạng
trong trường hợp lập phương tâm diện và lập phương tâm khối (2.37) trong đó k, γ
được xác định bằng biểu thức (2.40).
2.1.4. Năng lƣợng tự do, entropy của tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập
phƣơng tâm khối
Khác với trường hợp mạch thẳng, trong trường hợp tinh thể 3 chiều thế năng
tương tác trung bình của tinh thể lập phương tâm khối xác định biểu thức:
(2.41)
;
Sử dụng công thức moment xác định các moment và chúng ta hoàn toàn
xác định được .Một điều quan trọng hơn rút ra từ cách viết biểu thức (2.41)là
cho ta cách tiến hành tìm năng lượng tự do thông qua các biểu thức đối với mômen.
Thực vậy,năng lượng tự do của tinh thể có thể tiến hành tính các tích phân:
và .
Khi thay vào các công thức tính mômen và vào và tiến hành tính tích
phân thì ta thu được kết quả năng lượng tự do Helmholtz của tinh thể lập phương
tâm diện và lập phương tâm khối.
(2.42)
29
(2.43)
Kết quả (2.43) cho phép tìm năng lượng tự do ở nhiệt độ T nếu biết giá trị
các thông số ở nhiệt độ T0 (chẳng hạn T0 = 00K).
Nếu nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động xung quanh vị
trí cân bằng mới (tương ứng với T0) là điều hòa. Như vậy, năng lượng tự do của tinh
thể có dạng như năng lượng tự do của hệ N dao tử điều hòa, nghĩa là:
(2.44)
Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý rằng các thông số k, γ và đại lượng u0
phụ thuộc vào nhiệt độ.
Tóm lại, với việc áp dụng phương pháp thống kê mô men, chúng ta đã thu
được biểu thức tính năng lượng tự do (2.42), trong đó được xác định bởi các
biểu thức (2.40) và (2.41).
2.1.5. Các đại lƣợng nhiệt động của tinh thể:
2.1.5.1. Hệ số dãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt
a. Hệ số nén đẳng nhiệt
Theo định nghĩa hệ số nén đẳng nhiệt được xác định bởi biểu thức [1]
, (2.45)
với V0 là thể tích của tinh thể ở 00K.
Vì V=N.v (đối với các tinh thể nguyên tử) trong đó V là thể tích của tinh thể có N
30
nguyên tử, v là thể tích trung bình cho 1 nguyên tử, do đó ta suy ra:
.
Áp suất P được biểu thị qua năng lượng tự do dưới dạng:
,
nên hệ số nén đẳng nhiệt của tinh thể có dạng:
. (2.46)
Trong đó:
. (2.46a)
Nếu chọn T0 =T để tính các thông số thì biểu thức trên có dạng đơn giản hơn:
. (2.46b)
Hằng số mạng aT được xác định nhờ biểu thức(2.37):
aT = a0+ y0 (T)
với y0 (T) được xác định từ (2.35) và (2.36)
Ngoài ra, ta còn có thể các định môđun đàn hồi khối đẳng nhiệt theo hệ số nén đẳng
31
nhiệt:
(2.47) BT =
b. Hệ số dãn nở dài
Hệ số dãn nở dài được định nghĩa như sau:
,
nghĩa là có thể viết:
,
hay là:
;
Ta biết rằng mối liên hệ giữa hệ số giãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt có dạng:
,
hay được viết dưới dạng khác:
. (2.48)
Kết quả trên cho thấy có thể tính được nếu biết và ngược lại.
2.1.5.2. Năng lƣợng và nhiệt dung của tinh thể
Khi áp dụng hệ thức nhiệt động Gibbs- Helmholtz và biểu thức đối với năng
32
lượng tự do (2.42) ta tính được biểu thức của năng lượng mạng tinh thể:
(2.49)
Trong đó E0 là năng lượng của N dao động điều hoà:
Entropy S của mạng theo nhiệt động học bằng:
S = .
Thay vào (2.51), (2.54) ta được entropy của hệ nhiệt động:
(2.50)
Trong đóS0 là entropy của N dao động tử điều hoà:
Vì vậy có thể tìm được hệ số nén đoạn nhiệt nhờ hệ thức:
. (2.51)
ngoài ra còn có thể xác định các suất modun đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt của
tinh thể:
, .
