Trí tưởng tượng không gian và vai trò của nó trong giáo dục toán học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đưa ra quan niệm về không gian, trí tưởng tượng không gian thông qua các khả năng đặc trưng. Đặc biệt, trong bài viết, tác giả nhấn mạnh vai trò của việc phát triển trí tưởng tượng không gian đối với việc nhận thức hình học. Một số thể hiện của trí tưởng tượng không gian trong học toán và trong thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Trí tưởng tượng không gian và vai trò của nó trong giáo dục toán học

NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN Trí tưởng tượng không gian và vai trò của nó trong giáo dục toán học Đào Tam TÓM TẮT: Bài viết đưa ra quan niệm về không gian, trí tưởng tượng không gian thông qua Trường Đại học Vinh các khả năng đặc trưng. Đặc biệt, trong bài viết, tác giả nhấn mạnh vai trò của việc phát 182 Lê Duẩn, Vinh, Nghệ An, Việt Nam Email: daotam.32@gmail.com triển trí tưởng tượng không gian đối với việc nhận thức hình học. Một số thể hiện của trí Đậu Anh Tuấn tưởng tượng không gian trong học toán và trong thực tế. Theo tác giả bài viết, trí tưởng Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An tượng không gian có vai trò quan trọng trong giáo dục toán học cho học sinh, không chỉ 389 Lê Viết Thuật, Vinh, Nghệ An, Việt Nam trong giải quyết các bài toán toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong giải quyết vấn Email: dauanhtuancdsp@gmail.com đề thực tế. TỪ KHÓA: Không gian; trí tưởng tượng không gian; giáo dục; toán học. Nhận bài 30/11/2017 Nhận kết quả phản biện và chỉnh sửa 25/12/2017 Duyệt đăng 25/02/2018. 1. Đặt vấn đề chúng thành khái niệm hay biểu tượng, bảo đảm sự tri giác Giáo dục toán học trên thế giới xem trí tưởng tượng những tương quan không gian đã có, biến đổi chúng trong óc, không gian (TTTKG) là một năng lực quan trọng trong trên cơ sở đó, xây dựng biểu tượng không gian mới. nhận thức hình học và nhận thức hiện thực khách quan. Ở Việt Nam, tư tưởng phát triển TTTKG đã được nhiều tác 2.1.2. Khái niệm trí tưởng tượng giả quan tâm như: Nguyễn Văn Thiêm [1], Bùi Văn Nghị Các nhà tâm lí học quan niệm: “Tưởng tượng là một quá [2], Lê Thị Hoài Châu [3], Nguyễn Mạnh Tuấn [4]… Tuy trình nhận thức phản ánh những cái chưa từng có trong kinh nhiên, việc thống nhất cách hiểu không gian đặc biệt là nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những hình ảnh việc đưa ra các thành tố đặc trưng của TTTKG chưa được mới trên cơ sở những biểu tượng đã có” dẫn theo [5], trong tường minh. Bài viết này nhằm khắc phục những tồn tại đó biểu tượng là “hình thức của nhận thức, cao hơn cảm giác, nêu trên và bước đầu khai thác tư tưởng phát triển năng cho ta hình ảnh của sự vật còn giữ lại trong đầu óc sau khi tác lực người học trong đổi mới giáo dục toán học hiện nay ở động của sự vật vào giác quan ta đã chấm dứt” [6]. Tưởng trường phổ thông. tượng có những đặc điểm cơ bản sau: - Về nội dung phản ánh, tưởng tượng phản ánh cái mới, cái 2. Nội dung nghiên cứu chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân hoặc của xã hội. 2.1. Sơ lược về trí tưởng tượng không gian - Về phương thức phản ánh, tưởng tượng tạo ra cái mới từ 2.1.1. Khái niệm không gian các biểu tượng đã có và được thể hiện chủ yếu dưới hình thức Khái niệm “không gian” đề cập trong bài viết là không gian các hình ảnh cụ thể. Euclide hai chiều, ba chiều trong giáo trình trung học phổ - Về cơ chế sinh lí, tưởng tượng có cơ sở sinh lí là sự phân thông (dựa trên những biểu tượng không gian thực mà con giải các hệ thống liên hệ thần kinh tạm thời đã có và kết hợp người có thể cảm thụ được - không gian vật lí). Trong các biểu thành những hệ thống mới trên vỏ não. tượng mà trí tưởng tượng không gian (TTTKG) vận hành phản - Tưởng tượng là một quá trình tâm lí, có nguồn gốc xã hội, ánh những tính chất (hoặc dấu hiệu) các đặc tính không gian. được hình thành và phát triển trong lao động, do đó chỉ có ở Trên cơ sở đó, chúng tôi cho rằng không gian được hiểu con người mà thôi. là một cấu trúc bao gồm: Các hình hình học, các vật thể; Các Theo [7], “khi con người đứng trước một hoàn cảnh có tính chất định tính: Hình dạng của các hình, vị trí tương đối vấn đề - nguồn gốc của hoạt động, khi đó sẽ có hai hệ thống giữa các hình, các vật thể, phương, hướng; Các quan hệ trước phản ánh đi trước của ý thức đối với kết quả của hoạt động sau, phải trái; Các yếu tố về lượng: Khoảng cách, chu vi, diện đó: Hệ thống được tổ chức chặt chẽ của các hình ảnh và hệ tích, thể tích các hình, khối, … thống được tổ chức chặt chẽ của các khái niệm. Khả năng lựa Việc vận hành các biểu tượng không gian phụ thuộc vào chọn và kết hợp các hình ảnh là cơ sở của tưởng tượng, khả hệ thống định hướng trong không gian hay hệ quy chiếu (sơ năng kết hợp những khái niệm theo một cách mới là cơ sở đồ vật thể, căn cứ vào vị trí của người quan sát), khả năng của tư duy. Thường thì hoạt động này diễn ra cùng một lúc ở di chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, lựa cả hai “tầng”, bởi vì hai hệ thống hình ảnh và khái niệm có chọn tùy ý (các yếu tố trừu tượng như điểm, đường thẳng,...), liên quan mật thiết với nhau, ví dụ sự lựa chọn một phương không chú ý đến vị trí của người quan sát. thức hoạt động được thực hiện bằng những phán đoán logic Trong quá trình hoạt động (vui chơi, học tập, lao động), gắn liền với những biểu tượng sáng rõ về hoạt động sẽ được con người tách khỏi các tương quan không gian, phản ánh thực hiện như thế nào”. 50 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
Đào Tam, Đậu Anh Tuấn Vậy đứng trước một hoàn cảnh có vấn đề, khi nào ta tư quá trình biến đổi tích cực của chủ thể. Những hành động này duy, khi nào ta tưởng tượng? Điều này tùy thuộc vào tính tiến triển một cách năng động, phụ thuộc vào nội dung bài bất định (không xác định, không rõ ràng) của hoàn cảnh có toán tri giác, tính chất đối tượng và trình độ nhận thức của vấn đề nhiều hay ít. Nếu những tài liệu khởi đầu của nhiệm chủ thể. Kết quả của hành động là biểu tượng được thiết lập. vụ, ví dụ của một vấn đề khoa học là rõ ràng, sáng tỏ thì quá Hoạt động trí óc với những biểu tượng ở đây nổi lên như hoạt trình giải quyết nhiệm vụ chủ yếu được tuân theo những động trí óc độc lập, hoạt động tưởng tượng thực hiện chủ quy luật của tư duy. Còn khi hoàn cảnh có vấn đề mang tính yếu không dựa vào tri giác và có một cấu trúc phức tạp (bao chất bất định lớn, những tài liệu khởi đầu khó được phân gồm những hành động nhằm ghi nhớ trong óc hình ảnh ban tích một cách chính xác, thì quá trình giải quyết nhiệm vụ đầu đã hình thành, ấn định trong biểu tượng những biến đổi diễn ra theo cơ chế tưởng tượng. Có thể kết luận: “tưởng khác nhau hình ảnh đó, có căn cứ yêu cầu bài toán) nhằm vận tượng hoạt động ở giai đoạn nhận thức khi mà tính bất định hành tự do và nhiều lần hình tượng đó. Hoạt động này theo của hoàn cảnh quá lớn”. [4] được đặc trưng bởi: Thống nhất với quan điểm trên, trong [5] nêu: “Giống với - Điều kiện đặc biệt xây dựng hình ảnh bên trong (tách khỏi tư duy tưởng tượng phản ánh cái mới, chưa từng có trong cơ sở trực quan); kinh nghiệm của cá nhân, nó cũng do các tình huống có vấn - Nội dung của hoạt động (biến đổi những biểu tượng đã có); đề gây nên. Cho nên, tưởng tượng cũng thuộc trình độ nhận - Trình độ thực hiện hoạt động (biến đổi trong óc theo biểu thức lí tính và thực chất nó là một quá trình sáng tạo cái mới tượng nhiều lần, có hệ thống hoàn chỉnh). (mới đối với bản thân và đối với cả loài người). Nhưng khác Như vậy, theo chúng tôi, TTTKG thuộc phạm trù trực giác với tư duy, tình huống có vấn đề trong tưởng tượng mang hình học đặc trưng bởi các khả năng sau đây: tính chất không xác định và phương thức phản ánh hiện thực - Khả năng hình dung các hình không gian qua các hình khách quan của tưởng tượng là thông qua các biểu tượng và biểu diễn; dưới hình thức biểu tượng. - Khả năng xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng Trong [5] đã nêu: “Giá trị của tưởng tượng là ở chỗ: Nó cho hình học, các hình hình học; phép ta đi đến quyết định và tìm ra lối thoát trong hoàn cảnh - Khả năng xác lập mối quan hệ phụ thuộc giữa các hình có vấn đề ngay cả khi không có đủ những tri thức cần thiết để hình học; tư duy, nó cho ta nhảy cóc qua một vài giai đoạn nào đó của - Khả năng hình dung các mặt cắt, giao các hình không gian; tư duy mà vẫn cứ hình dung được kết quả cuối cùng. Nhưng - Khả năng ước lượng kích thước các hình không gian; chỗ yếu của tưởng tượng cũng chính là ở chỗ đó. Giải quyết - Khả năng chuyển hóa các quan hệ, các mối liên hệ vào vấn đề bằng tưởng tượng thường không có sự chính xác, chặt các mô hình hình học đã biết thuận tiện cho việc giải quyết chẽ một cách đầy đủ”. vấn đề; - Khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học này sang hình 2.1.3. Trí tượng tượng không gian học khác để trực quan hóa mô hình nghiên cứu; Theo quan điểm về trí tượng tượng vừa nêu, chúng ta có - Khả năng khai triển các hình