Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn

Chia sẻ: Hieu Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án vưới mục tiêu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo luận án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH CHUNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ KHÔNG TRƠN TRONG RN Chuyªn ngμnh: TOÁN HỌC M∙ sè: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC hμ néi – 2010
c«ng tr×nh ®−îc hoμn thμnh t¹i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Ph¶n biÖn 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biªn 3: LuËn ¸n tiÕn sÜ sÏ ®−îc b¶o vÖ tr−íc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp nhµ n−íc häp t¹i ViÖn Nghiªn cøu v¨n ho¸ vµo håi giê ngµy th¸ng n¨m 2010 Cã thÓ t×m ®äc luËn ¸n t¹i: - Đại học quốc gia Hà Nội - Th− viÖn Quèc gia
Më ®Çu Tõ gi÷a thÕ kû thø 19, ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ®· trë thµnh mét ph¬ng tiÖn nghiªn cøu chñ yÕu trong nhiÒu ngµnh to¸n häc kh¸c nhau, lµ chiÕc cÇu nèi gi÷a c¸c ngµnh to¸n øng dông vµ to¸n lý thuyÕt. VÊn ®Ò chñ yÕu xuyªn suèt trong nghiªn cøu lý thuyÕt vµ øng dông cña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ®ã lµ bµi to¸n tån t¹i nghiÖm. Cho ®Õn ®Çu thÕ kû 20, nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ®îc hiÓu theo mét c¸ch chung nhÊt lµ c¸c nghiÖm cæ ®iÓn, tøc lµ nghiÖm kh¶ vi ®Õn cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cã mÆt trong ph¬ng tr×nh. Tuy nhiªn, mét ®iÒu dÔ nhËn thÊy lµ ®Ó ph¶n ¸nh t¬ng ®èi chÝnh x¸c mét qu¸ tr×nh vËt lý hay c¬ häc th× viÖc chØ quan t©m ®Õn nghiÖm cæ ®iÓn cña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng th«i lµ cha ®ñ. V× vËy, ®Ó viÖc nghiªn cøu ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cã ý nghÜa h¬n víi ®èi tîng mµ nã ph¶n ¸nh th× viÖc më réng kh¸i niÖm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng lµ mét vÊn ®Ò cÇn thiÕt. Do ®ã kh¸i niÖm nghiÖm suy réng ra ®êi. Ngêi ta cã thÓ ®a ra nhiÒu ®Þnh nghÜa kh¸c nhau vÒ nghiÖm suy réng nhng ph¶i ®¶m b¶o mét nguyªn t¾c: võa chÆt chÏ vÒ mÆt to¸n häc võa cã ý nghÜa vÒ ph¬ng diÖn vËt lý. Trong bèi c¶nh ®ã, híng nghiªn cøu cña chóng t«i ®Æt ra lµ: sö dông ph¬ng ph¸p biÕn ph©n nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm suy réng (nghiÖm yÕu) cña c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh elliptic kh«ng tuyÕn tÝnh. So víi c¸c ph¬ng ph¸p thêng ®îc sö dông nh: ph¬ng ph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu, ph¬ng ph¸p nghiÖm trªn nghiÖm díi, ph¬ng ph¸p nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng vµ ph¬ng ph¸p bËc ¸nh x¹, ph¬ng ph¸p biÕn ph©n tá ra cã hiÖu lùc h¬n c¶. ý tëng cña ph¬ng ph¸p biÕn ph©n ¸p dông vµo ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng dùa trªn c¬ së lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n, mµ néidung cña nã lµ ®a bµi to¸n ®ang xÐt vÒ viÖc nghiªn cøu mét phiÕm hµm J kh¶ vi liªn tôc theo mét nghÜa nµo ®ã trong kh«ng gian Banach X ®îc x©y dùng thÝch hîp (gäi lµ phiÕm n¨ng lîng liªn kÕt) sao cho ®iÓm tíi h¹n cña phiÕm hµm J lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n ban ®Çu. Mét ph¬ng −1−