2.2. Phƣơng pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của kim loại
33
2.2.1. Thế tƣơng tác giữa các nguyên tử trong kim loại
Khi nghiên cứu các tính chất của hệ, một vấn đề lớn có ảnh hưởng đến kết
quả thu được là việc chọn thế tương tác thích hợp giữa các nguyên tử trong hệ. Như
chúng ta đã biết, thế tương tác giữa các nguyên tử được xác định bởi tương tác giữa
ion- ion, giữa các đám mây điện tử và giữa ion-đám mây điện tử.
Tùy theo loại vật liệu và tính chất nghiên cứu mà dạng thế được sử dụng
khác nhau. Đối với các tinh thể kim loại có cấu trúc lập phương, ở trạng thái lí
tưởng mỗi nút mạng được chiếm giữ bởi một nguyên tử và coi rằng, giữa hai
nguyên tử bất kì nằm gần nhau không xảy ra tương tác hóa học ở điều kiện thường.
Do đó thế năng tương tác giữa các hạt có dạng đơn giản
(2.52)
Với b, c là các hằng số dương, thế này gọi là thế n-m. Trong công thức (2.52), số
hạng thứ nhất tương ứng với lực đẩy hai hạt, còn số hạng thứ 2 tương ứng với lực
hút. Thông thường n > m, trong trường hợp tương tác Vander Waals m=6. Thế này
có giá trị cực tiểu ở khoảng cách giữa hai hạt là :
Trong công thức của dạng thế (2.52), giá trị m, n thường lớn (thông thường n=12,
m=6) do đó thế này giảm rất nhanh theo khoảng cách. Vì vậy loại thế này được gọi
là thế tương tác gần hay còn gọi là thế tương tác cặp. Đối với các tinh thể kim loại
thường hay áp dụng thế n-m có dạng sau
(2.53)
Trong đó r0 là khoảng cách giữa hai nguyên tử tương ứng với thế năng cực tiểu lấy
34
giá trị (- ); m, n là các thông số có giá trị khác nhau đối với các nguyên tử kim
loại khác nhau và được xác định bằng con đường kinh nghiệm dựa trên cơ sở các số
liệu thực nghiệm.
2.2.2. Xác định các thông số của kim loại
Khi các hạt đã sắp xếp có trật tự tạo thành tinh thể, chúng liên kết với nhau
rất chặt chẽ. Năng lượng liên kết u0 giữa các hạt trong tinh thể chủ yếu là năng
lượng tương tác cặp và được viết dưới dạng ()
(2.54)
(2.55)
35
(2.56)
(2.57)
Trong các công thức trên Am, An.... là các tổng mạng được xác định bẳng các công
thức sau
(2.58)
Trong đó Zi là số hạt trên quả cầu phối vị thứ i, Zix là số hạt trên quả cầu phối vị thứ
i có thành phần chiếu xuống trục x khác không, Zixy là số hạt trên quả cầu phối vị
thứ i có thành phần chiếu xuống trục x và trục y khác không, υi là thừa số cấu trúc
(trong đó r1, ri là bán kính quả cầu phối vị thứ nhất và thứ được xác định :
i)
Đối với các tinh thể kim loại có cấu trúc LPTD, trong gần đúng 5 quả cầu
phối vị đầu tiên, các tổng mạng có dạng:
36
(2.59)
Tương tự, ta có biểu thức tính tổng mạng của kim loại có cấu trúc LPTK
(2.60)
Đạo hàm bậc nhất và bậc hai của năng lượng liên kết u0P theo khoảng lân cận aP
khi tinh thể biến dạng phi tuyến có dạng:
(2.61)
Đạo hàm bậc nhất và bậc hai của năng lượng liên kết kP theo khoảng lân cận aP khi
37
tinh thể biến dạng phi tuyến có dạng
(2.62)
Sử dụng công thức (2.42), (2.43) để tìm năng lượng tự do của kim loại có cấu
trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối. Sử dụng các công thức (2.46),
(2.47), (2.48), (2.49), (2.50), (2.51) trong đó thế năng tương tác được xác định từ
(2.62), trong đó các hệ số được xác định từ các công thức (2.54), (2.55), (2.56),
(2.57); các tổng mạng được xác định từ các công thức (2.58), (2.59), (2.60), (2.61),
(2.62) chúng ta có thể tìm được các hệ số nén đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, các mô đun
đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng tích và
đẳng áp của kim loại có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối. Các
kết quả thu được bằng phương pháp thống kê mô men cho kết quả phù hợp với thực
38
nghiệm.
