Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng

HNUE JOURNAL OF SCIENCE<br /> Natural Science 2018, Volume 63, Issue 3, pp. 3-22<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> DOI: 10.18173/2354-1059.2018-0001<br /> <br /> ỨNG DỤNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG<br /> Nguyễn Đạt Đăng1 và Lưu Công Đông2<br /> 1 Khoa<br /> <br /> Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Y Hà Nội<br /> <br /> Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng góc định hướng vào giải một số bài toán<br /> Hình học phẳng chọn lọc và sáng tạo một số bài toán hình học. Đây là những bài toán chủ<br /> yếu liên quan đến mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn, đa giác và đường tròn<br /> nội ngoại tiếp chúng. Việc sử dụng góc định hướng sẽ tránh tình trạng xét thiếu trường<br /> hợp hoặc phải biện luận nhiều trường hợp như việc dùng góc vô hướng thông thường trong<br /> Hình học phổ thông.<br /> Từ khóa: Góc định hướng, điểm đồng viên, điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy.<br /> <br /> 1.<br /> <br /> Cơ sở lý thuyết<br /> <br /> Trong lượng giác và số phức, người ta quan tâm tới sự chuyển động giữa hai tia để xây dựng<br /> các giá trị lượng giác hoặc là argumen. Thông qua góc định hướng, ta biết được hình dạng và vị trí<br /> của góc. Những kiến thức về góc định hướng đã được đề cập đến trong một số tài liệu [1-3], tuy<br /> nhiên trong các tài liệu này chưa đề cặp nhiều đến tính ứng dụng góc định hướng vào các bài toán.<br /> Trong phần cơ sở lí thuyết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại và xây dựng một số các tính chất hữu ích<br /> và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán.<br /> <br /> 1.1.<br /> <br /> Góc định hướng giữa hai tia<br /> <br /> d nếu coi Ox là tia đầu và Oy là tia cuối, thì ta nói góc<br /> Định nghĩa 1.1. Cho góc hình học xOy,<br /> d<br /> xOy đã được định hướng (hoặc gọi là góc định hướng (Ox, Oy)). Số đo của góc định hướng<br /> (Ox, Oy) bằng số đo của một góc lượng giác bất kì trong tất cả các góc lượng giác có tia đầu Ox,<br /> tia cuối Oy.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 13/3/2018. Ngày sửa bài: 20/3/2018. Ngày nhận đăng: 27/3/2018.<br /> Tác giả liên lạc: Nguyễn Đạt Đăng, địa chỉ email: dangnd@hnue.edu.vn<br /> <br /> 3<br /> <br /> Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông<br /> <br /> Định nghĩa 1.2. Với mỗi góc định hướng (Ox, Oy) cho trước, ta tìm được góc lượng giác (Ox, Oy)<br /> với số đo α (rad) trong đó: −π < α ≤ π. Khi đó α được gọi là giá trị chính của góc định hướng<br /> (Ox, Oy) thành thử ta viết số đo của góc định hướng (Ox, Oy) dưới dạng: Sđ(Ox, Oy) = α+k2π<br /> hoặc (Ox, Oy) = α (mod 2π), với α là giá trị chính.<br /> Định nghĩa 1.3. Góc định hướng (Ox, Oy) có tia đầu Ox trùng với tia cuối Oy được gọi là góc<br /> định hướng không và kí hiệu là (Ox, Ox) = 0 (mod 2π) hoặc (Oy, Oy) = 0 (mod 2π).<br /> Định nghĩa 1.4. Hai góc định hướng (Ox, Oy) và (Ou, Ot) chỉ khác nhau một bội của 2π, tức là<br /> (Ox, Oy) = (Ou, Ov) (mod 2π) thì ta nói hai góc này bằng nhau.<br /> Định nghĩa 1.5. Cho hai góc định hướng có số đo là α và β. Tổng của hai góc đó là một góc định<br /> hướng có số đo là α + β. Hiệu của hai góc đó là một góc định hướng có số đo là α + (−β) hoặc<br /> α − β. Nếu m là một số nguyên cho trước thì tích của m với góc có số đo α là một góc định hướng<br /> có số đo bằng m.α.<br /> <br /> 1.2.<br /> <br /> Góc định hướng giữa hai đường thẳng<br /> <br /> Cho hai đường thẳng cắt nhau x và y. Hai đường thẳng đó lập thành bốn góc mà mỗi góc<br /> hình học có số đo từ 0◦ đến 180◦ . Góc có số đo nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là góc hình<br /> học giữa hai đường thẳng x và y, được kí hiệu là (x, y) hoặc (y, x). Trên cơ sở này, ta có khái niệm<br /> góc định hướng giữa hai đường thẳng.<br /> Định nghĩa 1.6. Cho góc hình học tạo bởi hai đường thẳng x và y. Nếu coi x là cạnh đầu và y là<br /> cạnh cuối thì ta nói góc giữa hai đường thẳng x và y đã được định hướng (hoặc gọi là góc định<br /> hướng (x, y)). Số đo của góc định hướng (x, y) là số đo của góc định hướng giữa hai tia có chung<br /> đỉnh O và hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x và y [1] .