Ứng dụng máy tính cầm tay hỗ trợ giải hệ phương trình - Nguyễn Hoàng Nam

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thùy Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Ứng dụng máy tính cầm tay hỗ trợ giải hệ phương trình" dưới đây để nắm bắt được một số ứng dụng của máy tính cầm tay để hỗ trợ giải hệ phương trình đó là: Dự đoán mối liên hệ giữa các biến có thể suy ra từ một phương trình trong hệ 2 phương trình bằng tổ hợp phím SHIFT-SOLVE. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng máy tính cầm tay hỗ trợ giải hệ phương trình - Nguyễn Hoàng Nam

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY HỖ TRỢ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Đề thi ĐH môn Toán, bài tập liên quan đến Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số gần như là năm nào cũng có. Dạng bài tập này chiếm 1 điểm, và có thể được gọi là “câu điểm 9” của đề thi. Tuy nhiên, mấy năm gần đây, có vẻ như câu Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đang dần trở nên khó hơn và cạnh tranh với câu Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số ở vị trí “câu điểm 9”. Nói vậy để cho các bạn thấy rằng muốn đạt 8-9 điểm, cần phải đảm bảo hoàn thành tốt ít nhất 1 trong 2 câu thuộc 2 dạng nói trên, trước khi đầu tư sang câu khó nhất của đề thi: Tìm GTLN, GTNN, bài toán bất đẳng thức. Nhưng trước đó đã phải rất chắc rằng đã làm đúng tất cả các câu dễ hơn để nắm chắc trong tay điểm 7. Ở bài viết này, anh xin giới thiệu một ứng dụng của MTCT để hỗ trợ giải hệ phương trình, đó là: Dự đoán mối liên hệ giữa các biến có thể suy ra từ một phương trình trong hệ 2 phương trình bằng tổ hợp phím SHIFT-SOLVE. Thực ra, đây không phải là một kỹ năng gì “ghê gớm” lắm!? Nó chỉ đơn giản là để ta xác định được bước đi đầu đúng hướng trên con đường chinh phục hệ phương trình đó! Khi gặp câu giải hệ phương trình đại số (đặc biệt là những bài khó), có nhiều điều sẽ khiến ta băn khoăn, sẽ tự hỏi rằng: Chúng ta sẽ bắt đầu từ đâu? 1. Từ phương trình (1) hay phương trình (2) của hệ? 2. Hay là phải kết hợp cả 2 phương trình của hệ theo 1 cách nào đó hợp lý mới tìm ra được quy luật? Kinh nghiệm thường thấy: Nếu phải bắt đầu từ 1 trong 2 phương trình của hệ, ta sẽ bắt đầu từ phương trình có vẻ phức tạp hơn; bởi vì phức tạp thì ta mới có thể biến đổi chúng để thành đơn giản hơn, còn phương trình đã khá đơn giản rồi thì chúng ta chẳng thể làm được gì nhiều. Nhưng đó chỉ là kinh nghiệm, làm sao để đảm bảo chắc ăn rằng ta sẽ bắt đầu từ
đâu: từ phương trình (1) hay (2), hay phải kết hợp cả 2 phương trình của hệ? Chức năng SHIFT-SOLVE trong MTCT có thể giúp chúng ta giải quyết điều này. Cơ sở phƣơng pháp 1. Hầu hết các loại MTCT đều có tính năng SHIFT-SOLVE để giải nhanh các phương trình (đơn giản và phức tạp) 1 ẩn X. Cách thực hiện: Bƣớc 1. Nhập vào máy tính phương trình cần giải với ẩn X. Ví dụ cần giải phương trình 2x = 3, nhập vào máy tính 2-ALPHA-X-ALPHA-=-3. Màn hình máy tính hiện 2X=3 Bƣớc 2. Ấn SHIFT-SOLVE. Máy hỏi Solve for X, ta nhập vào 1 giá trị bất kỳ thuộc tập xác định của phương trình, sau đó ấn =. Chờ 1 chút và máy cho ra nghiệm của phương trình (nếu có). Lưu ý: Máy tính cho kết quả càng nhanh nếu giá trị ta nhập càng gần với nghiệm thực của nó. 2. Nếu ta nhập vào 1 phương trình chứa 2 ẩn (ẩn X là bắt buộc, và 1 ẩn khác – thường là ẩn Y) và dùng SHIFT-SOLVE để giải phương trình đó, máy tính sẽ hiểu phương trình đó có ẩn số là X, và các ẩn khác là tham số. Sau khi ấn SHIFT-SOLVE, máy tính sẽ hỏi luôn giá trị của tham số. Ta nhập vào các giá trị cho tham số và giá trị ban đầu cho ẩn X. Kết quả máy tính đưa ra là nghiệm của phương trình đó tại giá trị các tham số là giá trị ta nhập vào ban đầu. 3. Nếu may mắn, ta sẽ tìm ra được quy luật mối liên quan giữa tham số (Y) với ẩn X. Từ đó, tìm cách biến đổi tương đương phương trình đó về phương trình đơn giản biểu diễn X theo Y (hoặc Y theo X). Cần nhớ: Ý nghĩa của phương pháp này chỉ dùng để xác định rằng: Từ 1 phương trình 2 ẩn phức tạp nào đó, có thể biểu diễn ẩn này theo ẩn kia 1 cách đơn giản hơn hay không? Và nếu có, thì mối liên hệ giữa 2 ẩn đó là gì? Phương pháp này không quá cao siêu, và không phải luôn đạt hiệu quả cao, và còn phải dựa vào sự may mắn nữa.
