Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015: Phần 1 -Nguyễn Thành Hiển

Chia sẻ: Nhung Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính chất dãy tỷ số, sáng tạo hệ phương trình, các bài tập ví dụ về ứng dụng dãy tỷ số là những nội dung chính trpng phần 1 tài liệu "Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015". Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015: Phần 1 -Nguyễn Thành Hiển

NGUYỄN THÀNH HIỂN ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1) Một tính chất cực kỳ đơn giản trong toán học, nếu biết cách khai thác sẽ tạo ra vô số bài toán Hệ phương trình hay và độc đáo. Xin gửi tặng các thành viên group Nhóm Toán bài viết nhỏ về "Dãy tỷ số bằng nhau", cũng như hướng giải các câu hệ mà mình đăng trong khoảng thời gian vừa qua. ! f (x, y) h(x, y) A. Tính chất dãy tỷ số. Nếu tồn tại = , thì g(x, y) k(x, y) f (x, y) h(x, y) a.f (x, y) b.h(x, y) a.f (x, y) + b.h(x, y) 1. = = = = , với mọi a, b 6= 0. g(x, y) k(x, y) a.g(x, y) b.k(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y) n n a.(f (x, y))n b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n f (x, y) h(x, y) 2. = = = = , với mọi a, b 6= 0. g(x, y) k(x, y) a.(g(x, y))n b.(k(x, y))n a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n B. Sáng tạo hệ phương trình. • Bước 1 : Chọn dãy tỷ số sao cho có thể tìm nghiệm x và y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !) f (x, y) h(x, y) T = = g(x, y) k(x, y) Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y). • Bước 2 : Sử dụng dãy tỷ số [1] hoặc [2] để tạo ra phương trình (2) 1. Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)). 2. Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n .(a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ). Ví dụ. Xét dãy tỷ số √ 3 x x−1 √ = = 2. x+1 y+1 p √ ! √ 3 1+2 2−2 Ta nhận được nghiệm (x; y) = 2 + 2 2; 2 √ √ • Phương trình (1) : xy + x = x + 1 3 x − 1. √ • Mức độ dễ : chọn a = x + 1 + y 2 ; b = −1, ta được hệ phương trình như sau √ √ xy + x = √ x + 1 3 x − 1 (1) √ (x, y ∈ R ) (x − 2y 2 ) x + 1 + xy 2 + 2y = 2x + 3 x − 1 (2) • Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta được hệ phương trình sau √ √ xy + x = x + 1 3 x − 1 (1)√ (x, y ∈ R ) x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + 1 (2)
C. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  √ p p  x y + 2 − y x2 − y = x2 − y (1) √ p x2 + 2 √ (x, y ∈ R )  y y + 2 + x x2 − y = √ − y + 2 (2) 3 Hướng dẫn : √ p y+2 x2 − y √ p • Dễ thấy x 6= 0 và y = 6 1, (1) ⇔ = . Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có y+1 x √ p y+2 x2 − y x2 + 2 = = √ p y+1 x (y + 1) y + 2 + x x2 − y x2 + 2 √ • Từ (2) ⇔ √ p = 3 (y + 1) y + 2 + x x2 − y 1 √  √ √  y = ( 13 − 5)  y+2= √ 3(y + 1) 6r • Vậy p 2 ⇔ √ x − y = 3x  x = 1 1 5 − 13  2 3 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 √ x + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1) (x, y ∈ R ) 2x3 + 2y 2x + y = 2y 2 + xy + 3x + 1 (2) Hướng dẫn : (x + 2y) (2x + 1) • (1) ⇔ √ = , chọn a = y; b = x + 1, ta có y + 2x x2 y(x + 2y) (2x + 1)(x + 1) 2x2 + 2y 2 + xy + 3x + 1 √ = = √ . y y + 2x x2 (x + 1) y 2x + y + x3 + 2 2x2 + 2y 2 + xy + 3x + 1 • Từ (2) ⇔ √ = 2. y 2x + y + x3 + 2 √ √ (x + 2y) (2x + 1) 1 1 • Vậy √ = = 2, suy ra (x, y) = (1 − 3); ? ; (1 + 3); ? y + 2x x2 2 2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình √ √ (x + 3) x + y + 5√− (y + 1) x + 11 = xy − 3 (1) √ (x, y ∈ R ) 3y x + y + 5 + x x + 11 = x2 + 6y 2 + 6x + 3y (2) Hướng dẫn : √ √ x+y+5+1 x + 11 + x • (1) ⇔ = , chọn a = 3y; b = x, ta có y+1 x+3 √ √ √ √ x+y+5+1 x + 11 + x 3y x + y + 5 + 3y + x x + 11 + x2 = = . y+1 x+3 3y 2 + x2 + 3x + 3y
√ √ 3y x + y + 5 + 3y + x x + 11 + x2 • Từ (2) ⇔ = 2. 3y 2 + x2 + 3x + 3y √ √ 1 √ x+y+5+1 x + 11 + x • Vậy = = 2, suy ra (x, y) = ( 21 − 11); ? . y+1 x+3 2 Ví dụ 4.Giải hệ phương trình 6 8x + 12x4 + 30x2 + 71x + y + 57 = 0 (1) √ (x, y ∈ R ) 2x3 + 4x2 + 1 = (x + 1)( 3 x − y − 1) (2) Hướng dẫn : √ 2 √ 2x2 + 1 3 x−y • (2) ⇔ (2x + 1)(x + 2) = (x + 1) x − y ⇔ 3 = , chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có x+1 x+2 2 3 √ 3 2x + 1 3 x−y (2x2 + 1)3 − x + y = = . x+1 x+2 (x + 1)3 − (x + 2)3 (2x2 + 1)3 − x + y • Từ (1) ⇔ = 8. (x + 1)3 − (x + 2)3 √ 2x2 + 1 3 x−y • Vậy = = 2. x+1 x+2 B. Bài tập. Câu 1. Giải hệ phương trình √ √ 2 √ x( x + 1 − 3 y − x − √ 1) = 3(x + y x + 1) (1) (x, y ∈ R ) 9x2 − 6xy + 9y 2 = 2x y − x − 1 + y (2) Câu 2. Giải hệ phương trình √ √ p x( x + 1 + y√+ 1) = (x + 1)(y + 1) (1) √ (x, y ∈ R ) x(3 y + 1 − 2 x + 1) = 2x2 + y − x (2) Câu 3. √ √ √ √ p x3√ ( x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = 6 xy + y − xy + 2y 2 + 8x (1) √ (x, y ∈ R ) 8( x + 1 + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2) Câu 4. Giải hệ phương trình √ 2y(√ x − 1 + x) = x2 √(1) (x, y ∈ R ) 4x x − 1 + (2x − 5y) x + 1 = x2 (2) Câu 5. Giải hệ phương trình √ 2y( √x − 1 + x) = x2 (1) (x, y ∈ R ) 2x(2 x − 1 + y) = x2 + 5y 2 (2)
Câu 6. Giải hệ phương trình √ √ xy √+ x x + 1 = 3y √x + 2 (1) √ √ (x, y ∈ R ) 6 x2 + 5x + 6 + 2y x + 1 + 2x + 1 = x 5x + 15 + y 5x + 5 (2) Câu 7. Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1) √ (x, y ∈ R ) 8x + 14 + 2y x + 1 = x 5x + 10 + y 5x + 5 (2) * Phần 2 sẽ hướng dẫn các bạn một số kỹ thuật nhận dạng và xử lý dấu hiệu "dãy tỷ số" trong bài hệ phương trình. * Năm mới vui vẻ và hạnh phúc nhé !