Ứng dụng phương pháp Đirichlê: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phương pháp Đirichlê và ứng dụng" trình bày các nội dung: Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichlê, nguyên lý Đirichlê cho diện tích, toán học tổ hợp, một số bài tập hình học khác. Cuối sách có một số đề thi, bài tập tự giải kèm gợi ý để người đọc tự ôn tập và củng cố kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng phương pháp Đirichlê: Phần 2

, , CHUONG 9 , ˜,NG UNG DUNG KHAC CUA NHU ´ , ´ . ´ NGUYÊN LY ÐIRICHLE , ´ ´ ., 9.1. Xâp xı môt sô thuc . , , a . ´ . a . ´ . ¯´ ` . 9.1. Cho x l` môt sô thuc, c`n n l` môt sô tu nhiên. Khi do tôn tai o , , ´ nhung sô nguyên p v` q thoa m˜n 1 ≤ q ≤ n v` ˜ a a a p 1 x− ≤ . (9.1) q nq , , `, u e u ´ Loi giai. Ch´ ng ta x´t nh˜ ng sô kx − [kx ](k = 0, 1, 2, . . . , n). Ch´ ng u , , gô ´ a ` `m n + 1 sô v` nam trong khoang [0, 1]. Ch´ ng ta chia khoang [0, 1] ˘ u , , ˜ , ra n khoang con ba `ng nhau ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n v` dô d`i cua môi khoang ˘ a ¯. a 1 a ` ˘ ` . n`y bang . Theo nguyên l´ Ðirichlê tôn tai hai sô kh´c nhau k v` l y ´ a a n ` , ´ ` nam trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh˜ ng sô kx − [kx ] v` lx − [lx ] nam ˘ u a ˘ , , , , trong c` ng môt khoang con thu u . ´ m. Do do khoang c´ch gi˜ a ch´ ng ¯´ a u u 1 , 1 a ´ a không qu´ , tuc l` |kx − [kx ] − (lx − [lx ])| ≤ , hay l` a n n 1 |(k − l ) x − ([kx ] − [lx ])| ≤ . (9.2) n ,, , , ,, , , , ¯´ ´ Boi v` k = l, không anh huong dên kêt qua chung minh ta c´ thê ı ´ o , ,, ´ ` gia thiêt rang k > l. Boi v` ngo`i ra c`n c´ 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n, ˘ ı a o o nên 1 ≤ k − l ≤ n. Ta dat q = k − l v` p = [kx ] − [lx ]. Khi do p v` q ¯˘. a ¯´ a
,, , 90 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , , , a u ´ l` nh˜ ng sô nguyên v` thoa m˜n 1 ≤ q ≤ n. Voi c´ch dat n`y (9.2) a a ´ a ˘ a . ¯ , ` . 1 , n u¯ ´ dua vê dang |qx − p| ≤ , t` dây chia hai vê cho q ta c´ (9.1). o J , , ´ ., , o . ´ . ` . . o ˜ ` 9.2. V´i moi sô thuc x tôn tai vô han sô tu nhiên q, v´i môi q tôn , , , . ´ ´ ¯˘ ´ tai sô nguyên p, sao cho ch´ng thoa m˜n bât dang thuc. u a p 1 x− ≤ 2. (9.3) q q , , , ´ , r , `, ´ a ´ u Loi giai. Nêu x l` sô h˜ u ty, tuc l` x = voi r l` sô nguyên v` s l` a ´ a ´ a a , s , ´ . , ı ´ . a a a ¯´ sô tu nhiên, th` kêt luân cua b`i to´n l` dung, v` c´ thê dat p = mr ı o ¯˘. ´, ´ , ´ y ´, ´ , , v` q = ms voi sô tu nhiên bât k` m. Voi tât ca c´ch chon p v` q nhu a a a ,, ,. . , ., ¯ . a ı ´ a vây (9.3) duoc thoa m˜n, v` vê tr´i luôn luôn bang không. Nhu vây ` ˘ . , ,, , , , ,, , , e o . a ´ chı c`n phai x´t tru` ng hop x l` sô vô ty. Gia su chı c´ h˜ u han sô o o u . ´ , , , . a ´ u ` . ´ tu nhiên q, m` voi ch´ ng tôn tai sô nguyên p thoa m˜n (9.3), k´ a y , ´ . a ´ hiêu ch´ ng l` q1 , q2 , . . . , ql . Voi bât k` λ = 1, 2, . . . , l k´ hiêu pλ l` sô u y y . a ´ , nguyên thoa m˜n a pλ p x− ≤ x− qλ , qλ ,, , ´ ´ ı ´ a voi moi sô nguyên p. V` sô x l` vô ty, moi gi´ tri tuyêt dôi o ph´ tr´i . a . . ¯´ ıa a ,. ´t dang thuc trên l` duong, sô nh˜,ng gi´ tri tuyêt dôi n`y l` h˜,u bâ ¯˘ ´, a ,, ´ u a . . ¯ ´ a a u , 1 p ` . ´ . han. V` vây tôn tai sô tu nhiên n, sao cho . ı . < x − λ , (λ = n qλ 1, 2, . . . , l ). ,´, , e ` . ´ . a ´ Theo b`i truoc s˜ tôn tai sô tu nhiên q v` sô nguyên p, sao cho a , , p 1 1 (9.1) thoa m˜n v` 1 ≤ q ≤ n. Nhung khi do x − a a ¯´ ≤ ≤ = q qn qq 1 , , , , , q 2 ´ . ´ , suy ra q = qλ voi môt sô λ = 1, 2, . . . , l T` nh˜ ng bât dang thuc u u ´ ¯˘ ´ 1 pλ p 1 , 1 1 trên suy ra < x − ≤ x− ≤ . Nhu vây < . n ı ´ v` thê n qλ q nq nq