Ví dụ 1. (ĐH-B2014) Giải hệ phương trình:  (1  y ) x  y  x  2  ( x  y  1) y (1)  2 2 y  3x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3  (2) - Thoạt nhìn vào thì thấy rằng dường như cả 2 phương trình của hệ trên đều phức tạp như nhau. Vậy ta phải làm sao đây? Thực hiện theo các bước trên, ta lần lượt thử nghiệm với từng phương trình. - Nhập phương trình đầu tiên (1) của hệ vào máy: (1  Y ) X  Y  X  2  (X Y  1) Y . Ấn SHIFT-SOLVE. Máy hỏi Y?, ta nhập 2-= chẳng hạn (khi đó máy tính sẽ tự hiểu rằng Y=2 và giải phương trình (1  2) X  2  X  2  (X 2  1) 2 với ẩn X). Máy hỏi Solve for X, ta nhập 1 giá trị bất kỳ thuộc tập xác định của phương trình trên (nên nhập X > Y > 0), nhập 5-= chẳng hạn (nếu nhập 1-= thì máy tính sẽ báo là Can’t Solve). Chờ 1 lát, máy giải ra X=3. Tức là khi Y=2 thì X=3 sẽ thỏa mãn phương trình (1). Tiếp tục giải lại (ấn SHIFT-SOLVE để tiếp tục), nhưng lần này nhập giá trị Y là 1 số khác 2. Chẳng hạn nếu nhập Y=4 thì máy giải ra X=5, nhập Y=6 thì máy giải ra X=7. Tới đây, phần nào chúng ta đã nghĩ rằng có vẻ như từ phương trình này có thể suy ra x = y + 1 thì phải?! Thử nhập giá trị Y “bự” hơn, Y=100, máy giải ra X=101, chắc đúng rồi! Thử càng nhiều giá trị Y để máy tính giải ra X thì càng dễ suy luận mối quan hệ giữa x và y. Có trường hợp bạn nhập vào giá trị Y=1 và nhập X=3 chẳng hạn, máy tính sẽ giải ra X=3, nhưng nếu nhập X=4 thì máy tính sẽ giải ra X=4, nhập X=5 thì máy giải ra X=5. Thử các giá trị Y khác 1 thì giá trị X giải ra lại tuân theo quy luật trên: x = y + 1. Bạn băn khoăn và không biết tại sao? Đơn giản vì phương trình (1) sau khi biến đổi thành phương trình tích, bên cạnh có nhân tử x – y – 1 = 0 còn có một nhân tử khác nữa, nhưng nhân tử đó là gì mà lạ vậy? Trong trường hợp nhập cùng giá trị Y = a mà giá trị ẩn X máy tính giải ra có những giá trị khác nhau (giá trị này đúng bằng giá trị đầu ta nhập cho biến X sau khi ấn tổ hợp phím SHIFT-SOLVE), thì phương trình tích tương đương với phương trình đó có 1 nhân tử là Y – a = 0. Ở đây, nếu thay y = 1 vào phương trình (1), ta được x = 2 + (x – 2), rõ ràng điều này luôn đúng trong điều kiện xác định của hệ phương trình.