ph¸p th«ng thêng ®Ó t×m ®iÓm tíi h¹n cña mét phiÕm hµm lµ t×m ®iÓm cùc tiÓu ho¸ cña phiÕm hµm ®ã. Tuy nhiªn, viÖc t×m ®iÓm cùc tiÓu cña mét phiÕm hµm kh«ng hÒ ®¬n gi¶n. V¶ l¹i, líp c¸c phiÕm hµm cã thÓ cùc tiÓu ho¸ t¬ng ®èi h¹n chÕ. V× vËy, trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta quan t©m ®Õn c¸c ®iÓm yªn ngùa (kh«ng ph¶i cùc tiÓu) cña c¸c phiÕm hµm n¨ng lîng. C¬ së ®Ó nghiªn cøu ®iÓm yªn ngùa cña phiÕm hµm lµ c¸c bæ ®Ò biÕn d¹ng vµ ®iÒu kiÖn compact. Mét kÕt qu¶ quan träng kh¼ng ®Þnh sù tån t¹i ®iÓm tíi h¹n cña phiÕm hµm J trong kh«ng gian Banach X ®ã lµ "§Þnh lý qua nói" (Mountain pass theorem). §Þnh lý qua nói lÇn ®Çu tiªn ®îc ®a ra vµo n¨m 1950 bëi R. Courant cho c¸c phiÕm hµm x¸c ®Þnh trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. N¨m 1973, A. Ambrosetti vµ P. Rabinowitz ®· chøng minh ®Þnh lý qua nói cho phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trong mét kh«ng gian Banach. §Þnh lý 0.1 (xem [1]). Gi¶ sö (X, k.k) lµ mét kh«ng gian Banach, J : X → R lµ mét phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trªn X, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale, tøc lµ víi mäi d·y {un } ⊂ X tho¶ m·n |J(un )| 5 C , ∀n vµ DJ(un ) → 0 khi n → ∞, ®Òu cã thÓ trÝch ®îc mét d·y con héi tô trong X . H¬n n÷a, J(0) = 0 vµ phiÕm hµm J tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) Tån t¹i α, r > 0 sao cho J(v) = α víi mäi v ∈ X , ||v|| = r; (ii) Tån t¹i v0 ∈ X víi ||v0 || > r sao cho J(v0 ) < 0. §Æt c = inf max J(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 . t∈[0,1] Khi ®ã, tån t¹i u∈X sao cho c = J(u) = α > 0 vµ DJ(u) = 0. Lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n cïng víi ®Þnh lý qua nói ®· gãp phÇn quan träng trong viÖc nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cho mét líp kh¸ réng c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng kh«ng −2−
tuyÕn tÝnh. Nh÷ng c¶i tiÕn cña ®Þnh lý qua nói cïng víi ®iÒu kiÖn Palais- Smale ®· ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc lín trªn thÕ giíi quan t©m nghiªn cøu. N¨m 1989, D.M. §øc trong c«ng tr×nh [9] ®· thiÕt lËp l¹i bæ ®Ò biÕn d¹ng vµ chøng minh ®Þnh lý qua nói cho líp c¸c phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu trong kh«ng gian Banach (xem §Þnh nghÜa 0.1). KÕt qu¶ nµy ®Æc biÖt h÷u Ých khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n elliptic víi hÖ sè kú dÞ. §Þnh nghÜa 0.1 (xem [9]). Cho X lµ mét kh«ng gian Banach. Ta nãi phiÕm hµm J : X → R kh¶ vi liªn tôc yÕu trªn X nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) J liªn tôc trªn X; (ii) Víi mäi u ∈ X , tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh DJ(u) : X → R sao cho J(u + tv) − J(u) lim = DJ(u)(v), ∀v ∈ X; t→0 t (iii) Víi mçi v ∈ X , ¸nh x¹ u 7→ DJ(u)(v) liªn tôc X . Ký hiÖu Cw1 (X) lµ tËp c¸c phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu trªn X. DÔ nhËn thÊy C 1 (X) ⊂ Cw1 (X), trong ®ã C 1 (X) lµ tËp c¸c phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trªn X. Cho ®Õn tríc n¨m 2005, cha cã mét nghiªn cøu nµo liªn quan ®Õn viÖc ¸p dông ®Þnh lý qua nói ®èi víi c¸c phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu, mÆc dï ý tëng nµy më ra mét híng nghiªn cøu ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm yÕu cho mét líp réng lín c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh elliptic kh«ng tuyÕn tÝnh, mµ phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi nã kh«ng kh¶ vi FrÐchet. §èi tîng mµ chóng t«i ®Ò cËp ®Õn trong luËn ¸n lµ sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña c¸c ph¬ng tr×nh (vµ hÖ ph¬ng tr×nh) elliptic cã d¹ng: − div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1) trong ®ã Ω lµ mét tËp më trong RN . Chó ý r»ng, mét sè d¹ng thêng gÆp cña ph¬ng tr×nh (0.1) lµ c¸c ph¬ng tr×nh − div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.2) −3−