, , ´ . ´ . 9.1. Xâp xı môt sô thuc 91 , ,, , ,, ¯ ` a ¯ . ı a ´ . q < 1, diêu n`y không thê duoc v` q l` sô tu nhiên. Ta nhân duoc . ¯ . ¯ ` diêu vô l´. y J , , ´ ¯˘ 9.3. V´i moi c > 2 bât dang thuc o . ´, √ p 1 2− ≤ c. (9.4) q q , , , , ¯´ o ˜ . ˘ ´ dung chı v´i huu han cap sô nguyên p v` sô tu nhiên q. . a ´ . , , , , `, ´ ´ ¯˘ Loi giai. Ch´ ng ta chung minh bât dang thuc sau l` dung u ´ a ¯´ √ p 1 2− ≤ √ . (9.5) q 3 2q2 , , , 1 , ´ . ´ a ´ . ´ . voi moi sô nguyên p v` voi moi sô tu nhiên q. V` 2 ≤ 1, bât dang ı q ´ ¯˘ , , √ p 1 , , ´ ´ thuc (9.5) tât nhiên thoa m˜n, khi a 2− > √ . Nhu vây chı . q 3 2 ` e ,`, , √ p 1 , √ 1 cân x´t truong hop . 2− ≤ √ . Nhung khi do 2 − √ ≤¯´ q 3 2 3 2 p √ 1 ≤ 2 + √ suy ra q 3 2 p √ 0 < < 2 2. (9.6) q ˘ Mat kh´c . a √ p √ p √ 2− . 2+ p q q 2q2 − p2 2− = √ = √ . (9.7) q p p 2+ q2 2 − q q , √ , ´ a ´ a Nhung sô 2q2 − p2 l` sô kh´c không, v` 2 l` môt sô vô ty. Ngo`i ı a . ´ a , √ p o a ´ ra n´ l` sô nguyên nên |2q2 − p2 | ≥ 1 . T` (9.7) suy ra u 2− ≥ q 1 , ´ v` c` ng voi (9.6) cho ta (9.5). a u √ p q2 2 + q
,, , 92 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , ,, , , , , ´ ¯˘ ¯´ ´ . ˘ ´ Gia su bât dang thuc (9.4) dung voi môt cap sô ( p, q) n`o do. T` ´ . a ¯´ u , , 1 1 , , a ¯˘ ı ´ ¯˘ (9.4) v` (9.5) suy ra dang thuc √ ≤ c−2 . V` c > 2 bât dang thuc ´ ´ 3 2 q , , , a ¯´ u . ´ ., , ´ ˜ ´ n`y chı dung cho h˜ u han sô tu nhiên q. Voi môi sô q nhu vây chı , . , , , , o ` ´ ´ ´ ´ ¯˘ c´ nhiêu nhât hai sô nguyên p, voi ch´ ng thoa m˜n bât dang thuc u a ´ , , , . ˘ ´ a (9.4). Ngh˜ l` (9.4) chı thoa m˜n cho h˜ u han cap sô p v` q. ıa a a u . J ´ , ,, a ´ . ´ y a ´ ınh ı ` 9.4. Nêu D l` sô tu nhiên bât k`, không l` sô ch´ phuong, th` tôn , , ,, . . a ˘ ´ . . . ´ tai vô han c´c cap sô tu nhiên ( x, y), l` nghiêm cua bât phuong tr` a ınh sau √ | x2 − Dy2 | ≤ 1 + 2 D. (9.8) , , `, ´ ` ˘ ` . . ˘ ´ Loi giai. Theo b`i 9.2 ta biêt rang tôn tai vô han cap sô ( x, y) tu a . . nhiên, sao cho x √ 1 − D ≤ 2. (9.9) , y y , ˘ a ´ ¯˘ ´ Mat kh´c bât dang thuc sau l` dung . a ¯´ x √ x √ √ x √ √ + D = ( − D) + 2 D ≤ − D + 2 D. y y y , ´ ˜ ˘ Suy ra voi môi cap ( x, y) ta c´ . o x √ 1 √ + D ≤ 2 + 2 D. y y , , , . ´ a . ´ y ˘ Nhu vây, voi c´ch chon bât k` cap ( x, y), sao cho thoa m˜n (9.9) . a ,, ch´ ng ta nhân duoc u . ¯ . √ √ | x2 − Dy2 | = | x − y D |.| x + y D | 1 1 √ 1 √ √ ≤ ( + 2 Dy) ≤ 2 + 2 D ≤ 1 + 2 D. y y y ` a ¯˜ ´ , ` ´ ,, ˘ Ðiêu n`y da chung minh rang bât phuong tr` (9.8) c´ vô hanınh o . . . . , ´ , nghiêm trong tâp hop sô tu nhiên.. J
, , ´ . ´ . 9.1. Xâp xı môt sô thuc 93 ´ , ,, a ´ . ´ y a ´ ınh 9.5. Nêu D l` sô tu nhiên bât k`, không l` sô ch´ phuong, th` ı ,, , 2 − Dy2 = 1 c´ ´ nhât môt nghiêm nguyên ( u, v ) v´i ´ . phuong tr` x ınh o ıt . o v = 0. , , , `, e ´ a ˘ ´ ., Loi giai. Ch´ ng ta x´t tât ca c´c cap ( x, y) sô tu nhiên, m` n´ thoa u . √ a o √ m˜n −1 − 2 D ≤ x2 − Dy2 ≤ 1 + 2 D. Theo b`i 9.4 c´ vô sô cap a a o ´ ˘. , , , , , , , 2 ´ . a ´ ¯˘ sô tu nhiên thoa m˜n bât dang thuc trên, Nhung biêu thuc x − Dy2 ´ ´ , , o u a . ı u a a ´ chı c´ h˜ u han gi´ tri v` ch´ ng l` c´c sô nguyên trong doan (−1 − ¯ . √ √. ,, ıa a ` . . ´ 2 D, 1 + 2 D ). Ngh˜ l` tôn tai môt sô nguyên k, sao cho phuong , tr` x2 − Dy2 = k c´ vô han nghiêm tu nhiên ( x, y). R˜ r`ng k = 0, ınh o . . . o a √ ı ´ ,, v` nêu nguoc lai th` dân ¯ ´ . . ı ˜ dên mâu thuân do sô D không thê, biê,u ˜ ´ ,´, , ,√ x , , , di˜ duoi dang h˜ u ty D = . Gi˜ a nh˜ ng cap n`y c´ thê chon ´ ên . u u u ˘ a o . . ıt y , ´ ˘ nhât hai cap kh´c nhau ( x1 , y1 ) v` ( x2 , y2 ) m` ch´ ng thoa m˜n . a a a u a x1 ≡ x2 (mod |k |), y1 ≡ y2 (mod |k |). (9.10) , , , , , ` ´ a ˘ ´ , Thât vây,chı cân chı ra tât ca c´c kha n˘ng cua c´c cap sô du theo . . a a . ,, , , ¯ o ´ . . o ıa a ` . môdun |k | c´ sô luong h˜ u han. C´ ngh˜ l` tôn tai nh˜ ng cap kh´c u u ˘ . a , ´ , 2 − Dy2 = x 2 − nhau nh˜ ng sô tu nhiên ( x1 , y1 ) v` ( x2 , y2 ), m` x1 u a a , . , 2 = k v` thoa m˜n dang thuc (9.10). , 1 2 Dy2 a a ˘ ´ , , e ¯˘ Ch´ ng ta x´t dang thuc u ´ √ √ ( x1 − y1 D )( x2 + y2 D ) = ( x1 x2 − y1 y2 D ) + ( x1 y2 − x2 y1 ). (9.11) , T` (9.10) ch´ ng ta c´ u u o x1 x2 − y1 y2 D ≡ x1 − Dy2 ≡ k ≡ 0 2 1 (mod |k|), x1 y2 − x2 y1 ≡ x1 y1 − x1 y1 ≡ 0 (mod |k |). ¯´ ` . ´ Khi do tôn tai sô nguyên u v` v, sao cho x1 x2 − y1 y2 D = ku, x1 y2 − a , ı . o ´ a x2 y1 = kv. V` vây (9.11) c´ thê viêt th`nh √ √ √ ( x1 − y1 D )( x2 + y2 D ) = k(u + v D ).
