Tuyển tập đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 -2011 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo Đà Nẵng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)<br /> Bài 1. (2,0 điểm)<br /> a  1 a a 1 a2  a a  a 1<br /> Cho biểu thức: M <br /> với a > 0, a  1.<br /> <br /> <br /> a<br /> a a<br /> a a a<br /> a) Chứng minh rằng M  4.<br /> 6<br /> b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N <br /> nhận giá trị nguyên?<br /> M<br /> Bài 2. (2,0 điểm)<br /> a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị lần<br /> lượt là các đường thẳng (d 1), (d 2) và (m). Với những giá trị nào của tham số m thì<br /> đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao<br /> cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?<br /> b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần<br /> lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố<br /> định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy<br /> 1<br /> 1 .<br /> ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q <br /> <br /> 2<br /> OM<br /> ON 2<br /> Bài 3. (2,0 điểm)<br /> 17x  2y  2011 xy<br /> a) Giải hệ phương trình: <br /> x  2y  3xy.<br /> 1<br /> x  y  z  z  x  (y  3).<br /> b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:<br /> 2<br /> Bài 4. (3,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di<br /> động trên ( C) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng<br /> của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N.<br /> Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và<br /> CN cắt nhau tại F.<br /> a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.<br /> b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.<br /> c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn<br /> nhất.<br /> <br /> Bài 5. (1,0 điểm)<br /> Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.<br /> ---HẾT--Họ và tên thí sinh: .................................................<br /> <br /> Số báo danh: ........................<br /> <br /> Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ...........................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG<br /> <br /> KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> Môn thi: TOÁN<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các Giám khảo thảo luận<br /> thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể<br /> phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu<br /> không được thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để<br /> việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác.<br /> Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì<br /> bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó.<br /> Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào<br /> tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT.<br /> <br /> ĐỀ -ĐÁP ÁN<br /> <br /> BÀI-Ý<br /> <br /> a  1 a a 1 a 2  a a  a 1<br /> với a > 0, a  1.<br /> <br /> <br /> a<br /> a a<br /> a a a<br /> a) Chứng minh rằng M  4.<br /> 6<br /> b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N <br /> nhận giá trị nguyên.<br /> M<br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> Cho biểu thức: M <br /> Bài 1<br /> <br /> Do a > 0, a  1 nên:<br /> <br /> a a  1 ( a  1)(a  a  1) a  a  1<br /> và<br /> <br /> <br /> a a<br /> a ( a  1)<br /> a<br /> <br /> a 2  a a  a  1 (a  1)(a  1)  a (a  1) (a  1)(a  a  1) a  a  1<br /> <br /> <br /> <br /> a a a<br /> a (1  a)<br /> a (1  a)<br /> a<br /> 1.a<br /> a 1<br /> (1,25đ)  M <br /> 2<br /> a<br /> <br /> Do a  0; a  1 nên: ( a  1)2  0  a  1  2 a<br /> <br /> 2 a<br /> 24<br /> a<br /> 6 3<br />  do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1<br /> Ta có 0  N <br /> M 2<br /> 6 a<br /> 1.b<br /> Mà N = 1 <br />  1  a  4 a  1  0  ( a  2)2  3<br /> a 1 2 a<br /> (0,75đ)<br />  a  2  3 hay a  2  3 (phù hợp)<br /> <br /> 2,00<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  M<br /> <br /> Bài 2<br /> <br /> Vậy, N nguyên  a  (2  3)2<br /> a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị lần lượt<br /> là các đường thẳng (d1 ), (d2 ) và (m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường<br /> thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm<br /> A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?<br /> b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt<br /> trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định<br /> I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2,00<br /> <br /> 1<br /> 1 .<br /> <br /> 2<br /> OM ON 2<br /> Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m  0<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của (d 1 ) và (m) là:<br /> 0,5x  3  mx  (m  0,5)x  3<br /> Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m  0,5  0 hay m  0,5<br /> <br /> trị nhỏ nhất của biểu thức Q <br /> <br /> 2.a<br /> (0,75đ) Phương trình hoành độ giao điểm của (d 2 ) và (m) là:<br /> 6  x  mx  (m  1)x  6<br /> Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m  1  0 hay m  1<br /> Vậy điều kiện cần tìm là: 1  m  0,5; m  0<br /> Đặt m = xM và n = yN  mn  0 và m  1<br /> (*)<br /> Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b<br /> 0  am  b<br /> <br />  2  a  b  hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m  n  mn<br /> n  b<br /> <br /> 1 2<br /> Chia hai vế cho mn  0 ta được:<br /> (**)<br />  1<br /> 2.b<br /> m n<br /> (1,25đ)<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> 1   2 1<br />  1 2<br />  1<br />  1     2  2 <br />  5 2  2     <br /> m n<br /> mn<br /> m n<br /> m n  m n<br /> 1<br /> 1 1<br /> 2 1<br />  Q  2  2  ; dấu “=” xảy ra khi<br />  ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*))<br /> m n<br /> m<br /> n<br /> 5<br /> 1<br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là<br /> 5<br /> <br /> 17x  2y  2011 xy<br /> a) Giải hệ phương trình: <br /> (1)<br /> x  2y  3xy.