Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
1
1
1.
.
N
NG
GU
UY
YÊ
ÊN
N
H
HÀ
ÀM
M
1
1.
.1
1
Đ
Đị
ịn
nh
h
n
ng
gh
hĩ
ĩa
a:
:
Hàm số
()
Fx
được gọi là nguyên hàm của
()
fx
trên K, nếu
'()()Fxfxx
="Î
K
Khi đó ta viết: ()(),fxdxFxCC
ò
¡
1
1.
.2
2
T
Tí
ín
nh
h
c
ch
hấ
ất
t
c
củ
ủa
a
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m:
:
1. '()()
fxdxfxC
=+
ò
2.
()()
kfxdxkfxdx
=
òò
(
k
là hằng số khác 0)
3.
[()()]()()
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
1
1.
.3
3
B
Bả
ản
ng
g
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m
c
củ
ủa
a
m
mộ
ột
t
s
số
ố
h
hà
àm
m
s
sơ
ơ
c
cấ
ấp
p
v
và
à
h
hà
àm
m
s
số
ố
h
hợ
ợp
p
Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp
(với
()
uux
=
)
1
2
2
2
2
0
(0)
1
1ln
(1,0)
ln
cossin
sincos
1tan
cos
1cot
sin
11
ln
1arctan
1
1arcsin
1
xx
x
x
dxC
dxxC
x
xdxC
dxxC
x
edxeC
a
adxCaa
a
xdxxC
xdxxC
dxxC
x
dxxC
x
dxaxbC
axba
dxxC
x
dxxC
x
a
aa
a
+
=
=+
=+¹
+
=+
=+
=+¹>
=+
=-+
=+
=-+
=++
+
=+
+
=+
-
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
1
2
2
0
(0)
1
1ln
(1,0)
ln
cossin
sincos
1tan
cos
1cot
sin
11
ln
()()()()
uu
u
u
duC
duuC
u
udxC
duuC
u
edueC
a
aduCaa
a
uduuC
uduuC
duuC
u
duuC
u
duaub
auba
fxdxFxCfaxbdxFaxbC
a
aa
a
+
=
=+
=+¹
+
=+
=+
=+¹>
=+
=-+
=+
=-+
=+
+
=+Þ+=++
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
òò
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
2
1
1.
.4
4
P
Ph
hư
ươ
ơn
ng
g
p
ph
há
áp
p
t
tí
ín
nh
h
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ()()
fuduFuC
=+
ò
và
()
uux
=
là hàm có đạo hàm liên tục thì
'
(())()(())
fuxuxdxFuxC
=+
ò
Hệ quả: nếu
,(0)
uaxba
=+¹
thì ta có
1
()()
faxbdxFaxbC
a
+=++
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu
()
uux
=
và
()
vvx
=
có đạo hàm liên tục trên K thì
''
()()()()()()
uxvxdxuxvxvxuxdx
=+
òò
Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn:
udvuvvdu
=+
òò
Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được áp dụng cho những nguyên hàm có
dạng sau:
()ln;();()sin;()cos;cos;sin
axaxax
PxxdxPxedxPxaxdxPxaxdxebxdxebxdx
òòòòòò
Trong đó
()
Px
là một đa thức và
,
ab
là những hằng số khác 0.
b) Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp
HÀM HỮU TỈ :
()
()
Px
dx
Qx
ò trong đó
(),()
PxQx
là những đa thức theo biến
x
Nếu bậc của
()()
PxQx
³
thì phân tích
()()
()
()()
PxTx
Rx
QxQx
=+ rồi tìm cách tính.
Nếu bậc của
()()
PxQx
<
:
Nếu
()()(,1)
k
QxxakNk
=-Î>
thì 1 1
1
() ..
()()()()
kk
kkk
AA
A
Px
xaxaxaxa
-
-
=+++
----
(
k
A
là hằng số)
Nếu 2
()()(,1)
k
QxxpxqkNk
=++γ
11
22
() ..
()()
kk
k
x xPx
Qxxpxqxpxq
ab
ab
+
+
=++
++++
(
,
kk
ab
là hằng)
ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta có thể đặt
tan
2
x
t= Khi đó ta có:
2
222
212
sin,cos,
111
tt
xxdxdt
ttt
-
===
+++
Bài Áp Dụng
1
1.
.