thuận tiện cho việc tính toán; thể hiểu TTTKG như là thuật ngữ tâm lí học, trong đó: - Khả năng sơ đồ hóa, tọa độ hóa để xác định vị trí, kích - Tưởng tượng là quá trình nhận thức phản ánh những cái thước, khoảng cách giữa các hình; chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây - Khả năng mô hình hóa các hiện tượng thực tiễn bằng dựng những hình ảnh mới trên cơ sở những biểu tượng đã có. ngôn ngữ và kí hiệu hình học; - Đối tượng của trí tưởng tượng ở đây là không gian, nghĩa - Khả năng xác lập các đối tượng không gian mới trên cơ là những biểu tượng trong quá trình tưởng tượng, là những sở các đối tượng không gian đã có. biểu tượng không gian. Với cách hiểu như trên, TTTKG có 2 mức độ: Như vậy, TTTKG là hoạt động trí óc thể hiện quá trình biến Mức độ 1: Giúp hiểu sâu sắc các đối tượng hình học, ý đổi những biểu tượng không gian đã có nhằm kiến tạo những nghĩa hình học của các biểu thức hình thức được diễn đạt biểu tượng không gian mới. theo ngôn ngữ đại số (ngôn ngữ véc tơ, tọa độ). Trong [1] có nêu: “TTTKG là quá trình biến đổi trong óc Mức độ 2: Giúp kiến tạo các đối tượng hình học mới trên những biểu tượng không gian đã có, tức là những biểu tượng cơ sở biến đổi các đối tượng và quan hệ đã có. về tính chất và quan hệ không gian, biến đổi một cách tự do, có chủ đích nhiều lần, theo nhiều chiều hướng khác nhau, 2.2. Thể hiện của trí tưởng tượng không gian trong học không dựa trực tiếp vào tài liệu trực quan xuất phát, nhằm toán và trong thực tiễn xây dựng biểu tượng không gian mới, có tính chất sáng tạo 2.2.1. Thể hiện của việc phát triển trí tưởng tượng riêng, đáp ứng nhiệm vụ giải quyết vấn đề được đặt ra”. không gian đối với hoạt động nhận thức hình học Cấu trúc của hoạt động trí óc với những biểu tượng được Trên cơ sở nghiên cứu nội dung của hoạt động nhận thức diễn ra ở cả trình độ tri giác và trình độ biểu tượng. Khi hình toán học, chúng tôi đề cập một số thể hiện của TTTKG trong thành hình tượng cảm tính, hoạt động được thực hiện trong hoạt động nhận thức hình học sau đây: Số 02, tháng 02/2018 51
ghiệm ộii dạy giúpchủxemHS đề xéthai hình cácdung hình đường cácsau hình thẳng có không phải chéo a/ lànhau, Tạohìnhcơ gian biểu qua có hội hình thể diễncho giúp của biểu HShọcdiễn hai hìnhsinh hình (HS) dung chéo các nhau. hình không gian qua hình biểu diễn đề ội hai đường ải giúp nghiệm HS Ví xem hình dụthẳng xét 1: dung Khichéo các các hình dạy trảithẳngnhau, hình nghiệmsau chủ có có đề không thể xemphải hai cho gian là đường xét các học hình qua sinh biểu thẳng hình (HS) diễn chéo biểu sauhọc có củanhau, diễn hai phải (HS) là hìnhcbiểu=nhau. cóhình c thể chéo cho học diễn sinh của (HS) hai hình chéonhau. iét dạy các chủ hình đềsau hai có đường phải là hình chéo biểu Ví diễnnhau, dụphải của có 1:chéo thể haihình Khi hìnhcho dạybiểu chéo chủ sinh đềnhau. hai đường thẳng 2 Rchéo nhau, có thể cho   học sinh ội sau giúp iét dạy có trải HS phải nghiệm chủ hình đề là hình hai dung xem biểu đườngxét các các hình diễn thẳng hình của không chéo hai sau cógian hình nhau, qua có là thểnhau. cho Cho học diễn  sinh SAB  của sin( R (HS) 180 có hai = AB o hình − 2 =  ) c; .chéo SAB  Cho Cho Cho = nhau.  SBASAB SABSAB= có cócó . AB AB TínhAB = = =c; c; bán c; SABkính SAB SAB === SBA đườngSBA  SBA == các hình sau NGHIÊN có phảiCỨU là hình LÍtrải LUẬN biểunghiệm diễn của= hai xem xét ahình  các chéo hình  nhau. sau có Tính phải 2 sin bán là  đường 2hình kính biểu diễn tròn ngoại của hai tiếp hình chéo nha i dạy ét các chủhìnhđề sauhai cóđường phải làthẳng Cho hình biểu chéodiễn SAB nhau, có AB của cóhaic; thểhình SAB cho SAB. = a chéo học sinh SBA = nhau.(HS) SAB.  . SAB. SAB. a/ Tạo cơ hội giúp HS hình dung các hình không gian qua c hình a biểu diễn ét các hình sau có phải là  a hình biểuadiễn của hai hình Việc SAB. chéo a giải nhau. c/ Rbài Cho phép = toán này.tương HS Việc tưởng Việcđốigiải Việc giải dễgiải tượng bài bàitoán bài dàng: toán toán phânnày nàytương này tích tương tương chuyển đối đốidễ đối dễ dễdàn dà hd Ví dụ 1: KhiViệc dạygiải chủbài ađềtoán hainày đường tươngthẳng đốiÁp dễbộ dàng: chéo dụng phận nhau, định của2lísin có một hàm 2thể hình số sin choÁpkhông Áp taÁp học dụng dụng có: a gian dụng sinh định định định (HS) lílí khác líhàm hàmhàm số nhằm sốsốsinsin sin tatatacó: đưa có: vấn đ có: b trảihình a/ a. Tạo a Tạo cơcơ hộihội giúpgiúp HS hình Áp HS dụng dung hình địnha các dung líhình không hàm các số hình gian sin ta quakhông có: b gian c. Cho phépqua HShình tưởng biểutượng diễnphân tích chuyển hóa hình nghiệm xem a/xét Tạocác cơhình hội agiúpsau có HSphải hình làdunghìnhthuộc. cácbiểu hình c/nhau, diễn giankhông Cho củasang phép hai bộhình gian HS qua tưởng chéo hình tượng nhau. biểu phân diễn tíchkhác chuyển hó b Ví biểu dụ adiễn 1: Khi dạy chủb đề hai đường a thẳng chéo bkhông này có thể cho phận học của b một sinh hình ccc (HS) không gian Hình a trảiHình 1 Ví dụ 1: Khi dạy chủ đề hai 1: Khi đường dạy thẳng bchủ chéo Hình nhau, đềlàhình có haibiểu 2 thể đường nhằm thẳng cđưa vấn chéo đề cần nhau, giải quyết  có về thể dạng cho quen = thuộc 2 R 2học sinhthể(HS) a/ Tạo cơ hội giúpVí HS dụ Sau khi học công o o o thức tính R R tíchvấn của đề tứ bVí dụ 3: bộ phận của một = 2hình không   gian = = 2 2 −−khác nhằm đưa hình dung các hình không gian qua diễn R nghiệmbVíhọc 1dụ 1:sinh xem axét các haibhình có Hình 2(HS) csau có phải thể hình họcbiểu diễn của ) hai hình chéo nhau. o 2 sin( sin( 180 sin( 180 180 2−2 )) )của cho Khi (HS) trảiđề nghiệm Hình xem 1 xét các 2hình =nhau,R cósau phải sinhsin( 180 Ví dụ −3: Sau khi học Hình công thức 2 tính thể tích tứ diện V, a trải dạy nghiệm chủ sauxem đường xét thẳng là Hình bcác chéo b  ) 2diễnhình của sau cho a hìnhcóchéo phải làchướng a tạobiểu hình diễn củalớn hai bchéo nhau. thuộc. chohình o a trảilà Hình nghiệm hình xem biểu 1xétdiễn các củaHình hình hai 2sin( có hình 180 phải chéo hình 2biểu −nhau. b hai Hình rabài nhau. toán 2c ngại ra chướng lớn ngại cho HS. HS.ccc Hình 2  R = 22. “Tính c Hình ba 1 R= .  RRHình == ..  R = Hình . 2 a Ví 2 sin dụ M 23: Sau khi y học công 22sin 2sin sin2B thức2 tính thể tích tích của củatứ tứ  a a 2 sin Hình 2 2 ax HS tưởng tượng c/c/c/Cho Chophép HSAC =hóa BD =bphân và AD a b b a a c/ Cho aphép HS tưởng ra c/chướngCho phép ngại b lớn cho HS. Cho phân atíchHS phép phép HS chuyển tưởng tưởng tưởng tượng tượng tượng hình phân phân không tíctí a 1 b a tượng phân bộ phận của A tích chuyển một hình a không hóa bộbộhình bộ phận phận gian phậnkhông của kháccủa Nmột của gian một nhằmmộthình này hìnhđưakhông hình Chướng sang không không vấn đềgian gian gian cầnngạikhác khác khác giải thể nhằm nhằmhi nhằ quyế aHình M y B “Tính bb HìnhHình a a bộ 1 phận của một hình không 2 a gian thuộc.khác nhằm Hình đưa . Bvấn b 2 . B đề cần thuộc. thuộc. giải thuộc. quyết về dạng ađược đường cao vẽd quen thể tích của tứ thuộc. a xz C . B = BD =b và1AD AC Hình 1 b b a . B aa . B Ví dụ Hình 2 3: Sau khi học . B côngb VíVí thứcVí dụdụ dụ 3: tính3:3: Q Sau Sau thểSau khi khi tíchkhi họckhông học củahọccông công tứcông tính diện thức thứcVđược thức tính =tính tính Bh đtht th b Ví dụ 3: Sau khi học công thức tính thể tích của tứ a . B A 1N diện2V = Bh thì bài toán tạo . B Chướng ngại thể 3 hiệ b a b Hình 1 Hình rararachướng chướng chướng 3 ngại ngạilớn ngại lớnlớncho choHS. cho HS.HS. b Hình 3 ra . B chướng . B Hình 4 ngại lớn cho HS. được đường cao vẽ ra chướng ngại lớn cho HS. b . B MHình 4 y P a M M D M thể tích yyycủa tứ diện BBBABCD“Tính “Tínhthể “Tính thể th b Hình 3 B “Tính biế M Hình 3yHình 4 B “Tính Hình 4= CD b a z thể C tích của tứ diện ABCD x biết Q AB không=a; tính đượcAC c”.