Ứng dụng vô cùng bé tương đương tính giới hạn hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

762
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đã chọn hàm lũy thừa làm đại lượng vô cùng bé trung gian. Từ đó, thay vì so sánh hai vô cùng bé với nhau ta sẽ so sánh chúng với vô cùng bé trung gian trên. Do vậy, ta đã chuyển bài toán so sánh hai vô cùng bé về bài toán so sánh hai hàm luỹ thừa. Đây là bài toán đã có lời giải nên ta có được kết quả của bài toán ban đầu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng vô cùng bé tương đương tính giới hạn hàm số

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC ỨNG DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ Phan Đức Tuấna*, Nguyễn Thị Thu Thủyb Nhận bài: 15 – 12 – 2016 Chấp nhận đăng: Tóm tắt: Nhiều vấn đề của giải tích toán học dẫn đến bài toán tính giới hạn hàm số. Do đó, việc tính giới 20 – 02 – 2017 hạn của hàm số luôn được các nhà toán học quan tâm. Một bài toán tính giới hạn hàm số chỉ thực sự http://jshe.ued.udn.vn/ khó khăn khi nó có dạng vô định. Trong số các dạng vô định thì dạng vô định 0/0 là dạng phổ biến và quan trọng nhất vì hầu hết các dạng vô định khác đều có thể chuyển thành dạng 0/0. Bản chất của dạng vô định 0/0 là so sánh hai đại lượng vô cùng bé. Trong bài báo này, chúng tôi đã chọn hàm lũy thừa làm đại lượng vô cùng bé trung gian. Từ đó, thay vì so sánh hai vô cùng bé với nhau ta sẽ so sánh chúng với vô cùng bé trung gian trên. Do vậy, ta đã chuyển bài toán so sánh hai vô cùng bé về bài toán so sánh hai hàm luỹ thừa. Đây là bài toán đã có lời giải nên ta có được kết quả của bài toán ban đầu. Từ khóa: vô cùng bé; vô cùng bé tương đương; so sánh vô cùng bé; giới hạn hàm số; khử dạng vô định; phương pháp tính giới hạn. ta cần tìm ra một vật phẩm (một loại hàm) xem như là 1. Đặt vấn đề tiền và xây dựng cách thức định giá các sản phẩm lao Trong lịch sử phát triển của xã hội loài người, có động ấy. một giai đoạn con người mang các sản phẩm mình làm  Ở bài báo này, chúng tôi chọn hàm lũy thừa ax được ra chợ để đổi lấy các sản phẩm mình cần thông xem như là “tiền” và xây dựng cách thức “định giá” các qua việc thỏa thuận trao đổi. Nhưng đến một lúc người VCB thông qua các cặp VCB tương đương cơ bản. Nhờ ta phát hiện ra rằng một con lợn rừng không thể ngang đó, để khử giới hạn có dạng vô định 0/0 bằng với ba chiếc cung nỏ. Do đó, người ta đã trao đổi các sản phẩm lao động của mình cho nhau thông qua  ( x) l = lim (1) một vật phẩm và có thể coi đó là những đồng tiền đầu x →0  ( x) tiên. Mỗi dân tộc tự tìm cho mình vật phẩm để trao đổi (xem như là tiền) chẳng hạn như ở Cực Bắc họ chọn ta “định giá”  ( x) ~ ax ,  ( x) ~ bx . Khi đó, giới hạn con cừu làm vật phẩm trao đổi; ở Ấn Độ vỏ trai từng (1) đưa về giới hạn (2) dưới đây và thu được kết quả được chọn thay cho tiền; người Ai Cập cổ đại đã bắt  0,    , đầu dùng tiền xu kim loại để trao đổi và người Trung ax   l = lim  = a b,  =  , (2) Quốc đã phát minh ra tiền giấy để sử dụng. x →0 bx  ,    . Một ý tưởng vận dụng quy luật trên của cuộc sống  vào khử dạng vô định 0/0 trong