CHƢƠNG 3
PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA HỢP KIM BA THÀNH PHẦN CÓ CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM
DIỆN VÀ LẬP PHƢƠNG TÂM KHỐI
3.1. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần
3.1.1. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần ở T=0K
Bằng mô hình tương tác cặp và phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác
của hợp kim ba thành phần ABC có cấu trúc lập phương tâm diện(LPTD) và lập
phương tâm khối(LPTK) được viết dưới dạng: (giới hạn xét trong 2 quả cầu phối vị)
(3.1)
trong đó , từ đó tìm được:
trong đó (3.2)
Với : Thế tương tác của nguyên tử I với nguyên tử gốc ( )
(i=1, 2) là số nguyên tử bao quanh nguyên tử gốc trên quả cầu 1
(i=3, 4) là số nguyên tử bao quanh nguyên tử gốc trên quả cầu 2
là khoảng cách từ nguyên tử thứ I tới nguyên tử gốc.
Trong đó ta đã sử dụng công thức
(3.3)
: Thế tương tác giữa nguyên tử
39
: Năng lượng trật tự của hợp kim trên quả cầu phối vị bán kính a
.
Từ đó suy ra:
(3.4)
Để tìm các xác suất tìm cặp và xácsuất tìm các nguyên tử trên các nút mạng
ta xuất phát từ định nghĩa thông số trật tự xa. Giả thiết hợp kim ABC với nồng độ
hạt C nhỏ (có thể coi như 40ap ha thêm hạt C với nồng độ nhỏ vào hợp kim AB mà
không làm thay đổi cấu trúc). Do vậy pcc ~ 0, cc<<1, ta coi gần đúng
Xác suất tìm cặp nguyên tử ở cạnh nhau được tính theo công thức:
(3.5)
Với : Xác suất tìm cặp nguyên tử với nguyên tử ở nút lọai I, nguyên tử
ở nút loại j. Nếu bỏ qua thông số tương quan, ta tính được:
Với mạng lập phương tâm khối (LPTK):
;
; (3.6)
Với mạng lập phương tâm diện (LPTD):
;
40
; . (3.7)
trong đó là thông số trật tự xa
Biểu thức của thế năng tương tác có dạng :
(3.8)
Từ điều kiện cực tiểu của thế tương tác trong hợp kim, nếu bỏ qua năng lượng trật
tự, hoặc coi chúng là các hằng số đối với r, t
Từ phương trình này, với các loại thế xác định ta hoàn toàn biết được khoảng cách
lân cận gần nhất từ đó xác định được hằng số mạng của hợp kim ở nhiệt độ T = 0K.
Nếu sử dụng thế tương tác gần Lennard-Jones:
(3.9)
với D, ro, m, n là các thông số được xác định từ thực nghiêm; khoảng cách lân cận
gần nhất của hợp kim ở nhiệt độ T= 0K được tính từ phương trình:
(3.10)
với n1, n2 là số hạt trên quả cầu phối vị .
Hằng số mạng của hợp kim ở nhiệt độ T = 0K: a0 = C.a1, với hằng số C phụ
41
thuộc cấu trúc của hợp kim. Với mạng LPTD có , với mạng LPTK
3.1.2. Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần ở T ≠ 0K
Từ (3.1), ta thấy hợp kim có thể được khảo sát như tổ hợp của các hệ hiệu dụng (
) (là hệ mà các nguyên tử ở nút là các nguyên tử gốc). Vậy độ dời của các
nguyên tử trong hợp kim khỏi vị trí cân bằng theo [7, 9] cũng được xác định qua tổ
hợp độ dời của các nguyên tử trong hệ hiệu dụng:
(3.11)
Trong đó
(3.12)
42
Trong đó:
Hằng số mạng của hợp kim ba thành phần có cấu trúc LPTD và LPTK khi T > 0K
43
(3.13)
Nếu sử dụng thế tương tác gần Lennard-Jones, dựa vào (12), (13) ta hoàn toàn có
thể xác định được hằng số mạng của hợp kim ba thành phần có cấu trúc LPTD và
LPTK.