,, , 94 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , , , , u ´ . Nhân t` ng sô hang voi nhau trong c´c dang thuc sau c` ng ch´ ng ta ´ a ¯˘ ´ u u ,, nhân duoc . ¯ . k2 = ( x1 − Dy2 )( x2 − Dy2 ) = k2 (u2 − Dv2 ), 2 1 2 2 , , ,, t` do suy ra u2 − Dv2 = 1, ngh˜ l` cap (u, v) l` nghiêm cua phuong u ¯´ ıa a ˘ . a . tr` ınh. , , , , ,, ´ ´ ´ Chı c`n phai chung minh v = 0. Nêu gia thiêt nguoc lai, ch´ ng o . . u ta s˜ c´ x1 x2 = y1 y2 D = |k | v` x1 y2 = x2 y1 . Khi do e o a ¯´ |k|y2 = |( x1 y2 ) x2 − y1 y2 D | = |y1 x2 − y1 y2 D | = y1 | x2 − Dy2 | = |k|y1 2 2 2 2 2 , , , , t` dây, v` k = 0 chı c´ kha n˘ng khi y1 = y2 . Ðiêu n`y không thê u ¯ ı o a ` a , , xây ra v` ( x1 , y1 ) kh´c ( x2 , y2 ) , c`n t` y1 = y2 suy ra x1 = x2 . ı a o u J , ´ ., a , a ˜ a ´ . 9.6. Cho x1 , x2 , . . . , xn l` nhung sô thuc v` N l` sô tu nhiên. Khi do ¯´ ` . , ´ n v` tôn tai nhung sô nguyên p1 , p2 , . . . , pn , q sao cho 1 ≤ q ≤ N a ˜ pi 1 xi − ≤ , (9.12) q Nq , v´i moi i = 1, 2, . . . , n. o . , , ,, `, u ´ Loi giai. Ch´ ng ta chung minh b`i to´n cho tru` ng hop n = 2. Voi a a o . , ´, ,, , , , ´, ,, , tru` ng hop n lon hon 2 chung minh ho`n to`n tuong tu v` d`nh o . ´ a a . a a , , ´ ., o , cho ban doc. Nhu vây cho x1 v` x2 l` nh˜ ng sô thuc, c`n N l` sô tu . ¯. . a a u a ´ . , ` ` . , ´ u e ´ nhiên. Ch´ ng ta s˜ chung minh rang tôn tai nh˜ ng sô nguyên p1 , p2 ˘ u , , v` q voi 1 ≤ q ≤ N 2 v` thoa m˜n a ´ a a p1 1 p2 1 x1 − < , x2 − < . (9.13) q Nq q Nq , u ´ ¯. . . ¯. ˘ Ch´ ng ta cô dinh hê toa dô trong mat phang v` x´t h` vuông Q . ˘ a e ınh , , , voi c´c dınh (0, 0), (1, 0), (1, 1) v` (0, 1) nhu h` v˜. Chia Q ra N 2 ´ a ¯ a ınh e , , 1 ` ,, , ` ˘ h` vuông nho bang nhau voi canh l` ınh ´ . a bang c´c du` ng thang ˘ a ¯ o ˘ , N , ´ . . ¯. song song voi truc toa dô (trong h` v˜ ta chia voi N=7).ınh e ´
, , ´ . ´ . 9.1. Xâp xı môt sô thuc 95 , u y ¯´ ˘ ´ o . Bây gi` ch´ ng ta ch´ ´ dên cap sô c´ dang (qx1 − [qx1 ], qx2 − o u . ,, , [qx2 ]), o dây q nhân nh˜ ng gi´ tri nguyên 0, 1, 2, . . . , N 2 . V` 0 ≤ ¯ . u a . ı ˜ ˘ , , 2 môi cap nhu vây c´ thê coi nhu , qxi − [qxi ] < 1, i = 1, 2, . . . , N . o , , . ˘ . ¯. môt cap toa dô cua diêm trong h` vuông Q. Bang c´ch do môi sô . ¯ ınh ` ˘ a ¯´ ˜ ´ , ,, ´ , 0, 1, 2, . . . , N 2 tao ra môt diêm tuong ung trong h` vuông Q , sô . . ¯ ınh ´ ,, , ,, ., a ´ ¯´ a luong c´c sô do l` N 2 + 1. Nhung Q duoc chia ra N 2 h` vuông ¯ . ınh nho, suy ra tô . `n tai hai sô nguyên kh´c nhau q1 , q2 trong doan [0, N ], ´ a ¯ . , ,, ´ , , m` diêm tuong ung vo a ¯ ´i ch´ ng c´ c´c toa dô (q1 x1 − [q1 x1 ], q1 x2 − u o a . ¯. a u ` [q1 x2 ]), (q2 x1 − [q2 x1 ], q2 x2 − [q2 x2 ]) v` c` ng nam trong môt h` ˘ . ınh , , 1 ´ . vuông nho voi canh . Ðiêu do c´ ngh˜ l`` ¯´ o ıa a N 1 |(q1 x1 − [q1 x1 ]) − (q1 x2 − [q1 x2 ])| ≤ , N 1 |(q2 x1 − [q2 x1 ]) − (q2 x2 − [q2 x2 ])| ≤ . (9.14) , , , N ´ ınh ´ Không mât t´ tông qu´t c´ thê gia thiêt q1 > q2 . Nêu dat q = a o ´ ¯˘ , . , ı ´ ¯˘ q1 − q2 , p1 = [q1 x1 ] − [q2 x1 ], p2 = [q1 x2 ] − [q2 x2 ] th` bât dang thuc ´ (9.14) c´ dang o . 1 1 |qx1 − p1 | ≤ , |qx2 − p2 | ≤ . (9.15) N N u ´ ` Ch´ ng ta thây rang 1 ≤ q ≤ N 2 , v` 1 ≤ q2 < p1 ≤ N 2 . Chia hai vê ˘ ı ´ , cua (9.15) cho q ch´ ng ta nhân duoc (9.13). u ,, . ¯ . J ,´, , , a a ¯ , ,, ´ . ınh ´ a ¯˜ ´ Hai b`i to´n duoi dây liên quan toi môt t´ chât m` ta da chung ,, ,, , . ınh ´ a minh o chuong 2. Ðê mo rông t´ chât n`y ch´ ng ta dua v`o dinh u ¯ a ¯. ngh˜ ıa. ´ ´ ., o ` Nêu a1 , a2 , . . . , a2n+1 l` 2n + 1 sô thuc (n ≥ 1). Ch´ ng ta n´i rang a u ˘ , ´ ´ ´ y ´ d˜y n`y c´ t´nh chât P, nêu bât k` 2n sô trong ch´ ng c´ thê chia a a o ı u o ˜ , , a o o ´ l`m hai nh´m, môi nh´m n sô, sao cho tông cua c´c sô trong haia ´ ` ˘ nh´m bang nhau. o
