Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức và phân thức hữu tỷ dành cho học sinh chuyên Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ---------------------------------------

NGUYỄN ĐỨC LAI – C00449 ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HUY HIỀN

Hà Nội – Năm 2016

MỤC LỤC

Trang 1 3 4

5

Mục lục…………………………………………………………….……………………………...... Mở đầu ……………………………………………………………………………........................... Lời cảm ơn ……………………………………………………………………………………...... Chương 1. Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ I Vành đa thức một biến…………………………………………………………..... I.1 Đa thức trong vành …………………………………………………………… 5

……………………………………………………………

I.2 Tính chất của vành 6

I.3 Phép đạo hàm………………………………………………………………..………...... 6

6

I.4 Hàm đa thức………………………………………………………………….………...... II Số học trong vành đa thức…………………………………………….………… 7

II.1 Phép chia có dư…………………………………………………………………………. 7

II.2 Đa thức bất khả quy…………………………………………………………..……… 8

II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức) ……………………………..……… 8

III Nghiệm của đa thức………………………………………………………………… 9

III.1 Không điểm của đa thức…………………………………………………….……… 9

III.2 Tính chất của không điểm và đạo hàm………………………………..……… 9

III.3 Định lý Berzout……………………………………………………………….….……. 9

III.4 Đa thức nội suy Lagrange………………………………………………….……… 9

IV Phân thức hữu tỷ……………………………………….……………….…………… 9

IV.1 Các định nghĩa……………………………………….………………………………… 9

IV.2 Phép phân tích một phân thức hữu tỷ………………………………………… 10

IV.3 Các phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ……………….……… 10

IV.4 Ứng dụng của phép phân tích một phân thức hữu tỷ…………………… 10

Chương 2. Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ

1

Bài toán số học của đa thức hệ số nguyên…………………….………… I 11

I.1 Bài toán về tính chia hết của đa thức………………………………….……… 11

I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy……………………….………… 12

I.3 Một số bài toán về đa thức Chebyshev………………………………..……… 14

II Nghiệm của đa thức………………………………………………………………… 14

II.1 Tìm nghiệm của đa thức…………………………….……………………………… 14

II.2 Tính chất của nghiệm của đa thức………………………………….…….…… 15

II.3 Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức……..…………………………………… 18

III Bài toán xác định đa thức………………..……………………………………… 19

III.1 Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức ……..……......……… 19

III.2 Dùng phương pháp hệ số bất định …………………………………………..…. 20

III.3 Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm…………. 21

IV Phân thức hữu tỷ…………………………………..………………………………… 23

IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ………..………………………………………………. 23

IV.2 Ứng dụng của phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân. 23

Phần III: Kết luận …………….……………………………………………………………… Tài liệu tham khảo…………………………………….….……………………………………

2

MỞ ĐẦU

Trong chương trình môn Toán ở bậc Phổ thông, học sinh được tiếp cận với

đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên. Bài toán về đa thức và phân thức hữu

tỷ xuất hiện trong hầu hết các cuộc thi. Hiện nay, các tài liệu về đa thức cũng khá

đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, đa số đều khó đối với các học sinh mới bắt

đầu tiếp cận. Vì vậy tôi lựa chọn các dạng toán điển hình về đa thức và phân

thức hữu tỷ để nghiên cứu và phục vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ

thông.

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1. Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ.

Chương 2. Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ.

Hà nội. ngày 15 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Đức Lai

3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của tiến sĩ

Bùi Huy Hiền. Em xin chân thành cảm ơn Thầy đã tận tâm, nhệt tình hướng dẫn

em trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành

cảm ơn trường Đại học Thăng Long, cảm ơn các Thầy, Cô giáo của Nhà trường

đã nhiệt tình giảng dạy cho em trong suốt thời gian qua. Cảm ơn các Thầy, Cô

giáo trường THPT Chuyên Bắc Giang đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi có nhiều

thời gian tham gia học tập nâng cao trình độ. Cảm ơn các bạn học viên lớp Cao

học Thăng Long khoá 03 đã giúp đỡ tôi trong cả quá trình học tập tại trường!

Hà nội. ngày 15 tháng 5 năm 2016

Tác giả Nguyễn Đức Lai

4

CHƯƠNG 1

TÓM TẮT MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUNG

VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ

I. VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN.

I.1. Đa thức trong vành

I.1.1. Định nghĩa

I.1.1.1. Định nghĩa 1.