3.2. Năng lƣợng tự do Helmholtz và các đại lƣợng nhiệt động của hợp kim thay
thế A-B-C cấu trúc lập phƣơng tâm diện (LPTD) và lập phƣơng tâm khối
(LPTK)
3.2.1. Năng lƣợng tự do Helmholtz của hợp kim
Xét hợp kim ABC với cấu trúc LPTD và LPTK chứa N nguyên tử. Trong đó
có nguyên tử với = (A,B,C). Gọi là nồng độ hạt của nguyên tử
trong hợp kim thì nồng độ này được xác định như sau:
Gọi là nồng độ nút loại với
là xác suất của nguyên tử tại nút .
Ta có có mối quan hệ giữa các xác suất:
(3.14)
Sử dụng thế năng tương tác cặp và phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác
44
của hợp kim có dạng (giới hạn xét trong 2 quả cầu phối vị) :
(3.15)
Với có dạng thế năng tương tác của N nguyên tử. Hệ này
được gọi là hệ hiệu dụng với các nguyên tử với là các nguyên tử gốc
Trong đó là thế năng tương tác giữa nguyên tử i và nguyên tử gốc
là vị trí cân bằng và độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử i.
Từ (2) ta thấy hợp kim đang xét có thể khảo sát như tổ hợp các hệ hiệu dụng
và năng lượng tự do của các hệ hiệu dụng và năng lượng cấu hình:
(3.16)
Với là entropi cấu hình, theo [28] có dạng:
(3.17)
Để xác định bằng phương pháp mômen [1,12] , giả sử Hamiltonian của hệ
lượng tử có dạng:
45
Với là thông số và là toán tử toàn ý, năng lượng tự do của hệ [20]
(3.18)
Trong đó được xác định bằng công thức moomen.
Trong gần đúng bậc 4, thế tương tác của nguyên tử trong hệ hiệu dụng [20]
(3.19)
Với
Do tính đối xứng của mạng LPTD và LPTK, các độ lệch uij rất nhỏ và trong hệ hiệu
dụng khối lượng các nguyên tử đều được thay bằng khối lượng hiệu dụng
. Vì vậy ta có thể gọi độ lệch trung bình của các nguyên
tử theo các hướng bằng nhau. Do vậy, với ta có
46
Thế năng trung bình của hệ hiệu dụng:
(3.20)
Ở đây
(3.21)
Hamiltonian của hệ hiệu dụng được viết dưới dạng:
(3.22)
Trong đó là Hamiltonian của hệ N dao động
tử điều hòa. Từ đó (3.19), (3.20) ta có:
(3.23)
47
Với (3.24)
Để tính ta sử dụng các công thức mô men [16]:
(3.25)
Với
Vậy năng lượng tự do của hệ hiệu dụng là:
(3.26)
Gọi (i=1,2) là số nguyên tử bao quanh nguyên tử gốc trên quả cầu 1
(i=3,4) là số nguyên tử bao quanh nguyên tử gốc trên quả cầu 2
Xác suất tìm cặp nguyên tử ở cạnh nhau [24]:
(3.27)
Trong đó là xác suất tìm cặp nguyên tử với nguyên tử ở nút loại I,
nguyên tử ở nút loại j
48
víi : số nút loại j gần số nút loại i nhất
z : số nguyên tử gần nhất bao quanh nguyên tử gốc.