− div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.3) trong ®ã, h : Ω → R tho¶ m·n mét sè ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh. Mét bµi to¸n víi líp to¸n tö trªn ®îc nghiªn cøu réng r·i lµ to¸n tö Laplace −∆. To¸n tö − div(a(x, ∇u)) xuÊt hiÖn trong c¸c bµi to¸n khuÕch t¸n kh«ng tuyÕn tÝnh mµ cæ ®iÓn nhÊt lµ m« h×nh to¸n häc cña hiÖn tîng truyÒn nhiÖt trong vËt thÓ, hiÖn tîng truyÒn sãng trong kh«ng gian, m« h×nh to¸n häc cña dßng chÊt láng kh«ng Newton, ... Ph¬ng tr×nh d¹ng (0.1) víi f (x, u) lµ mét biÓu thøc phi tuyÕn ®èi víi u bao gåm nhiÒu m« h×nh to¸n häc trong c¬ häc lîng tö, c¬ häc trong m«i trêng liªn tôc, lý thuyÕt trêng,... Nh÷ng kÕt qu¶ ®¹t ®îc tõ nh÷ng nghiªn cøu ®ã võa cã ý nghÜa vÒ mÆt lý thuyÕt võa cã ý nghÜa vÒ mÆt øng dông (xem [8]). Míi ®©y, P. De N¸poli vµ M.C. Mariani [7] ®· nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bµi to¸n Dirichlet cho mét líp ph¬ng tr×nh elliptic tæng qu¸t d¹ng (0.1) trong miÒn bÞ chÆn Ω ⊂ RN cã biªn tr¬n, ë ®ã hµm a : Ω × RN → RN , a = a(x, ξ) ®îc gi¶ thiÕt lµ ®¹o hµm liªn tôc theo biÕn ξ ∂A(x,ξ) cña mét hµm kh¶ vi liªn tôc A : Ω × RN → R, tøc lµ a(x, ξ) = ∂ξ vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t¨ng d¹ng |a(x, ξ)| 5 C(1 + |ξ|p−1 ) (0.4) víi mäi x ∈ Ω, ξ ∈ RN , p ∈ (1, +∞). Hµm f : Ω × R → R ®îc gi¶ thiÕt lµ mét hµm CarathÐodory vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn kiÓu Ambrosetti-Rabinowitz [1], tøc lµ tån t¹i h»ng sè µ > p sao cho 0 < µF (x, z) 5 zf (x, z) (0.5) Rz víi mäi x ∈ Ω vµ z ∈ R\{0}, trong ®ã F (x, z) = 0 f (x, t)dt. Khi ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n (0.1) chÝnh lµ ®iÓm tíi h¹n (nÕu tån t¹i) cña phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi bµi to¸n ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: Z Z J(u) = A(x, ∇u)dx − F (x, u)dx, u ∈ W01,p (Ω). Ω Ω TiÕp tôc nghiªn cøu cña P. De N¸poli vµ M.C. Mariani, nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c ®· më réng kÕt qu¶ nµy b»ng c¸ch ®Æt ra c¸c gi¶ thiÕt kh¸c nhau cho −4−
vÕ ph¶i hoÆc xÐt Ω = RN (xem [13, 14]). N¨m 2005, D.M. §øc vµ N.T. Vò ®· nghiªn cøu mét trêng hîp kú dÞ cña ph¬ng tr×nh d¹ng (0.1), trong ®ã gi¶ thiÕt (0.4) ®îc thay bëi gi¶ thiÕt yÕu h¬n sau ®©y: |a(x, ξ)| 5 C(h0 (x) + h1 (x)|ξ|p−1 ) (0.6) p víi mäi x ∈ Ω, ξ ∈ RN , p ∈ (1, +∞), h0 ∈ L p−1 (Ω) vµ h1 ∈ L1loc (Ω), ®ång thêi h0 (x) = 0, h1 (x) = 1 víi mäi x ∈ Ω (xem [10, 22]). Râ rµng, víi sù xuÊt hiÖn gi¶ thiÕt h1 ∈ L1loc (Ω), phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi bµi to¸n Dirichlet (0.1) cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh trong toµn kh«ng gian Sobolev W01,p (Ω). Do ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n chØ cã thÓ tån t¹i trong mét kh«ng gian con H nµo ®ã cña kh«ng gian W01,p (Ω). V× lý do ®ã, bµi to¸n (0.1) trong trêng hîp nµy ®îc chóng t«i gäi lµ "bµi to¸n biªn kh«ng ®Òu" cña ph¬ng tr×nh lo¹i elliptic. Kh«ng gian con H nãi trªn lµ lo¹i kh«ng gian Sobolev cã träng ®îc x¸c ®Þnh bëi Z 1,p p H = u ∈ W0 (Ω) : h1 (x)|∇u| dx < ∞ Ω víi chuÈn Z p1 kukH = h1 (x)|∇u|p dx Ω vµ phiÕm hµm J : H → R kh¶ vi liªn tôc yÕu tøc lµ J ∈ Cw1 (H). Gi¶ thiÕt (0.5) ®¶m b¶o cho mäi d·y Palais-Smale cña phiÕm hµm J bÞ chÆn vµ do ®ã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale trong H. Nh vËy, nghiÖm yÕu cña bµi to¸n Dirichlet (0.1) sÏ tån t¹i nhê ®Þnh lý qua nói cho phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu trong H (xem [9]). Tõ c«ng tr×nh nghiªn cøu nµy, mét vÊn ®Ò n¶y sinh trong lý thuyÕt biÕn ph©n lµ: liÖu khi thay mét phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc bëi mét phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu, c¸c kÕt qu¶ biÕn ph©n cæ ®iÓn cßn ®óng hay kh«ng? Mét sè vÊn ®Ò liªn quan ®Õn c©u hái trªn cã thÓ t×m thÊy trong c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu cña H.Q. Toµn vµ N.Q. Anh (xem [16, 17, 18, 21]). §Æc biÖt, nguyªn lý cùc tiÓu d¹ng cæ ®iÓn trong [19] ®· ®îc chøng minh cho líp c¸c phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu. −5−