Với mọi dãy thuộc , ta gọi là giá của .

Đa thức một biến, có hệ tử lấy trong là dãy bất kỳ thuộc có giá hữu

hạn.

I.1.1.2. Định nghĩa 2.

Cho đa thức .

Số tự nhiên lớn nhất sao cho khác không được gọi là bậc của , viết

. Khi đó gọi là hệ tử cao nhất của , nếu và thì gọi

là chuẩn tắc.

I.1.2. Các phép toán của đa thức.

I.1.2.1. Phép cộng.

Cho các đa thức và . Khi đó tổng của

chúng được viết và tính theo công thức .

I.1.2.2. Phép nhân.

Cho các đa thức và . Khi đó tích của

chúng được viết và tính theo công thức là .

I.1.2.3. Phép hợp đa thức.

5

Cho các đa thức , . Ta gọi đa thức hợp

của và được viết là hoặc và được xác định theo công thức

.

I.2. Tính chất của vành .

I.3. Phép đạo hàm.

I.3.1. Định nghĩa.

Với mọi đa thức , đa thức đạo hàm của , ký hiệu là

được xác định bởi .

Ta ký hiệu .

I.3.2. Tính chất của phép đạo hàm.

Công thức Leibniz.

Đạo hàm cấp của đa thức tích được tính bằng công thức

.

I.4. Hàm đa thức.

I.4.1 Định nghĩa.

Cho đa thức . Khi đó ta có hàm xác định bởi

quy tắc được gọi là hàm đa thức liên kết với .

I.4.2. Mệnh đề 1.

Cho là các đa thức trong , ta có

6

.

I.4.3. Định lý(Định lý Taylor đối với đa thức).

Cho đa thức , thỏa mãn Ta có công thức

.

I.4.4. Mệnh đề 2.

Ánh xạ

Là đơn Ánh khi và chỉ khi vô hạn.

II. SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC.

II.1. Phép chia có dư.

II.1.1. Định nghĩa tính chia hết.

Cho là hai đa thức trong và .

Ta nói chia hết ( trong ) và ký hiệu là , khi và chỉ khi tồn tại đa

thức sao cho .

II.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết.

II.1.3. Phép chia Euclide.

Định lý.

Cho các đa thức . Tồn tại duy nhất cặp đa thức

sao cho , lần lượt là thương và dư

trong phép chia Euclide cho .

II.1.4. Định nghĩa Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN).

7

II.1.5. Tính chất của Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ

nhất(BCNN).

II.1.6. Đa thức nguyên tố cùng nhau.

II.1.7. Các định lý và tính chất.

Cho là các đa thức trong và .

Mệnh đề 1.

Nếu đa thức khác không, nguyên tố cùng nhau và đa thức chia hết

thì và nguyên tố cùng nhau.

Định lý 1 (Định lý Bezout).

Điều kiện cần và đủ để các đa thức khác không, nguyên tố cùng

nhau trong toàn thể là tồn tại các đa thức khác không sao cho

.

Định lý 2(Định lý Gauss).

Nếu đa thức khác không, nguyên tố cùng nhau và đa thức chia hết

thì chia hết .

Mệnh đề 2.

II.2. Đa thức bất khả quy.

II.2.1. Định nghĩa.

Một đa thức gọi là bất khả quy (nguyên tố) khi và chỉ khi

và chỉ có ước trong là và .

II.2.2. Tính chất của đa thức bất khả quy.

Mệnh đề 1.

Mệnh đề 2.

II.3. Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức).

8

Định lý.

Hệ quả.

Mệnh đề.

III. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.

III.1. Không điểm của đa thức.

III.1.1. Định nghĩa 1.

Cho . Ta nói rằng là một không điểm hay một nghiệm của

khi và chỉ khi .

III.1.2. Định nghĩa 2.

Cho . Ta nói rằng là không điểm cấp bội không thấp hơn

khi và chỉ khi .

III.2. Tính chất của không điểm và đạo hàm.

III.2.1. Định lý Viet.

III.2.2. Đạo hàm với nghiệm của đa thức.

III.3. Định lý Berzout.

nếu là một Cho đa thức

không điểm của khi và chỉ khi ta có .

III.4. Đa thức nội suy Lagrange.

Định lý.

IV. PHÂN THỨC HỮU TỶ.

IV.1. Các định nghĩa.

IV.1.1. Định nghĩa 1.

IV.1.2. Định nghĩa 2.

IV.1.3. Định nghĩa 3.

9

IV.1.4. Định nghĩa 4.

IV.1.5. Tính chất.

IV.2. Phép phân tích một phân thức hữu tỷ.

IV.2.1. Các bổ đề.

Bổ đề 1.

Bổ đề 2.

Bổ đề 3.

Bổ đề 4.

IV.2.2. Định nghĩa.

IV.2.3. Định lý.

IV.3. Các phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ.

Phương pháp 1: Phương pháp đồng nhất hệ số.

Phương pháp 2: Phương pháp chia theo lũy thừa tăng.

Phương pháp 3: Phương pháp hệ số bất định.

IV.4. Ứng dụng của phép phân tích một phân thức hữu tỷ.

10

CHƯƠNG 2

CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ

I. DẠNG 1. TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN.

I.1. Bài toán về tính chia hết của đa thức.

Bài toán I.1.1.

. Tìm tất cả các giá trị của để Cho

viết thành bình phương của một đa thức.

Bài toán I.1.2.

Tìm phần dư trong phép chia cho .

Bài toán I.1.3.

Tìm các số sao cho chia hết cho và

chia cho dư .

Bài toán I.1.4.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của , đa thức

luôn chia hết cho đa thức .

Bài toán I.1.5.

Tìm tất cả các giá trị của để đa thức chia hết cho đa

thức .

Bai toán I.1.6.

Cho đa thức , biết chia cho và lần lượt dư

. Tìm phép dư trong phép chia cho .

Bài toán I.1.7.

Chứng minh rằng của và là .

11

I.2. Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy

Bài toán I.2.1.

Cho và có bậc lẻ, nhận giá trị bằng hoặc tại giá trị

nguyên khác nhau. Chứng minh rằng bất khả quy trên .

Bài toán I.2.2.

Cho thỏa mãn và . Chứng

minh rằng bất khả quy trên .

Bài toán I.2.3.

Cho nguyên và là một số nguyên tố thỏa mãn . Chứng

minh rằng bất khả quy trong .

Bài toán I.2.4.

Cho thỏa mãn nguyên tố, . Chứng

minh rằng bất khả quy trong .

Bài toán I.2.5.

Cho nguyên dương, là số nguyên tố thỏa mãn . Chứng

minh rằng đa thức bất khả quy trên .

Bài toán I.2.6.

Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên

.

Bài toán I.2.7.

Cho đa thức .

12

Chứng minh rằng nếu thì

. Từ đó chỉ ra bất khả quy trên .

Bài toán I.2.8.

Cho đa thức trên có bậc . Nếu tồn tại ít nhất số nguyên,

phân biệt sao cho nguyên tố thì bất khả quy trên .

Bài toán I.2.9.

Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên .

Bài toán I.2.10.

Cho số nguyên tố . Tìm số các đa thức bất khả quy trên của đa

. thức có dạng

Bài toán I.2.11.

Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức bất

khả quy trên .

Bài toán I.2.12.

Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho . Chứng minh

rằng đa thức bất khả quy trên .

Bài toán I.2.13.

Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa

thức khả quy trên là chia hết cho 4.

Bài toán I.2.14.

Cho Chứng minh rằng bất khả quy trên .

Bài toán I.2.15.

13

Cho , chứng minh rằng bất khả quy trên .

I.3. Một số bài toán về đa thức Chebyshev.

Các bài toán về đa thức Chebyshev tương đối khó với đa số học sinh, với

mục đích giới thiệu cho các học sinh chuyên mới tiếp cận với đa thức nên tôi

chọn lọc một số bài toán thường gặp của đa thức Chebyshev.

Bài toán I.3.1.

. Tìm các số để với mọi thì . a) Cho

. Tìm các số để với mọi thì b) Cho

.

Bài toán I.3.2.

Tìm các số thực sao cho đạt giá trị nhỏ

nhất.

Bài toán I.3.3. (Ứng dụng đa thức Chebyshev giải phương trình bậc cao).

Giải các phương trình sau

a) .

b) .

Bài toán I.3.4.

Cho số thực thỏa mãn . Hãy tính giá trị của .

II. DẠNG 2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.

II.1. Tìm nghiệm của đa thức.

Bài toán II.1.1.

Tìm tất cả các nghiệm của đa thức sau với

.

14

Bài toán II.1.2.

Cho đa thức có bậc là và có

nghiệm dương. Hãy tìm tất cả các nghiệm của đa thức trên.

II.2. Tính chất của nghiệm của đa thức.

Bài toán II.2.1.

Cho đa thức Cho đa thức Giả sử

là nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng .

Bài toán II.2.2.

Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với tất cả các hệ số lẻ đều không

có nghiệm hữu tỷ.

Bài toán II.2.3.

Cho 2 đa thức , biết là số nguyên tố và

. Gọi là nghiệm hữu tỷ chung của . Chứng minh rằng là

số nguyên.

Bài toán II.2.4.

Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức là

nghiệm của đa thức .

Bài toán II.2.5.

và có nghiệm Cho đa thức

thực. Chứng minh rằng .

Bài toán II.2.6.

15

Cho đa thức . Chứng minh

rằng nếu có nghiệm thực thì .

Bài toán II.2.7.

Cho đa thức

.Chứng minh rằng đa thức không thể có và ta có

nghiệm thực.

Bài toán II.2.8.

Cho 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng

minh rằng tồn tại 3 số nguyên sao cho là 3 nghiệm của phương

trình

Bài toán II.2.9.

Cho . Chứng minh rằng nếu và đều lẻ thì không

có nghiệm nguyên.

Bài toán II.2.10.

Cho là đa thức nguyên và có nghiệm nguyên là ,

có nghiệm nguyên là , có nghiệm nguyên là . Chứng minh rằng

theo thứ tự là nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình

.

Bài toán II.2.11.

Cho . Chứng

minh rằng nghiệm của (nếu có) không thể lớn hơn .

16

Bài toán II.2.12.

Cho . Tìm tất cả các giá trị của để 3 nghiệm của

là thỏa mãn .

Bài toán II.2.13.

. Chứng minh rằng nếu có 1 nghiệm của Cho

bằng tích 2 nghiệm còn lại thì .

Bài toán II.2.14.

Cho . Chứng minh rằng nếu là nghiệm của

thì ta luôn có

Bài toán II.2.15.

Cho đa thức với hệ số nguyên là . Thỏa mãn tất cả các số

đều không chia hết cho thì không có

nghiệm nguyên.

Bài toán II.2.16.

Cho có ít nhất 2 nghiệm thực. Chứng minh rằng

cũng có ít nhất 2 nghiệm thực.

Bài toán II.2.17.

Cho . Chứng minh rằng nếu là nghiệm của thì

cũng nhận làm nghiệm.

Bài toán II.2.18.

17

Cho đa thức bậc 4 có 4 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa

cũng có 4 nghiệm dương phân thức

biệt

Bài toán II.2.19.

có nghiệm không âm. Chứng Cho đa thức

minh rằng .

Bài toán II.2.20.

Cho đa thức . Chứng minh rằng không thể có 3

nghiệm hữu tỷ phân biệt với mọi .

II.3. Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức.

Bài toán II.3.1.

Cho các đa thức . Chứng

minh rằng các đa thức đã cho có một nghiệm duy nhất và hãy tính tổng 2 nghiệm

của chúng.

Bài toán II.3.2.

Cho đa thức monic có nghiệm thực là .

Chứng minh rằng .

Bài toán II.3.3.

Cho đa thức có bậc là . Các số thỏa mãn đồng thời các điều

kiện sau

.

18

.

Chứng minh rằng tất cả các nghiệm thực của đa thức đều thuộc

khoảng .

Bài toán II.3.4.

Cho đa thức có 3 nghiệm là và phương trình

có nghiệm. Chứng minh rằng phương trình

có nghiệm thuộc khoảng .

Bài toán II.3.5.

Cho đa thức . Chứng minh rằng

luôn chia hết cho với mọi số tự nhiên .

III. DẠNG 3. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC.

III.1. Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức.

Bài toán III.1.1.

Tìm tất cả các đa thức nhận làm nghiệm. Chứng

minh rằng .

Bài toán III.1.2.

Xét tập hợp các đa thức khác hằng, thỏa mãn điều kiện

Hãy tìm trong tập hợp đó 1 đa thức có bậc bé nhất

nhưng có nghiệm lớn nhất.

Bài toán III.1.3.

19

Tìm tất cả các đa thức bậc 4 dạng sao cho

không có nghiệm thực nhưng có nghiệm thực.

Bài toán III.1.4.

Tìm tất cả các đa thức có bậc , có nghiệm thực và thỏa

mãn

Bài toán III.1.5.

Tìm tất cả các đa thức , là monic bậc 2, sao cho tồn tại đa thức

mà các hệ số của đa thức đều thuộc tập .

Bài giải

III.2. Dùng phương pháp hệ số bất định.

Bài toán III.2.1.

Cho đa thức . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất

1 đa thức bậc thảo mãn .

Bài toán III.2.2.

Cho 4 số nguyên tố khác nhau . Chứng minh rằng không tồn

tại đa thức bậc 3 có hệ số nguyên thỏa mãn

.

Bài toán III.2.3.

Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn phương trình

với mọi x thuộc .

Bài toán III.2.4.

20

Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn với mọi giá trị

thực của .

Bài toán III.2.5.

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

với mọi giá trị thực của .

Bài toán III.2.6.

Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên thỏa mãn với

mọi giá trị thực của .

Bài toán III.2.7.

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

với mọi giá trị thực của .

Bài toán III.2.8.

Cho Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất 1 đa thức

có hệ số thực bậc thỏa mãn với mọi

giá trị thực của .

III.3. Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm của nó.

Bài toán III.3.1.

Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

với mọi số nguyên .

Bài toán III.3.2.

21

Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn và

không chia hết cho 35.

Bài toán III.3.3.

Tìm tất cả các đa thức bậc thỏa mãn điều kiện

Bài toán III.3.4.

Tìm tất cả các đa thức . Thỏa mãn điều kiện

Bài toán III.3.5.

Tìm tất cả các đa thức sao cho với mọi

thỏa mãn thì .

Bài toán III.3.6.

Tìm tất cả các đa thức có dạng

có các nghiệm là Và .

Bài toán III.3.7.

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 đa thức có dạng

thỏa mãn điều kiện

Bài toán III.3.8.

Tìm tất cả các đa thức bậc thỏa mãn điều kiện sau

22

IV. DẠNG 4. PHÂN THỨC HỮU TỶ.

IV.1. Phân tích phân thức hữu tỷ.

Bài tập IV.1.1.

Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức đơn giản:

2) . 1) .

4) . 3) .

5) .

IV.2. Ứng dụng của phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân.

Bài tập IV.2.1.

1. Tính tích phân

2. Tính tích phân

3. Tính tích phân

4. Tính tích phân

5. Tính tích phân

23

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu được những kết quả sau:

- Trình bày tóm tắt lý thuyết chuyên đề đa thức và phân thức hữu tỷ.

- Cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp để học sinh thử sức với nhiều

cấp độ khác nhau.

Các bài toán trong luận văn chủ yếu được trích ra từ các tài liệu ôn thi học

sinh giỏi quốc gia, Quốc tế, từ các đề thi học sinh giỏi THPT quốc gia, Quốc tế

và khu vực.

Thực tế, các nội dung của luận văn này đã được dạy cho học sinh các lớp

chuyên Toán và có nhiều phần, bài toán làm tại liệu cho học sinh chuyên trong

những năm gần đây và thu được những kết quả khá tốt.

Hi vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh

chuyên Toán.

Tác giả

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Garrett Birkhoff-Saunders Maclane, Tổng quan về đại số hiện đại(Bản dịch

tiếng việt), NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979.

[2]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và Số học. NXB Giáo dục 1987.

[3]. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội 1995.

[4]. Jean-Marie Monier, Giáo trình toán, tập 5 Đại số 1,Bản tiếng việt, NXB

Giáo dục 1999.

[5]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ. NXB Giáo dục 2006.

[6]. Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc về Đa thức và áp dụng. NXB Giáo

dục 2008.

[7]. Lê Hoành Phò, Bài giảng cho học sinh chuyên toán các vấn đề về đa thức.

NXB Giáo dục 2008.