Khi nồng độ hạt C nhỏ, bỏ qua thông số tương quan [24]:
Ta được
Với mạng LPTK
(3.28)
Với mạng LPTD
(3.29)
Kết hợp với (3.21) ta tính được:
(3.30)
49
Ở đây:
được xác định dựa vào điều kiện cực tiểu của thế tương tác (3.15)
Từ đó biểu thức năng lượng tự do được tìm dưới dạng là:
(3.31)
Trong đó:
là năng lượng tự do của kim loại “sạch” được xác định bởi [15-18]
Trong trường hợp thì (3.31) trở thành biểu thức giải tích của năng lượng tự
do của hợp kim hai thành phần [21].
3.2.2. Các đại lƣợng nhiệt động của hợp kim ba thành phần:
Từ biểu thức: , ta tính được năng lượng của hợp kim với nồng độ C
50
nhỏ:
(3.32)
Ở đây:
s đặc trưng cho cấu trúc mạng (với mạng LPTK s=1/4, mạng LPTD s=1/16)
: năng lượng của kim loại “sạch” được xác định bởi [16-18]
Từ biểu thức của năng lượng tự do, ta cũng tính được biểu thức giải tích của hệ số
nén đẳng nhiệt:
(3.33)
Hệ số dãn nở nhiệt:
51
(3.34)
Khi áp suất p=0, xét trường hợp hợp kim ở trạng thái vô trật tự ( ), ta có:
(3.35)
Ở đây: là hệ số dãn nở nhiệt của kim loại “sạch” , là đạo hàm bậc i
của thế tương tác của nguyên tử theo
(3.36)
Từ (19) và từ biểu thức nhiệt: (3.37)
Ta tính được biểu thức giải tích nhiệt dung đẳng tích của HK ở trạng thái vô trật tự
52
và bỏ qua năng lượng tự do cấu hình:
(3.38)
là nhiệt dung của kim loại “sạch” được xác định bởi [16-18]
Từ đó ta cũng xác định được biểu thức giải tích của nhiệt dung đẳng áp qua biểu
thức
(3.39)
Trong trường hợp thì (3.31), (3.32), (3.33), (3.35), (3.38) trở thành biểu
thức giải tích của năng lượng tự do, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt
53
dung đẳng tích và đẳng áp của hợp kim hai thành phần [21].
3.3. Áp dụng tính toán số cho một số hợp kim cụ thể:
Trong luân văn này chúng tôi áp dụng các kết quả nhân được trong phần 3.1
để tính toán bằng số đối với một số hợp kim ba thành phần có cấu trúc lập
phương tâm diện và lập phương tâm khối. Các công thức đối với từng kim loại
riêng rẽ được sử dụng trong chương 2.
Chúng tôi áp dụng thế Lennar-Jones để nghiên cứu các hệ số nén đẳng nhiệt,
hệ số giãn đoạn nhiệt, nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp của một số hợp kim ba
thành phần. Các thông số của thế Lennar-Jones đối với một số kim loại trong
hợp kim ba thành phần được trình bày trong bảng 1.
Bảng 1: Thông số thế Lennar-Jones [26]
Kim loại m n D/k(K)
Al 5.5 12.5 2.854 2995.6
Fe 6 9.5 2.4775 4649.6
Ni 5 2.4780 4327.2 8
Cr 6.0 15.5 2.4950 6023.9
Cu 5.0 2.5487 3401.1 8
Sử dụng các công kết quả nhận được ở trên chúng tôi áp dụng tính cho một số hợp
kim ba thành phần ABC có cấu trúc lập phương tâm diện(LPTD) và lập phương tâm
khối(LPTK). Các kết quả tính hằng số mạng của hợp kim ABC có cấu trúc LPTK
được trình bày trong bảng 2, các kết quả tính hằng số mạng của hợp kim ABC có
54
cấu trúc LPTD được trình bày trong bảng 3.