Từ đó, ta biết rằng phương trình (1) có nhân tử (y – 1)(x – y – 1) và tìm cách biến đổi để xuất hiện nhân tử này. Vì đã biết trước nhân tử nên khá đơn giản, ta biến đổi (sau khi đã đặt điều kiện cho cả hệ phương trình): (1  y ) x  y  x  2  ( x  y  1) y  (1  y ) x  y  ( x  y  1)  (y 1)  ( x  y  1) y  (1  y )( x  y  1)  ( x  y  1)(1  y )  0  (1  y )( x  y  1)[(1  y )  ( x  y  1)]  0 1  y  0 y 1 Do (1  y )  ( x  y  1)  0 nên cuối cùng (1)    .  x  y  1  0  y  y 1 Thay y = 1 vào phương trình (2), dễ dàng tìm được x = 3 thỏa. Vậy (3;1) là 1 nghiệm. Thay y = x – 1 vào phương trình (2), ta được: 2 x2  x  3  2  x , dùng SHIFT-SOLVE tìm được phương trình này chỉ có 2 nghiệm là: x = 1,618… hoặc x = -1,322… Thấy nghiệm không đẹp, lo lắng! Nếu có kinh nghiệm, sẽ biết giải phương trình này bằng cách dùng tính đơn điệu để giải. Phương trình trên tương đương: 2( x  b)2  ( x  b)  2(2  x)  2  x , cân bằng hệ số tìm ra được b = -1. Chứng mình nghiệm duy nhất, tìm ra x  1  2  x - Nếu làm quy trình trên đối với phương trình (2) của hệ thì sẽ chẳng suy ra được mối quan hệ “đẹp” nào giữa x và y. Ví dụ 2. (ĐH-A2012) Giải hệ phương trình:  x3  3x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y  (1)  2 1 ( x , y  R ) x  y  x  y  2 (2)  2 - Nhìn vào ta có thể suy đoán rằng phải biến đổi phương trình (1) của hệ, vì phương trình (2) cơ bản là chẳng thể làm được gì. Tuy nhiên phương trình (1) sẽ được biến đổi như thế nào? Làm tương tự như bài trên đối với phương trình (1): Khi nhập Y=7 thì X=9, Y=10 thì X=12, Y=15 thì X=17… Có vẻ như Y=X-2, tiếp tục thử Y=100 (dự đoán máy tính sẽ
giải ra X=102), và kết quả vẫn tuân theo quy luật ấy. Vậy từ phương trình (1) có thể suy ra y = x – 2. - Vẫn dựa vào kinh nghiệm, hãy thử biến đổi phương trình (1) theo hướng sử dụng tính đơn điệu để giải. Dễ thấy VP phương trình (2) có dạng f (t )  t 3  3t 2  9t , t  R . Chúng ta cần biến đổi (1) thành dạng f(u(x)) = f(y), mà ta đã biết y = x – 2 nên suy ra u(x) = x – 2, tức là rất có thể (1)  f ( x  2)  f ( y) và VT = (x  2)3  3(x  2)2  9(x  2) . Kiểm tra lại thì hoàn toàn phù hợp. - Anh chỉ hướng dẫn cách biến đổi (1) thành dạng cần thiết để sử dụng tính đơn điệu để giải. Việc chứng mình hàm f (t )  t 3  3t 2  9t đơn điệu với điều kiện t được giới hạn bởi các ẩn x, y suy ra từ phương trình (2) để dành cho các em. Các em có thể tham khảo đáp án chính thức của Bộ GD-ĐT. Lời bình Trên đây là chút kinh nghiệm của anh. Anh nghĩ nó rất tiềm năng và bổ ích trong việc giải hệ phương trình. Phương pháp vẫn còn nhiều nhược điểm như phải cần đến yếu tố may mắn, tức là ý đồ của tác giả là sẽ suy ra được mối liên hệ “đẹp” giữa x và y (nếu mối liên hệ này có lũy thừa hoặc căn thức thì rất khó để suy đoán), cần đến sự kiên trì của người làm toán và 1 chút tinh ý để nhận ra mối liên hệ giữa x và y dựa vào các con số tìm được. 17/03/2015 Nguyễn Hoàng Nam