T
Tì
ìm
m
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m
c
củ
ủa
a
c
cá
ác
c
h
hà
àm
m
s
số
ố
s
sa
au
u:
:
a)
5
()(3)
fxx
=+
b)
2
2
()
(3)
fx x
=- c)
2
()
1
x
fx
x
=
-
d) 1
()
21
fx x
=
+
e) 2
1cos2
()
cos
x
fx
x
-
= f) 2
21
()
1
x
fx
xx
+
=
++
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
3
g) 2
()3
2
x
fxx
=+
h) 3
()257
fxxx
=-+
i) 2
2
11
()
3
fxx
x
=--
j)
1
3
()
fxx
=
k)
2
()10
x
fx=
2
2
.
.
T
T
ì
ì
m
m
a) 3
()
xxdx
+
ò
b) 2
xxx
dx
x
+
ò c) 2
4sin
xdx
ò
d) 1cos4
2
x
dx
+
ò
3
3.
.
T
Tí
ín
nh
h
c
cá
ác
c
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m
s
sa
au
u
b
bằ
ằn
ng
g
p
ph
hư
ươ
ơn
ng
g
p
ph
há
áp
p
đ
đổ
ổi
i
b
bi
iế
ến
n
s
số
ố:
:
a) 323
1
xxdx
+
ò
b) 2
x
xedx
-
ò
c) 2
11
sin
dx
xx
ò
d) 22
(1)
x
dx
x+
ò e)
(1)
dx
xx
-
ò g)
2
(ln)
x
dx
x
ò
h) 3 2
sin
cos
x
dx
x
ò i) 3
cossin
xxdx
ò
k)
xx
dx
ee
-
-
ò
l)
2
3
3
9
(:1)
1
x
dxHDux
x=-
-
ò m)
(:54)
54
dx hdux
x
=+
-
ò n)
22
4
1(:1)
xxdxhdux
-=-
ò
4
4.
.
Á
Áp
p
d
dụ
ụn
ng
g
p
ph
hư
ươ
ơn
ng
g
p
ph
há
áp
p
t
tí
ín
nh
h
t
tí
íc
ch
h
p
ph
hâ
ân
n
t
từ
ừn
ng
g
p
ph
hầ
ần
n
h
hã
ãy
y
t
tí
ín
nh
h
a) (12)x
xedx
-
ò
b) x
xedx
-
ò
c)
ln(1)
xxdx
-
ò
d) 2
sin
xxdx
ò
e) 2
ln(1)
xxdx
++
ò
g) 2
ln
xxdx
ò
h) sin
2
x
xdx
ò i) 2cos
xxdx
ò
f) x
xedx
ò
5
5.
.
T
Tí
ín
nh
h
c
cá
ác
c
n
ng
gu
uy
yê
ên
n
h
hà
àm
m
s
sa
au
u:
:
a) 5
(3)
xxdx
-
ò
b) 2
(23)
xx
dx
-
ò
c) 25
xxdx
-
ò
d) 2
ln(sin)
cos
x
dx
x
ò e)
(1)(1)
dx
dx
xx-+
ò f) 1
(2)(3)
x
dx
xx
+
-+
ò
g) 2
373
xxdx
-
ò
h)
cos(34)
xdx
+
ò
i) 2
cos(32)
dx
x
+
ò
j) 5
sincos
33
xx
dx
ò k)
3
25
(1)
18
x
xdx
-
ò l) 2
111
sincos
dx
xxx
ò
m) 3x
xedx
ò
n) 39x
edx
-
ò
o) 2cos2
xxdx
ò
p) ln
xxdx
ò
q) 4
sincos
xxdx
ò
r) 2
cos()
xxdx
ò
6
6.
.
B
Bằ
ằn
ng
g
c
cá
ác
ch
h
b
bi
iế
ến
n
đ
đổ
ổi
i
c
cá
ác
c
h
hà
àm
m
l
lư
ượ
ợn
ng
g
g
gi
iá
ác
c
h
hã
ãy
y
t
tí
ín
nh
h:
:
a) 4
sin
x
ò
b) 3
1
sin
dx
x
ò c) 34
sincos
xxdx
ò
d) 44
sincos
xxdx
ò
e) 2
cossin
dx
xx
ò g) 1sin
1cos
x
dx
x
+
+
ò
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
4
2
2.
.
T
TÍ
ÍC
CH
H
P
PH
HÂ
ÂN
N
2
2.
.1
1
Đ
Đị
ịn
nh
h
n
ng
gh
hĩ
ĩa
a
Hàm số
()
fx
liên tục trên
[;]
ab
. Giả sử
()
Fx
là một nguyên hàm của
()
fx
trên đoạn
[;]
ab
. Hiệu số
()()
FbFa
-
được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số
()
fx
. Kí hiệu là
()
b
a
fxdx
ò
Tóm lại ta có:
()()()
()
bb
a
a
fxdxFbFa
Fx
==-
ò
Chú ý:
Nếu
()()0
ba
aa
abfxdxfxdx
=Þ==
òò
Nếu
()()
ba
ab
abfxdxfxdx
>Þ=-
òò
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến dưới dấu tích phân, có nghĩa là:
()()()...()()
aaa
aaa
fxdxftdtfuduFbFa
====-
òòò
2
2
.