Bảng 2: Hằng số mạng của hợp kim ABC có cấu trúc LPTK
Hợp kim a(Å) TTLT a(Å) TN[8] (%) T(K)
(%)
FeNiV 4.7 5.5 1173 2.8571 2.8687
9.5 5.5 1173 2.8563 2.8657
14.3 5.5 1173 2.8556 2.8677
19.1 5.5 1173 2.8548 2.8697
23.9 5.5 1173 2.8540 2.8657
28.8 5.5 1173 2.8546 2.8677
FeNiAl 30 2.9129 2.8800 12 973
19 31 973 2.9590 2.8722
18 28 973 2.9526 2.8722
20 27 973 2.9696 2.8723
24 30 973 2.9894 2.8725
26 29 973 3.0010 2.8728
55
27 29 973 3.0067 2.8730
Bảng 3: Hằng số mạng của một số hợp kim ABC có cấu trúc LPTD
Hợp kim T(K) a(Å) TTLT a(Å) TN[8]
(%) (%)
FeNiW 46.4 0.8 293 3.5325 3.5923
FeNiCu 44.7 4.4 293 3.5187 3.5921
FeNiCr 45.7 3.2 293 3.5163 3.5880
FeNiV 45.1 3.3 293 3.5321 3.5903
19.1 5.5 1173 3.5387 3.5781
23.9 5.5 1173 3.5380 3.5851
28.8 5.5 1173 3.5383 3.5862
33.6 5.6 1173 3.5386 3.5881
43.5 5.6 1173 3.5382 3.5891
53.4 5.6 1173 3.5376 3.5851
63.5 5.6 1173 3.5369 3.5721
73.6 5.7 1173 3.5368 3.5571
83.9 5.7 1173 3.5359 3.5411
56
AlCuNi 10 65 1013 3.7368 3.5769
Các kết quả tính toán hằng số mạng được so sánh với thực nghệm. Các kết quả tính
toán bằng phương pháp thống kê mô men phù hợp với số liệu thực nghiệm trong
nhiều khoảng nhiệt độ.
Sử dụng các công thức (3.33), (3.35), (3.38), (3.39) để tính hệ số nén đẳng nhiệt,
hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp cho một số hợp kim ba thành
phần ABC có cấu trúc LPTD và LPTK. Các kết quả nhận được đối với hệ số nén
đẳng nhiệt và hệ số giãn nở nhiệt của một số hợp kim được trình bày trong các bảng
4, 5 & 6.
Bảng 4: Hệ số dãn nở và nén của hợp kim 80Ni-14Cr-6Fe :
Hợp kim T(K) 273 293 373
PP Mo men 4.26 4.27 4.30
1.27 1.29 1.34
Thực nghiệm[26]: khi nhiệt độ từ 273K tới 373K
Bảng 5: Hệ số dãn nở và nén của hợp kim 35Ni-50Fe-15Cr :
Hợp kim T(K) 293 373 500 773
PP Mo men 3.67 3.69 3.73 3.82
1.068 1.15 1.20 1.24
57
Thực nghiệm[26]: khi nhiệt độ từ 293K tới 773K
Bảng 6: Hệ số dãn nở và nén của hợp kim 60Ni-24Fe-16Cr :
Hợp kim T(K) 293 373 1000 1273
PP Mo men 3.906 3.932 4.17 4.309
1.175 1.249 1.350 1.347
Thực nghiệm[26]: khi nhiệt độ từ 293K tới 1273K
Các kết quả nhận được đối với nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp cho một số
hợp kim được trình bày trong các bảng 7 & 8.
Bảng 7: Nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp của hợp kim 76Ni-15Cr-9Fe
Hợp kim T(K) 293 298 323 973 1073 1173
1.02 1.032 1.040 0.986 0.958 0.925 PP Mo men
1.13 1.158 1.181 1.489 1.512 1.528
TN [26] 1.05 1.068 1.084 1.421 1.462 1.500
Bảng 8: Nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp của hợp kim 66Ni-29Cu -3Al
Hợp kim T(K) 116 144 293 366 922 1033 1144
PP Mo men 0.827 0.91 1.02 1.02 0.86 0.78 0.69
0.84 0.93 1.12 1.16 1.25 1.23 1.18
58
TN [26] 0.71 0.77 1.10 1.14 1.22 1.21 1.17
Các kết quả nhận được của phương pháp thống kê mô men đối với hệ số nén
đẳng nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp đối với một số hợp
kim ba thành phần có cấu trúc LPTD và LPTK được so sánh với số liệu thực
nghiệm. Các kết quả nhận được phù hợp với số liệu thực nghiệm trong nhiều
khoảng nhiệt độ.