toán học như sau: Bài toán khử dạng vô định 0/0 chính là bài toán so sánh hai 2. Một số kết quả liên quan vô cùng bé (VCB). Do vậy, ta sẽ xem các đại lượng Định nghĩa 1 ([1, 2]). VCB như là các sản phẩm lao động. Theo quy luật trên i. Hàm  ( x ) được gọi là vô cùng bé nếu lim  ( x) = 0. Ký hiệu là: VCB( x → x0 ). x → x0 aTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng btrường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Quảng Nam ii. Hàm f được gọi là vô cùng lớn nếu * Liên hệ tác giả Phan Đức Tuấn lim f ( x) = . Ký hiệu là: VCL( x → x0 ). Email: pdtuan@ued.udn.vn x → x0 26 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 1 (2017),26-30
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 1 (2017),26-30 iii. Cho  ( x ),  ( x ) là hai VCB( x → x0 ). Khi đó, ln(cos 4 x) lim = 1.  ( x ) được gọi là tương đương với  ( x ) (ký hiệu x →0 −8 x 2 là  ( x) ~  ( x) ) nếu lim  ( x)  ( x) = 1, và  ( x ) Định lý 1 ([1, 2]). Giả sử 1 ( x),  2 ( x), 1 ( x), x → x0  2 ( x) là các VCB( x → 0) và 1 ( x) ~  2 ( x), được gọi là VCB bậc cao hơn  ( x ) (ký hiệu là 1 ( x) ~ 2 ( x). Khi đó 1 ( x)1 ( x) ~  2 ( x) 2 ( x).  ( x) =  (  ( x)) ) nếu lim  ( x)  ( x) = 0. x → x0 Nhận xét 3. Khi các giả thiết của Định lý 1 được Nhận xét 1. Bằng cách đổi biến t = x − x0 khi thỏa mãn, nói chung 1 ( x)  1 ( x) ~  2 ( x)  2 ( x). Do đó, x0  ¡ và t = 1/ x0 khi x0 = . Ta đưa các f (1 ( x)) ~ f ( 2 ( x)) với f là một hàm số nào đó. VCB( x → x0 ) về dạng VCB(t → 0). Do đó, trong bài Ví dụ 3. Theo Mệnh đề 1 ta có báo này ta chỉ xét các VCB( x → 0). sin x ~ x, x cos x ~ x cos x, sin x ~ tan x. Ví dụ 1. Tuy nhiên sin x − x cos x ~ x − x cos x và  i. Các hàm ax (  0), sin x, tan x là VCB( x → 0). 1 − x / sin x ~ 1 − x / tan x . Thật vậy, vì ii. Ta có limsin x x = 1, nên suy ra sin x ~ x. sin x − x cos x 2 1 − x / sin x 1 x →0 lim = , lim =− . x →0 x − x cos x 3 x → 0 1 − x / tan x 2 iii. Ta có lim (1 − cos x) 2 x = 0, nên suy ra x →0 Hệ quả 1 ([2] thay thế VCB tương đương). Giả sử (1 − cos x) =  (2 x). các giả thiết của Mệnh đề 1 được thỏa mãn. Khi đó Mệnh đề 1 ([1, 2], “định giá” các hàm sơ cấp cơ lim 1 ( x) 1 ( x) = lim  2 ( x)  2 ( x), x →0 x →0 bản). Giả sử n  k  0, ak  0, ta có các cặp lim 1 ( x) 1 ( x) = lim  2 ( x)  2 ( x), x →0 x →0 VCB ( x → 0) sau tương đương với nhau: nếu các giới hạn trên là tồn tại. sin x ~ x; arcsin x ~ x; tan x ~ x; Định lý 2 ([1, 2], quy tắc bỏ VCB bậc cao). Nếu arctan x ~ x; ln(1 + x) ~ x;  ( x) =  (  ( x)) thì  ( x)   ( x) ~  ( x). (1 + x)m − 1 ~ mx; e x − 1 ~ x; 1 − cos x ~ x 2 / 2; Định lý 3 ([3] quy tắc L’hospital). Giả sử f và g an xn + ... + ak xk ~ ak xk . là các hàm liên tục trên [ a, b] và x0  (a, b) sao cho Nhận xét 2. f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 . Nếu trong một lân cận thủng nào i. Mệnh đề 1 cho thấy các hàm sơ cấp thường gặp đó của x0 tồn tại f ( x), g ( x) , g ( x)  0 và tồn tại mà là VCB thì đều tương đương được với một hàm lũy thừa (nghĩa là đã “định giá” được). hữu hạn lim f ( x) g ( x ) thì x → x0 ii. Theo Mệnh đề 1 thì sin x ~ x, khi x → 0. Do f ( x) f ( x) đó, với việc thay x bằng đại lượng VCB thì lim = lim . x → x0 g ( x) x → x0 g ( x) sin(VCB ) ~ VCB. Do đó, các kết quả của Mệnh đề 1 được tổng quát thành arcsin(VCB ) ~ VCB, …. Nhờ đó 3. Ứng dụng tính giới hạn hàm số mà rất nhiều hàm hợp của các sơ cấp có thể tương Bài toán 1. Khử dạng vô định 0/0 khi x → 0 đương được với một hàm lũy thừa.  ( x) Ví dụ 2. Khi x → 0, ta có lim . (3) x →0  ( x) ln(cos4x) = ln(1 − 2sin 2 2 x) ~ −2sin 2 2x ~ −8x2 . Phương pháp: Bài toán 1 chính là bài toán so sánh Thật vậy, vì hai VCB. Do đó, ta cần “định giá” chúng để so sánh. 27
Phan Đức Tuấn, Nguyễn Thị Thu Thủy Nghĩa là, ta sử dụng các cặp VCB tương đương trong VCL1 1 VCL2 VCB2 i. Dạng   : = = . Mệnh đề 1 và Nhận xét 2 để “định giá”: VCL2 1 VCL1 VCB1  ( x) ~ 1 ( x) ~ ... ~ ax ,   VCB1 VCB1   ii. Dạng 0. : VCB1.VCL2 = = .   ( x) ~ 1 ( x) ~ .. ~ bx .  1 VCL2 VCB2  Sử dụng (2) và Hệ quả 1, ta thu được kết quả của giới iii. Các dạng 1 ,0 ,  : ta có u = e 0 0 v v ln u nên nếu hạn (3). lim v ln u = l thì lim u v = el . Do đó, để khử các dạng Ví dụ 1.Tính giới hạn sau: v vô định của u ta chuyển sang khử dạng vô định của 1 − 1 − 15 x sin 2 x 5 v ln u. Khi đó, dạng vô định sẽ thay đổi như sau: l1 = lim . x →0 ln(cos 4 x) 1  .0  Giải: Sử dụng Mệnh đề 1, ta thu được  0   0 0   u  v ln u  0.  → . v  5 1  0 0.  0 1 − 1 − 15 x sin 2 x ~ − (−15 x sin 2 x) ~ 6 x ,     2  5 ln(1 − 2sin 2 2 x) ~ −2sin 2 2 x ~ −8 x 2 . Ví dụ 3. Tính giới hạn sau:  1 Theo (2) và Hệ quả 1, suy ra l1 = −3 / 4. l3 = lim(cos 2 x) x arcsin x . x →0 Bài toán 2. Khử dạng vô định 0/0 khi x → x0  0 Giải: Ta có ln(cos 2 x ) f ( x) lim . l3 = lim e x arcsin x . x → x0 g ( x) x →0 Phương pháp: Ta đổi biến, đặt Ta đi tính giới hạn t = x − x0 khi x0  , ln(cos 2 x) k = lim .  x →0 x arcsin x t = 1 / x0 khi x0 = . Theo phương pháp Bài toán 1, ta có Khi đó t → 0 nên Bài toán 2 trở thành Bài toán 1. ln(cos 2 x) = ln(1 − 2sin 2 x) ~ −2sin 2 x ~ −2 x 2 ,  Ví dụ 2.Tính giới hạn sau:   2 2x − 2  x arcsin x ~ x , l2 = lim . x →1 1 − 6 2 − x2 suy ra k = −2. Do vậy l3 = e−2 . Giải: Đặt t = x − 1, ta thu được 4. Một số sai lầm khi dùng CVB tương đương 2(2t − 1) l2 = lim , a. Sai lầm khi thay vô cùng bé tương đương vào t →0 1 − 6 1 − 2t − t 2 tổng, hiệu sử dụng phương pháp của Bài toán 1, ta thu được Trong quá trình tính giới hạn hàm số ta thường mắc 2 − 1 = e t − 1 ~ t ln 2, t ln 2 sai lầm thay VCB tương đương vào tổng, hiệu các VCB.  6 1 1 Sau đó, áp dụng Hệ quả 1 để suy ra kết quả. Khi đó, kết  1 − 2t − t − 1 ~ ( −2t − t ) ~ − t. 2 2  6 3 quả có thể không đúng vì theo Nhận xét 3 thì giả thiết Suy ra l2 = 6ln 2. của Hệ quả 1 không còn thỏa mãn. Ví dụ 4. Tính giới hạn sau: Bài toán 3. Khử các dạng vô định: tan x − sin x cos x  / , 0., 1 , 00 và  0 . l4 = lim . x →0 x3 Phương pháp: Sử dụng tính chất 1 VCL = VCB, ta Phân tích: Nếu ta thay VCB tương đương cho hiệu chuyển các dạng vô định trên về dạng vô định 0/0 như như sau: từ tan x ~ x, sin x ~ x suy ra sau: 28
