TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

2.694
lượt xem 713
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Luyện thi toán tham khảo về phương pháp giải bài tập phương trình vô tỉ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 3.Phương pháp bất đẳng thức: 1.Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Ví dụ: Giải phương trình : Theo BĐT Côsi ta có: Giải: Đặt ta có: Do đó: với điều kiện Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: 4.Phương pháp lượng giác: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình: Ví dụ: Giải phương trình : Giải: Đặt: Điều kiện: . Đặt: với điều kiện Khi đó ta có hệ: và biến đổi đơn giản ta có: suy ra và từ đó tìm được Giải hệ tìm suy ra . 1
5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình tương đương với: Kết hợp với điều kiện của t suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : I. Phương pháp lượng giác hoá Khi đó VP > 0 . 1. Nếu th“ ta có thể đặt Nếu hoặc Nếu . Ví dụ 1 : Đặt , với ta có : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : )( )=0 )( )=0 Vậy nghiệm của phương tr“nh là 2
2. Nếu th“ ta có thể đặt : Ví dụ 3 : Lời giải : ĐK : Ví dụ 5 : Đặt Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh đã cho trở thành : Phương tr“nh đã cho trở thành : Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Ví dụ 4 (TC THTT): TQ : HD : Ví dụ 6 : Nếu : phương tr“nh không xác định . Lời giải : ĐK : Đặt Chú ý với ta có : phương tr“nh đã cho trở thành : vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với Đặt (thỏa mãn) TQ : khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : với a,b là các hằng số cho trước 3
II. 3. Đặt để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : (1) Lời giải : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : (1) (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Kết hợp với điều kiện suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Suy ra (1) có 3 nghiệm : Ví dụ 8 : 4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm Lời giải : ĐK : chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận : Ví dụ 9 : Lời giải : Đặt phương tr“nh đã cho tương đương với : phương tr“nh đã cho trở thành : (1) 4
Đặt : ( thỏa mãn điều kiên (1) trở thành : Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt . :Leftrightarrow phương trình đã cho trở thành : Suy ra (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S * Với , ta có : II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để (vô nghiệm v“ : ) * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn * Với , ta có : phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : Đưa phương tr“nh về dạng sau : khi đó : Đặt . Phương trình viết thành : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn) Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : TQ : Ví dụ 10 : (1) lúc đó chúng ta đặt lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó : (1) và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ Phương tr“nh trở thành : 12 : Lời giải : Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được : Đặt . Phương tr“nh đã cho viết thành : Do nên không thỏa điều kiện . Với th“ : Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được : . * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể 5
hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Đặt để đưa về dạng : ví dụ 13 : TQ : Lời giải : ĐK : Với a là hắng số cho trước . Đặt . Ví dụ 16 : (1) phương trình đã cho trở thành : Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng : Giải ra : hoặc (loại) * ta có : (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho . ví dụ 14 : Do vậy hoặc Lời giải : ĐK : * . Ta có : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : * . Ta có : Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 17 : Ví dụ 15 : (1) Lời giải : ĐK : (1) Đặt (2) . Lời giải : ĐK : . phương tr“nh đã cho trở thành : (3) Đặt . phương tr“nh (1) trở thành : 6
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : (Do ) Ví dụ 18 : T“m x ta giải : Lời giải : ĐK : (1) Đặt (Thỏa (*)) Khi đó : . Vậy (1) có 2 nghiệm : phương tr“nh đã cho trở thành : Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới : V“ nên : t^2 + t - 1003 < 0 (2) Do đó phương tr“nh tương đương với : Đặt và Th“ : Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ . (2) Ví dụ 9 : * ta có : Lời giải : * ta có : Đặt Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : Ví dụ 22 : * lời giải : ĐK : Đặt : * Từ phương tr“nh ta được : ( Do ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : Ví dụ 20 : (1) 3. Dùng 3 ẩn phụ . Lời giải : ĐK : hoặc (*) Ví dụ 23 : Đặt ta có : Lời giải : (1) trở thành : 7
Đặt ta có : (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có : Nên : :Leftrightarrow từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh : TQ : Ví dụ 24 : (1) b. Dùng 2 ẩn phụ . * ND : Lời giải : Đặt * Cách giải : Suy ra : Đặt : khi đó từ (1) ta có : Như vậy ta có hệ : :Leftrightarrow Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của Ví dụ 26 : (1) phương tr“nh : Lời giải : ĐK : III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ Đặt 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút Khi đó : gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . (1) Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK : Đặt . Ta có : :Leftrightarrow 8
(2) (Do hệ : : vô nghiệm ) (1) hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu . Ví dụ 27 : Lời giải : ĐK : Đặt : 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : Với : CG : Đặt ta có hệ : (*) Như vậy ta được hệ : Ví dụ 29 : Lời giải : Đặt : ta có : Giải (1) : (1) ( ) Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho . Ví dụ 28 : (1) :Leftrightarrow Lời giải : Đặt : 9
(2) : Vô nghiệm . Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là : của phương tr“nh là : Dạng 4 : Dạng 2 : Nội dung phương pháp : CG : ĐẶt Cho phương tr“nh : Với các hệ số thỏa mãn : PT :Leftrightarrow Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Cách giải : Đặt : (1) Đặt PT Ví dụ 32 : Lấy (3) trừ (2) ta được : Lời giải : ĐK : PT (1) - Kiểm tra : (Do ) Đặt : Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt . Chọn a, b để hệ : Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : ( ) (*) là hệ đối xứng . Lấy ta được hệ : Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Lời giải : PT - Kiểm tra : Đặt : Giải hệ trên ta được : 10
(1) Dạng 3: Phương trình: Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : Ví dụ 34 : (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa) Lời giải : Ví dụ minh hoạ : PT VD1: tìm m để pt sau có nghiệm: - Kiểm tra : LG: Đặt : Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng: (1) Mặt khác : (2) Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: Từ (1) và (2) ta có hệ : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ dạng 1 Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương VD1: GPT: Đặt , ta có: Dạng 1: Phương trình do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : Dạng 2: phương trình: Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 ( g(x,m) phải có nghĩa) 11
Khi đó pt được chuyển thành hệ: VD2:GPT: + + =0 (1) giải ra được hay Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được Bài tập tương tự: (2) Giải các pt sau: Đặt } , khi đó b> Giải và biện luận : (2) hoặc t=1/2 Bây giờ xét 2 trường hợp: ví dụ: TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm. TH2: Nếu n lẻ Sử dụng BĐT,ví dụ: Với ( vô nghiệm) Vậy Đk cho ẩn phụ là : Với Sử dụng đạo hàm [/b] Vậy... Ví dụ Bài tập tương tự: Giải các pt sau: VD1: GPT: Đặt , ta có: b>Giải và biện luận pt : do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ dạng 2: Giải: Đk: đặt : Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 12
Bài tập tương tự: Giải các pt sau: b>Giải và biện luận pt : (ST) 13