Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng

Chia sẻ: Vo Danh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

919
lượt xem 174
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo - Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 1. NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa: Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K, nếu "x Î K F ' ( x) = f ( x) ò f ( x)dx = F ( x) + C , "C Î ¡ Khi đó ta viết: 1.2 Tính chất của ng uyên hàm: ò f ( x)dx = f ( x) + C ' 1. ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k là hằng số khác 0) 2. ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx 3. 1.3 Bảng nguyên hàm của một số hàm sơ cấp và hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm sơ cấp (với u = u ( x) ) ò 0dx = C ò 0du = C ò dx = x + C ò du = u + C xa +1 u a +1 ò x dx = ò u dx = + C (a ¹ 0) + C (a ¹ 0) a a a +1 a +1 1 1 ò x dx = ln x + C ò u du = ln u + C ò e dx = e ò e du = e +C +C x x u u ax au ò a dx = ò a du = + C ( a ¹ 1, a > 0) + C ( a ¹ 1, a > 0) x u ln a ln a ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C 1 1 ò cos ò cos dx = tan x + C du = tan u + C 2 2 x u 1 1 ò sin ò sin dx = - cot x + C du = - cot u + C 2 2 x u 1 1 1 1 ò ax + bdx = a ln ax + b + C ò au + bdu = a ln au + b 1 òx dx = arctan x + C +1 2 ò f ( x)dx = F ( x) + C Þ ò f (ax + b)dx = F (ax + b) + C 1 ò dx = arcsin x + C 1 - x2 1 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 1.4 P hương pháp tín h nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số ò f (u )du = F (u) + C và u = u ( x) là hàm có đạo hàm liên tục thì Nếu ò f (u ( x))u ( x)dx = F (u ( x)) + C ' Hệ quả: nếu u = ax + b , ( a ¹ 0) thì ta có 1 f (ax + b) dx = F ( ax + b) + C a b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u = u ( x) và v = v( x) có đ ạo hàm liên tục trên K thì ò u ( x)v ( x)dx = u( x)v( x) + ò v( x)u ( x)dx ' ' Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn: ò udv = uv + ò vdu Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phầ n thường được áp d ụng cho những nguyên hàm có dạ ng sau: ò P( x) ln xdx; ò P( x)e dx; ò P( x) sin axdx; ò P ( x) cos axdx; ò eax cos bxdx; ò eax sin bxdx ax Trong đó P( x) là mộ t đa thức và a, b là nh ững hằng số khác 0. b) Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp P( x) HÀM HỮU TỈ : ò dx trong đó P( x), Q ( x) là những đ a thức theo biến x Q( x ) P( x) T ( x) = R( x) + Nếu bậc của P( x) ³ Q( x) thì phân tích rồ i tìm cách tính. Q( x ) Q( x ) Nếu bậc của P( x) < Q( x) : Ak Ak -1 P( x) A1 = + + .. + Nếu Q( x) = ( x - a ) k ( k Î N , k > 1) thì ( Ak là hằng số) k -1 ( x - a) ( x - a) ( x - a ) ( x - a) k k a x + bk a x + b1 P( x) = 2k + .. + 2 1 ( a k , bk là hằng) Nếu Q( x) = ( x 2 + px + q ) k (k Î N , k ³ 1) Q( x) ( x + px + q ) x + px + q k x ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta có thể đặt t = tan Khi đó ta có: 2 1- t 2 2t 2 sin x = , cos x = dx = , dt 1+ t 1+ t 1+ t2 2 2 Bài Áp Dụng 1. Tìm ng uyên hàm của các hàm số sa u: 2 x b) f ( x ) = a) f ( x) = ( x + 3)5 c) f ( x) = ( x - 3) 2 1 - x2 1 - cos 2 x 2x + 1 1 d) f ( x ) = e) f ( x) = f) f ( x) = 2 x + x +1 cos 2 x 2x +1 2 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng x 1 1 g) f ( x) = 3 x 2 + i) f ( x ) = - x2 - h) f ( x ) = 2 x 3 - 5 x + 7 2 2 x 3 1 k) f ( x) = 10 2 x j) f ( x ) = x 3 2 . Tìm x x+ x 1 + cos 4 x a) ò ( x + 3 x )dx c) ò 4sin 2 xdx b) ò d) ò dx dx x2 2 3. Tính các nguyên hà m sau bằ ng phương pháp đổi biến số : 1 1 a) ò x 2 3 1 + x 3 dx b) ò xe - x dx c) ò 2 sin dx 2 x x 2 x dx (ln x) d) ò g) ò e) ò dx dx (1 + x ) 22 (1 - x) x x sin x dx i) ò cos x sin 3 xdx k) ò x - x h) ò dx e -e 3 2 cos x 9x2 dx m) ò n) ò x 4 1 - x 2 dx( hd : u = 1 - x 2 ) l) ò ( hd : u = 5 x + 4) dx ( HD : u = 1 - x3 ) 5x - 4 1 - x3 4. Áp dụng phương phá p tính tích phân từng phần hã y tính a) ò (1 - 2 x)e x dx b) ò xe - x dx c) ò x ln(1 - x) dx d) ò x sin 2 xdx g) ò x ln 2 xdx e) ò ln( x + 1 + x 2 ) dx x i) ò x 2 cos xdx f) ò xe x dx h) ò x sin dx 2 5. Tính các nguyên hà m sau: a) ò x(3 - x5 ) dx b) ò (2 x - 3x ) 2 dx c) ò x 2 - 5 xdx x +1 dx ln(sin x ) d) ò e) ò f) ò dx dx dx ( x - 1)( x + 1) ( x - 2)( x + 3) cos 2 x dx h) ò cos(3x + 4)dx g) ò 3 x 7 - 3 x 2 dx i) ò cos (3 x + 2) 2 x3 x x 1 1 1 k) ò x 2 ( j) ò sin 5 l) ò - 1)5 dx cos dx sin cos dx 2 3 3 18 x x x m) ò x e dx n) ò e o) ò x cos 2 xdx 3 x -9 3x 2 dx p) ò x ln xdx q) ò sin 4 x cos xdx r) ò x cos( x 2 )dx 6. Bằng cách biến đổi các hàm lượng giác hãy tính: 1 a) ò sin 4 x c) ò sin 3 x cos 4 xdx b) ò dx sin 3 x 1 + sin x dx d) ò sin 4 x cos 4 xdx e) ò g) ò dx 1 + cos x cos x sin 2 x 3 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 2. TÍCH PHÂN 2.1 Định nghĩa Hàm số f ( x) liên tục trên [a; b] . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a; b] . Hiệu số b ò f ( x)dx F (b) - F (a ) được gọ i là tích phân từ a đến b củ a hàm số f ( x) . Kí hiệu là a b b ò f ( x)dx = F ( x) = F (b) - F ( a ) Tóm lại ta có: a a Chú ý: b a Nếu a = b Þ ò f ( x) dx = ò f ( x) dx = 0 a a b a Nếu a > b Þ ò f ( x)dx = - ò f ( x)dx a b Tích phân không phụ thuộc vào ch ữ dùng làm biến dưới dấu tích phân, có nghĩa là: a a a ò f ( x)dx = ò f (t )dt = ò f (u ) du = ... = F (b) - F (a ) a a a 2.2 Tính chất của tích phân b b ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx , (k = const ) 1. a a b b b ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx 2. a a a b c b ,a < c
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng b b b ò u ( x)v ( x)dx = [u( x)v( x)]| - ò v( x)u ( x)dx ' ' a a a b b b ò udv = uv| - ò vdu Hay dễ nh ớ hơn: a a a Bài tập 7. Tính các tích phân sa u: p 1 4 2 11 c) ò (2 cos x - sin 2 x ) dx a) ò ( y 3 + 3 y 2 - 2)dy b) ò (t + - 2 ) dt tt 0 0 1 p 3p 1 3 3 2 e) ò cos 3 xdx + ò d) ò (3s - 2 s ) ds g) ò x 2 - x - 2 dx cos 3 xdx p 0 0 0 3 8. Tính các tích phân sa u bằng phương phá p đổi biến số: 2 ln 2 9 a) ò x(1 - x)5 dx ò c) ò x 3 1 - xdx e x - 1dx b) 1 0 1 p 1 2 2x +1 1+ x 2 1 x sin x d) ò e) ò f) ò dx ( HD : t = ) dx dx 1 + cos 2 x 4 x x x + x +1 2 -1 1 0 p 1 1 2 tan x g) ò x + 1dx h) ò i) ò t 3 (1 + t 4 )3 dt dx cos 2 x 0 0 0 p 3 1 6 4x 5x k) ò j) ò l) ò (1 - cos 3 x)sin 3xdx dx dx ( x + 4) 2 2 x2 + 1 0 0 0 9. Áp dụng phương phá p tích phân từ ng phầ n tính: p ln 2 1 2 a) ò x cos 2 xdx ò c) ò ln(2 x + 1) dx xe-2 x dx b) 0 0 0 p 2 3 1 x+ 1 2 e) ò (1 + x - )e x dx d) ò [ln( x - 1) - ln( x + 1)]dx f) ò x cos x sin 2 xdx x 1 2 0 2 p 2 1 g) ò x 5 ln xdx h) ò ( x + 1)e x dx i) ò e x cos xdx 1 0 0 5 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN 3.1 Diện tích hình phẳ ng Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường b thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: S = f ( x) dx ò