,, , 96 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y ´, ` ˘ ., . ´ ` ˜, ´ 9.7. Chung minh rang moi bô 2n + 1 sô gôm nhung sô nguyên ,, ` o ınh ´ ı ´ a ´ ¯` ˘ duong c´ t´ chât P, th` tât ca c´c sô dêu bang nhau. , , , `, ´ ` ˘ ´ ´, ´ Loi giai. Chung minh bang qui nap theo sô lon nhât cua dây sô. . ˜ ´ , , ´ ´ ´ ´ ` ˘ ı ´ a ´ o . u ¯` a Nêu sô lon nhât bang 1 th` tât ca c´c sô c`n lai c˜ ng dêu l` 1, nên , , , ,, ´ , b`i to´n da giai. Bây gi` gia su kêt luân dung voi moi bô 2n+1 sô a a ¯˜ o . ¯´ ´ . . ´ ,, ,, a ˜ ´ a o ınh ´ nguyên duong m` môi sô không vuot qu´ k, k ≥ 2 v` c´ t´ chât P. . a ,, ´ a . ´ o ınh ´ a ˜ ´ Lây p1 , p2 , . . . , p2n+1 l` bô sô nguyên duong c´ t´ chât P v` môi sô ,, , ` không vuot qu´ k + 1. T` diêu kiên b`i to´n suy ra p1 , p2 , . . . , p2n+1 . a u¯ . a a , ınh ˜ c´ c` ng t´ chan le. o u ˘ ´ ´ ˜ ˘ a) Nêu p1 , p2 , . . . , p2n+1 l` c´c sô chan, ch´ ng ta x´t c´c sô a a u e a ´ p1 p2 p2n+1 , ,..., ´ . Ch´ ng ta thây ngay ch´ ng c˜ ng c´ t´ chât u u u o ınh ´ 2 2 2 ,, , . ´ P. Ngo`i ra moi sô không vuot qu´ k v` pi ≤ k + 1 voi moi i = a . a ı ´ . 1, 2, . . . , 2n + 1. Ba `ng qui nap suy ra p1 = p2 = . . . = p2n+1 .Ngh˜ ˘ . ıa 2 2 2 l` p1 = p2 = . . . = p2n+1 . a , , ´ a a ´ ´ ` ˘ b) Nêu p1 , p2 , . . . , p2n+1 l` c´c sô le, ch´ ng ta chung bang qui u nap cho d˜y p1 − 1, p2 − 1, . . . , p2n+1 − 1. Ch´ ng c˜ ng c´ t´ chât . a u u o ınh ´ ,, ,, P v` không vuot qu´ k, ch´ ng ta nhân duoc p1 − 1 = p2 − 1 = . . . = a . a u . ¯ . p2n+1 − 1. Ngh˜ l` p1 = p2 = . . . = p2n+1 . ıa a J ´, ` ´ ` ˜, ´ ., ,, 9.8. Chung minh rang moi bô 2n+1 sô gôm nhung sô thuc duong ˘ . . , o ınh ´ ı ´ a ´ ¯` ˘ ` c´ t´ chât P, th` tât ca c´c sô dêu bang nhau. , , `, ` ˘ ´ a ´ Loi giai. - Hiên nhiên rang nêu c´c sô a1 , a2 , . . . , a2n+1 c´ t´ chât o ınh ´ , ´ a a ´ . y ı a ´ P v` q l` sô thuc bât k`, th` c´c sô qa1 , qa2 , . . . , qa2n+1 c˜ ng c´ t´ u o ınh châ´t P. , , ´ ., ,, , Bây gi` cho x1 , x2 , . . . , x2n+1 l` nh˜ ng sô thuc duong voi t´ o a u ´ ınh , , , , , ´ ´ ´ a ´a u ı¯ ` chât P. Nêu tât ca c´c sô l` h˜ u ty th` diêu khang dinh cua b`i to´n ˘ ¯. a a , , o . . y . a . ´ suy ra không kh´. Thât vây, k´ hiêu q l` bôi sô chung nho nhât cua ´
, , ´ . ´ . 9.1. Xâp xı môt sô thuc 97 ˜ ´ a ´ , ´ mâu sô c´c sô trên. Khi do qx1 , qx2 , . . . , qx2n+1 l` nh˜ ng sô nguyên ¯´ a u ,, ´ ´, ,´ , duong c´ t´ chât P, theo c´ch chung minh b`i truoc ch´ ng ta c´ o ınh a a u o , qx1 = qx2 = . . . = qx2n+1 . V` vây x1 = x2 = . . . = x2n+1 . Chı c`n ı . o , , ,`, , ˜ x1 , x2 , . . . , x2n+1 môt sô , ´ phai chung minh truong hop c´ trong dây , ., o . ´ , ´ ` . ´ . , vô ty. Nhung theo kêt qua cua b`i 9.6 tôn tai sô tu nhiên q, v` c´c a a a ,, , ´ nguyên duong p1 , p2 , . . . , p2n+1 thoa m˜n sô a pi 1 | xi − |< 1 , i = 1, 2, . . . , n. (9.16) q 1+ 2n+1 q ,`, , ` . , Truong hop riêng, tôn tai p1 , p2 , . . . , p2n+1 , q voi q > (2n)2n+1 v` . ´ a , 1 ch´ ng thoa m˜n |qxi − pi | ≤ u a 1 , i = 1, 2, . . . , n. q 2n+1 , , ˘ . ` ¯` Ðat αi = qxi − pi , i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu phân dâu khang dinh ˘ ¯. ` ´ , ˘ rang qx1 , qx2 , . . . , qx2n+1 c´ t´ chât P. Ch´ ng ta s˜ chung minh o ınh u e ´ ` ˘ ´ rang p1 , p2 , . . . , p2n+1 c˜ ng c´ t´ chât P. Chon 2n sô trong do, v´ u o ınh . ´ ¯´ ı , ´t P, không du nhu p1 , p2 , . . . , p2n . V` qx1 , qx2 , . . . , qx2n c´ t´ châ . ı o ınh , , , ´t t´ tông qu´t ch´ ng ta lây dang thuc qx1 + qx2 + · · · + qxn = mâ ınh a u ´ ¯˘ ´ qxn+1 + qxn+2 + · · · + qx2n , khi do ( p1 + α1 ) + ( p2 + α2 ) + · · · + ¯´ ( pn + αn ) = ( pn+1 + αn+1 ) + ( pn+2 + αn+2 ) + · · · + ( p2n + α2n ). Ch´ ng ta viêt lai u ´ . p1 + p2 + · · · + pn − pn+1 − pn+2 − · · · − p2n = = αn+1 + αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn . , (9.17) ´, ´ bên tr´i dang thuc trên l` sô nguyên nên sô α = αn+1 + ´ ´ Vê a ¯˘ a , a ´ αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn c˜ ng l` sô nguyên. Nhung u 1 | αi | ≤ 1 , i = 1, 2, . . . , n. Do do |α| ≤ |αn+1 | + |αn+2 | + · · · + ¯´ q 2n+1 2n |α2n | + |α1 | + |α2 | + · · · + |αn | < 1 < 1, v` q > (2n)2n+1 . Khi ı q 2n+1
,, , 98 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , , , ,´, do α = 0 v` t` dang thuc truoc do ta c´ p1 + p2 + · · · + pn = ¯´ a u ¯˘ ´ ¯´ o , , ,, , pn+1 + pn+2 + · · · + p2n Nhu vây ch´ ng ta khang dinh duoc nh˜ ng . u ˘ ¯. ¯ . u , ´ ´ sô nguyên p1 , p2 , . . . p2n+1 c´ t´ chât P. Ch´ ng ta c´ thê kêt luân o ınh u o ´ . ,, duoc p1 = p2 = . . . = p2n+1 ¯ . , ´ ¯´ ¯ , ,, . u ¯˜ ´ Thuc chât dên dây ch´ ng ta da chung minh duoc : ¯ . , , ´ a u ´ Nêu p1 , p2 , . . . , p2n+1 , q l` nh˜ ng sô nguyên thoa m˜n (9.16) v` a a 2n+1 th` p = p = p = . . . = p ı q > (2n) 1 2 2n+1 . Suy ra (9.16) c´ dang o . p 1 | xi − | < 1 , i = 1, 2, . . . , 2n + 1 q 1+ 2n+1 q , u ˘ ¯. ` ˘ ` . ´ ., Trong 9.6 ch´ ng ta khang dinh rang tôn tai vô han sô tu nhiên q . , , , ´ ınh thoa m˜n (9.16). Không mât t´ tông qu´t ch´ ng ta gia