<br /> <br /> Bài 3<br /> 1<br /> b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x  y  z  z  x  (y  3) (2)<br /> 2<br /> 17 2<br />  1 1007<br /> 9<br /> <br />  y  x  2011  y  9<br /> x  490<br /> <br /> <br /> <br /> Nếu xy  0 thì (1)  <br /> (phù hợp)<br /> <br /> <br /> 1  2  3<br />  1  490<br /> y  9<br /> <br /> y x<br /> <br /> 1007<br /> <br /> 9<br /> x<br /> <br /> <br /> 17 2<br />  1 1004<br /> 3.a<br />  y  x  2011  y  9<br /> <br /> (1,25đ) Nếu xy  0 thì (1)  <br /> <br />  xy  0 (loại)<br /> <br /> 1  2  3<br />  1   1031<br /> y x<br /> <br /> 18<br /> x<br /> <br /> Nếu xy  0 thì (1)  x  y  0 (nhận).<br /> <br /> 3.b<br /> (0,75đ)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2,0 đ<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 9 <br />  9<br /> KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và <br /> ;<br /> <br />  490 1007 <br /> Điều kiện x ≥ 0; y  z ≥ 0; z  x ≥ 0  y ≥ z ≥ x ≥ 0<br /> (2)  2 x  2 y  z  2 z  x  x  y  z  z  x  3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  ( x  1)2  ( y  z  1)2  ( z  x  1)2  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 1<br /> x  1<br /> <br /> <br /> <br />   y  z  1   y  3 (thỏa điều kiện)<br /> z  2<br /> <br /> <br />  z  x 1<br /> <br /> <br /> Bài 4<br /> <br /> Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính F<br /> AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C )<br /> sao cho M không trùng với các điểm A và B.<br /> Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường<br /> thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng<br /> AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C<br /> ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và C<br /> CN cắt nhau tại F.<br /> a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng<br /> hàng.<br /> b) Chứng minh rằng tích AMAN không<br /> đổi.<br /> c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam<br /> N<br /> giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.<br /> MN  BF và BC  NF<br />  A là trực tâm của tam giác BNF<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> O<br /> <br /> E<br /> <br /> (C )<br /> <br /> 4.a<br />  FA  NB<br /> (1,00đ)<br /> Lại có AE  NB<br /> <br /> 3,0 đ<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Nên A, E, F thẳng hàng<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> CAN  MAB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.<br /> 4.b<br /> AN AC<br /> Suy ra:<br /> <br /> (0,75đ)<br /> AB AM<br /> Hay AM  AN  AB  AC  2R 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn (C ))<br /> 2<br /> Ta có BA  BC nên A là trong tâm tam giác BNF  C là trung điểm NF (3)<br /> 3<br /> CAN  CFM , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng<br /> CN AC<br /> <br />  CN  CF  BC  AC  3R 2<br /> 4.c<br /> <br /> BC CF<br /> (1,25đ)<br /> Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF  CN  CF  2 CN  CF  2R 3 không đổi<br /> Nên:<br /> NF ngắn nhất  CN =CF  C là trung điểm NF (4)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Mặt khác:<br /> <br /> (3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF  NF ngắn nhất<br /> Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.<br /> Đặt:<br /> S = 123456789101112<br /> S<br />  3467891112<br /> <br /> (1) là một số nguyên<br /> 100<br /> <br /> hai chữ số tận cùng của S là 00<br /> Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1), nếu chỉ để ý<br /> (1,00đ)<br /> S<br /> đến chữ số tận cùng, ta thấy<br /> có chữ số tận cùng là 6 (vì 34=12; 26=12; 27=14;<br /> 100<br /> 48=32; 29=18; 811=88; 812=96)<br /> Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600<br /> Bài 5<br /> <br /> --- Hết ---<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,75<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 3.b<br /> (0,75đ)<br /> <br /> Điều kiện x ≥ 0; y  z ≥ 0; z  x ≥ 0  y ≥ z ≥ x ≥ 0<br /> x 1<br /> y  z 1<br /> z  x 1<br /> Theo BĐT Cauchy: x <br /> ; yz <br /> ; zx <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br />  VP  x  y  z  z  x  (y  3)  VT<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 1<br /> x  1<br /> <br /> <br /> <br /> Do đó  y  z  1   y  3 thỏa điều kiện<br /> z  2<br /> <br /> <br />  z  x 1<br /> <br /> <br /> PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (ĐỀ SỐ 3)<br /> năm học : 2011 - 2012<br /> <br /> Môn : TOÁN<br /> (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)<br /> <br /> Bài 1 ( 3,0 điểm)<br /> Cho các số dương: a; b và x =<br /> <br /> 2ab<br /> . Xét biểu thức P =<br /> b2 1<br /> <br /> ax ax 1<br /> <br /> a  x  a  x 3b<br /> <br /> 1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.<br /> 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.<br /> Bài 2 (3,0 điểm)<br /> Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:<br />  x 3  3x  2  2  y<br />  3<br /> y  3y  2  4  2z<br />  z 3  3z  2  6  3x<br /> <br /> <br /> Bài 3 ( 3,0 điểm)<br /> Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt S n = an +bn , với a =<br /> =<br /> <br /> 3 5<br /> ;b<br /> 2<br /> <br /> 3 5<br /> .<br /> 2<br /> <br /> 1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có S n + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)<br /> 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S n là số nguyên.<br /> 2<br /> <br />  5  1  n  5  1  n <br />  <br />   . Tìm tất cả các số n để S n –<br /> 3. Chứng minh S n – 2 = <br />  2   2  <br />  <br />  <br /> <br /> <br /> 2 là số chính phương.<br /> Bài 4 (5,0 điểm)<br /> Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE.<br /> Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O 2) đường kính BE. Vẽ tiếp<br /> tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O 1) và N<br /> là tiếp điểm thuộc (O 2).<br /> 1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường<br /> thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.<br /> <br />