==BB = độ b Hình Hình 4 x 4a của tứ diệnxxABCD AC biết = BD AB=b và =AD = BC = =AC AC Hình 3 3 Hình “Tính thể tích = CD a; AC HS dễ dàng thấy được hình x 1, hình 2Hình và có Hình 34thể Hình 4 gặp AAC khó =BD BD khăn =b=b và và Việc ở hình AD AD khắc = BC =N3, =BC phục A c”.hình .A=ABnhờc”.4. ahình sử dụng Chướng Hình ngại mối 4 NN thể liên hiệnhệ N ở chỗ giữaChướngHStứkhd Chướn Chướ HS dễHS dàng thấy a được hình dễ 1, hình dàng Hình 2 thấy và 4 có được thể hình gặp khó khăn ở hình 3, 4. viên thấy sẽđượcđịnhHS hướng hình dễdàng dễ dàng để thấy 1,hướng thấy hình cho được Ađược bHS hình 24. và HS Hình tưởng 1, hình có 1,2 và thể Hình có tượng gặp 2 và thể gặp khó Nđược: có khó thểkhăn gặp khó ở hình Chướng 3, thểP 1, hình xây 4. hình ngại Chướng thể dựng 2 hiện ngại và thểcó từ ởhiện tứ thểởHS chỗ diện gặp D chỗ bằng không HS được khó xác không cáchđường khăn qua định xáccao ởcác hình định vẽ cặp từđược 3,cạnh một hình được được đỉnhđược đối 4. đư nà đ hình iáo 1, Giáo viên hình sẽ HS khăn định 2ởsẽ Hình dễ và hướng dàng có3, thể Hình đểđể thấy gặp chođược Giáo aviên khó HS hình khăn tưởng sẽ 1, định Hình ở hình tượng hình hướng 4khăn 2để 3, được: và cho hìnhởHS có hình được 4. thể đường đường 3, hình gặp caokhó cao vẽ 4. khăn từ vẽ một từ . ởB đỉnh một hình nào đỉnh đó.3, nào Từ hìnhđó đó. 4. không Từ đó tính được độ - Đốiđược thấy vớitưởng viên hình định với3, 1,hình ta hình Giáo 3,chiếu cho 2 và HS viên hai tưởng có sẽtượng đường thể định được: gặp hướng thẳngkhó chéo khănđể choởnhau hìnhHS song theotưởng 3, lần phương hình tượng lượt 4.theo chứa được: nằm zzztrong các Q C CCkhông cạnh đó; bakhó tính cặp đượcmặt độQQ Q đường phẳng dài không không khôn song hướng ho Giáo HS - để tưởng Đối cho viên - Đối với HS tượng sẽ tượng hình định tưởng được: được: 3, hướng btaztượng ta chiếu chiếu C hai để được: đường cho hai HS thẳng HS đường dễ chéo tưởng dàng nhau thẳng theo thấy tượng Q phương chéo z nằm được được: không C trong dài nhau hình đường tính theo 1, được caohình phương độ dàia,2b,đường vàc. nằm có thể caotrong . gặp theoB a, b, c. khăn ở hình 3,cah thấy hẳng được song hình song song1, với songhình hai 2 và có - haiĐối thể với gặp hình khó khăn 3, nhau ta ở chiếu hình hai ngoại 3, Việc hình đường tiếp khắc tứ 4. thẳng diện. phục chéo nhờ nhờ nhau xem sử xét dụng theo mốimối phương liênliên hệhệtrên nằm vàgiữa đã trongtứthúd hướng để cho HS tưởng 3ta3,đường tượng thẳng được: chéo nhau lên mặt phẳng chiếu; mặt phẳng với hai đường thẳng chéo nhau lên mặt phẳng chiếu; ình hiếuthấy 3, hai tađường được chiếu - Đối -hình Hình với hai1, thẳng Hình đường hình4,chéo ta chiếu 2 thẳng vànhauGiáocó đường chéo thể viên theo b gặp thẳng nhau sẽ phương định khó chéo nhautheo hướng khăn nằm theo phương ở để hình trong cho Việc nằm 3, HS khắc hình Hình trong phục tưởng4. 4nhờtượng sử dụng được: mối liên hệ giữa tứ diện ặt hướng phẳng song - Đối song Đối với với hình với hình hai 3, chiếu đường ta hai chiếu đường thẳng thẳng hai chéo chéo đường nhau theo thẳng phương lên song mặt chéo song phẳng nhau chiếu; theo phương P P P nằm trong D D D ng- Đối ình 3, để với với ta hai cho phương hình với chiếu một đườngtrongHS 4,tưởng nằm hai hai trong ta đường đường thẳng mặt chiếumặt thẳng tượng chéo P phẳng phẳng đó hai thẳnglên mặt được: nhau song song đườngchéo phẳng song lên - chiếu. Đối song với thẳng nhau mặt haivới với đường theo phẳng D chéo hình haiphương thẳngP đường thểtađối nhau chiếu; 3, xây hình theo chiếu thẳng tượng, nằm hộp; dựng phương chéo hình trong hai hoạt từ đườngtứđộng hộp D nhau có diện song thể điều thẳng lên xây bằng song mặt dựngứngcách chéo từphẳng đểtứ qua nhau cấubằng diện chiếu; trúccách các theo lại qua cặpphương bài cạnh toán, đối nằm từd hướng đường ình mặt- 3, tađể thẳng Đối phẳngchovới chéo chiếu HS chéo song Hình nhau hình tưởng nhau lên haithẳng 4, song ta 3đườngđóthẳng mặt tượng lênvới phẳng mặt chiếu hai chiếu; được: phẳng hai đường chéo đường chiếu; thẳng nhau thẳng chéo theo chéo nhau nhau lên các mặt cặp theo Hình cạnh phẳng phương đối4thẳngdựng chiếu;các songcặp mặt song phẳng song song lần lượt ột ng trong với hai hai b/ đường Giúp đường HS chuyển bộdễ thẳng dàng bài toán chéo thấy -lên không Đối nhau gian đượcmặt với về lên bài phẳng hình hình toán mặt 1, 4, phẳng chiếu. phẳng hình ta phương thông chiếu qua song chiếu; 2 và việc Thể có hai phân lầnnằm thể đường tích lượtgặp trong tứchứa diện khó bằng các khăn chéo cạnh thể ởViệc nhau hình tích đó; theo hình ba 3,song hình cặp phương hộp 4.mặt trừ phẳngsong đi tổng song song thể ới nh ình iếu một4, 3, hai ta ta chiếu tích, - Đối chiếu đường trong - tách Đối hai hai cácvới hai thẳng với đường đường Hình phận đường hình 4, ta phẳng chéo Hình thẳng của 4, thẳng chiếu thẳng mặt hình nhau ta đó 3 hai không chiếu chéo phẳng đường chéo theo lên gian hai mặt nhau song thẳng nhau liên phương quan đường phẳng chéotheo song theo đến điều phương nhau song thẳng chiếu. với theo phương kiện hai Việc bài song toán chéo chứa song đường đề các khắc nằm nhau song phục thẳng cạnh trong theo đó; nhờbaphương chéoHình sửcặp dụngmặt nhau ViệcViệc 4mối phẳng khắc song lên khắc khắc song liên mặt phục phục hệphục song phẳng nhờ giữanhờnhờ này sử tứ sử tạosử chiếu; dụng dụng dụng thành diện vàmốimối mối hình liên liên liê hộ ng nh b/ với 4, Giúp tahai đường chiếu chuyển giảiphương các bài toán hai song thẳng đường bài phẳng song với toán quen chéo với một thẳng Việc thuộc. một không nhau trong khắc trong chéo hai lên gian phụchai đường mặt nhauđường về nhờ phẳng bài thẳngsửtheo đóthẳng toán dụng lên chiếu; phương mối mặt đó ngoại phẳng bằng liênlên hìnhtiếp song hệ nhau. mặt thông hộp tứ giữa phẳng song ngoạidiện. tứqua diện tiếp chiếu. nhờ việc tứ thể thể và diện. thể xây xem phân hình xây xây Nhờ dựng dựng xét hộp; dựng xem từtừ mối hình từxét tứtứ tứ mối diệnhộp diện diện liên liên bằngcó bằng hệ bằng hệ trên cáchtrên cách cách đã qua quađã qua các cácthú các cặ cm gđường ng với đóvớilên Giáo thẳng hai mặt Víviên đường đó phẳng 2:lênsẽthẳngđịnh mặt chiếu. hướng phẳng chéo nhau đểđáy-cho chiếu. lên Đối HS mặt với tưởng phẳng hình thểtượng4, xây chiếu; tadựng được: chiếu = c,từ tứ hai diện đường bằng cách thẳng quachéo các cặp nhau cạnh theo đối dựng phương các cặp song nh b/ta 4, một Giúp HS chiếu phẳngtrong chuyển dụ dễhai chiếu. hai dàng Cho đường hình đường thể bài thấy chóp xây toánthẳng S.ABC thẳng dựngđược có b/3,chiếu.không Giúp từ chéođó hình tứ ABC lên chuyển diện là mặt gian 1, nhau tam hình bằng về giácphẳng theo bài cáchbài 2 vuông và tại phương toán qua chiếu. toán có C; các AB thể phẳng thúc không song cặp gặp đẩy cạnh thông khó song các gian đốihoạt khăn vềdựng qua động bài song ở việc biến các hình toán lần cặp đổi lượt phân 3, đối phẳng mặt chứahình tượng, phẳng thông các 4.  hoạt songx cạnh 2 động + quay đó; 2 điều = baa việc 2 cặp phânmặt đường ách các thẳng bộtoán đó phận lênphẳng mặt phẳng của 1,đối tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc lại bài toán, từ đáy hình không gian liên song quan tiếplần đến lượt chóp chứađiều kiện các cạnh bài song songtoán đó; lầnlần ba đề lượt cặplượt chứa mặt chứa phẳngcác các cạnh cạnh song đó; đó; song ba ba cặp này cặp mặt tạomặ yểntách nh án 4, bài khôngta các cạnh chiếu b.Giúp gian Giúp Đối - không bên nghiêng hai về với đều với đường chuyển bài gian HS hình bài toán dễ về thẳng toán góc với dàng phẳng bài khôngta . Tính mộtchéo chiếu toán thấy bán giantrong thông kính nhauvềhai phẳng được mặt cầu hai bài qua đường theo toán ngoại đường hình thông việc phương phẳng thẳng phân hình thẳng qua hình ứng chéo songđó 2việc đểvà cấulênnhau phân có song trúc mặt thể lại theophẳng gặp bài phương 4toán,khó chiếu. từ 1khăn đó tìm nằmra ở trong hình hướng  giải 3, 2 quyết.hình 4. ch, đường Giáo các thẳng b/ viên S.ABC. bộ đóqua Việc sẽ phận lên chuyển chuyển định mặt về phẳng song hướng tích, bài phẳng lần toán bài của tách phẳng để lượt toán hình cho chiếu. chứa các dựa trên không bộHS sự không các tưởng phận phân cạnh tích gian gian đó; phẳng sau: tượngvề baliên bài cặp của quan được:mặttoán hình đến phẳng phẳng không V điều song = gian kiện thông xyz song ngoại ngoại bài này liên −ngoại qua xyz tiếp tiếptoán tạo =quan tiếp việc tứtứ đề thành tứdiện. xyz đến diện. phân hệ với diện. hình nhờ điều nhờ nhờ hộp xem xxem xem + zxét kiện xét 2 bài xét= mối mối b mối 2 liên toán liênliên hệ đềhệ h ácyểnbài hận toán bài phẳng toán mặtthông phẳng phẳng của giảkhông hình Giáo quen song việc ragian phân không suyviên thuộc. song tích, sẽ làvề với giantách định bài hai các liên toán b/ hướng bộđường lênphẳng phận quan SGiúp để thẳng phẳng đến chuyển cho ngoại thông của thì điều HS làchéo Thể hình tiếp kiện bài tưởng quanhau tích tứ bài toán Thể diện. việc tượnglêntứ tích toán không diện ABCDnhờ phân mặt tứ diện đề được: bằng xem phẳng gianbằngxét 6 thể vềthể mối chiếu; tích bài tíchliên 3hìnhtoán hình hộp trên trừ phẳng hộpđiđã tổng trừ thúc thểđi thông tíchtổng đẩy qua các thể hoạt việc đường của ải yển cáchình tích, thẳng bàibài táchkhông Từ toán đó các -tiếpĐối toán lên thiết gian phẳng khôngbộ với mặt liên phận ngoại hình nếu phẳng quen gianđến H quan phẳng tiếp 3, về hình thuộc. tứchiếu. tabài chiếu đến của diện. chiếu của toánđiềuhình nhờhai (ABC) kiện xem phẳng không đường bài xét H thông đối tâm toán gian mối thẳng tượng, đường liên quađề liên hệ chéo tròn hoạt quan trên việc nhau động đãđến phân thúc theo điều điều đẩy đối ứngđối kiện các phương đối tượng, tượng, tượng, để cấu bài hoạt trúc toán động nằmlạitrong hoạt hoạt hoạt động động động đề biếnđiều bài toán,  điều điềuđổi ứng ứngứng đểđể từy đó= tìmđểcấu cấu cấu c ra hướntrúc trúc trúc lại lạ l Ví dụ hận phẳng 2: ngoạikhông Cho của - gian hình hình ABC. Đối liênchóp với giải quan không hình các S.ABC gianđiều 4, ta kiện liêncóchiếu bàiđáy quan phẳng toán haiABC đề đến giải đường quen là các điều tam thuộc. bằng bài kiện thẳng giác 4nhau. hình bài vuông chéo chóp toán nhau có tại đề thểC; tích theo ABbằng phương =hướng nhau.c, song song 2  z +điều 2 2 hẳng yển thuộc. quen bài toán thuộc. Chokhông đối hình - gian Đối tượng, chóp về tích, vớihoạt bài S.ABC tách hìnhđộng toán 3,các cóđiều ta phẳng đáy bộchiếu ứng phận đểthông hai cấu phẳng đường trúc qua