thiêt rang a a u ´ ` ˘ , ,, ´ ¯´ a nh˜ ng sô do l` q1 < q2 < . . . < qk < . . ., o dây q1 > (2n) u ¯ 2n+1 . Trong ,`, , , ` . ´ . a ´ truong hop n`y voi moi k tôn tai sô nguyên pk sao cho . pk 1 | xi − |< 1 , i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18) qk 1+ 2n+1 qk 1 , , p V` lim ı 1 = 0 khi k tiên toi vô c` ng, t` (9.18) suy ra lim k = ´ ´ u u 1+ qk qk 2n+1 ´ ´ , ´, , ˜ a xi khi k tiên toi vô c` ng, voi moi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhung môi d˜y u . ´ . , ` , , ´ . sô thuc không c´ nhiêu hon môt gioi han, suy ra x1 = x2 = . . . = o . x2n+1 . J ´, ` ´ ˜ ´ o ˜, ´ 9.9. Chung minh rang trong t´m sô, môi sô c´ ba chu sô, bao gi` ˘ a o , ,, , ´ o ˜, ´ a ¯ ,, . ´ c˜ng chon duoc hai sô c´ ba chu sô v` dê khi gh´p lai ta duoc môt sô u . ¯ . e . ¯ . ´ chia hêt cho 7. , , `, a ´ Loi giai. Khi mang t´m sô chia cho 7 th` thê n`o c˜ ng c´ hai sô c´ ı a u o ´ o , , ,, , u ´ y ´ ¯´ a c` ng sô du (nguyên l´ Ðirichlê ). Gia su hai sô do l` abc v` αβγ. Hiên a
9.2. B`i tâp a . 99 , nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T` c´ch chon ta c´ abc = 7m + r u a . o , , a ´ v` αβγ = 7n + r voi 0 ≤ r < 7 v` m, n, r l` c´c sô tu nhiên. V` a a a ´ . ı vây abcαβγ = 1000(7m + r ) + (7n + r ) = 7(1000m + n) + 1001.r = . 7(1000m + n + 143.r ). J , a a ´ ´, 9.10. Cho a, b, c, d l` c´c sô nguyên. Chung minh rang t´ cua c´c ` ˘ ıch a hiêu b − a, c − a, d − a, d − c, b − d v` c − b chia hê . a ´t cho 12. , , `, ` ´ Loi giai. Cân chung minh t´ P = (b − a)(c − a)(d − a)(d − c)(d − ıch: b)(c − b) chia hê u ´ ` ´t cho 12=4.3. Ch´ ng ta biêt rang môt sô nguyên ˘ . ´ , , ´ y o a ´ bât k` khi chia cho 4 th` chı c´ c´c sô du 0, 1, 2, 3. ı ´ ´ ,´, ´ ´ Trong bôn sô a, b, c, d cho truoc nêu c´ hai sô khi chia cho 4 m` o a , , o u ´ ı . u e ´ c´ c` ng sô du th` hiêu cua ch´ ng s˜ chia hêt cho 4. Nêu không c´ ´ o , , ´ a ´ hai sô n`o khi chia cho 4 cho c` ng sô du th` trong bôn sô phai c´ u ı ´ ´ o , , , , ´ ˜ a ˘ ´ ı . ´ ˜ u ˘ hai sô chan v` hai sô le. V` hiêu cua hai sô chan c˜ ng nhu hiêu cua . , ´ ¯` a ´ ˜ ˘ hai sô le dêu l` sô chan nên P chia hêt cho 4. ´ ´ ´ ,, ´ ˘ Mat kh´c trong bôn sô a, b, c, d luôn t` duoc hai sô khi chia cho . a ım ¯ . , , ı o u ´ y ¯´ . 3 th` c´ c` ng sô du (nguyên l´ Ðirichlê ). Do do hiêu cua ch´ ng chia u ´ ´ hêt cho 3, suy ra P chia hêt cho 3. T´m lai P chia hêt cho 12=4.3. o . ´ J ` . 9.2. Bai tâp , , a . ´ . a . ´ . ¯´ ` . 9.11. Cho x l` môt sô thuc, c`n n l` môt sô tu nhiên. Khi do tôn tai o , , p 1 u ´ nh˜ ng sô nguyên p v` q thoa m˜n 1 ≤ q ≤ n v` x − a a a ≤ . q ( n + 1) q , ´ ., a a ´ ., 9.12. Cho x1 , x2 , . . . , xm l` nh˜ ng sô thuc v` n l` sô tu nhiên. Khi a u , , ¯´ ` . u ´ ¯` o ` do tôn tai nh˜ ng sô nguyên p1 , p2 , . . . , pn , q không dông th` i bang ˘ 0, sao cho ta c´ qµ ≤ n(µ = 1, 2, . . . , m) v` o a 1 | q1 x1 + q2 x2 + · · · + q m x m − p | ≤ . ( n + 1) m
,, , 100 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , ` , ´ ´ ˘ ´ . √˘ √ ¯` 9.13. Chung minh rang voi moi cap sô nguyên p v` q > 0 ta dêu . a , , √ p 3− 2 o ´ ¯˘ ´ c´ bât dang thuc sau 2− ≥ . q q2 , ` , ´ ˘ ´ . ˘ ´ ¯` 9.14. Chung minh rang voi moi cap sô nguyên p v` q > 0 ta dêu . a , , √ p 1 o ´ ¯˘ ´ c´ bât dang thuc sau 3− ≥ √ . q 3 3q2 , , ,, a a u ´ 9.15. Cho m, n v` s l` nh˜ ng sô nguyên v` α l` nghiêm cua phuong a a . , ` ´ tr` bâc hai mx2 + nx + s = 0, (m = 0). Chung minh rang nêu α l` ınh . ´ ˘ a , ,, , p c , ´ ı ` . . ´ sô vô ty, th` tôn tai môt sô duong c thoa m˜n α − a ´ ≥ 2 voi môi. q q ˘ ´ cap sô nguyên p v` q > 0. . a
, , CHUONG 10 ´ NGUYÊN LY ÐIRICHLÊ CHO DIÊN T´CH . I , ´ 10.1. Phat biêu nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ch y . ı ,, , , , Trong chuong n`y ch´ ng ta x´t nh˜ ng tâp hop trên mat phang, a u e u . . ˘ . ˘ , , ´ a . , ´ o nh˜ ng ph´p to´n trên c´c tâp hop nêu c´c ban chua quen biêt c´ u e a a . . , ,, , . ¯ınh ´ a thê xem o Phu d´ cuôi s´ch. Ch´ ng ta quan tâm toi c´c kh´i niêm u ´ a a . sau dây:¯ , , ˘ ˘ Môt tâp hop trong mat phang goi l` bi chan, khi tôn tai môt . . . . a . ˘ ` . , , , . , . . ´ h` tr`n chua to`n bô c´c diêm cua tâp hop do. Khi không tôn tai ınh o a . a ¯ . . ¯´ ` . , , , môt h` tr`n n`o nhu trên th` tâp hop do goi l` tâp hop không bi . ınh o a ı . . ¯´ . a . . . , ,, , chan. V´ du nhu môt da gi´c lô a . . ˘ o ˘. ı . . ¯ a `i l` tâp bi chan c`n nua mat phang l` . ˘. ˘ a , , ,, ˜ d`ng chung minh duoc c´c t´ chât sau ´ ´ tâp hop không bi chan. Dê a ., . . ˘ . ¯ . a ınh , , cua nh˜ ng tâp hop bi chan u . . . ˘ . , , , , 1. Hop v` giao cua h˜ u han nh˜ ng tâp bi chan l` môt tâp bi . a u . u . . ˘ a . . . . , ˘. . . . ˘ a . . . ˘ chan. Hiêu cua hai tâp bi chan l` môt tâp bi chan. . . , , . . . . ˘ a . . . ˘ 2. Môt tâp hop con cua môt tâp bi chan l` môt tâp bi chan. Môt . . . . . , ´ , , tâp hop chua môt tâp hop con không bi chan th` n´ c˜ ng không bi . . . . . . . ˘ ı o u . ˘ chan. . , , , , , Môt diêm P goi l` diêm biên cua tâp hop A trong mat phang, . ¯ . a ¯ . . ˘ . ˘