a y = f ( x) c1 x=b x=a Chú ý: để tính được diện tích trên, ta phải khử dấu giá trị tuyệt đố i của hàm dưới dấu tích phân. Cụ c1 b ò ò f ( x)dx thể, như h ình trên ta có: S = f ( x) dx + a c1 Hình phẳng giới hạn bởi đồ th ị hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và giới hạn bởi b S = ò f1(x)- f2(x) dx hai đ ường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: a f1 ( x) f2 ( x) c1 c2 c3 x=a x=b Chú ý: Ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Cụ thể, đầu tiên ta giải phương trình f1 ( x) - f 2 ( x) = 0 . Giả sử ta tìm được các nghiệm của nó là: c1 , c2 , c3 và thỏ a a < c1 < c2 < c3 < b ( loại những nghiệm không thỏa điều kiện này). Khi đó: b c1 c2 c3 cb S = ò f1(x) - f2(x) dx = ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2 (x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx a a c1 c2 c3 6 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 3.2 Thể tích vật thể Một vật th ể v được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tạ i hai điểm có hoành độ x = a, x = b , (a £ b ) . S ( x) là diện tích thiết diện của hình V. Khi đó ta có: b V = ò S ( x)dx a 3.3 Thể tích khối tròn xoay Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: b Vx = p ò [ f ( x)]2 dx a Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau (tức là quay xung quanh Oy) ta có: d Vy = p ò [ g ( y)]2 dx c Bài tập 10 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi cá c đường sau: b) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1 a) y = 2 x - x 2 , x + y = 2 c) y = x3 - 12 x, y = x 2 1 1 d) y = ,y= e) y = x3 - 1 và tiếp tuyến với y = x3 - 1 tại điểm (-1;-2) 1+ x 2 2 f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ th ị hàm số y = sin x + 1 , trục hoành và hai đ ường thẳng 7p x=0 và x = . 6 g) Đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = p h) Đồ thị hàm số y = x và y=3 x i) Đồ thị hàm số y = 2 x 2 và y = x 4 - 2 x2 trong miền x ³ 0 j) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4, y = - x 2 - 2 x và hai đường thẳng x = 3, x = -2 k) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4 và y = - x 2 - 2 x l) Đồ thị hàm số y = x3 - 4 x , trục hoành, đường th ẳng x=-2 và đường thẳng x=4 11 . Tính thể tích của vậ t thể: a) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1 . Mỗ i thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. b) Có đáy là một hình tròn giới hạn b ởi x 2 + y 2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. 7 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 12 . Tính thể tích khối tròn xo ay khi qua y hình phẳng xác định bởi: a) y = 2 - x 2 , y = 1 ,quanh trục Ox b) y = 2 x - x 2 , y = x ,quanh trục Ox 1 c) y = (2 x + 1) 3 , x = 0, y = 3 , quanh trục Oy . d) y = ln x, y = 0, x = e quanh trục Oy e) y = x 2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x 2 + 1 tại đ iểm (1;2), quanh trục Ox Bài Tập Tổng Hợp 13 . Tính các nguyên hàm sau: e x dx xdx a) ò (2x - 3) x -3dx(HD : u = x - 3) b) ò , (hd : u = x + 1) c) ò ( hd : u = e2 x + 1) 2 -x e +e 3 x (1 + x 2 ) 2 dx x e) ò x sin xdx(hd : t = x ) d) ò g) ò x ln dx sin x - sin a 1+ x 14 . Tích các tích phân sau: 1 2 2 a) ò ( y - 1) 2 ydy( hd : t = y ) b) ò ( z 2 + 1)( z - 1) 3 dz (hd : u = 3 z - 1 0 1 p p 1 3 1 2 c) ò t (t + 1) dt ,(hd : u = t ) d) ò (cos5 j - sin 5 j )dj e) ò cos3 a cos 3a da 2 2 0 0 0 p 2 3 2 f) ò x 2 sin 