.
2
2
T
T
í
í
n
n
h
h
c
c
h
h
ấ
ấ
t
t
c
c
ủ
ủ
a
a
t
t
í
í
c
c
h
h
p
p
h
h
â
â
n
n
1.
()(),()
bb
aa
kfxdxkfxdxkconst
==
òò
2.
[()()]()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
3. ()()(),
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
acb
=+
<<
òòò
12
1
12
()()()...(),...
n
cc
bb
n
aacc
fxdxfxdxfxdxfxdx
acccb
=+++<<<
<<
òòòò
2
2
.
.
3
3
P
P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
p
p
h
h
á
á
p
p
t
t
í
í
n
n
h
h
t
t
í
í
c
c
h
h
p
p
h
h
â
â
n
n
a)Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Giả sử hàm số
()
xt
j
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab
sao cho
(),()
ab
jajb
==
và
(),[;]
atbt
jab
££"Î
Khi đó:
'
()(())()
bb
aa
fxdxfttdt
jj
=
òò
Định lí 2: Giả sử
()
uux
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab
sao cho
(),[;]
uxxab
ab
££"Î
. Nếu
'
()(())(),[;]
fxguxuxxab
="Î trong đó
()
gu
liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
()
()
()()
ub
b
aua
fxdxgudu
=
òò
b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí: Nếu
()
ux
và
()
vx
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
5
''
()()[()()]()()
|
bb
b
a
aa
uxvxdxuxvxvxuxdx
=-
òò
Hay dễ nhớ hơn: |
bb
b
a
aa
udvuvvdu
=-
òò
Bài tập
7
7.
.
T
Tí
ín
nh
h
c
cá
ác
c
t
tí
íc
ch
h
p
ph
hâ
ân
n
s
sa
au
u:
:
a)
1
32
0
(32)
yydy
+-
ò b)
4
2
1
11
()
tdt
t
t
+-
ò c)
2
0
(2cossin2)
xxdx
p
-
ò
d)
1
0
(32)
ss
ds
-
ò e)
3
3 2
0
3
cos3cos3
xdxxdx
pp
p
+
òò
g)
3
2
0
2
xxdx
--
ò
8
8
.
.
T
T
í
í
n
n
h
h
c
c
á
á
c
c
t
t
í
í
c
c
h
h
p
p
h
h
â
â
n
n
s
s
a
a
u
u
b
b
ằ
ằ
n
n
g
g
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
p
p
h
h
á
á
p
p
đ
đ
ổ
ổ
i
i
b
b
i
i
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
:
:
a)
2
5
1
(1)
xxdx
-
ò b)
ln2
0
1
x
edx
-
ò c)
9
3
1
1
xxdx
-
ò
d)
1
2
1
21
1
x
dx
xx
-
+
++
ò e)
22
4
1
11
(:)
xdxHDt
xx
+
=
ò f) 2
0
sin
1cos
xx
dx
x
p
+
ò
g)
1
0
1
xdx
+
ò h)
2
2
0
tan
cos
x
dx
x
p
ò i)
1
343
0
(1)
ttdt
+
ò
j)
1
22
0
5
(4)
x
dx
x+
ò k)
3
2
0
4
1
x
dx
x+
ò l)
6
0
(1cos3)sin3
xxdx
p
-
ò
9
9.
.
Á
Áp
p
d
dụ
ụn
ng
g
p
ph
hư
ươ
ơn
ng
g
p
ph
há
áp
p
t
tí
íc
ch
h
p
ph
hâ
ân
n
t
từ
ừn
ng
g
p
ph
hầ
ần
n
t
tí
ín
nh
h:
:
a)
2
0
cos2
xxdx
p
ò b)
ln2
2
0
x
xedx
-
ò c)
1
0
ln(21)
xdx
+
ò
d)
3
2
[ln(1)ln(1)]
xxdx
--+
ò e)
21
1
2
1
(1)
x
x
xedx
x
+
+-
ò f)
2
2
0
cossin
xxxdx
p
ò
g)
2
5
1
ln
xxdx
ò h)
1
0
(1) x
xedx
+
ò i)
0
cos
x
exdx
p
ò