<br /> <br /> Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng nếu α là số đo của góc giữa hai tia nằm trên x<br /> và y thì số đo của góc định hướng giữa x và y là:<br /> Sđ(x, y) = α + kπ (k ∈ Z) hoặc (x, y) = α (mod π).<br /> Trong đó α được gọi là giá trị chính.<br /> Định nghĩa 1.7. Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β. Khi đó: (x, y) = (x′ , y ′ ) (mod π) khi và<br /> chỉ khi giá trị chính của hai góc bằng nhau.<br /> Định nghĩa 1.8. Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β. Khi đó:<br /> (x, y) ± (x′ , y ′ ) = α ± β.<br /> k(x, y) = kα(k 6= 0).<br /> 4<br /> <br /> Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng<br /> <br /> 1.3.<br /> <br /> Một số kết quả về góc định hướng<br /> <br /> Định lí 1.1. Cho hai điểm phân biệt A, B và góc α (khác 0 và π). Tập hợp các giao điểm M của<br /> hai đường thẳng x và y lần lượt đi qua A và B sao cho (x, y) = α (mod π) là một đường tròn đi<br /> qua A và B (trừ A, B). Trường hợp x k y thì góc định hướng (x, y) = 0 (mod π).<br /> Định lí 1.2. (Hệ thức Chasles) Với x, y, z là 3 đường thẳng bất kì thì:<br /> (x, y) + (y, z) = (x, z) (mod π).<br /> Định lí 1.3. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi:<br /> (CA, CB) = (DA, DB) = 0 (mod π).<br /> <br /> Định lí 1.4. Bốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi:<br /> (AC, AB) = (DC, DB) 6= 0 (mod π).<br /> <br /> Định lí 1.5. (Hệ thức Chasles trong tam giác). Với mọi tam giác ABC, ta có:<br /> (BA, BC) + (CB, CA) + (AC, AB) = 0 (mod π).<br /> Định lí 1.6. Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC thì:<br /> (IA, IB) =<br /> <br /> π 1<br /> + (CA, CB) (mod π)<br /> 2 2<br /> <br /> Hệ quả 1.1. Cho tam giác ABC. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:<br /> (i) Tam giác ABC cân tại A.<br /> (ii) (BA, BC) = (CB, CA) (mod π).<br /> (iii) (AB, AC) = 2(CB, CA) (mod π) [2] .<br /> 5<br /> <br /> Nguyễn Đạt Đăng và Lưu Công Đông<br /> <br /> Hệ quả 1.2. (Định lí Miquel) Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt nằm trên các đường thẳng<br /> chứa các cạnh BC, CA, AB. Khi đó các đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) có một điểm<br /> chung. Điểm này được gọi là điểm Miquel của bộ ba đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ).<br /> <br /> 2.<br /> <br /> Ứng dụng góc định hướng<br /> <br /> Các bài toán sau đây chủ yếu bao gồm những bài toán do tác giả sáng tác ra dựa trên việc sử<br /> dụng góc định hướng, còn lại là một số bài toán do tác giả sưu tầm. Những bài không chỉ ra nguồn<br /> tài liệu tham khảo là những bài do tác giả sáng tác, còn những bài toán do tác giả sưu tầm sẽ được<br /> chỉ rõ nguồn tài liệu sưu tầm.<br /> Bài toán 2.1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn đường kính AB cắt đường<br /> tròn đường kính BC lần thứ hai tại N và cắt đường tròn đường kính AD lần thứ hai tại P . Đường<br /> tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính BC lần thứ hai tại M và cắt đường tròn đường<br /> kính AD lần thứ hai tại Q. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q đồng viên.<br /> <br /> 6<br /> <br /> Ứng dụng góc định hướng vào một số bài toán hình học phẳng<br /> <br /> Lời giải: Bài toán này là một trường hợp riêng của bài toán sau đây:<br /> Bài toán 2.2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Ký hiệu (O1 ) là đường tròn qua<br /> A, B, (O2 ) qua B, C, (O3 ) qua C, D, (O4 ) qua A, D. Ký hiệu : (O1 ) ∩ (O2 ) =
N, (O2 ) ∩ (O3 ) =<br /> P, (O3 ) ∩ (O4 ) = Q, (O1 ) ∩ (O4 ) = M . Biết (Oi ) 6= (Oj )∀i 6= j, i, j = 1, 4) , chứng minh rằng<br /> M, N, P, Q đồng viên.<br /> <br /> Theo hệ thức Chasles, ta có:<br /> (M N, M Q) = (M N, M A) + (M A, M Q) = (BN, BA) + (DA, DQ) (mod π) và<br /> (P N, P Q) = (P N, P C) + (P C, P Q) = (BN, BC) + (DC, DQ)(mod π). Mặt khác, tứ giác<br /> ABCD là tứ giác nội tiếp nên (BC, BA) = (DC, DA) (mod π).<br /> Do đó: (BC, BN ) + (BN, BA) = (DC, DQ) + (DQ, DA) ⇔ (P C, P N ) +<br /> (M N, M A) = (P C, P Q) + (M Q, M A) (mod π). Vậy (M N, M Q) = (P N, P Q) (mod π) nên<br /> 4 điểm M, N, P, Q đồng viên.<br /> Nhận xét 2.1. Khi (QD, QP ) = (CD, CP ) = 0 (mod π) (ta có thể coi CD là một đường tròn có<br /> bán kính vô cùng lớn) thì M, N, P, Q vẫn cùng nằm trên một đường tròn. Ta có bài toán sau đây:<br /> 7<br /> <br />