Các kết quả này còn được biểu diễn dưới dạng đồ thi trên các hình 3.1, 3.2, 3.3,
3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 trên các hình này có trinh bày các kết quả tính toán
59
của phương pháp thống kê mômen và các số liệu thực nghiệm.
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số nén đẳng nhiệt vào nhiệt độ
của hợp kim 80Ni-14Cr-6Fe
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số nén đẳng nhiệt vào nhiệt độ
60
của hợp kim 35Ni-50Fe-15Cr
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số nén đẳng nhiệt vào nhiệt độ
của hợp kim 60Ni-24Fe-16Cr
Hình 3.4. Sự phụ thuộc của hệ số dãn nở vào nhiệt độ
61
của hợp kim 80Ni-14Cr-6Fe
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của hệ số dãn nở vào nhiệt độ
của hợp kim 35Ni-50Fe-15Cr
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của hệ số dãn nở vào nhiệt độ
62
của hợp kim 60Ni-24Fe-16Cr
Hình 3.7. Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào nhiệt độ
của hợp kim 76Ni-15Cr-9Fe
Hình 3.8. Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào nhiệt độ
63
của hợp kim 66Ni-29Cu-3Al
Hình 3.9. Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng áp vào nhiệt độ
Hình 3.10. Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng áp vào nhiệt độ
64
của hợp kim 66Ni-29Cu-3Al
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã áp dụng phương pháp thống kê mô men để
nghiên cứu tính chất nhiệt động của hợp kim ba thành phần có cấu trúc lập phương
tâm diện và lập phương tâm khối. Các kết quả chính nhận được trong luận văn là:
- Xây dựng được các biểu thức giải tích để tính hằng số mạng của hợp kim ba thành
phần ABC có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối.
- Xây dựng được biểu thức giải tích của năng lượng tự do của hợp kim ba thành
phần ABC có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối.
- Xây dựng được biểu thức giải tích của các đại lượng nhiệt động của hợp kim ba
thành phần ABC có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối như: hệ
số nén đẳng nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, biểu thức của nhiệt dung đẳng tích và đẳng
áp.
- Áp dụng tính hằng số mạng đối với một số hợp kim FeNiV, FeNiAl có cấu trúc
LPTK và các hợp kim FeNiW, FeNiCu, FeNiCr, FeNiV có cấu trúc LPTD. Áp dụng
tính nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp đối với các hợp kim NiCrFe, NiCuAl.
Các kết quả tính toán phù hợp với thực nghiệm trong nhiều khoảng nhiệt độ.
Các kết quả nhận được trong luận văn có thể được mở rộng nghiên cứu tính chất cơ
65
và nhiệt động cho hợp kim ở nhiệt độ và áp suất khác nhau.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. Tiếng Việt
1. Vũ Văn Hùng (2009), “Phương pháp thống kê mô men nghiên cứu tính chất nhiệt
động và đàn hồi của tinh thể”, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Nguyễn Ngọc Long (2007), “Vật lý chất rắn – cấu trúc và các tính chất của vật
rắn”, NXB ĐHQG Hà Nội
3. Vũ Văn Hùng (1990), Luận án PTS Khoa học Toán Lý, ĐH Tổng hợp Hà Nội.
4. Vũ Văn Hùng, Nguyễn Thị Thanh Hải, Lê Thị Mai Thanh (2006): “ Nghiên cứu
các tính chất nhiệt động của zirconia cấu trúc Fluorite bằng phương pháp thống kê
momen”, Tuyển tập các báo cáo Hội nghị vật lý toàn quốc lần thứ 6, (Hà Nội –
2006) p.48
5. Hà Đăng Khoa, Vũ Văn Hùng và Nguyễn Thị Phương Lan (2007): “Nghiên cứu
hằng số mạng của hợp kim nhiều thành phần”, Báo cáo tại hội nghị vật lý chất rắn,
Vũng tàu 2007, trang 99-103.
II. Tiếng Anh
6. A. Landa, P. Soderlind, (2004), “Density – functional calculations for Ce, Th,
and Pu metals and alloys, Condersend Matter Physices” Vol.7. No.2(38). pp 247 –
264.