lại của bài việc thẳng hình toán, phân không chéo từ đó Thể Thể nhau tìm Thể gian ra tích tích tích theo tứtứliên tứdiện diện quan phương giải diện bằng bằngquyết. bằng đến thểthểnằm thể tích tích tích trong hìnhkiện hình hình 4 hộphộp bàitrừ hộp trừtrt Ví các giải mặt dụ phẳng 2: bài toán song phẳng song với quen hai thuộc. đường thẳng đếnABC chéo là nhau tam lêngiác mặt vuông phẳng tại C;hình chiếu; AB =dung c, Vì ABC vuông tại C H là trung điểm AB. hận phẳng toán của phẳng  hình quen khôngthuộc  gian Ví dụ liên 2: quan Cho hình Thể điều chóp tích kiệnS.ABC tứbài diện toán có bằng đáy đề thểABC tích là tam hộp giáctrừ đivuông tổng thể tại2 tíchC; 2 AB hình = ch c, ạnh ho hẳng bên hình quennghiêng với chóp một HS làđều thuộc. Ví S.ABCdụtrong trục đườngvới hai Thể cóhìnhđáy đáy đường tròn tích ngoại tứ góc ABC tiếp thẳng diện   ABC.. làbằng Tính tamđó đáythể lên bán giáctíchmặt kính hình vuông phẳng mặt hộp cầu chiếu. trừ ngoại điAB d/tổng TTTKG tiếp thể tích hình giúp4 nhau. chóp hình hình chópchiếu; được có thể tích  x 2 + hình y = khai a triển phận ác cạnh hẳng phẳng S.ABC bên quen Ví - của có đáy nghiêng dụ Đối thuộc. mặt 2: Cho hình 2: ABC với phẳng Cho không đều hìnhcác là hìnhvớisong chóp tam 4, cạnh giải gian đáyS.ABC tagiác chóp các song liên chiếu bên góc cóbài O với vuông làS.ABC quan  nghiêng hai . toán hai ABC Tính đến tại có đường đều phẳng đường là C; tam điều bán đáy bằng AB giác kính ABC thẳng với =tạiphẳng. quen thẳng kiện nhau. đáy c,mặt chéoC; làbài góc thuộc. chéo tam toán cầu nhau . = nhau ngoại giácTính đềc, theo lên vuông bằng bằng 4tiếp bán mặt bằng phương hình tại kính phẳng nhau. nhau. 1C;mặt chóp ABcầu song =song c, toán ngoại ztiếp hình 2chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH. ho C. Việc hình chuyển chóp vuông S.ABC b/ về tại C; Giúp bài AB có bằng =toán chuyểnc,đáy nhau. các phẳng ABC cạnh bài bên dựa là tam nghiêng toán trên không sự giác đều vớiphân vuông đáy gian tích góc về tại sau: bài C; V AB toán  Từ = = đó c, phẳng xyz chuyển − thông xyz = việc qua xyz giải việc bài với phân 2 2 x song hình +vuông 2 =songbkhông 2 gian êng đều với đáy góc .ĐốiTính với bán hình kính Ví 4,dụ mặt ta 2: cầu Cho chiếu ngoại hình hai tiếp chóp đường hìnhS.ABC thẳng chóp chéocó đáy nhau ABC theo là tam phương giác tạixxC;x2+ ++yA y2y 2 hẳng đáy ABC. các vớiquen gócViệc cạnh một   . (ASB) thuộc. Tính chuyển bên trong cắt bán nghiêng hai mặt về  - cầu kính bài đường ngoại đều toán tiếp mặt với thẳng theo cầu phẳng đường đáy đó ngoại tròn dựa góc lên lớn. tiếp trên mặt  . hình sự Tính phẳng phân bán chóp chiếu. tích kính sau: mặt ABCD cầu ngoại6 tiếp 3  x hình 2 + y 2 chóp = a ho êngTừhình giảbài đều chóp thiết với . S.ABC Tính suy đáy kính mặtcó bán rachất góc kính nếu S.ABC. mặt Hđáy .giải Tínhcầu làtiếp ABC hìnhViệc ngoại bán tiếplàchuyển chiếu kính tam hình mặt chóp của giác vềS.ABC. S không cầu vuông bài lên ngoại toán Việc (ABC) xtại quen tiếp yC; phẳng thì = ABaHdựa thuộc. là4=tâm c, 1đường trên sự phân Vtròn tích sau: 4 4 4 2xyz 1 1 1 =hình chóp  Bán cầu dựa ngoại bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp 2SAB. + 2 2  == tích, tách các bộ phận phẳng của hình gian liên quan =đến điều kiện bài toán =2đề = vớicvới 2với xx2x 2 2 22 ển về toán phẳng trên các sự cạnhphân bên tích sau: nghiêng đều với đáy góc . Tính Vbán với VABCD 2=  xkínhxyz +xyzxyz z 2−−mặt=− bxyzxyz zcầu ==+ xyz yxyz xyz 2 ngoại tiếp  hìn +++zz z oán hình phẳng Từ S.ABC. chóp giả dựa Việc chuyển b/ Vấn S.ABC thiết Giúp đề với trên về suy chuyển thựcbài một sự có ra toán chuyển phân là trong đáy nếu về phẳng tích bàibài H ABC dựa bài toán hai là sau: toán trên toán hình đường hình là học sự tam phẳng 4 chiếu phân không phẳng. thẳng giác 1dựa tích của sau: gian đó vuông trênS lên lên về sự  mặt Vtại bài(ABC) phân C;phẳng toán xyz AB tíchthì − chiếu. =H xyz sau: phẳng c, là tâm xyz thông đường qua ABCDABCD tròn việc phân 6 6 6  3 3 3 êng đều với đáy góc . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCD tiếp ển vềra bài toán phẳng dựa trên Từ làsự giả phân thiết tích suy ra(ABC) nếu H với 2 2 Ví  là hình chiếu của S lên (ABC) 2 6dụ 4: Cho 3 hình lập phương  z 2 + y 2thì cH là tâm đường ABCD . A 1 1 1 zz1ztròn B C  D  ; Gọ 3Ssau: ABC. V = xyz − xyz = xyz x + z = b 2 2 2 22 suy giải nếu Từcác H là giả bàihình thiết toán suy chiếuraphẳng nếu của HS.ABC. quen S hình lên chiếu6thuộc. (ABC) Việc của chuyển lênthì H vềlà tâm bài thì đường toán phẳng tròn dựa trên sự phân tích sau:  +++yyyc 2 b/ Giúp ABCD chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông = qua việc phân triển êng H goại ển đều làtích, hình tiếp với Từchiếu tách đáy giả ABC. các góc của thiết bộ Sphận  suy . Tính lênngoại (ABC) ra nếu phẳng bán H kính thì củalà Hhình mặt là tâm hình cầu chiếu không đườngngoại của gian  tiếp Stròn z lên +liên d/ hình y d.(ABC) =quanTTTKG chóp thìtượng đến BH giúp Bđiều làkhông hình tâm kiện đường  dung bài toán được tròn ;đề hình khai Vì vềrabài nếuHtoán làphẳng dựa ngoại trên tiếp sựStrung 5phân ABC. tích sau: cạnh cAD và 1 sao cho AM BN = hình Gọi I,dungJdunglần lượt làhìnhtr 2 2 2 suy ABC Hvuông là tâm Ví hình đường dụ tại 2: CCho chiếu tròn  H của hình là tiếp  lên chóp ABC. điểm (ABC) S.ABC AB. thì có Hđáy làratâm ABC đường Trí là tam tròn tưởng giác vuông d/d/gian d/ TTTKG tại TTTKG giúp TTTKG C; AB giúp giúp giúp dung =hìnhhình hình được c,hình dung hình được đượcđược hình hìn .ển về ngoại Vì giảibài toán ABC tiếp tích, phẳng vuông ABC. tách dựa tại các trên C bộsự H phận phân làTừ trunggiả phẳng tích thiết sau: điểm của suy AB.hình d/ phẳng.nếu TTTKG không H Từ làgian hình giúp đó liên chuyển chiếu hình dung quan của việc được đến Sgiải lên điềuhình (ABC) bài kiệnkhai toán thì triển bài H toáncủalà không tâm hình đề đườn khôn gian làcác Hbài toán chiếu phẳng quen thuộc.    .suy ra nếu làđườnghình của Stiếp lên (ABC) thì HđượcClà  tâm đường tròn Vì ABC vuông tại C H là ABCtrung điểm vuông AB. khai triển của hình không gian lên mặt phẳng. Từ đó chuyển Vì tại Hđó làkính trung điểm AB.  HS trục tròn d/ ngoại TTTKG giúp quen hình ABC. dung hình khai triển của phẳng.hình phẳng. phẳng. không TừTừTừ đóđó gian đóhình chuyển chuyển chuyển lênviệc mặt việc việc giải giải giảibài bài bàitoántoán toánhình hìn hìn vuông suy Hra làcác tại nếu C trungcạnh H  là H HS điểmbên giải hình là là nghiêng trung các trục AB.chiếu đườngbài điểmcủa tròn đều ngoại toán AB. S ngoại với phẳng lêntiếptiếp đáy (ABC) góc ABC. ABC. thuộc. thì H. Tính phẳng. là quen tâm Từbán thuộc. đường việc chuyển giải mặt tròn bài việc toán cầu giải hình ngoạibài không tiếp toán gian hình sang khôngchóp vấn đềgian bài sang toán vấn đề  .  Tâm  HS Vì Ví là trục dụ ABC 2: đườngvuông Cho phẳng. tròn hình Từtại ngoại đóC chóp HS  chuyển làH tiếp S.ABC là trụcviệc trung  ABC. có giải điểm đáy bài ABC toán AB. hình là tam không giác gian vuông sang vấn tại đề C; bài AB toán = c, phẳng 6 vuông c đường tại mặt S.ABC.C cầu tròn H Việc Tâm ngoại ngoại làmặt tiếpcầutiếp trung chuyển điểm ngoại ABC.  hình vềtiếpbàiAB. chóp hình toán Vì chóp làphẳng là O ABC Ođường  SH. SH. dựaquen vuông tròntrênthuộc. tại ngoại sự Cphẳng phân tiếp quen H tích là  ABC. thuộc trung sau: quen quen quenthuộc. điểm thuộc. thuộc. AB. òn ngoại cáctạicạnhtiếp Tâm HSmặt là ABC.cầutrục Ví ngoại dụ đường  2: tiếp Cho tròn hình hình ngoại  chóp chóp tiếp là O S.ABC SH. ABC. có đáy Ví dụ ABC 4: Cho là tamhình giác lập vuông phương tại C;lập ABCD AB .phương AM, = 1C 1 BN c,1DABCD ;cácGọ. vuông c  (ASB) đường  Ccắt tròn bên  H là (ASB) mặt ngoại nghiêng cầu quen trung cắt tiếp mặt ngoại  đều thuộc. điểm cầu ABC.ngoại  tiếpvới AB. Tâm tiếp đáy theo mặt theo góc cầu đường đường  tròn.tròn Tính ngoại  lớn.lớn. bán tiếpVí dụ kính hình Ví4:dụ mặt chóp Cho 4: Cho cầu là hình O hình ngoại lập lập  SH. phương phươngtiếp VíVíVí dụ dụ dụhình 4:4:4:Cho ABCD Cho. chóp Cho A1B a)hình hình hình 1CXác lập 1 D1 ; Gọi lập Gọi định phương phương M, vị NtrílàABCD 1 ABCD của đ vuông tiếpcầuS.ABC. ngoại hìnhtại C chóp tiếp Từ các H là giả hìnhOlà thiết cạnhchóp trung suy bên là điểm Ví O dụ ra nghiêng  nếu AB. 4: SH. Cho  H HS đều hìnhlà hình là với lập trục chiếu đáy phương đường góc của cạnh tròn S .AD lên .Tính ngoại và (ABC) bán DB tiếp ;sau: Gọi B kính thì saoM,cạnh H mặt cạnhNABC. cho là làAD cầutâm các AM điểmđường ngoạiBN ; thuộctiếp Gọi tròn cáchình I, J =chóp lần lượt; ;Gọi Gọi là I,tru I, J lJ c đường (ASB)  tròn Tâm Việc cắt Bán ngoại mặtmặt chuyển kính tiếp cầu SH. mặt cầu cầuvề ngoại ngoại bài ngoại làABC.  