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 1 (2017),26-30 tan x − sin x cos x ~ x − x cos x = x sin 2 ( x / 2) ~ x3 4 khi gặp giới hạn mà các VCB chứa trong hàm hợp thì quy tắc L’hospital sẽ gặp khó khăn. Do vậy, ta cần có sự suy ra l4 = 1 4 (đây là kết quả sai). kết hợp giữa phương pháp thay VCB tương đương và Giải: Ta có quy tắc L’hospital để phát huy thế mạnh của từng tan x − sin x cos x = tan x(1 − cos 2 x) phương pháp trong việc khử dạng vô định 0/0. = tan x sin 2 x ~ x3 Ví dụ 7. Tính giới hạn sau: suy ra l4 = 1. l7 = lim ( 3 . ) x 2 tan x + cos 2 x − 1 arctan x Nhận xét 4. Khi tính giới hạn nếu gặp dạng tổng, x →0 x − tan x hiệu các VCB thì ta không được thay thế VCB tương Phân tích: Nếu sử dụng quy tắc L’hospital để giải đương. Do đó, để tính được giới hạn dạng này ta thường bài toán này thì ta sẽ gặp khó khăn khi tính đạo tử số. biến đổi để đưa về dạng tích, thương của các VCB như Nếu sử dụng phương pháp thay thế VCB tương đương Ví dụ 4. Đôi khi, ta tách thành tổng, hiệu các giới hạn thì mẫu số là hiệu hai VCB nên không thay thế được. Do (nếu các giới hạn đó tồn tại). Ngoài ra, ta có thể kết hợp vậy, ta sẽ kết hợp hai phương pháp trên vào giải bài với quy tắc L’hospital hay thay thế VCB bậc cao hơn để toán này như sau: tính giới hạn dạng này. Giải: Sử dụng thay thế VCB tương đương, ta có Ví dụ 5. Tính giới hạn sau: l5 = lim e x − 1 − 4 x arctan x 2 . ( 3 ) x 2 tan x + cos 2 x − 1 arctan x x →0 x2 Phân tích: Khi thêm bớt 1 vào tử số ta sẽ được giới =( 3 ) 1 − 2sin 2 x + x 2 tan x − 1 arctan x hạn dạng hiệu hai VCB. Trong trường hợp này, ta có thể ~ 1 ( −2sin 2 x + x2 tan x ) x ~ − 32 x3 . tách thành hiệu hai giới hạn. Sau đó thay thế VCB tương 3 đương và thu được kết quả như sau: Suy ra e − 1 + 1 − 1 − 4 x arctan x x2 e −1 x2 2 x3 l5 = lim = lim 2 l7 = − lim . x →0 x 2 x → 0 x 3 x →0 x − tan x 1 − 4 x arctan x − 1 x 2 −2 x 2 Áp dụng quy tắc L’hospital, ta thu được − lim 2 = lim 2 − lim 2 = 3. x →0 x x →0 x x →0 x 2 3x 2 l7 = − lim = 2. 3 x →0 − tan 2 x Ví dụ 6. Tính giới hạn sau: e x − 1 − xe x b. Sai lầm khi thay VCB bên trong một hàm số l6 = lim . x →0 x2 Theo Nhận xét 3 thì khi  ( x) ~  ( x) nói chung Phân tích: Đây là giới hạn dạng hiệu hai VCB. Tuy không suy ra f ( ( x )) ~ f (  ( x)) với f là hàm số nhiên, nếu tách thành hiệu hai giới hạn thì các giới hạn đó không tồn tại nên không thực hiện như Ví dụ 5 được. nào đó. Do đó, trong quá trình tính giới hạn, nếu ta thay Nếu thay VCB tương đương vào hiệu ta sẽ thu được: VCB tương đương bên trong một hàm số nào đó sẽ dẫn ex − 1 − xex ~ x − xe x = x(1 − e x ) ~ −2x2 đến kết quả sai. suy ra l6 = −2 (đây là kết quả sai). Ví dụ 8. Tính giới hạn sau: Giải: Sử dụng quy tắc L’hospital, ta có 1  ln(1 + x sin x)  l8 = lim ln  . e − e − xe x x x e 1 x x →0 x 2  x2  l6 = lim = − lim = − . x →0 2x x →0 2 2 Phân tích: Nếu ta thay VCB tương đương như sau: Nhận xét 4. Quy tắc L’hospital cũng là một công ln(1 + x sin x) ~ x sin x, (4) cụ để khử dạng vô định 0/0. Đặc biệt khi gặp các giới vào l8 thì ta thu được giới hạn hạn dạng tổng, hiệu các VCB như Ví dụ 6. Tuy nhiên, 29