§Þnh lý 0.2 (xem [17]). Cho X lµ mét kh«ng gian Banach. Gi¶ sö J ∈ Cw1 (X) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) J bÞ chÆn díi, c = inf X J ; (ii) J tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale trªn X. Khi ®ã, tån t¹i u∈X sao cho J(u) = c vµ DJ(u) = 0. B»ng c¸ch ¸p dông nguyªn lý biÕn ph©n I. Ekeland [11], ®Þnh lý qua nói cïng nguyªn lý cùc tiÓu ®îc thiÕt lËp l¹i cho phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu trong kh«ng gian Banach, c¸c t¸c gi¶ Hoµng Quèc Toµn vµ Ng« Quèc Anh ®· nghiªn cøu bµi to¸n Dirichlet ®èi víi c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng (0.1), (0.2), (0.3) cã hÖ sè kh«ng tr¬n trong miÒn bÞ chÆn Ω ⊂ RN vµ nhËn ®îc mét sè kÕt qu¶ liªn quan ®Õn sù tån t¹i, kh«ng tån t¹i vµ tÝnh ®a nghiÖm. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i tiÕp tôc nghiªn cøu c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng (0.1), (0.2) vµ (0.3) víi c¸c vÊn ®Ò cô thÓ nh sau: 1. Nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña c¸c bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh d¹ng (0.1), (0.2) vµ (0.3) víi hÖ sè kh«ng tr¬n trong miÒn Ω⊂ RN kh«ng bÞ chÆn. 2. Nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña c¸c hÖ ph¬ng tr×nh elliptic víi hÖ sè kh«ng tr¬n vµ suy biÕn trong miÒn bÞ chÆn hoÆc RN . 3. Nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh lo¹i p-Laplacian. 4. Nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi thÕ vÞ kiÓu Hardy. Néi dung luËn ¸n ®· ®îc c«ng bè trong 7 bµi b¸o khoa häc ([1, 3, 5, 6, 7, 9, 10], "Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n") vµ ®îc tr×nh bµy thµnh 4 ch¬ng. T¸c gi¶ luËn ¸n xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn PGS. TS. Hoµng Quèc Toµn, khoa To¸n - C¬ - Tin häc, trêng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, −6−
§¹i häc Quèc gia Hµ Néi, ngêi ®· d×u d¾t t¸c gi¶ tõ nh÷ng ngµy ®Çu lµm khoa häc vµ trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn ¸n. Díi sù híng dÉn cña PGS. TS. Hoµng Quèc Toµn, sù gióp ®ì cña c¸c ThÇy C« vµ c¸c anh chÞ em trong seminar Bé m«n Gi¶i tÝch, t¸c gi¶ ®· häc ®îc c¸ch lµm viÖc trong mét m«i trêng khoa häc, chuyªn nghiÖp. T¸c gi¶ luËn ¸n ®Æc biÖt c¶m ¬n sù céng t¸c vµ chia sÏ nh÷ng th«ng tin v« cïng h÷u Ých cña ThS. Ng« Quèc Anh, mét ngêi b¹n nhiÖt t×nh vµ th©n thiÕt cña t¸c gi¶. T¸c gi¶ còng muèn göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn c¸c ThÇy gi¸o ®· tham gia ph¶n biÖn gãp phÇn hoµn thiÖn luËn ¸n. LuËn ¸n nµy sÏ kh«ng thÓ hoµn thµnh nÕu t¸c gi¶ kh«ng nhËn ®îc sù gióp ®ì tõ Ban Gi¸m hiÖu, Phßng Sau ®¹i häc, Khoa To¸n - C¬ - Tin häc, trêng §¹i häc KHTN - §HQG Hµ Néi, Ban Gi¸m hiÖu, Khoa To¸n - Tin, trêng §¹i häc Qu¶ng B×nh. Cuèi cïng, t¸c gi¶ xin ®îc chia sÏ nh÷ng thµnh c«ng cña m×nh víi gia ®×nh, ngêi th©n vµ b¹n bÌ. Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 05 n¨m 2010 NguyÔn Thµnh Chung −7−
Ch¬ng 1 Bµi to¸n biªn kh«ng ®Òu ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong miÒn kh«ng bÞ chÆn Trong ch¬ng nµy, chóng t«i nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm cña mét líp bµi to¸n biªn kh«ng ®Òu ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong c¸c miÒn kh«ng bÞ chÆn cã biªn tr¬n. KÕt qu¶ cña chóng t«i ®· ®îc c«ng bè trong c«ng tr×nh [1] trªn t¹p chÝ Nonlinear Analysis (xem "Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n"). 1.1. Bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong miÒn kh«ng bÞ chÆn Gi¶ sö Ω ⊂ RN (N = 3) lµ mét miÒn kh«ng bÞ chÆn cã biªn ∂Ω tr¬n. XÐt bµi to¸n Dirichlet sau ®©y:  − div(h(x)∇u) + q(x)u = f (x, u) Ω,    trong   u(x) = 0 trªn ∂Ω, (1.1)    u(x) → 0 |x| → +∞,   khi trong ®ã c¸c hµm h, q : Ω → R tho¶ m·n c¸c gi¶ thiÕt: (H) h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ 1, víi mäi x ∈ Ω; −8−
(Q) q ∈ C(Ω), tån t¹i q0 > 0 sao cho q(x) = q0 > 0 víi mäi x ∈ Ω, vµ q(x) → +∞ khi |x| → +∞. Tríc hÕt, chó ý r»ng nÕu h ≡ 1, bµi to¸n (1.1) ®· ®îc nghiªn cøu bëi nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c nhau ch¼ng h¹n [5, 6, 7, 14, 20]. Trong trêng hîp Ω lµ mét bÞ chÆn cã biªn tr¬n, hµm h ∈ L1loc (Ω), h(x) = 1 víi mäi x ∈ Ω, bµi to¸n ®· ®îc nghiªn cøu trong [10, 21]. Bëi sù xuÊt hiÖn cña hµm h, bµi to¸n elliptic ®ang xÐt lµ kh«ng ®Òu theo nghÜa phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi nã kh«ng x¸c ®Þnh trong toµn kh«ng gian Sobolev th«ng thêng H01 (Ω). Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ sö dông kü thuËt biÕn ph©n ®Ó nghiªn cøu bµi to¸n (1.1). Gi¶ thiÕt r»ng: (F1) f (x, z) ∈ C 1 (Ω × R, R), f (x, 0) = 0 víi mäi x ∈ Ω; N +2 (F2) Tån t¹i h»ng sè p ∈ (1, N −2 ) vµ mét hµm kh«ng ©m τ ∈ Lp0 (Ω) ∩ L∞ (Ω), trong ®ã p0 = 2N 2N −(p+1)(N −2) , sao cho |fz0 (x, z)| ≤ τ (x)|z|p−1 , ∀x ∈ Ω, ∀z ∈ R; (F3) Tån t¹i µ > 2 sao cho 0 < µF (x, z) ≤ z.f (x, z), ∀x ∈ Ω, ∀z ∈ R\{0}, Rz trong ®ã, F (x, z) = 0 f (x, s)ds. Víi gi¶ thiÕt h ∈ L1loc (Ω), phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi bµi to¸n (1.1) ®îc x¸c ®Þnh nh sau: Z Z 1 2 2 J(u) = [h(x)|∇u| + q(x)|u| ]dx − F (x, u)dx, 2 Ω Ω Ru trong ®ã F (x, u) = 0 f (x, u)dx. Nãi chung phiÕm hµm J kh«ng x¸c ®Þnh víi mäi u ∈ H01 (Ω), vµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n chØ cã thÓ tån t¹i trong kh«ng gian con H1 cña H01 (Ω) ®îc x¸c ®Þnh bëi Z H1 = u ∈ E1 : [h(x)|∇u|2 + q(x)|u|2 ]dx < ∞ . Ω Khi ®ã, H1 lµ kh«ng gian Hilbert vµ c¸c phÐp nhóng sau lµ liªn tôc: H1 ,→ 2N H01 (Ω) ,→ Li (Ω), i ∈ [2, 2? ], 2? = N −2 . H¬n n÷a, víi gi¶ thiÕt (Q) th× phÐp nhóng H1 ,→ L2 (Ω) compact (xem [6]) vµ phiÕm hµm J kh¶ vi liªn tôc yÕu trong H1 , tøc lµ J ∈ Cw1 (H1 ) (xem §Þnh nghÜa 0.1). −9−
1.2. Sù tån t¹i nghiÖm yÕu Trong môc nµy, chóng t«i nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.1) trong kh«ng gian H1 . Khã kh¨n chÝnh lµ sù xuÊt hiÖn cña hµm h ∈ L1loc (Ω) khiÕn cho phiÕm hµm J cã thÓ kh«ng kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trªn H1 . Do ®ã chóng ta kh«ng thÓ sö dông ®Þnh lý qua nói d¹ng cæ ®iÓn trong [1] mµ chØ cã thÓ dïng ®Þnh lý qua nói cho phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕu cña D.M. §øc trong [9]. Ta nãi u ∈ H1 lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.1) nÕu Z Z [h(x)∇u · ∇ϕ + q(x)uϕ]dx − f (x, u)ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω Ω KÕt qu¶ chÝnh cña chóng t«i trong ch¬ng nµy ®îc ph¸t biÓu trong ®Þnh lý díi ®©y: §Þnh lý 1.1. Gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®iÒu kiÖn (H), (Q) vµ (F1)−(F3) ®îc tho¶ m·n. Khi ®ã, bµi to¸n (1.1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm yÕu kh«ng tÇm thêng trong kh«ng gian H1 . − 10 −