tiếp toán tiếp (ASB) tiếp bằng theo hình phẳng bán cắt đường chóp kính mặt dựa là đường trên cạnh cầu tròn O tròn ngoại ABCD sự AD lớn. SH.phân là và tiếp A1B các B B 1C1sao tích điểm theo 1 thuộc cho đường cạnh các AM cạnh = BN tròn AD AD; vàvà Gọi lớn. và và = B B I, BBB gócvị J B saosao 1sao 1lần với sao cho cho cho lượtIJ. cho AM làAMAM = trung = BNBNBN ; điểmGọi I, của J A Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 cầu ngoại tiếp hình chóp O a) Xác định vị trí của đường thẳng IJ v   ngoại Cho tiếp SAB ABC. có AB =  c; SH. = = . Tính bán kính 1 đường  a) SAB. tròn Xácngoại định tiếp 1 trí của đường thẳng IJ v ắtcgoại mặt đường cầu tiếp Bán ngoại ngoại tròn theo Từ ngoại (ASB) kính tiếp S.ABC. tiếp đường giả  SAB. mặt thiết theo cạnh tiếp cắt tròn cầu Việc mặt suy  đường AD lớn. raABC. cầu ngoại và chuyển nếu B tròn ngoại tiếpB1  SAB Hhình sao làvề lớn. Tâm tiếp bằng cho hìnhbàiSBA AMmặt toán theo bán chiếu = BN cầu đường kính  phẳng; Gọi của ngoại đường I,dựa Stròn J tiếp Gọi lên lầnI, Jlượt trên lớn. tròn (ABC) hình lầnsự ngoại chóp là phân lượt trung thì là trung tiếpH là điểm tích O điểm làđườngtâm của SAB. củaSH. sau: ABABvà đường và C1D1 .. vàtròn cầu ngoại  tiếp hình chóp là O  Bán toán SH. kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán góc góc kính với với IJ.đường IJ. tròn b) Dựng ngoại tiếp thiết  diệnSAB. tạo bở ắtVấnmặt mặt đề cầucầu  SAB.thực ngoại Vấn ngoại chất Vì đề tiếp thực  ABC tiếp là giải theo chất bằng Từ là bài đường giải vuông bán giả toán bài kính thiết hình trònsuyđường  học lớn.học  tại C  H là trung điểm AB. (ASB) ra nếu phẳng. phẳng. tròn cắt H ngoại là mặt hình cầu tiếp chiếu a) ngoại  Xác SAB.của định tiếp S vị theo lên trí của đường (ABC) thẳng thìtròn H IJ lớn. là tâm MN. Chứng đường minh tròn 666 goạicầu ắtmặtmặt ngoại tiếp Vấn ngoạicầu bằng Chođề  tiếp tiếp ngoại Cho thực Bán  bánhình ABC.  tiếp SAB SAB kính chất kính cócóchóp theo AB là mặt đường AB là giải cầu ==đường O c;c;Vấn bài SAB tròn ngoại  SH. toán tròn =đềSBA ngoại hình tiếp lớn.= bằng tiếp  .học Tính .Tính  phẳng. bán bánSAB. kính bánkính kính đường đường MN cắthình tròn tròn và ngoại vuông ngoại góc tiếpvới tiếp b)IJ. b) Dựng Dựng  SAB. 6 thiết diện thiết c) diện tạo Với tạo bởi vị bởi6 mặttrí nào mặt phẳng của phẳngđi M, điqq cầu ngoạiViệc tiếp giải HS bằng bài là toán trục bán này đường kính tương tròn thực đường đối ngoại chất tròn dễ là dàng: tiếpngoại giải bài tiếp ABC. toán 6 SAB. học phẳng. i chất ắt mặt bài mặt làcầu  toán SAB. cầu giải Vấnngoại hình đường Vì ngoạiÁp bàitròn đềhọctoán ngoại tiếp tiếp dụng ngoại thực ABC hình bằng định tiếp theo phẳng. tiếp chất vuông lí học đường là bánhàm ABC. SAB. phẳng. giải tại kính sốC trònbài  sin toán đường taHBán lớn. là có: kính hình trung tròn mặt học ngoạiđiểm  cầu phẳng. tiếpAB. ngoại  b) Dựng SAB. tiếpthiết bằng diện bán tạoc) bởi c) kính Với Với mặtvịđường vị đó.nào phẳng trí trí nàođi tròn của của quaM, M, ngoại hai N Nđường tiếp thì thiết thì thiết diện  SA diện cc chất là giải Việc bài toán giảiTâm bài hình mặt toán này học cầu tương phẳng. ngoại đối dễ Vấn tiếp dàng: hình chóp là O thẳng SH. IJ và MN. Giải: 5 đề thực chất làlà giải bài toán hình đó. học phẳng.  ABC vuông tạitròn C  HABC. trung điểm AB. mặt cầu Việc ngoại giải bài tiếp toán bằng này Vì đường bántương kính đối dễ đường dàng: ngoại tiếp SAB. đó. chất là giải bài HS toán là trục hình học tròn sinphẳng. có: ngoại tiếp Áp Áp dụng dụng  toánđịnh (ASB) định lí líhàmhàmsố cắt HS sốsin mặt là tata có: cầu ngoại trục đường 5 tiếp tròn theo ngoại đường tiếp c) Với vị trí nào của M, N thì thiết diện cóa) tròn ABC. lớn. Giải: Giải: chu Đểvi giải bé nhất bàivàtoán này, t chất là giảibài Tâm mặt hình c cầu  học phẳng.  5 5 =ngoại tiếp hình chóp là O  SH. tìm giá trị nhỏ nhất đó. B’ B’ 5 Báno kính mặt 2 Rcầu ngoại tiếp bằng 5 bán kính đường tròn ngoại a) Để a) Đểtiếp giảiminh giải bàiSAB. bài toán toán được này, này, đường ta dễ ta dễIJchứng là trục đối chứng − 25Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là Giải: O  SH.   (ASB) c 180 cắt = 2 Rmặt cầu ngoại tiếp theo đường tròn lớn. sin( ) a) Để giải bài minh minh toán 5này, được được ta dễ chứng(BC đường đường IJ là IJ minh là B1 ) và C1trục trục được đối đối (AD đường xứng xứng IJD1làcủa1 ). Suy ra Acủa sin(Vấn180 −đề o 2 )thực  chất làcắt 5(ASB) giảimặt bàicầu toán ngoại hìnhtiếp họctheo phẳng. đường tròn lớn.  Bán kính c mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kínhtrục đường đối xứng tròn của(BC ngoại (BCCC11BBtiếp 11)) vàvà (AD và (AD SAB. đối xứng DD11AA11).).. Suy IJ, Suyra, Suy điểm ra,qua ra, qua qua B trục biến trục thành trục I’I’ 5 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng  R =c  đối bán xứng kính IJ, điểm đường B biến thành tròn điểm ngoạidiểm A, điểm tiếp biến biến  SAB. thành thành điểm điểm D. Kế  Vấn R = đề 2thực . 2chất là giải bài toán hình học phẳng. đốixứng đối xứngIJ, IJ, điểmđiểm BB biến biếnB thành điểm 1 thành điểm A, A, sin 2 sin 2 Vấn đề thực chất là giải bài toán hình học phẳng. D. Kết hợp với giả thiết, diểm BB11 biến diểm suy ra điểm biến thành thành N biến giả điểm thiết,D. điểm thành suyKết D. điểm Kếtra hợp M. điểm Từ hợp với N biếnAAth với c/ Cho phép HS tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình không giansuynày sang 5 c/52ChoTẠPphép HSHỌC tưởng tượng giảsang giả phân tích chuyển hóa hình không gian này thiết, thiết, suy ra M. Từ ra điểm điểm NNđó, biến biếndễthành dàngđiểm thành chứng minh điểm II CHÍ KHOA GIÁO DỤC VIỆT NAM bộ phận của một hình không gian khác nhằm đưa vấn đề cần bộ phận của một hình không gian khác nhằm đưa vấn5 đề cần giải quyết về dạng giải quyết về Từ đó, Từ M.quen M. dạng đó, dễ dễ dàngquen dàngMN cắt và chứng chứng vuông minh minh góc với được được BB IJ. thuộc. thuộc. 5 MN cắt MN cắt và và vuông vuông gócgóc với với IJ. dụng tính chất b) Sử IJ. NN giao 1 1 một mặt phẳng phân biệt với h
Việc giải bài toán này tương đối dễ dàng: b Áp a dụng định lí hàm số sin ta có: b a) Xác định vị trí của đường thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông Đào Tam, Đậu Anh Tuấn ađường đường thẳng thẳng IJIJvà Hình vàMN. 1 MN.Chứng Chứng a)minh Xác MN minh địnhMNcắt vịcắttrí và vàcủa vuông vuông Hình đường thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông 2 góc với a) Xác IJ. định vị trí của đường c thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông MN. Chứng minh MN cắt và  góc vớio IJ. = 2 R vuông Chứng Chứng góc vớia) b) minh minh Dựng IJ.Xác định vị trí sin( MNMN thiết cắt cắt diện vàvà vuông vuông của tạo 180 bởi đường − 2a) mặt  )thẳng phẳng Xác định IJMN.đi vàvịMN.qua hai trí của đường Chứng đường thẳng minh thẳng IJ và MN IJcắt MN. và và MN. vuông Chứng minh MN cắt và vuông bởi bởimặt mặtc) phẳngphẳngVới đi vị đi qua tríqua nào hai hai đường của đường M, thẳng b) N thẳng Dựng thì IJ thiết IJ và thiết và diệnMN. diện có tạo chu bởi vi bé mặt nhất phẳng và tìmđi qua giá hai trị đường nhỏ nhất thẳng IJ và MN. hứnghai góc đườngvới minh b) IJ. Dựng MNthiết thẳng cắt IJ và vàMN. diện vuông góc với tạo bởi cmặt phẳng đi qua hai đường thẳng IJ và MN. IJ. tọa độ, có gốc tọa độ là giao của hai đường thẳng vuông góc M,,N. N N thì thì thiết thiết diện diện có có chu chu vi vi bé bé = Nc)thìVới nhất nhất và và tìm tìm vị trí thiết giá giá nào củatrị trị nhỏ nhỏ nhấtnhất M, Nbởi thì mặt thiết diện có chu vi đường hu đó. ường Chứng vi bé thẳng c)thẳng b)Với nhất minh Dựng IJIJvị vàvà MN và trí thiết tìm cắt vàcủa MN. MN. nào diện giá vuông trị RM, tạo nhỏ 2 bởi sin nhất mặt 2  . Dựng b)thiết phẳng diệnđicó qua diện chu haivitạo bé nhất đường thẳng vàmô phẳng tìmtả đường IJ và giá điMN. trịquaLênhỏ haibé aHồng nhất đường nhất và Phong và tìm thẳng đường giávà IJ trịMN. Nguyễn nhỏVăn nhấtCừ có a)giá Xác trịđịnh đó. vị trí của đường thẳng IJ và MN. xChứng chiều thìminh MN cắttrục và hoànhvuôngtừ gốc tọa độ tới Hải quan và chiều c)Giải: i bé bé nhất nhất vàvà tìmtìm giá trị nhỏ nhỏavuông nhất nhất c)cắt Với vịvuông tríB’có nàochu củaviM, dương ờng đó. hứng thẳng thẳng minh IJ vàVới góc IJMN MN. và với vịvà MN. trí cắt IJ. Chứng nào vàc/của minh M, N MN thì thiết và diện bé N nhất thiết và C’tìmtrục diện giátung có trị chu nhỏ vinhất bé nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ai đường a)thẳng Để IJgiải MN. bài toán Cho x này,x phép đó.tạo bởi Giải: ta dễ HS chứng tưởng tượng phân tích dương chuyển hóa hình từ gốc x tọa độ không gian tới này Quánsang Bàu (xem hình). Khi u y,xxta éđó. vinhất tadễ bé xGiải: dễchứng và tìm nhất chứngđường và tìm giá B’B’trị nhỏ nhất b) giá Dựng trị nhỏ thiết nhất diện C’C’ mặt phẳng đi qua hai x đường thẳng đó, trường IJ B’ và MN. Trung học phổ . B thông C’ Chuyên Phan Bội Châu nằm ng minh thẳng được IJ và C’bộ phận MN. IJ Chứnglà trục của minh mộta)xứng đối hìnhĐểMNGiải: giải không của cắt bài và B’gian toánvuông này, ta khác nhằm dễ chứng đưaC’vấn đề cần giải quyết về dạng quen phẳng ờng thẳng a) Giải: đicủa Để qua IJ và giải hai c)MN. bài đường Với toán vị trí này, thẳng nào b của ta IJ dễ và M,MN. chứng N thì thiết diện có chu vi bé nhất x ở góc và tìm phần giá B’tưtrịthứ nhỏ nhất nhất x sát với trụcC’ hoành cách tâm 0 gần 50 ối đối xứng xứng của C’ C’ thuộc. minh Suy được ra, qua đường trụcgiải IJI’B’ là trục đối xứng của N. minh c (BC định Chứng x được Cvị a) 1 Bđó. Để )đường 1minh trí và của