Phan Đức Tuấn, Nguyễn Thị Thu Thủy 1  sin x  1 5. Kết luận l8 = lim ln   =− .  x  x →0 x 2 6 Bài báo đã vận dụng quy luật trao đổi hàng hoá của Kết quả này không đúng vì theo Nhận xét 3 thì từ (4) cuộc sống vào tính giới hạn của hàm số thông qua việc không suy ra được thay thế các VCB bằng hàm luỹ thừa để đưa các giới hạn  ln(1 + x sin x)   sin x  về giới hạn đơn giản (2). Bài báo giới thiệu một số ln   ~ ln  .  x2   x  phương pháp để khắc phục các bài toán có chứa tổng, Giải: Sử dụng phương pháp thay VCB tương đương hiệu các VCB mà khôngsử dụng phương pháp thay thế ta thu được VCB tương đương. Tuy nhiên, trường hợp này ta cũng 1  ln(1 + x sin x) − x 2  có thể sử dụng phương pháp thay thế VCB tương đương l8 = lim 2 ln 1 +  x →0 x  x2  nhưng phải là VCB tương đương bậc cao hơn ví dụ như: ln(1 + x sin x) − x 2 x − tan x ~ − x3 3. Vấn đề này sẽ được chúng tôi đề = lim . x →0 x4 cập đến trong một nghiên cứu tiếp theo. Đặc biệt, bài Áp dụng quy tắc L’hospital ta thu được kết quả báo đã chỉ ra một số sai lầm khi sử dụng phương pháp l8 = − 2 3. thay thế VCB tương đương. Đây thực sự là những điều Ví dụ 9. Tính giới hạn sau: tâm đắc của chúng tôi vì trong quá trình giảng dạy có 1   x2  khá nhiều sinh viên mắc phải những sai lầm này dẫn l9 = lim sin  .  1 + 2 x tan x − 1  x →0 x 2 đến sai kết quả. Phân tích: Tương tự Ví dụ 8, nếu ta thay VCB Ghi chú: Các giới hạn trong bài báo được tình bằng tương đương như sau: từ phần mềm Maple 17. 1 + 2 x tan x − 1 ~ x tan x, suy ra Tài liệu tham khảo  x 2   x  (5) [1]. Đ. C. Khanh (2000), Giải tích một biến, NXB sin   ~ sin  .  1 + 2 x tan x − 1   tan x  ĐHQG TP. Hồ Chí Minh. [2]. T. X. Tiên, Đ. N Dục (2004), Toán cao cấp - Do đó, ta có Phần giải tích, NXB Đà Nẵng. 1  x   [3]. L. V. Tư, (2001), Tiền tệ, ngân hàng, thị trường l9 = lim sin  = .  tan x  3 x →0 2 x tài chính, NXB Thống kê. Kết quả này sai vì (5) không đúng. Kết quả đúng là [4]. V. Tuấn (2011), Giáo trình giải tích toán học, T1, NXB Giáo dục Việt Nam. l9 = −  6. APPLYING INFINITESIMAL EQUIVALENCE IN CALCULATION OF FUNCTION LIMITS Abstract: Many problems of analytical mathematics lead to calculation of limits of a function. Therefore, the calculation of limits of a function has attracted much attention of mathematicians. Only when it is in anamorphous form does the calculation of the limits of a function appear really difficult to be solved. Among amorphous forms, the 0/0 amorphous one is the most common and important, for most of other amorphous forms can be converted into 0/0. The nature of the 0/0 amorphous form is comparison between two infinitesimal quantities.In this article, we have chosen the exponential function as an intermediary infinitesimal quantity, whereby instead of comparing two infinitesimals together, we are to compare them with the above infinitesimal intermediary. Thus, we move from the problem of comparing two infinitesimals to the one of comparing two exponential functions, which already has its own solution; therefore, we can obtain the results of the initial problem. Key words: infinitesimal;infinitesimal equivalence;infinitesimal comparison; limits of functions; amorphous form reduction; method of calculating limits. 30