2 xdx g) ò x(2 x 2 + 1) dx h) ò ( x - 1)e x 2 -2 x dx 0 1 2 15 . Tính diện tích các hình phẳng giới hạ n bởi các đường sau: ln x 1 a) y = x - 1 + , y = x - 1 và x = e b) y = x 3 - x 2 , y = ( x - 1) c) y = 1 - 1 - x 2 , y = x 2 x 9 d) Đồ th ị hàm số y = 4 - x 2 , y = - x + 2 e) Các đường cong có phương trình x = 4 - 4 y 2 , y = 1 - y 4 16 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi: a) Parabol y = x 2 - 2 x + 2 tiếp tuyến của nó tại điểm M(3;5) và trục tung. b) Parabol y = - x 2 + 4 x - 3 và tiếp tuyến củ a nó tại các đ iểm A(0;3); 17 . Tính thể tích các khối trò n xoay tạ o thà nh khi qua nh hình phẳ ng xá c định bởi: 2 2 a) y = x 3 , x = 0 và tiếp tuyến với đường y = x 3 tại điểm có hoành độ x=1, quanh Oy. 1 b) y = - 1, y = 0, y = 2 x quanh Ox x c) y = 2 x - x 2 , y = 0, x = 3 quanh trục Ox; quanh trục Oy. 8 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng d) Tính thể tích của vật thể n ằm giữa hai mặt ph ẳng x=-1 và x=1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trụ c Ox tại điểm có hoành độ x ( -1 £ x £ 1 ) là mộ t hình vuông cạnh 2 1 - x2 e) Thể tích củ a vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x = p , biết rằng thiết diện của vật thể b ị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ p ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x f) Cho hình phẳng A giới h ạn bởi các đường y=0, x=4 và y = x - 1 . Tính thể tích của khố i tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. 2 g) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = , y = 1, y = 4 . Tính th ể tích của khối tròn xoay khi y quay hình B quanh trục tung. h) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 5 y 2 , x = 0, y = -1, y = 1 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Bài Tập Nâng Cao Tính các tích phân sau: p p p æ 1 + sin x ö x 2 2 2 sin x sin xdx 1) I = ò 2) I = ò ç 3) I = ò dx ÷ e dx (sin x + cos x) 3 1 + cos x ø 0 (sin x + 3.cos x ) 0è 3 0 p é1 ù 1 p 1 ( x - x3 ) 3 2 æ ö æx öú x ex 5) I = ò ê 2 + x ç + 2 tan x ÷ dx 6) I = ò 4) I = ò ç 2 cos 2 + x cos x ÷esin x dx dx ê øú 2 x4 è cos x 2 3p x 0è ø 1 ê ú 4ë û 3 p 2 1 2 sin 2 xdx dx 7) I = ò 8) I = ò 9) I = ò -3 x2 + 6 x + 1dx 1 + cos 4 x x 1 + x3 1 0 0 p p 1 x3 cos3 x 3 2 tan x 11) I = ò 12) I = ò 10) I = ò dx dx dx (1 + x 2 )3 cos 4 x - 3cos 2 x + 3 cos x. 1 + cos 2 x p 0 0 4 p p cos 2 x sin 2 x 2 13) Cho biết I = ò dx và J = ò dx 2 cos x + 3sin x 2 cos x + 3sin x 0 0 a) Hãy tính 9I-4J và I+J b ) Từ đó suy ra kết quả I, J 9 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN THIẾT 1. Công thức lượng giác cơ bản nên nh ớ sin 2 a + cos 2 a = 1 sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a )(1 - sin a cos a ) p 1 sin3 a - cos 3 a = (sin a - cos a )(1 + sin a cos a ) , a ¹ + kp , k Î ¢ 1 + tan 2 a = cos a2 2 sin 4 a + cos 4 a = 1 - 2sin 2 a cos 2 a 1 , a ¹ kp , k Î ¢ 1 + cot 2 a = sin 4 a - cos 4 a = sin 2 a - cos 2 a = - cos 2a sin 2 a sin 6 a + cos6 a = 1 - 3sin 2 a cos 2 a p tan a .cot a = 1, a ¹ k , k Î ¢ sin 6 a - cos6 a = - cos 2a (1 - sin 2 a cos 2 a ) 2 2. Giá trị lượ ng giác c ủa cung có liên q uan đặc biệt Cung bù nhau: a và p - a Cung hơn kém p : a và p - a Cung đố i nhau: a và -a cos( -a ) = cos a sin(p - a ) = sin a sin(a + p ) = - sin a sin(-a ) = - sin a cos(p - a ) = - cos a cos(a + p ) = - cos a tan( -a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a