giải (AD MN đường IJ bài Dlà 1cắt toán Atrục 1 ).và thẳng này, đối vuông ta IJdễ xứng và a) của chứng MN. Để Chứng bài toánminh này, MN ta cắt dễ và chứng m. C’ vuông bé hiết ra, ra, nhất qua diện qua và trục trục cótìm chu I’giáI’ vitrị bénhỏ nhấtnhất và C tìm giá trị nhỏDnhất IJ làSuy ra,đối qua trục C’ C’ (BC 1B 1 ) khi và (AD 1 A1 ).thức I’ 1 mặt (BC đối phẳngCxứng B1 ) và IJ, đi qua (AD điểm Giải: hai Bđường biến VíSuy dụ thành thẳng ra,Sau 3: minh qua điểm IJ được vàcủa trục A, học MN. đường I’công trục tính thể x xứng tíchcủa của Ví dụtứ 6: diện NgườiVta=có Bh thể biết thì bàicon toán tàu ra tạo khơi ở vị trí nào nếu minh 1được đường DIJ 1 Alà 1 ).trục đối xứng nh hdiểm điểm điểm A, A, Hình 3 đối xứng IJ, điểm B biến B’ thành điểm A, C’ b/ Hình Giải 4 các 3bài toán cực trị trong thực tiễn liên quan đ ai ng đường thiết )biến 1diện thẳng tạo thành IJ bởivà điểm MN. mặt phẳng D. Kết điqua hợp qua với hai đường thẳng IJMra, và MN.trục I’ hì thiết Bdiện có chu vi bé nhất và tìm giá trị biết được kinh độ, vĩ độ và khoảng cách từ đó đến đất liền để Để giải ).Mbài toán này, Bta )dễ chứng I’nhỏ AD1nhất ). Suy qua a) (BC và (AD D C’’ đối (BC xứng b/C1Giải Bvới IJ, và điểm các (AD ra B bài xDbiến chướng 1A toán thành Suy ngại cực ra, điểm lớn trị C 1cho trong A,1trục HS. thực tiễn A 1 liên M quan o đến tính chất lượng của các Kết Kết hợp hợp 1với diểm biến thành điểm nhấtD. Kết tìmhợp với B1 đối D D C’’ C’’ trịtrungnhỏtâm cứu nạn xác Mo định được vị trí con tàu khi cứu C’’ nạn. 1M giả thiết, suy ra AAđiểm Nthiết biến thành D uiđối diểm vị vi trí M xứng bé Bo1nào nhất B’C’ biến minh IJ, của và thành điểm được D B tìm M, N đường giá điểm biếnthìtrị M D. IJ nhỏM thành M là o Kết đối C’ o trục diện nhất xứng hợp điểm cóđiểm với y xứng chu A,IJ, điểmvicủaIbé A BBbiến Mvà “Tính thànhMo thểđiểm giá tích A, Dcủa tứ Anhất hình. diện M ABCD C’’biết AB = CD =a; hứng hành thành hình. M điểm điểm ICI B ) và (ADgiả thiết,được C’’ suybiến ra Bđiểm NI’ biến thành điểm Ví Idụ 7: Từ bản vẽ vẽ ngôi nhà, hình dung được hình dáng 1 ). Suy giả M. diểmoo thiết, suy Từ đó, (BC DD dễ biến HS ra thànhdàng điểm 1 1 dễ chứng điểmdàng N x x biến D1minh D. thấy A C’’ diểm thành C’’ Kết hợp được Bra, điểm 1 vớihình qua trục I A 1,điểm thành hình MAC D.2MKết =o và CBD có=b hợp thể với DvàQ AD gặpA=khó BC =khăn c”.8:MTrong o ở hình mộtD 3, hình 4. đợt tổ chức cho C’’ Ví dụ cáctham HS gia dc của MM B của M C’’ nh nh được được B ngôi nhà đó về chiều dài, độ cao, chiều rộng cácb/ gian phòng. D C’’ M MN M o cắt 1 đối và BB’ B xứng IJ, điểm M. vuông góc Trong với B IJ. một biến Từ đó, thành C’ đợt tổ dễ điểm chứcdàng A,xchứng minh cho tham được gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể Giải bài toán oễ chứng Ví dụ 8: giả thiết, suy ra điểm HS N biến thành điểm N M. giả Từ rục I’C diểm x thiết,Giáo đó, D suy dễ NN C’Qviên dàng ra B1 biến điểm sẽ chứng định AthànhMN N minh biến hướng C’’ điểm C C thành cắtD. được B’ và để Kết Q điểm Q vuông cho B hợp với HS Ngóc với I tưởng A IJ.C’M C M tượng Chướng ngại được:Q thể hiện ở chỗ HS N D có chỗ nghỉ ngơi I C’’ không C Q xác định trong quá trình tham quan dã ngoại, các ứng MN giảicủa cắt Từ bàiđó, b)toán và Sử vuông dễ dụng này, dàng góctatính chứngdễ với chất chứng IJ. minh giao M. Từ được giữa đó, dễ dàng o chứng minh được b. Giải B vẽ các bài toán cực trị trong thực tiễn liên hình.quan đến A, ao M. iao giữa có giữa chỗ giả nghỉ - thiết, Đối ngơi suy vớira trong điểm hình quá N biến 3, trình ta thành Sử dụng chiếu tham N Bđiểm quan tínhgóc hai dã đường chấtvới ngoại,được giao thẳng đường các bạn chéo cao HS đã nhau từdựng một theo đỉnh trên mặt phương nào đó. đất Từ nằm đó trong IJ. giữa I đường một CC C mặtIJ Sử là QQ I’phẳng Q trục đối phân xứng biệt của với hai b)cắt mặt C Q chất lượng của các hình N bằng phẳng một C chiếc Q ua với MN trục cắt mặt b) và DM. phẳng dụng vuông TừMđó, tính gócdễ song zdàng chất với Csong giao IJ. chứng MN D với minhvà giữa hai được vuông đường BAC’’ Q thẳng khôngchéo tính nhau tính được độmặt dài đường cao theolều a, b, bằngc. bạt từ mộtVítấm dụ bạt hình cm 8: Trong 1Qlên phẳng chiếu; N haio haimặt mặt C’’ 1 C à (AD phẳng bằng A Q song đó,phẳng dễ song Suy dàng mộtra, M tạo chứng o chiếc quachất hai một minh trục giao lều mặt được bằng tuyến phẳng MN bạt cắt từphân và một vuông biệt tấm góc với bạt với hai hình IJ. mặt C chữ nhật DVí dụ có 8: chiều Trong J’ dài một là đợt 12 tổ m chức cho HS tham gia dã ngoại 1 ). dụng C ’ ểm một A, mặt D1 AMN I b)phẳng Sử cắtphân A A 1 và 1 tính vuông biệt với gócgiao vớiI’IJ. hai mặt giữa b) Sử dụng N tính chất giao giữa 1 A1 và chiều có’chỗ nghỉ ngơi trong oểm tuyến tuyến song điểm Bsong. biến b) - Từ Sử thành Đối dụng đó dễ với điểm tính dàng hình phẳng chất A, tìm giao 4, song được giữa ta DD 11 chiếu song một 1 1 mặt tạo AJ’ hai 1J’ phẳng hai đường giao phân CC’ ’biệt tuyến thẳng với J chéo ngoài trời. nhau Để córộng thể cólàphương theo chỗ6 mnghỉ Dbằng 1 song ngơi cách:J’ song trong Gập quá Cđôi trìnhtấm thambạt lại theo ợp với một mặt phẳng phân biệt với hai mặt 1 phẳng một B mặt phẳng và song chiều song rộng b) phân tạo Sử là J’ Pbiệt dụng hai 6 m giao bằng tính Cvới chất tuyếnhai cách: J giao Gậpgiữa B đôi tấm bạt C’’ lại theo đoạn D1 nối trung J’ điểm hai ’ cạnh tạomặt A D 1 M M J’ C D ’ J D A1 song song. Từ 1 C J được 1 m được P đó C1J quan dã ngoại, A1 bằng phẳng một chiếc o hai BDJB 1 mặt phẳng songsong song ’ song. haiTừ giaođó tuyến dễ dàng tìm được làC’’ chiều các rộng bạncủa HS tấm đã dựng bạt1 trên sao mặt choJ’đất haibằng mép phẳng C ’ chiếu dài còn l 1 1 ovới một trong hai đường 1 A thẳng đó Molên mặt Dphẳng chiếu. Cthiết diện 11là lục giác 1 MQJPNI. B1 hMnphẳng thành điểm một D. mặt Kết J’J’ Chợp phẳng phân với CP’biệt với hai mặt 1 ongđiểm Msong. là song chiều QJD ID dễ Từ song dàng D rộng đó tìm dễ tạo của dàng 11 được haitấm thiết C tìm giao P bạt ’Q phẳng diệnđược Ctuyến C sao 1C’’ là cho song lục B hai giác M song mépMQJPNI. tạo chiếuA hai giao dài còn tuyến lại D của một 1 tấm chiếc bạt J’ bằng Pbạt lều sát đất C và ’từC1 một tấmDbạt cách 1 hình chữ nhật có chiều I. P P CD 1 NI. N 1 1 yhiết ra điểm J B c) J 1 Cphẳng 1 1N Ta biến thấy, song J’thành chu song điểm thiết vi Ctạo của hai diện lục Igiao là giác tuyến lụcTừ giác MQJPNI MQJPNI. bằng P hai C1 lần J chu D1 1vi của J’ hìnhCthang ’ J và chiều rộng là 6 m bằ ược aaIMQJ. song lục diện song. Jgiác là c) MQJPNI lục Từ b/ Chu giác đó Giúp vidễ 1 MQJPNI. của bằng dàngViệc chuyển lục ’ giác haitìm khắc song được lần bài phục MQJPNI song. chu toán nhờ vi Bbằng 1 sử đó không hai dễlần dụng dàng mối chu gian tìm vi liên về được của hệ bài 1 giữa dài J toán làBtứ nhau 12m diện phẳng và x chiều m (xem và hình thông rộng hình hộp; là 6m qua vẽ). hìnhbằng việc Tìm hộp cách: xcóphân để Gập khoảng đôi tấm không bạt gian phí lụcnhau giác MQJPNI bằng hai lần c)tìm xTa chu đểthấy, vicủa của B hình hình thangthang lục chu viMQJPNI. của lụcphía Cgiác MQJPNI làbằng hai điểm lần chu vi của hìnhrộng thang P P C C ễằng dàng 1 1 chứng xchu song mthang (xem song. minh Từ hình được đó thang C vẽ). dễ dàng Tìm Q được khoảng không gian P trong lều lớn nhất? P C 1 là chiều rộng của tấm b ằng haitích, Nlần vi của hình củaBthiết tứdiện diệnlàMQJPNI giác 1 1 thiết c) diện Tahìnhlàtách thấy, lục các giác thể chu IMQJ.xây bộ MQJPNI. vidựng phận lục từ phẳng giác của bằng hình cách bằng không qua hai cácPcặp lần gian C1chu lại cạnh liên viđốiquan theo củađoạn dựng hìnhnối đến các thang trung điều cặp mặt kiệnhai cạnh phẳng bài là chiềuđề toán song của tấm C1 hai C lần thiết chuQ diện vi là của lục giác hình IMQJ. MQJPNI. thang C Q c)DTa trải hình vuông BCDA BCDAc)và lênbằng mặt phẳng (AD A1 ) hai theo phương vuông gócA với iữa hai hai lần MQJ. lần chu 1 chu Ta 1 Ta thấy, viviIJ. trải của của J’ chu hình hình hình vuông viClượt thang thang ’của N lục giác vàTaCCthấy, MQJPNI 1 D1 D chu lên mặt vi của phẳng hai lục lần bạt sao giác chu D1cho MQJPNI vi mép bằng chiếu haithành dài lầncòn chu lại vi củacủa tấmhình bạt nhausátthang đất x mvà(xem hình vẽ CDA mặt CDA phẳng giải và và CC (AD các CC D D 1D bài c) song D1 )Ta lên lên theo 1 toán lần thấy,mặt mặt phương phương phẳng chu phẳng D1 vi phẳng chứa vuông Tacủa 1 (ADquen (AD các trải J’ lụcDD góc cạnh hình 1A tathuộc. giác 1A 1lần ) theo C 1 ) vuông đó; MQJPNI theo lượt ’ ba ' ' được phương cặp phương BCDA bằng các mặt '' hai hình và phẳng ' lần CCcáchchu D song D nhauvi của của lên song x m hình hình mặt này (xem thang thang phẳng tạo hình (AD vẽ). Tìm D hình A x ) để hộp theo khoảng phươngkhông gian mặt ai vuông dụng lần tính góc chuIMQJ. chất 1ta 1D lần 1A giao lượt giữa được các IMQJ. hình vuông B C DA và C C D D . Avi của ' ' 1hình thang J J mặt IMQJ. 1'' phẳng Ta trải (AD hình 1 'ngoại D vuông 'A 1 ) và tiếp theo BCDA tứ ' ' diện. '' 'phương vànhờ CCxem 1 D1 D xét lênmối mặtliên phẳng hệ1 trên 1(AD D A ) theo phương 1 đãtrong 1 1 thúc 1' ' đẩy các'' hoạt động biến đổi 1 1 ác ẳngvà ác Khi nphẳng phẳng hình Bhình C C1phân C1' Dvuông 'đó (AD vuông D ' điểm (AD . vuông biệt 1 Ví với B B Ihình lầnCdụ C ))hai DA theo Ptheo DA 2: lượt mặt và C1phươngvà Cho vuông thànhC phương C C C hình D 1 1trung ' D DgócD . . . chóp ta điểm lần S.ABC lượt ' của được có ' các và đáy hình ''J thành ABCvuông phía trung là B tam điểmC lều DA giác và là J của' lớnC vuông nhất? C ' D 1 C1 . ' D . tại C; AB = c, J’ Ihình ra Dhướng D1 11 Ta ' ' C AB vuông ' góc Ta 1 ta D .D 'lần 1' 1A A1đối1lượt ' được tượng, các hoạt hìnhđộng vuông điều trải và1ứng để vuông D’cấu và trúc BCDA 1lại D1JDbài và .