,, 102 Chuong 10. Nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ y . ıch , , , , ´ nêu moi h` tr`n tâm tai P c´ chua nh˜ ng diêm thuôc A v` ca . , ınh o . o ´ u ¯ . , a , , , , u ¯ , . . . ´ nh˜ ng diêm không thuôc A.Tâp hop tât ca c´c diêm biên cua A goi a ¯ , . ,`, l` biên cua A v` k´ hiêu l` K ( A). V´ du biên cua h` tr`n l` duong a a y . a ı . ınh o a ¯ , , o ´ u tr`n voi c` ng tâm v` b´n k´ ı . ¯˘ . a ınh ´ a a ınh. V´ du dac biêt v` t´ chât biên cua . , , tâp hop nhu sau: . . , , , , , . . ` 3. Cho tâp hop A gôm to`n bô nh˜ ng diêm c´ toa dô h˜ u ty a . u ¯ o . ¯. u , ´ . ¯. a ¯ trong môt h` vuông voi toa dô c´c dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). . ınh , D˜ d`ng thây rang biên cua A l` to`n bô h` vuông n´i trên. ê a ´ ` ˘ a a . ınh o , , , , ´ ` 4. Voi moi tâp hop A gôm c´c diêm trong mat phang dêu c´ . . . a ¯ ˘. ˘ ¯` o ´ , công thuc sau K (K ( A)) ⊂ K ( A). , , , . ˘ . ´ y 5. Moi cap tâp hop bât k` trong mat phang dêu thoa m˜n c´c . . ˘. ˘ ¯` a a ´ , công thuc sau K ( A ∪ B) ⊂ K ( A) ∪ K ( B) K ( A ∩ B) ⊂ K ( A) ∩ K ( B) K ( A\ B) ⊂ K ( A) ∪ K ( B) , , , , , , Môt diêm P goi l` diêm trong cua tâp hop A nh˜ ng diêm trong . ,¯ . a¯ . . u ¯ ˘ ˘ ` . ınh o mat phang, khi tôn tai h` tr`n tâm P m` n´ nam tron trong A. . a o ` ˘ . , , , , ıa a ´ T` dinh ngh˜ n`y thây ngay l` moi diêm trong cua tâp hop A dêu u ¯. a . ¯ . . ¯` ,, ,, , ` ¯´ thuôc A. Ðiêu nguoc lai không dung: trong v´ du 3 o trên tâp hop A . ı . , . . . . không c´ môt diêm trong n`o. Ta thây ngay o . ¯ a ´ , , , 6. Môt diêm thuôc A l` diêm trong cua A khi v` chi khi n´ không . ¯ , . a¯ a o , , , , ` a l` diêm biên cua A. Ðiêu n`y giai th´ tai sao nh˜ ng diêm trong a ¯ ıch . u ¯ , , cua h` tr`n không na ınh o `m trên du`,ng tr`n. ˘ ¯ o o , , , , Ðê loai tr` c´c tâp hop dac biêt, ch´ ng ta dua v`o môt kh´i niêm . u a . . ¯˘ . . u ¯ a . , a . , , ´ . , ¯˘ dac chung cho lop tâp hop không dac biêt trong mat phang : Môt . ¯˘ ˘ ˘ , , . . , . . . tâp hop bi chan c´c diêm trong mat phang goi l` bê ˘ ., . . ˘ a ¯,. ˘ ˘ . a ` mat, khi biên , ,. . cua n´ không chu ¯ o ´ a diêm trong (cua biên). , ˘ ¯ a ¯` a ` ˘ V´ du c´c h` tr`n hoac da gi´c dêu l` bê mat trong mat phang. ı . a ınh o . . ˘ . ˘
, 10.1. Ph´t biêu nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ a y . ıch 103 , , ` Nhung trong v´ du 3 tâp hop A không l` bê mat. Bang c´ch d` ng ı . . . a ` ˘ . ˘ a u , ` tâp hop v` c´c dinh ngh˜ trong phân trên ch´ ng ` c´c dinh ngh˜ vê . a ¯. ıa . a a ¯. ıa u ´, ,, ta chung minh duoc ¯ . ´ ` ˘ , , 7. Nêu A v` B l` hai bê mat, nh˜ ng tâp hop A ∪ B, A ∩ B v` a a . u a , , . . u a u ` ˘ A\ B c˜ ng l` nh˜ ng bê mat trong mat phang. . ˘ . ˘ , ´ a a a ` ˘ a 8. Nêu A, B v` C l` c´c bê mat v` A không c´ chung diêm trong ., o ¯ ´, , , a ´ voi B v` voi C, th` A không c´ diêm trong chung voi B ∪ C. ı o¯ ´ , , , , Môt trong nh˜ ng dinh l´ co ban trong h` hoc phang, nhiêu khi . u ¯. y ınh . ˘ ` ,, , , o phô thông ch´ ng ta công nhân nhu môt tiên dê: u . . ¯` , , , , ,, . ` ˘ 9. Moi bê mat A nh˜ ng diêm trong mat phang c´ thê cho tuong . u ¯ ˘ . ˘ o , , , ´ ´ . ´ . ung voi môt sô thuc không âm S( A) sao cho , a) S(∆) = 1, voi ∆ l` môt h` vuông c´ canh l` 1; ´ a . ınh o . a , ´ a ` ˘ b) Nêu A v` B l` hai bê mat không c´ diêm trong chung, th` a . o ¯ ı S ( A ∪ B ) = S ( A ) + S ( B ). ,, ´ , , ´ a ınh ´ ,, Ph´p cho tuong ung S voi c´c t´ chât trên duoc x´c dinh môt e ¯ . a ¯. . c´ch duy nhâ a ´t. , , ` ˘ . ´ y ´ Cho bê mat A bât k`, sô S( A) goi l` diên t´ch cua A. Nh˜ ng mat . a . ı u ˘. ,, ,`, , , da duoc x´t trong c´c truong phô thông l` h` ch˜ nhât, tam gi´c, ¯ ˜¯ . e a a ınh u . a , a ´ h` tr`n,. . . v` sô S( A) theo dinh ngh˜ trên tr` ng voi kh´i niêm ınh o ¯. ıa u ´ a . , , , ,, diên t´ cua c´c h` n`y. Voi c´ch tr` u tuong h´a kh´i niêm diên . ıch a ınh a ´ a u . o a , , . . t´ ch´ ng ta d˜ d`ng khao s´t t´ chât vê diên t´ cua c´c h` ıch u ê a a ınh ´ ` . ıch a ınh. , , , ,, T` a) v` b) ch´ ng ta c´ thê d˜ d`ng chung minh duoc: u a u o ê a ´ ¯ . ´ , ` ˘ a 10. Nêu A v` B l` nh˜ ng bê mat v` A ⊂ B, th` S( A\ B) = a a u . ı S ( A ) − S ( B ). ´ ` ˘ u , 11. Nêu A1 , A2 , . . . , An l` c´c bê mat t` ng dôi môt không c´ a a . ¯ . o , diêm trong chung, th` S( A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = S( A1 ) + S( A2 ) + ¯ ı