tan(a + p ) = tan a cot(-a ) = - cot a cot(p - a ) = - cot a cot(a + p ) = cot a p p p -a : a và a + Cung phụ nhau: a và Cung hơn kém 2 2 2 æp pö ö æ sin ç - a ÷ = cos a sin ç a + ÷ = cos a è2 2ø ø è æp pö ö æ cos ç - a ÷ = sin a cos ç a + ÷ = - sin a è2 2ø ø è æp pö ö æ tan ç - a ÷ = cot a tan ç a + ÷ = - cot a è2 2ø ø è æp pö ö æ cot ç - a ÷ = tan a cot ç a + ÷ = - tan a 2 2ø è ø è 3. Công thức lượng giác Công thức cộ ng Công thức nhân đôi, nhân ba cos( a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin 2a = 2sin a cos a cos( a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b 2 tan a tan 2a = sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 1 - tan 2 a tan a - tan b sin 3a = 3sin a - 4sin 3 a tan( a - b) = 1 + tan a tan b cos 3a = 4cos3 a - 3cos a tan a + tan b tan( a + b) = 3 tan a - tan 3 a tan 3a = 1 - tan a tan b 1 - 3tan 2 a 10 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng Công thức hạ bậc Công thức biến tích thành tổng 1 [cos(a - b) + cos(a + b)] cos a cos b = 1 + cos 2a 3cos a + cos 3a 2 cos 2 a = ; cos3 a = 2 4 1 sin a sin b = [cos(a - b) - cos(a + b)] 1 - cos 2a 3sin a - sin 3a 2 sin 2 a = ; sin 3 a = 2 4 1 sin a cos b = [sin( a - b) + sin( a + b)] 1 - cos 2a 2 tan 2 a = 1 + cos 2a Công thức biến đổi tổng thành tích p a+b a -b sin a + cos a = 2 sin(a + ) cos a + cos b = 2cos cos 4 2 2 p a+b a -b = 2 cos(a - ) cos a - cos b = -2sin sin 4 2 2 p a +b a -b sin a - cos a = 2 sin(a - ) sin a + sin b = 2sin cos 4 2 2 p a +b a -b = - 2 cos(a + ) sin a - sin b = 2 cos sin 4 2 2 BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP ( x ) = 21x ( xa ) ' = a xa -1 (ua )' = a u a -1.u ' ' ' ' æ1ö æ1ö 1 1 ç ÷ =- 2 ç ÷ =- 2 èxø x èu ø u ( u ) = 2 1u .u ' ' (C ) ' = 0 (C là hằng số ) (ku ) ' = k .u ' (k là hằng số) (sin x) ' = cos x (sin u ) ' = cos u . u ' (cos x) ' = - sin x (cos u ) ' = - sin x . u ' 1 1 (tan x) ' = (tan u ) ' = .u ' cos 2 x cos 2 u 1 1 (cot x) ' = - 2 = -(1 + cot 2 x) (cot u ) ' = - 2 . u ' = -(1 + cot 2 u ).u ' sin x sin u 1 1 (ln | x |) ' = (ln | u |) ' = .u ' x u 1 1 (log a | x |) ' = (log a | u |) ' = .u ' x ln a u ln a (e x ) ' = e x , ( a x ) ' = a x ln a (eu ) ' = eu .u ' , ( a u ) ' = a u ln a.u ' 11 www32.websamba.com/toan30ctu
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng BẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (u + v + w) ' = u '+ v '+ w ' (au ) ' = a.u ' (a là hằng số) u ' v - uv ' u ( )' = (uv) ' = u ' v + uv ' v2 v f ( x) - f ( x0 ) f ( x0 ) ' = lim x - x0 x ® x0 (Tính đạo hàm theo đ ịnh ngh ĩa) f ( x0 + Dx) » f ( x0 ) + f '( x0 ) Dx0 (Công thức tính vi phân) MỘT VÀI CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG 1 ò ax + b dx = ln | ax + b | +C 1) 1 (ax + b)a +1 ò (ax + b) dx = + C (a ¹ -1, a ¹ 0) a 2) a (a + 1) 1 1 x ò x 2 + a 2 dx = a arctan a + C 3) 1 ax + b ò e dx = a e + C ax + b 4) 1 ò a dx = a ln a a + C (0 < a ¹ 1) a x+ b a x+ b 5) 1 ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 6) 1 ò sin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C 7) 1 1 ò [1 + tan (ax + b)]dx = ò cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C 2 8) 1 1 ò [1 + cot (ax + b)]dx = ò sin 2 (ax + b) dx = - a cot(ax + b) + C 2 9) x-a 1 1 òx dx = + C ( a > 0) 10) ln -a 2a x + a 2 2 1 x ò dx = arcsin + C ( a > 0) 11) a a 2 - x2 12 www32.websamba.com/toan30ctu