Ch¬ng 2 Sù tån t¹i nghiÖm cña mét líp hÖ ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi hÖ sè kh«ng tr¬n vµ suy biÕn Ch¬ng nµy dµnh cho viÖc nghiªn cøu mét líp hÖ ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh suy biÕn vµ kú dÞ trong miÒn Ω ⊂ RN (cã thÓ bÞ chÆn hoÆc kh«ng bÞ chÆn). Néi dung chñ yÕu ®îc viÕt dùa trªn hai bµi b¸o [3, 5] (xem "Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n") vµ ®îc chia lµm hai phÇn. 2.1. Sù tån t¹i nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi hÖ sè kh«ng tr¬n vµ suy biÕn trong RN Trong môc nµy, chóng t«i xÐt hÖ ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh d¹ng:   − div(h1 (x)∇u) + a(x)u = f (x, u, v) trong RN , (2.1)  − div(h (x)∇v) + b(x)v = g(x, u, v) N 2 trong R . NÕu c¸c hµm sè hi ∈ L1loc (RN ) vµ hi (x) = 1 víi mäi x ∈ RN bµi to¸n ®· ®îc nghiªn cøu trong Ch¬ng 1. Khi ®ã, ®Ó chøng minh phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi bµi to¸n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale, chóng ta ph¶i dïng kÕt qu¶ vÒ tÝnh compact trong phÐp nhóng E2 ,→ L2 (RN , R2 ). Râ rµng gi¶ − 11 −
thiÕt hi (x) = 1 víi mäi x ∈ RN lµ rÊt quan träng. §iÒu nµy dÉn ®Õn phÐp nhóng H2 ,→ E2 liªn tôc. Khi gi¶ thiÕt nµy kh«ng cßn tho¶ m·n, vÊn ®Ò sÏ trë nªn khã kh¨n h¬n. Trong môc nµy, chóng t«i sÏ gi¶i quyÕt cho nh÷ng trêng hîp nh vËy. Gi¶ sö c¸c hµm a, b : RN → R vµ hi : RN → [0, ∞), i = 1, 2 tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y: (A − B) a, b ∈ L∞ N loc (R ), tån t¹i c¸c h»ng sè a0 , b0 > 0 sao cho a(x) = a0 , b(x) = b0 víi mäi x ∈ RN . (H) hi ∈ L1loc (RN ), i = 1, 2 vµ tån t¹i c¸c h»ng sè α ∈ (0, 2), γ0 > 0 sao cho hi (x) = γ0 |x|α víi mäi x ∈ RN . Víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ h1 , h2 nh vËy, hÖ (2.1) cã thÓ suy biÕn t¹i ®iÓm x = 0. H¬n n÷a, trong gi¶ thiÕt (A − B), c¸c hµm a, b kh«ng ®ßi hái ®iÒu kiÖn bøc, tøc lµ a(x) → ∞ vµ b(x) → ∞ khi |x| → ∞. Nh÷ng khã kh¨n n¶y sinh ®îc kh¾c phôc nhê kü thuËt cña M. Mih¨ilescu [14] cïng víi bÊt ®¼ng thøc Caffarelli - Kohn - Nirenberg d¹ng cæ ®iÓn trong [3]. Liªn quan ®Õn vÕ ph¶i, chóng t«i gi¶ thiÕt r»ng c¸c hµm F, f, g : RN × R2 → R thuéc líp C 1 , ∇F = (f, g) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (F1) f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0 víi mäi x ∈ RN ; (F2) Tån t¹i c¸c hµm sè kh«ng ©m τ1 ∈ Lr0 (RN ) ∩L∞ (RN ), τ2 ∈ Ls0 (RN ) ∩L∞ (RN ), r0 = 2N −(r+1)(N 2N −2+α) , s0 = 2N 2N −(s+1)(N −2+α) , trong ®ã r, s ∈ N +2−α 1, N −2+α , α ∈ (0, 2) sao cho |∇f (x, w)| + |∇g(x, w)| 5 τ1 (x)|w|r−1 + τ2 (x)|w|s−1 víi mäi x ∈ RN , w = (u, v) ∈ R2 ; (F3) Tån t¹i µ > 2 sao cho 0 < µF (x, w) 5 w · ∇F (x, w) víi mäi x ∈ RN vµ w ∈ R2 \{(0, 0)}. − 12 −
Gi¶ sö kh«ng gian H2 lµ bæ sung cña C0∞ (RN ) theo chuÈn Z kwk2H2 h1 (x)|∇u|2 + h2 (x)|∇v|2 + a(x)|u|2 + b(x)|v|2 dx. = RN ? Khi ®ã H2 lµ kh«ng gian Hilbert vµ phÐp nhóng H2 ,→ L2α (RN ) liªn tôc, 2N 2?α = N −2+α . Ta nãi w = (u, v) ∈ H2 lµ mét nghiÖm yÕu cña hÖ ph¬ng tr×nh (2.1) nÕu Z [h1 (x)∇u · ∇ϕ1 + h2 (x)∇v · ∇ϕ2 + a(x)uϕ1 + b(x)vϕ2 ] dx− Z RN − [f (x, u, v)ϕ1 + g(x, u, v)ϕ2 ] dx = 0, ∀ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (RN , R2 ). RN §Þnh lý 2.1. Gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®iÒu kiÖn (A − B), (H) vµ (F1)−(F3) ®îc tháa m·n. Khi ®ã, hÖ ph¬ng tr×nh (2.1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm yÕu kh«ng tÇm thêng trong H2 . 2.2. Sù kh«ng tån t¹i vµ tÝnh ®a nghiÖm cña mét líp hÖ ph¬ng tr×nh elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi hÖ sè kh«ng tr¬n vµ suy biÕn trong miÒn bÞ chÆn Môc nµy dµnh ®Ó nghiªn cøu sù kh«ng tån t¹i vµ tÝnh ®a nghiÖm cña bµi to¸n Dirichlet ®èi víi mét líp hÖ elliptic nöa tuyÕn tÝnh trong miÒn bÞ chÆn Ω ⊂ RN cã biªn tr¬n. XÐt bµi to¸n elliptic d¹ng  − div(h1 (x)∇u) = λFu (x, u, v) Ω    trong   − div(h2 (x)∇v) = λFv (x, u, v) trong Ω (2.2)    u=v =0 ∂Ω,   trªn trong ®ã ∇F = (Fu , Fv ) vµ λ lµ mét tham sè thùc, tån t¹i c¸c h»ng sè α, β ∈ (0, 2) sao cho (H1) lim inf x→z |x − z|−α h1 (x) > 0, ∀z ∈ Ω; (H2) lim inf x→z |x − z|−β h2 (x) > 0, ∀z ∈ Ω. − 13 −