,, 104 Chuong 10. Nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ y . ıch · · · + S ( A n ). Nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ch: Nêu A l` môt bê mat, c`n y . ı ´ a . ` ˘ o . a a ` ˘ A1 , A2 , . . . , An l` c´c bê mat sao cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) v` . a S( A) < S( A1 ) + S( A2 ) + · · · + S( An ), th` ´ nhât c´ hai bê mat ı ıt ´ o ` ˘ . , ´ a ` ˘ trong sô c´c bê mat trên c´ môt diêm trong chung. . o . ¯ , , u y ¯` C˜ ng nhu nguyên l´ dâu tiên, ch´ ng ta c˜ ng c´ thê thây diêu u u o ´ ¯ ` , , ,, , ,, a ´ n`y l` hiên nhiên v` chung minh duoc. Thât vây, Gia su không c´ a a ¯ . . . o , , cap n`o trong nh˜ ng mat da cho c´ diêm trong chung. Khi do theo ˘ a ., u ˘ ¯˜ . o¯ ¯´ khang dinh 11. ta c´ S( A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = S( A1 ) + S( A2 ) + · · · + ˘ ¯. o S( An ). Mat kh´c Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ⊂ ˘. a , , A, t` do c´ S( A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) ⊂ S( A). Thông nhât c´c bât dang u ¯´ o ´ ´ a ´ ¯˘ , ´ . ˜ ´ , thuc lai ch´ ng ta c´ S( A) < S( A), dân toi vô l´. u o y , o ´ ` ˘ C´ thê thây rang nguyên l´ trên bao tr` m nguyên l´ Ðirichlê y u y , , , cho nh˜ ng tâp h˜ u han. Ngo`i ra nguyên l´ Ðirichlê trên c´ thê cu u . u . a y o ., , , , ,, thê h´a cho nh˜ ng lop bê ˘ o u ´ ` mat thông dung trong chuong tr` phô . . ınh , , thông v` c´c kh´i niêm dô d`i, thê t´ c˜ ng c´ c` ng t´ chât nhu a a a . ¯. a ıch u o u ınh ´ ,, , , . . ıch ¯´ u kh´i niêm diên t´ o trên. Do do ch´ ng ta c´ thê ph´t biêu nguyên a o a ,, l´ Ðirichlê theo c´c phuong an kh´c nhau. y a ´ a , , 12.Cho nhung doan thang ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n nam trong doan ∆ v` ˜ ¯ . ˘ ` ˘ ¯ . a , , , , , tông dô d`i cua ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n l´n hon dô d`i cua ∆. Khi do ´ nhât c´ ¯. a o ¯. a ¯´ ıt ´ o , , , hai trong sô nhung doan thang ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n c´ diêm chung. ´ ˜ ¯ . ˘ o¯ , ˜, ¯ . ` 13. Cho nhung da diên P1 , P2 , . . . , Pn nam trong da diên P v` tông ˘ ¯ . a , , , , , , thê t´ cua P1 , P2 , . . . , Pn l´n hon thê t´ cua P. Khi do ´ nhât c´ hai ıch o ıch ¯´ ıt ´ o , , ´ ˜ ¯ trong sô nhung da diên P1 , P2 , . . . Pn c´ diêm chung. . o¯ , ,, , ˜ ` 14. Cho nhung cung c1 , c2 , . . . , cn nam trên du`ng tr`n c v` tông ˘ ¯ o o a , , , ,, dô d`i cua c1 , c2 , . . . , cn l´n hon dô d`i du`ng tr`n c. Khi do ´ nhât c´ ¯. a o ¯. a ¯ o o ¯´ ıt ´ o , , ´ ˜ hai trong sô nhung cung c1 , c2 , . . . cn c´ diêm chung. o¯
10.2. V´ du ı . 105 , , ´ a a u ¯` . a Tât ca c´c ph´t biêu 12, 13, 14 ch´ ng ta dêu goi l` nguyên l´ y , , ,, a . ¯. o ´ Ðirichlê v` ban doc c´ thê chung minh duoc c´c nguyên l´ n`y. ¯ . a y a 10.2. V´ du ı . , a ` o . ıch ´, 10.1. Cho M l` môt da gi´c lôi v´i diên t´ S v` chu vi P. Chung a . ¯ a ` minh rang ˘ , , ,, , , , S a) M c´ thê phu duoc môt h` tr`n v´i b´n k´ l´n hon ; o ¯ . . ınh o o a ınh o P , S a ınh a ınh o ˘ ` b) B´n k´ cua c´c h` tr`n nam trong M không qu´ . a P , , , `, . ˜ . Loi giai. a) Ch´ ng ta dung trên môi canh da gi´c M môt h` ch˜ u ¯ a . ınh u S , . ` nhât chiêu cao h = , nhu h` 10.1. ınh P M M O H C S h= P H` 10.1: ınh H` 10.2: ınh , , , , , Nh˜ ng h` ch˜ nhât n`y c´ nh˜ ng diêm chung gi˜ a ch´ ng; n´i u ınh u . a o u ¯ u u o . ´ h` ch˜, nhât không nam tron trong M. Ch´ ng ta c´ chung môt sô ınh u . , ` ˘ . u o , , thê t´ to´n tông diên t´ cua c´c h` chu . a a ınh a . ıch a ınh ˜, nhât n`y l` S. Nhu vây , , , , , , . phâ`n cua M bi c´c h` ch˜, nhât phu phai c´ diên t´ nho hon S. . a ınh u . o . ıch , , , ` a ` ˘ ` . Ðiêu n`y chı ra rang tôn tai môt diêm O cua M không thuôc . ¯ .