7. Ashcroft N.W. (1966) : “Electron-ion spendopotentials in metals”, Phys. Left,
23,1,48.
8. American Institute of physics handbook
9. Born M, Oppenheimer J.R, (1927), “Zur quantentheorie der molekeln”,
Ann.Phys. 84. P457.
10. Favot. F, and Dal Corso A, (1999), Phys. Rev. B. 136. p 864
11. Girifalco L. A; Weizer V. G (1959), “Application o the Morse potential function
66
to cubic metals”. Phy. Rev. 114,3, P687.
12. Hohenberg.P, Kohn.W, (1964), “Inhomogeneous Electron Gas” , phys. Rev. B.
136. p 864
13. I. D. Hughes, M. Dane, A. Ernst, W. Hergert, M. Liiders, Jpolter, J.B. Staunton,
A. Svane, Z. Szotek, and W.M. Temmerman, (2007), “Lanthanide contraction and
magnetism in the heavy rare eath elements, Naature”. 446.pp 650-653
14. Kohn.W, and Sham L.J, (1965), “Self-Consistent Equations Including Exchange
and Correlation Effects” Phys. Rev. A. 140. p 1133
15. M.G. Shelyaapina, N.E. Skryabina, D. Fruchart, E. K. Hlil, P. Wolfers, J.
Tobola, (2008), “Induced vanadium polarization in intermetalli”
16. Nguyen Tang and Vu Van Hung. (1988), “Investigation of the Thermodynamic
Properties of Anharmonic Crystals by the Momentum Method. I. General Results
for Face-Centred Cubic Crystals” Phys.stat.sol(b), vol. 149 p. 511-519; (1990)
“Investigation of the Thermodynamic Properties of Anharmonic Crystals by the
Momentum Method. II. Comparison of Calculations with Experiments for Inert Gas
Crystals”, vol. 161, p.165-171; (1990), “Investigation of the Thermodynamic
Properties of Anharmonic Crystals by the Momentum Method. III. Thermodynamic
Properties of the Crystals at Various Pressures”, vol. 162, p. 371-377.
17. Nguyen Tang and Vu Van Hung Proc IV National.Conf.on Phys.(1993), P.103
18. Nguyen Tang, Vu Van Hung and Pham Dinh Tam. Proc.2nd IWOMS’95,P.396
19. Nguyen Tang, Pham Dinh Tam and Vu Van Hung. Comm. Phys. Vol 7,3(1997).
pp47-52
20. Nguyen Tang, Pham Dinh Tam and Vu Van Hung. Comm. Phys. Vol7,4(1997).
pp19-24
21. Vu Van Hung. Comm. Phys. Vol 4,3(1994), pp.95
22. Ha Dang Khoa Vu Van Hung (2008), “Investigation of the thermodynamic
67
properties for the multi companent proceedings of the 11th”, pp.136
23. Ha Dang Khoa (2006), “Investigation of the thermodynamic qualtities for
Substitution double alloy with defects proceedings of the International Coference of
Engineering Physics, HN, VGS on Physics and Engineering”, pp.96
24. Nguyen Huu Minh (1998), “Scientific Comm of Ha noi National Pedagogic
University”
25. Tanju Gurel and Resul Eryigit, (2010), “Ab initio lattice dynamic and
thermodynamics of rare-earth haxaborides LaB6 and CeB6”, Phys. Rev. B. 82.
104302
26. Thermophysical properties: in 12 vol., NewYork Washington Plenum, 1970-
1975., vol 4. Thermophysical properties of matter. 1975., vol 12. Thermal
expansion of metallic elements and alloys. 1975
27. Taylor Lyman. Metal handbook 1948 Edition
28. Yuantao Ning, (2005), “Properties and applications of some Gold alloys
modified by rare eath addition”, Gold Bulletin 2005.
29. Yuantao Ning, Fei Wen, Huaizhizhou and Deguo Deng, “Influence of Kare –
eath elements on Mechanical properties of Palladium”, J. Mater. Sci. Technol. vol.
68
9.