(AD toán, CC 1 1D từA111)D )đó lên 'tìmphương mặt 1phẳng (AD giải D1 A1 )' theo phương quyết. 1 trải vuông BCDA 1 và lên mặt ' phẳng theo phương ' và JC thành Cđiểm1 Dtrung DKhi Ta điểm trải ' hình của vuông ABCDA 1 CC DđiểmB1 D CC C1 D ' DA1' I' lên Cmặt AB' 'Cvà phẳng (AD ' DD 1A theo 1 trungvàtrung điểm của đó của điểm ' I lần và và J 1J thành1lượt . đó thành thành trungtrung trung điểm điểm của của của . . ' JAB D Khi C điểm I lần lượt thành trung điểm của J thành '' ' trung điểm của D1C1' . '''' ' ' các Gọi cạnh I I giao bên điểm AB nghiêng của đường J đều thẳng với đáy vớiJ góc J AD D ' ' ' D D và C . 11 Tính C D 1 D'' lần bán lượt I kính tại mặt AB' ',' M và cầu . ngoại tiếp hình J chóp ợc C song hẳng KhiC C vuông C D đó D tạo (AD D D 1.. vuông điểm góc hai D D I giao A 1 lần ) góc Thểtheo tuyến lượt ta tích J’ phương lần thành lượt tứ vuông trung được diện C ’ ' điểm các bằng góc hình ta thể I ' Jlần vuông ' của tích lượt hình được và 1 hộp J 1 và các thành trừ ' J’ hìnhđitrung tổngvuông . điểm C thể ’ M B C tích 0 của DA 4 1 và hình C . C chóp D D . có thể tích IJIJta MP1được Dcác 1hình vuông B I ' AB J D C ' J và . ' ' Jthẳng B C DA C 1C D D và 1thành 'trung Mđiểm của ..lượt 1 ' ' 1 ' ' ' và DMQJPNI lần lượt J 'tại B, CMM DA C C D D ác ai lần chu thành vi 1 bằng 1củatrung 0hai hình ,điểm vàJ'D lần . Jthang Dcủa1chu vi của hình MMthang ' ng thẳngD với AD Dlần C1lượt ' và D11'1'lần tại 1 .1 .đường 1 1 1 1 ờng ' ' với AD Gọi giao tại điểm 0 ,của thẳng J với ' AD 'và 'DDDC 1 1 J1' lần lượttrung tại Mđiểm 1 1 0 , M 1 .' 1 1 C 1 1 Itrung Từ JCJKhi ' đó dễ thành thành và D D Pchu D củađóS.ABC. D . Gọi Như trung trung điểm lầndàng Khi giaoGọi lượt điểm đó I điểmtìmViệc điểm điểm thiết giao lần bằngtại được lượt J J điểm M I của chuyển ' vậy, củacủa lần nhau. thành , lượt D đường của M D diện C. BC Khi đường . thành trung về . đó thẳng bài chu thẳng điểm trung điểm toán I ' điểm J I'J' ' ' 0phẳng II vớilần với của I AD' vi lượt ADcủaAB và dựa ' thành AB và D ' và J D trên thành của trung J thành lần lần sự điểm lượt trung phân tại điểmI thiết điểm M tích của , J của J 'AB M củasau: . và D 1 C 1diện .thành ' . J của D1C1' . vi của thiết diện 1 1 1 1 chu C vi của Như 2'thiết P ' ' vậy, C diện chu ' viM I ,' ,MM, của thiết , M 1 .diện' 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 lục giác =MQJPNI. Gọi I0,'(giao +điểm của đường thẳng vớicủa AD và2 ) Dnhỏ lầnnhất2 lượt Jkhi ' tại 1 . vàdiện Q, J ' lần ' D D QJhành giác D D 1 lần P'1)MINPJQ lần nhỏ lượt MQJPNI trung NhưGọi lượt 2Pđiểm nhất lượt giao tạitại Từ tạikhi M =bằng M điểmgiảJ2 ' IM ,của vậy, M M thiết M, 11...D'1đường hai của MQ Q, C' 1suy lần 'J .+ QJ ' chu ra + vi chu thẳng IJnếu Gọi )của =giao IH (Ihình ' M là Iđiểm với J+' MQ ' vi ' hình thang AD +chiếu và QJ đường xD của ' ' 1ycủa D2 1thẳng lần= alượt S lên ' tại(ABC) Ithiết với 0 AD thì D H Dlà 1 tâm lượtđườngtại ' M 0tròn của 0 , M 1 .' 0thiết diện Jphương +D M QJ hẳng QJ CC + IJ + với D (AD ) IJ )hàngD= 2 = 2Nhưlên (D I(I M 'IMQJ M 'Amặt M1Như +) MQtheo MQ phẳng + phương QJ + QJ )(AD P)MINPJQ nhỏ nhỏ D A nhất nhất ) theo khikhi I I , , M, M, Q, Q, J J nhỏ' nhất khi thiết I , M, Q, J thẳng .+ điểm vậy, =diện 2điểm P chu =' 12(,IM +lần MQ vi chu +'QJ + với IJcủa ) =điểm 2 (I MM +thiếtMQ + QJ ) diện +.'M trùng với điểm +Q QJtrùng 1 . I ' ,viM, Q, Jcủa trùng ng thấy, 'hai chu lầnđiểm chu vi =của 20vi vậy, lục của chu giác 'vihình của MQJPNIthang thiết 2bằng hai ) 2 vi của hình thang 1 1 1 1 1 1 D P của của 'lần lượt ngoại =Như nhỏ 2' CP'IMQJtại nhất tiếp thiết thiết M (,khi IM M 1ABC. '' vậy, MQ , +diệndiệnQJ + IJ −+chu 4)Như ' IMQJ =xyz (= IM M0xyz + MQ vậy, 'vi với  x + nhỏ của 2 chu =nhất b 2nhấtkhi thiết diện diện vuông vớiCQJ D )D điểm .B DA , và điểm C QC ID V trùng D' M, . = với Q, xyz điểm JQJ . ' z với 1MINPJQ ác vuông Dễ 1 1 điểm M cânMINPJQ P M nên dàng , điểm góc = 2 P chứng Q ' AM 0 Iminh 1 = trùng 1 2 ( ABCDthẳng bằng được IM + với MQ ' 'hàng điểm 6 + A M MIJ J 1điểm ) ' . 1I3 là M = ' 2 ( I M tam trùng + MQ giác + với QJvuông ) điểm nhỏ cân M nên, điểm khi' gócQ I ' , trùng M, Q, ' với J bằng ' điểm M . ủa )hẳng và nhỏ nhỏ CC ' hàng nhất nhấtD21'P D 'thiết 00 khi khi lên ' ' điểm 2mặt ,.' ,MM, ' IMQJ II(IM M,phẳngtrùng Q, Q, diện ' với (AD P JJMINPJQ +điểm D=  1)A= 21JP )1M (theo 0I ,M ' điểm =D+2phương (MQ IM' Q+ +trùngMQ  ' 2+với QJ nhỏ 2+ điểmIJ 2) = M nhất 0 2(x1I.=M ' ' A. khi AM + ' MQB.+0xQJ I ' ) Jnhỏ nhất khi 1 I , M, ' Q, J ' trùng với điểm 2. I , M, =Q, ' thành ểm được P được 0I  A=1A trung của thẳngAB điểm Vì là là =tam và hàng M  tam J ABC thành của giácgiác +điểm MQ D vuông vuông trung C vuông + M .QJ trùng điểm câncân IJtại vớinên nên C 2' IMQJ của điểm góc  góc H C, là . điểm ' QJ trung ' z) + bằng Q bằng trùng điểm y với= c AB. điểm 1 là trung điểm của nhỏ nhất khi1D I', . M, Q, J' thẳng hàng điểm M trùng với M MINPJQ  J J I ' IMQJ I ' ' là  D Dễ dàng chứng M AM AM minh I I  được  A J I là M A. tam x = giác 2 vuông 4 cân C. B. nên x =góc 4D. AM I ' bằng C. D. mặt ải hình' phẳng ,'nhất hay vuông (AD I 'trung .BCDA )M Ctheo điểm và phương của AD. A1,Tương lên mặt tự, phẳng điểm (AD 1 1là A1trung )cântheo điểm phương của DD Q1 .'trùng 1 1 1 1 ngnh gác nhỏ thẳngvới 45 vớivuông vuông A. điểm Dễđiểm hàng x 11 M dàng = Bkhi cân 2 MC M  0 1DA 1nên.điểm D chứng 1,Avà 1M, góc 1 minh '' ' CQ,trùngB. DCC 1x JD được thẳng ' D D 1'.với = 1 điểm bằng 4  hàng J 'M IM '  là C. , điểm 'tam điểm 0 00 M giác Q trùng trùng MD vuông với với D. điểm 1 điểm nên Mgóc M 0 .,góc 1 điểm AM 0 II bằng với điểm M 1 . 0 gD ,ủa a1AD. N I lần lần J '' 'Tương với lượt lượt AD điểm tại là trung và tự,M Dễ 0HS D ,, điểmdàng điểm M D 11là .lần của Q AM chứng lượt 1trùng AD làlà,trung I minhvới tại điểm M được điểm của .. 'D ' là tam 1 .1 .tiếp giác vuông cân nên Giải: Qua ' bàibằng toán gian thực tiễn, chúng D1 . ta cần= 2tính thể tíchB. lều Itrục đường AD. Tương tự, 0 tròn  A J ngoại I AM ' điểm trung ' điểm là của ' D lầnABC. d/của M M'1TTTKG hay ' giúp hình 1trung dung điểm 'DD ' của được AD. hình Tương khai triển tự, điểm của hình làkhông trung điểm củagóc lên D mặt . 0 Khi .01đó, chu vi '45 0 1 thiết Bdiện M 0 nhỏ 0 ' nhất khi M, Nlà lượt là 1 M và auông lần lượt được các hình Ivuông 'và ..thể J ' Itrung điểm 1của AD AM A. I 'xtích 1 0 vuông gcủa m 45 với điểm0C C ,1điểm hay là cân Giải:cânD 1Dễ ' D Itrung 1M nên của Mnên Qua dàng 0Dễ là , điểm hay góc ABgóc trung dàng bài chứng và AM toán của chứngAM điểm là J 0thành minh D 0trung thực minh bằng củabằng . điểm trung tiễn, được AD. được của Cchúng điểm Dễ  DA TươngAAD. J dàng I JTương ta là 'C của tự, là cần chứng tam Cđiểm tam 1D tính tự, 11C giác D 1minh giác điểm M vuông1vuôngMđược tích trung cân là lều cân trung điểm A1nên theo Giải: điểm x, của ' góclà từ Qua của tam Dđó D bài AM tìm Dgiá giác 1 1.0toán . I x' vuông để bằng thực hàm tiễn, cân chúngnên ta cần tính 0thể bằng lều ếtếtvà Mdiện nhỏ vi 45 nhấtthiết khi M khiM, của 'N Ddiện Nlần lượt thiết làlà trung điểm diện của AD số đạt D trị lớn nhất. Dễ dàng tính được chiều cao h hạ t Jdiện ' nhỏ nhất phẳng. Tâm M, J1mặt ' Từ đó lần cầu 0lượt 'chuyển Khingoại đó, trung ' chu việc M0tiếp giải viđiểm hình của bài củathiết toán chóp AD diện hình là Otừ nhỏ không ' nhất SH. gian khi ' sang M, Nvấn lầnđề lượt bàilàtoán trung phẳngđiểm của ADQua bài toán thực Giải: 0 1 1 1 m ông M, và hẳng là nh 45IN là lần trung 0được , B trung cân'thành số IKhi hay lần lượt B Jđạt '. nên 1chu điểm điểm với nên lượtM trung đó,thành giávigóc AD góc là của chu của của trị Khi điểm trung trung 'trung và lớn AM D vi thiết DD đó, D D nhất. của diện I 1chu điểm điểmD .điểm .bằngcủa bằnglần thiết nhỏ vi Dễcủacủa D 45 củaIlượt ' 1dàng C diệncủa ,, ' .hay hay 1thiết AD. AD tại AB tính nhỏ M 'diện Tương và, được 0nhất làlà nhỏ MJtrung tự, thành trung .khi nhất chiều điểm 'M, điểm khitrung điểm caoN MM,của của lần hđiểm N là AD.hạ AD. lượt lần trung J lượt là của Tương đỉnh theo điểm trung là x, Dcủa lều trung 1C từ tự, điểm 1đó .