,, 106 Chuong 10. Nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ y . ıch , , , , , h` ch˜ nhât n`o ca. Nhu vây c´ ngh˜ l` khoang c´ch t` O dên ınh u . a . o ıa a a u ¯´ , , , , S a . ´ ´ c´c canh cua M phai lon hon h = . Ta lây O l` tâm h` tr`n b´n a ınh o a P S ınh o a e ` ˘ k´ R > , h` tr`n n`y s˜ nam tron trong M. ınh . P ınh o a ınh ` ˘ b) Cho h` tr`n C tâm O b´n k´ R nam trong M. Ch´ ng ta x´t u e , , , , , a a ¯ o a ¯ ´ c´c tam gi´c m` hai dınh cua n´ l` hai dınh liên tiêp cua tu gi´c, c`n a ´ a o , , ,`, , dınh thu ba l` tâm h` tr`n O. Ðuong cao ha t` O xuông c´c canh ¯ ´ a ınh o . ,u ´ a . , , , , , cua tam gi´c n`y lon hon R. T` dây suy ra tông c´c diên t´ cua a a ´ u ¯ a . ıch , , S u ` ch´ ng bang S v` không nho hon P.R. Suy ra R ≤ ˘ a (H` 10.2). ınh P J , ´, ` 10.2. Trong không gian cho 30 vecto kh´c không. Chung minh rang a ˘ , , , , 0. ´ ¯´ o a o ˜ trong sô do c´ hai vecto m` g´c giua ch´ng nho hon 45 u , , , , `, ´ ` Loi giai. C´ thê gia thiêt rang tât ca o ˘ ´ , , v´cto c´ chung diêm dâu O. Lây OA e o ¯ ¯` ´ , ´ ¯. a ` , ´ , ´ A ˘ voi dôd`i bang 1 trên vecto thu nhât. , , , Ch´ ng ta dung h` n´n dınh O voi u . ınh o ¯ ´ ,, , 0 . B`i J 45 0 truc OA, m` g´c o dınh l` 45 . a o ¯ a a ,, ´, ´ O to´n s˜ duoc chung minh nêu ch´ ng a e ¯ . u , ` ıt ˘ ´ ta chı ra rang ´ nhât hai trong sô 30 ´ ,, ,, h` n´n (duoc xây duong theo c´ch ınh o ¯ . a , , , , ´ ´ ¯˜ trên ung voi 30 vecto da cho) c´ diêm o¯ trong chung (h` 10.3). ınh , H` 10.3: ınh e ınh ` Ch´ ng ta x´t h` câu S voi tâm u ´ ˜ ` ., ınh o ´ O v` b´n k´ 1. Môi lân dung h` n´n cat mat câu S môt h` a a ınh ˘ ˘ ` . . ınh , , ,, ´ voi diên t´ δ1 m` c´ thê t´ . ıch a o ınh to´n duoc. Ta c˜ ng thây rang a ¯ . u ´ `˘ , , hai h` ınh n´n c´ diêm trong chung khi v` chi khi nh˜ ng phân o o ¯ a u ` , , , ` ˘ ` u trên mat câu c˜ ng phai c´ diêm trong chung. T` diêu n`y v` . o ¯ u ¯ a a
10.2. V´ du ı . 107 , , , y u ` ´ nguyên l´ Ðirichlê ch´ ng ta chı cân thiêt kiêm tra tông diên t´ . ıch , , , cua 30 h` trên mat câ ´ ınh ˘ . . ıch ˘ . ` ` `u lon hon diên t´ mat câu (bang 4π). ˘ √ π 2+ 2 Ch´ ng ta c´ δ1 = 2π 1 − cos u o = 2π 1 − . Vây . 8 2 √ √ 2+ 2 ,, ,, , 2+ 2 14 30.2π 1 − > 4π tuong duong voi ¯ ´ < 2 2 15 J 2 1 167 ˘ a hoac l` . < . 2 225 , , ´ . ` ˘ . ˘ . ˘ a ¯` 10.3. Nêu môt bê mat A trong mat phang thoa m˜n diêu kiên . , , ´ ıt ´ S( A) > 1. th` n´ luôn luôn chua ´ nhât hai diêm trong ( x1 , y1 ), ı o ¯ , ´ ( x2 , y2 ) m` hiêu x2 − x1 v` y2 − y1 l` nhung sô nguyên. a . a a ˜ , `, ˜ ¯ , Loi giai. Qua môi diêm (m, n) voi ´ , , y toa dô nguyên ch´ ng ta ke c´c . ¯. u a ,, , , ,, , ¯ o ˘ ¯´ du` ng thang dung v` du` ng thang a¯ o ˘ ngang (h` 10.4). ınh ,, ,´ , Ch´ ng ta s˜ tao duoc luoi u e . ¯ . −3 −2 −1 0 1 2 3 x , , , nh˜ ng diêm voi toa dô nguyên. u ¯ ´ . ., ,´, ˘ Luoi nguyên chia mat phang ra c´c . ˘ a h` vuông ba ınh `ng nhau, môi h` ˘ ˜ ınh vuông c´ diên t´ l` 1. Ch´ ´ rang o . ıch a uy ` ˘ ˜ h` vuông c´ thê xê dich dên, H` 10.4: ınh môi ınh o . ¯ ´, , ´, tr` ng voi môt h` vuông kh´c, chı c´ kh´c l` toa dô cua h` vuông u . ınh a o a a . ¯. ınh , , ´ moi chuyên dê u ¯ ´n c˜ ng l` c´c sô nguyên. a a ´ ,´, ´ ´ Ch´ ng ta chon môt h` vuông trong luoi nguyên l`m gôc cô u . , . ınh a ` . ` ınh ´ , dinh rôi dich chuyên moi h` vuông vê h` vuông gôc. Nhu vây ¯. . ınh ., , , u ` ` nh˜ ng phân cua A nam trong c´c h` vuông kh´c nhau dêu chuyên ˘ a ınh a ¯ ` , , , ` ınh ´ vê h` vuông gôc (h` v˜). Tông cua diên t´ cua c´c phân do ınh e . ıch a ` ¯´
,, 108 Chuong 10. Nguyên l´ Ðirichlê cho diên t´ y . ıch , , , ` ˘ ´ bang diên t´ cua A v` suy ra lon hon 1. Suy ra ´ nhât hai trong . ıch a ıt ´ , ´ a ` ` ˘ . , ¯´ e o ¯ sô c´c phân nam trong h` vuông dich dên s˜ c´ diêm trong chung ınh ,, ´ , , ¯` ( x0 , y0 ). Trong tâp A ban dâu th` diêm ( x0 , y0 ) tuong ung voi hai . ı ¯ ´ , diêm kh´c nhau ( x1 , y1 ) v` ( x2 , y2 ) m` x1 − x0 , y1 − y0 , x2 − x0 , y2 − ¯ a a a , ´nguyên. Nhu vây th` x2 − x1 v` y2 − y1 c˜ ng l` sô nguyên. y0 l` c´c sô a a . ı a u a ´ J , . , ` a . ˘ . ˜, ¯ 10.4. Cho A l` tâp hop lôi v` bi chan nhung diêm trong mat a . ˘. , , , o a ˜ phang, c`n P1 , P2 , P3 , P4 , P5 l` nhung diêm thuôc A. Goi Ai l` tâp ˘ ¯ a . , . . , `, ´ a ¯ , hop nhân tu A sau môt ph´p tinh tiên c´c diêm theo vecto P1 Pi (i = . . . e . ´, ` ´ o , 1, 2, 3, 4, 5). Chung minh rang ´ nhât c´ hai tâp hop trong sô c´c ˘ ıt . . ´ a , Ai (i = 1, 2, 3, 4, 5) c´ diêm chung. o¯ , `, Loi giai. Ch´ ng ta chia ra hai u ,`, , , Q Qi truong hop A c´ thê c´ hoac . o o ˘ . , , c´ thê không c´ diêm trong. o o¯ Q ,`, , , 1. Truong hop A c´ diêm . o¯ , trong. K´ hiêu A l` tâp hop, y . a . . ,, , m` n´ nhân duoc t` A, sau a o . ¯ . u P1 Pi , khi t´c dông ph´p vi tu tâm a ¯. e . . H` 10.5: ınh , ´ vi tu 2. Khi do P1 v` hê sô . . a . ¯´ ´, công thuc sau dung Ai ⊂ A (h` 10.5). ¯´ ınh , , . . ´ Thât vây, nêu Q ∈ A v` Qi l` anh cua Q qua ph´p tinh tiên theo a a e . ´ , −→ − vecto P1 Pi (xem h` v˜), th` P1 Pi Qi Q l` h` b` h`nh. K´ hiêu ınh e ı a ınh ınh a y . , , , Q l` trung diêm cua P1 Qi . R˜ r`ng Q ∈ A, v` Q v` Pi l` phân tu a ¯ o a ı a a ` , , , , ` ˘ cua A v` A lôi. Mat kh´c P1 Qi = 2P1 Q v` v` A l` anh cua A qua a . a a ı a , , , e . . a . ´ ph´p vi tu tâm P1 v` hê sô 2, nên diêm Qi nam trong tâp hop A . ¯ ` ˘ . . , ˜ , ` Nhu vây môi tâp trong c´c tâp Ai nam trong A . Ðông th` i môi tâp . a . ˘ ` o ˜ .