§èi víi vÕ ph¶i, chóng t«i gi¶ thiÕt r»ng F (x, t, s) lµ mét hµm thuéc líp C 1 trªn Ω × [0, ∞) × [0, ∞) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y: (F1) Tån t¹i C1 , C2 > 0 sao cho |Ft (x, t, s)| 5 C1 tγ sδ+1 , |Fs (x, t, s)| 5 C2 tγ+1 sδ víi mäi (t, s) ∈ R2 , x ∈ Ω vµ c¸c sè γ, δ > 1 víi γ+1 δ+1 p + q = 1, γ+1 δ+1 2N 2N 2?α + 2?β < 1, vµ γ + 1 < p < 2?α = N −2+α , δ + 1 < q < 2?β = N −2+β , α, β ∈ (0, 2); (F2) Tån t¹i c¸c h»ng sè η , s0 , t0 > 0 sao cho F (x, t, s) 5 0 víi mäi (t, s) ∈ R2 víi tp + sq 5 η vµ F (x, t0 , s0 ) > 0 vµ ∀x ∈ Ω, trong ®ã p vµ q ®îc cho bëi (F1); (F3) Hµm F tho¶ m·n lim sup|(t,s)|→∞,t,s>0 tFγ+1 (x,t,s) sδ+1 5 0 ®Òu theo biÕn x ∈ Ω. Víi sù xuÊt hiÖn c¸c gi¶ thiÕt vÒ h1 vµ h2 , hÖ (2.2) cã thÓ suy biÕn t¹i nhiÒu ®iÓm trong Ω vµ nghiÖm cña nã sÏ tån t¹i trong mét kh«ng gian thÝch hîp H3 = H01 (Ω, h1 ) × H01 (Ω, h2 ), ë ®ã H01 (Ω, hi ), i = 1, 2 lµ bæ sung cña C0∞ (Ω) R 21 2 ∞ theo c¸c chuÈn t¬ng øng: kukhi = Ω hi (x)|∇u| dx , u ∈ C0 (Ω), i = 1, 2 vµ chuÈn cña H3 ®îc x¸c ®Þnh bëi kwkH3 = kukh1 +kvkh2 , w = (u, v) ∈ H3 . H¬n n÷a, tõ nh÷ng kÕt qu¶ cña P. Caldiroli vµ R. Musina [4], ta cã phÐp nhóng H3 ,→ Li (Ω) × Lj (Ω) liªn tôc víi i ∈ [1, 2?α ], j ∈ [1, 2?β ] vµ compact víi i ∈ [2, 2?α ), j ∈ [1, 2?β ). Ta nãi w = (u, v) ∈ H3 lµ mét nghiÖm yÕu cña hÖ (2.2) nÕu Z (h1 (x)∇u · ∇ϕ1 + h2 (x)∇v · ∇ϕ2 )dx ΩZ − λ [Fu (x, u, v)ϕ1 + Fv (x, u, v)ϕ2 ]dx = 0, ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (Ω, R2 ). Ω §Þnh lý 2.2. Víi c¸c gi¶ thiÕt (H1)-(H2) vµ (F1), tån t¹i h»ng sè λ > 0 sao cho víi mäi λ < λ, hÖ (2.2) chØ cã nghiÖm tÇm thêng. §Þnh lý 2.3. Víi c¸c gi¶ thiÕt (H1)-(H2) vµ (F1)-(F3), tån t¹i h»ng sè λ > 0 sao cho víi mäi λ = λ, hÖ (2.2) cã Ýt nhÊt hai nghiÖm yÕu ph©n biÖt, kh«ng ©m vµ kh«ng tÇm thêng. − 14 −
Ch¬ng 3 Bµi to¸n biªn elliptic tùa tuyÕn tÝnh lo¹i p-Laplacian trong miÒn bÞ chÆn Trong ch¬ng nµy, chóng t«i nghiªn cøu c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh tæng qu¸t lo¹i p-Laplacian trong c¸c miÒn bÞ chÆn cã biªn tr¬n. Néi dung ch¬ng 3 ®îc viÕt dùa trªn bµi b¸o [6, 7] (xem "Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n"), vµ ®îc chia lµm hai phÇn: 3.1. Bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh lo¹i p-Laplacian trong miÒn bÞ chÆn Trong môc nµy, chóng t«i xÐt bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh elliptic tùa tuyÕn tÝnh tæng qu¸t lo¹i p-Laplacian:   − div(a(x, ∇u)) = λf (x, u) trong Ω, (3.1)  u = 0 trªn ∂Ω, trong ®ã Ω ⊂ RN (N = 3) lµ mét miÒn bÞ chÆn cã biªn tr¬n. XuÊt ph¸t tõ nh÷ng ý tëng trong c¸c c«ng tr×nh cña M. Mih¨ilescu vµ V. R¨dulescu [15], môc ®Ých cña chóng t«i trong phÇn nµy lµ nghiªn cøu bµi to¸n (3.1) víi tham sè λ vµ vÕ ph¶i f ®æi dÊu. §©y lµ mét sù më réng tù nhiªn tõ c¸c kÕt qu¶ − 15 −
trong [10, 21], ë ®ã c¸c t¸c gi¶ ®· ®ßi hái vÕ ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn kiÓu Ambrosetti-Rabinowitz (0.5). Gi¶ sö hµm a : Ω × RN → RN , a = a(x, ξ), lµ ®¹o hµm liªn tôc theo biÕn ξ cña hµm kh¶ vi liªn tôc A : Ω × RN → R, A = A(x, ξ), tøc lµ, ∂A(x,ξ) a(x, ξ) = ∂ξ vµ A(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω, ®ång thêi a vµ A tho¶ m·n c¸c gi¶ thiÕt sau ®©y: (A1) |a(x, ξ)| 5 C(h0 (x) + h1 (x)|ξ|p−1 ) víi mäi ξ ∈ RN , x ∈ Ω, trong ®ã p h0 ∈ L p−1 (Ω), 1 < p < N , h1 ∈ L1loc (Ω), h0 (x) = 0 vµ h1 (x) = 1 víi mäi x ∈ Ω; (A2) BÊt ®¼ng thøc 0 5 (a(x, ξ) − a(x, ψ)) · (ξ − ψ) tho¶ m·n víi mäi ξ, ψ ∈ RN , x ∈ Ω. H¬n n÷a, ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ξ = ψ ; (A3) Tån t¹i h»ng sè k0 > 0 sao cho ξ+ψ 1 1 A(x, ) 5 A(x, ξ) + A(x, ψ) − k0 h1 (x)|ξ − ψ|p 2 2 2 N víi mäi ξ, ψ ∈ R , vµ x ∈ Ω, tøc lµ, A lµ p-låi ®Òu theo biÕn thø hai; (A4) Tån t¹i h»ng sè k1 > 0 sao cho k1 h1 (x)|ξ|p 5 a(x, ξ) · ξ 5 pA(x, ξ) víi mäi ξ ∈ R N , x ∈ Ω. §èi víi vÕ ph¶i, chóng t«i gi¶ thiÕt r»ng f : Ω × [0, +∞) → R lµ mét hµm CarathÐodory tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (F1) f (x, 0) = 0, |f (x, t)| 5 Ctp−1 víi mäi t ∈ [0 + ∞), x ∈ Ω, C > 0; (F2) Tån t¹i hai h»ng sè t0 , t1 > 0 sao cho F (x, t) 5 0 víi nh÷ng gi¸ trÞ 0 5 t 5 t0 vµ F (x, t1 ) > 0, víi mäi x ∈ Ω; F (x,t) (F3) H¬n n÷a, lim supt→∞ tp 5 0 ®Òu theo biÕn x ∈ Ω, trong ®ã F (x, t) = Rt 0 f (x, s)ds. Khi ®ã, phiÕm hµm n¨ng lîng liªn kÕt víi bµi to¸n (3.1) ®îc cho bëi c«ng thøc Z Z J(u) = A(x, ∇u)dx − λ F (x, u)dx, Ω Ω − 16 −
Ru trong ®ã F (x, u) = 0 f (x, t)dt, hoµn toµn x¸c ®Þnh vµ kh¶ vi liªn tôc yÕu trong kh«ng gian Banach Z H4 = u ∈ W01,p (Ω) : h1 (x)|∇u|p dx < ∞ Ω R p p1 víi chuÈn kukH4 = Ω h1 (x)|∇u| dx . Ta nãi u ∈ H4 lµ mét nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (3.1) nÕu Z Z a(x, ∇u) · ∇ϕdx − λ f (x, u)ϕdx = 0, ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω Ω §Þnh lý 3.1. Víi c¸c gi¶ thiÕt (A1)-(A4) vµ (F1), tån t¹i h»ng sè λ > 0 sao cho víi mäi λ < λ, bµi to¸n (3.1) chØ cã nghiÖm tÇm thêng. §Þnh lý 3.2. Víi c¸c gi¶ thiÕt (A1)-(A4) vµ (F1)-(F3), tån t¹i h»ng sè λ >0 sao cho víi mäi λ = λ, bµi to¸n (3.1) cã Ýt nhÊt hai nghiÖm yÕu ph©n biÖt, kh«ng ©m vµ kh«ng tÇm thêng. 3.2. Bµi to¸n elliptic tùa tuyÕn tÝnh lo¹i p-Laplacian víi ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn Néi dung chÝnh cña môc nµy lµ nghiªn cøu tÝnh ®a nghiÖm cho mét líp c¸c bµi to¸n elliptic tùa tuyÕn tÝnh lo¹i p-Laplacian d¹ng:   −∆p u + |u|p−2 u = λf (u) trong Ω, (3.2) ∂u  |∇u|p−2 ∂n = µg(u) trªn ∂Ω, trong ®ã Ω ⊂ RN (N = 3) lµ mét miÒn bÞ chÆn víi biªn ∂Ω tr¬n, n lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi ®èi víi biªn ∂Ω. Chóng t«i ®Æt ra c¸c gi¶ thiÕt nh sau: (H1) C¸c hµm sè f vµ g : R → R liªn tôc, tån t¹i hai h»ng sè M1 , M2 > 0 sao cho |f (t)| 5 M1 (1 + |t|p−1 ), |g(t)| 5 M2 |t|p−1 , ∀t ∈ R; − 17 −
(H2) Hµm f tho¶ m·n f (t) lim= 0; t→0 |t|p−1 Rt (H3) Tån t¹i h»ng sè t0 ∈ R sao cho F (t0 ) = 0 0 f (t)dt > 0 hoÆc G(t0 ) = R t0 0 g(t)dt > 0. §Ó ý r»ng víi c¸c gi¶ thiÕt (H1), ®iÒu kiÖn kiÓu Ambrosetti-Rabinowitz (0.5) kh«ng tho¶ m·n. V× vËy, ®Ó chøng minh ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n (3.2), chóng t«i ¸p dông nguyªn lý biÕn ph©n ba ®iÓm tíi h¹n cña G. Bonanno trong [2]. Ta nãi u ∈ W 1,p (Ω) lµ mét nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (3.2) nÕu Z Z Z (|∇u|p−2 ∇u · ∇ϕ + |u|p−2 uϕ)dx − λ f (u)ϕdx − µ g(u)ϕdσ = 0 Ω Ω ∂Ω víi mäi ϕ ∈ W 1,p (Ω). §Þnh lý 3.3. Gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®iÒu kiÖn (H1)-(H3) ®îc tho¶ m·n. Khi ®ã, tån t¹i µ > 0 sao cho víi mäi µ ∈ [0, µ), cã mét kho¶ng më Kµ vµ h»ng sè δµ > 0, ®Ó víi mäi λ ∈ Kµ , bµi to¸n (3.2) cã Ýt nhÊt hai nghiÖm yÕu kh«ng tÇm thêng trong kh«ng gian W 1,p (Ω) víi chuÈn nhá h¬n δµ . − 18 −