điểm xuống D điểm tìmD của x đáy 2 để của . MAD hàmlều là trung sốlà đạt điểm giá trị của lớn D nhất. DDễ . dàng tính =nhỏ 2(I M nhất + MQ khi 0 + QJ I ), M, quen nhỏ 0 thuộc. Q,và 1 nhất JB' 'B1 . khi I , M, Q, J 1 1 1x 1 1 số đạt giá trị lớn nhất. D và à và iaolần hulần D trungB điểm lượt DBlượt Vận lần điểm 1 .Khi của là là Tương và lượttrung đó, vi B dụng trung của xđường B21chu . (ASB) tại tự, D các điểm điểm điểmM D vi thẳng 0. ,của tính của củaMcủa cắt .làIchất 1 thiết AD AD mặt Jtrung hình với diện cầu điểm AD thiết Khi nhỏ học ngoại củavà đó, nhấtphẳng, Dchu D1khi tiếp . lần vi taM, diện của tính theo lượt N tại thiết được lần đường Mdiện lượt0, M chunhỏ làtrònvi nhất 1 .trung củahlớn.= thiết điểm khi9 − M, diện của . NAD nhỏ lần lượt là trung điểm của ADx 2 mất tvới M hìnhhình 0điểm h, điểm 1 học = học 9 M − Q phẳng,1 . trùng phẳng, . ta tavới 1 tính tính Ví điểm dụđược được 4: MCho chu Vận . nhỏ 1 chu vi vi hình dụng của của lập các thiết thiết phươngtính diện diện chất nhỏ nhỏ ABCD hình . Ahọc B C phẳng, D ; Gọi ta M, tính N 4 là được các điểm chu vi thuộc của các thiết diện nhỏ . ầnIJ vànhất )'lượt=B ' của 2làB(Vận là: Ilà 'vậy, M trung Khi dụng + MQ 4 vi đó, Vận điểm thiết Bán +các QJchu dụng ' chuvi )của tính kính nhỏ của các ' chất AD thiết tính mặt nhất và diện hình diện chất Bnhỏ cầu Bvi khi 1 học. hình ngoại nhất I phẳng, ' ,học M, khi ' của phẳng, tiếp M, Q, ta tính N bằng lần Jta tính ' lượt được thiết bán được là chukính 1 chu 1được vi vi 1 đường của 1 chiều của diệnthiết cao thiếtdiện tròn h hạ diện nhỏ từ nhỏ ngoại đỉnh lều tiếp xuống tích đáy SAB. lều là h = 9− tính ông 1 J ' I cân được 1 .tam nên chu giác góc của vuông AM thiết IAD cânbằng diện nên góc AM I bằng Không gian phía trong lều là thể tích hình 4 lăng trụ V được được 2nhỏ (chu chu trung nhấtnhất +viviMQ của điểm là:+Q của khicạnh thiết thiết của 0'AD ,phía diện diện M,=nhất vàvà nhỏ (nhỏ Q, B là:1+Jlều B . sao cho 0 AM = nhỏ BN ; nhất Gọi I, khi J lần lượt ,= M, Không làQ, trung gian điểm phía của trong AB lều là vàthể C D . hình lăng điểm 0 , điểm Không gian trùng )với 2trong điểm Vận là+D thể dụng )tích các hình tatính lăng chất trụ hình học.d ,của với phẳng, JSlà làta diệntínhtích được đáy củachu vi1 lăng của thiết diện nhỏ ' ' ' ' ' QJ nhất )= là: M IM QJ +I IJ IM M MQ 1 .học QJ IVchu Svi vàS.d, dthiết chiều cao hình 1 trụ. Từ Không gian phía t àương trung Vận tự, điểm điểm dụng Vấncủa M các D đề là Dcác tính thực trung . chấtđiểm chất hình củalà giải D phẳng, bài . toán tính hình được học phẳng. diện nhỏ cao đó: MQJ Vận 3 2 dụng x tính chất hình học phẳng, ta tính được chu vi trụ V = với S là diện tích đáy và d là chiều của hình rùng  điểm và ' ' d là chiều cao của hình với P M điểm = trùng M với 1 . 1 điểm M nhất , lăng điểm là:3điểm trụ. Q Từ trùng 1 đó: với 0 I bằng điểm M . và d là chiều cao của hì ược A1chu I vi làlà tam của giác thiết 1 3 vuông diện nhỏ cân 0 nên góc2 x AM ' nhất J là: Từ đó: V = 3x 36 − x 2 . nhỏ ần lượtnhất khi của trung 3minh M, thiết 2điểm 2 x= 3 P điểm N diện = lần 2nhỏcủa xlượt nhất AD là là:trung P = của AD 1 6 lăng trụ. àng c vuông chứng được 10J .II bằng bằngdùng V = 3x 36 − x 2 . D. Tương P =cân tự, Vnên góc 21 là Axtrung là điểm tamcủa giác 2 D vuông cân nên góc AM 0DễI dàng ' ' ' ' xM36 AM− 2 D1 . công dùng cụ đạocông hàm,cụtađạo tínhhàm, được ta Vmax = 3 M2không x làtinh Dễ dàng tinh được Vmax ện Mlà1nhỏ trung là trung nhất điểm Dễ 2điểm 32.2.2.khi 2dàng xcủa M, của Thể AD. dùngN hiện Dlần Tương Dcôngcủa . lượt trí cụ là tự, tưởng đạo trung điểm hàm, tượng điểm ta của trung gian ADđược điểm trong Vmax của D = V(3 D . 2 ) . .Từ Từ đó đó chọn chọn đáp đápán C. Dễ dàng dùng côn ược ọc phẳng, chuP vi = ta của tính thiết được diệnchu 1 nhỏ vi của thiết diện P = 1 nhỏ 5 1 án C. ,ó,Nchu lần án vi lượt C. của thực là2 thiết tiễn diện trung điểm nhỏ củanhất ADkhi M, 2N lần lượt là trung điểmTrên của đây, ADchúng Trêntôiđây, đã làm sáng tỏ một số cơ hội chúng tôi đã làm sáng án C. giúp HS tỏ một số cơ a. Định hướng và xác định được vị trí địa lí của một hình, hoạt động trải nghiệm tưởng tượng không gian. Bạn đọcTrêncó đây, chúng nh học phẳng, Trên ta đây, tính được chúngchu tôiviđãcủa làm thiết sáng diện tỏ nhỏ một số cơ hội giúp HS hoạt động trải địa điểm, một vật: 7 7 thể phát nghiệm hiện thêm tưởng các cơ tượng hội khác không để HS gian. Bạn trải nghiệm, nghiệm đọcchẳngcó tưởng thểtượng phát kh dụng nh được các chu tínhtưởng vichất7 của hình thiếthọc diện phẳng, nhỏgian. ta tính Bạnđóđược chuthểviphát của thiết diện 7 nhỏ nghiệm Ví 7dụ 5: Chỉ tượng dẫn cho không một người nào 7 đọcchưa có từng tới thành hiệnhạn thêm tạo cơcác hội cơ giúp hộiHSkhác trải để nghiệm tìm hiểu các lĩnh vực hội phố Vinh đi từ vị trí A đến B thì người ta đặt B gắn với vị trí họa, kiến HStrúc, trảixây nghiệm, dựng,...chẳng hạn tạo cơ hội HSgiúp HS trảichẳng trải nghiệm, nghiệ HS trải nghiệm, chẳng hạn tạo cơ hội 7giúp HS trải nghiệm tìm hiểu 7 các lĩnh vực hội khác liên quan, hình dung được khoảng cách từ A đến B và họa, kiến trúc, xây dựng, .... họa, kiến trúc, xây dựn 2x họa, tốt kiến nhất trúc, là mô xâyhình dựng, hóa .... được nhờ sử dụng ngôn ngữ tọa độ 3. Kết luận 2 chỉ dẫn cho người đó, sơ đồ các đường thẳng cần đi. TTTKG có 3. vaiKết trò quan luậntrọng trong giáo dục toán học3.cho Kết luận 3. Kết luận Định hướng từ Quảng trường Hồ Chí Minh đến Trường HS, không chỉTTTKG trong giảicó quyết vai các tròbàiquan toántrọngtoán học trong TTTKG mà giáo còn dục toán có vai tr 7 giải quyết các bài toán Trung TTTKG học phổ có thông vai trò Chuyên quan Phan trọngBội trong Châugiáo bằngdục cáchtoán sau học cócho nhiều giảiHS, ứng không quyết dụng các chỉbài trong trong giảitoán quyếttoán vấn học đề thực màtế.còn Từ có cáchnhiều ứng d giải 7quyết đây: Cócác bài toán toánhaihọc con mà cònLêcó nhiều ứngvàdụng hiểutrong giải thực tế. Từ cách hiểu v thể xem góc giữa đường Hồng Phong vềthực TTTKG tế. quyết Từ quacách các vấn khả hiểuđềnăng về đặcTTTKG trưng và qua đặc các biệt khảtừ năng đặc t thực đường tế. TừNguyễn cách hiểu Văn về Cừ TTTKG là7 góc phần qua tư các thứ nhất khả của năng hệđặc trục trưng việcvà làmđặc sáng biệt tỏ một từ việcsố biểu làm hiện của TTTKG, đó là cơ sở số biểu hiệ sáng tỏ một sáng tỏ một số biểu hiện của TTTKG, đó là cơ sở để tiế sáng tỏ một số biểu hiện của TTTKG, đó là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu đề xuất các Số 02, tháng 02/2018 9 53 9
NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN để tiếp tục nghiên cứu đề xuất các biện pháp phát triển năng giai đoạn hiện nay, đặc biệt góp phần phát triển năng lực tư lực TTTKG trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ duy và suy luận, năng lực giải quyết vấn đề trong nội bộ môn thông. Qua đó, góp phần đổi mới giáo dục toán học trong Toán cũng như trong thực tiễn. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Thiêm, (1984), Tưởng tượng không gian, phát huy trí [6] Hoàng Phê (chủ biên), (1998), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng. tượng tượng không gian của học sinh khi dạy hình học phẳng, Tạp chí [7] Phạm Minh Hạc (chủ biên), (1988), Tâm lí học, Tập 1, NXB Giáo dục. Nghiên cứu Giáo dục, số 11/1984, số 12/1984. [8] Đào Duy Anh, (2005), Hán Việt từ điển, NXB Văn hóa Thông tin. [2] Bùi Văn Nghị, (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội [9] Vũ Dũng (chủ biên), (2008), Từ điển Tâm lí học, NXB Từ điển Bách dung cụ thể môn Toán, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. khoa, Viện Tâm lí học, Hà Nội. [3] Lê Thị Hoài Châu, (2004), Phương pháp Dạy - Học hình học ở trường [10] Bùi Hiền, (2001), Từ điển Giáo dục học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. trung học phổ thông, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí [11] Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại Minh. học Sư phạm Hà Nội. [4] Nguyễn Mạnh Tuấn, (2010), Trí tượng tượng không gian và việc phát [12] Phan Trọng Ngọ, (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà triển trí tượng tượng không gian cho học sinh những năm đầu tiểu học trường, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. (lớp 1, 2) bằng phần mềm giáo dục, Tạp chí Giáo dục, số 248. [13] Đào Tam, (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học [5] Trần Trọng Thủy, (1998), Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà Nội. phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. SPATIAL IMAGINATION AND ITS ROLE IN MATHS EDUCATION Dao Tam ABSTRACT: The article introduces concepts of space, spatial imagination through specific Vinh University abilities. In particular, the author emphasizes the role of developing spatial imagination 182 Le Duan, Vinh, Nghe An, Vietnam in Geometric perception. Some expressions of spatial imagination in Maths learning and Email: daotam.32@gmail.com in reality. According to the author, spatial imagination plays an important role in Maths Dau Anh Tuan Nghe An College of Education education for students, not only in solving Maths problems but also in practical problem 389 Le Viet Thuat, Vinh, Nghe An, Vietnam solving applications. Email: dauanhtuancdsp@gmail.com KEYWORDS: Space; Spatial imagination; education; Maths. 54 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM