Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên Tiến

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

223
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác Tác giả: Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình. Nội dung chính gồm có 8 phần:khoảng cách giữa các điểm đặc biệt, khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp, khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Lemoine(Lomoan) của tam giác,.....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên Tiến

MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC I. MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu các tính chất của tam giác, ta thấy có một số điểm đóng vai trò đặc biệt và chúng có quan hệ mật thiết với nhau. Chẳng hạn, mối quan hệ giữa các điểm: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác uuu uuu uuu r r r biểu thị qua hệ thức OG : GH : OH = 1: 2 : 3 ; khoảng cách giữa hai tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các bán kính R, r của chúng biểu thị qua hệ thức Euler đẹp đẽ: IO 2 = R 2 - 2Rr . Một vấn đề được đặt ra là với những điểm nêu trên ta có thể xác định được khoảng cách còn các điểm đặc biệt khác của tam giác như: tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone thì hệ thức liên hệ giữa chúng như thế nào? Có xác định được không? Bài tập này xin được giới thiệu về cách xác định những khoảng cách đó và một số hệ thức giữa những khoảng cách này. Đồng thời, thông qua nghiên cứu các khoảng cách đó ta cũng đưa ra được một số đánh giá về các yếu tố liên quan đến tam giác như: chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp. Cũng thông qua bài tập này chúng ta có thể thấy một số cặp phạm trù của triết học được vận dụng trong quá trình nghiên cứu như: cái chung và cái riêng; nội dung và hình thức; chủ quan và khách quan. MỘT SỐ KÝ HIỆU ABC : tam giác ABC G : trọng tâm tam giác ABC H : trực tâm tam giác ABC I : tâm đường tròn nội tiếp tam giác O : tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia , Ib ,Ic : tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C L : điểm Lemoine của tam giác N : điểm Naghen của tam giác Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 2 J : điểm Gergone của tam giác p : nửa chu vi của tam giác S : diện tích của tam giác R, r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ra , rb , rc : bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với góc A, B, C å ab = ab + bc + ca ; å a b = a b 2 2 2 2 + b2c2 + c2a 2 ; åa 2 = a 2 + b 2 + c2 åa = a + b + c ; åa = a + b 3 3 3 3 4 4 4 + c4 II. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trước hết, ta nhắc lại các kết quả sau:(dễ dàng chứng minh được) uuu uuu uuu r r r r 1. GA + GB + GC = 0 uur uur uu r r 2. aIA + bIB + cIC = 0 uuu uuu uuu r r r uuur 3. HA + HB + HC = 2HO uuu uuu uuu uuu r r r r 4. OA + OB + OC = OH uuu r uuu uuu r r uuur uuu r 5. OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r r 6. AH = OB + OC; BH = OC + OA; CH = OA + OB = pr = (p - a ) ra = (p - b) rb = (p - c) rc abc 7. S = 4R 2 (å a 2 b 2 ) - (å a 4 ) 8. S = p (p - a )(p - b)(p - c) = 16 9. 2(å ab) - (å a 2 ) = 4r 2 + 16Rr 10. å ab = p + r + 4Rr 2 2 11. å a = 2p - 2r - 8Rr 2 2 2 12. å a = 2p (p - 3r - 6Rr ) 3 2 2 13. (p - a )(p - b) + (p - b)(p - c) + (p - c)(p - a ) = r (4R + r ) a2 b2 c2 4p (R - r ) 14. + + = p-a p-b p-c r Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 3 2(b 2 + c2 ) - a 2 2(c 2 + a 2 ) - b 2 2 (a 2 + b 2 ) - c 2 15. GA =2 ;GB = 2 ;GC = 2 9 9 9 uuu uuu 2 r r ( ) 16. HA 2 = OB + OC = 4R 2 - a 2 ; HB2 = 4R 2 - b 2 ; HC2 = 4R 2 - c2 17. IA 2 = r 2 + (p - a ) = bc - 4Rr ; IB2 = ca - 4Rr; IC2 = ab - 4Rr 2 III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trên để ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt trong tam giác. 1. Khoảng cách giữa các điểm đặc biệt uuur uuur uuur uuur Trước hết, xuất phát từ hệ thức MA + MB + MC = 3.MG , ta có: uuur 2 uuur uuu uuur 2 r ( 9MG = MA + MB + MC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( = MA 2 + MB2 + MC2 + 2 MA.MB + MB.MC + MC.MA ) = 3(MA 2 + MB2 + MC2 ) - (a 2 + b 2 + c2 ) uuur uuur uuur uuur (do 2MA.MB = MA 2 + MB2 - AB2 ;2MB.MC = MB2 + MC2 - BC2 ; uuur uuur 2MC.MA = MC2 + MA 2 - CA 2 ). (MA 2 + MB2 + MC2 ) - 9 (å a 2 ) 1 1 Do đó, MG 2 = (I) 3 * Khi M º O , ta có: (OA 2 + OB2 + OC2 ) - 9 (å a 2 ) = R 2 - 9 (å a 2 ) 1 1 1 1.1) OG 2 = 3 = R 2 - p 2 + (å ab) = (9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2 ) 4 2 1 9 9 9 * Khi M º H , ta có: (HA 2 + HB2 + HC2 ) - 9 (å a 2 ) = 4R 2 - 9 (å a 2 ) 1 1 4 1.2) HG 2 = 3 p + (å ab) = (9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2 ) 16 2 8 4 = 4R 2 - 9 9 9 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 4 * Khi M º I , ta có: (IA 2 + IB2 + IC2 ) - 9 (å a 2 ) = 9 éêë3(å ab -12Rr ) - (å a 2 )ùúû 1 1 1 1.3) IG 2 = 3 = éê5(å ab) - 4p 2 ùú - 4Rr = (p 2 + 5r 2 -16Rr ) 1 1 9ë û 9 uuu r uuu r * Từ hệ thức OH = 3OG , ta có: 1.4) OH 2 = 9OG 2 = 9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2 uuu uuu uuu r r r uuu r Cũng có thể tính OH xuất phát từ các hệ thức HA + HB + HC = 2HO và uuu uuu uuu uuu r r r r OA + OB + OC = OH . uuur uuur uuur uur Tiếp tục, xuất phát từ hệ thức aMA + bMB + cMC = (a + b + c) MI , ta có: uuur uuur uuur ( (a + b + c) MI = aMA + bMB + cMC ) 2 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( = a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c 2 MC2 + 2 abMA.MB + bcMB.MC + caMC.MA ) = (a + b + c)(aMA 2 + bMB2 + cMC2 - abc) (aMA 2 + bMB2 + cMC2 ) - a + b + c 1 abc Do đó, MI2 = a +b+c (aMA 2 + bMB2 + cMC2 ) - 2Rr 1 Û MI 2 = (II) a +b+c * Khi M º O , ta có: (aOA 2 + bOB2 + cOC2 ) - 2Rr = R 2 - 2Rr (Hệ thức Ơle) 1 1.5) OI 2 = a +b+c * Khi M º H , ta có: (aHA 2 + bHB2 + cHC2 ) - 2Rr 1 1.6) HI2 = a +b+c é 4(a + b + c) R 2 - ( a 3 )ù - 2Rr å úû 1 = a + b + c êë = 4R 2 - 6Rr - (å a 2 - å ab) - 2Rr = 4R 2 + 4Rr + 3r 2 - p 2 2. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 5 Gọi Ia , I b , Ic lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC. Khi đó dễ dàng chứng minh được các hệ thức sau: uuur uuu r uuu r r uuur uuur uuur uuur i) -aIa A + bIa B + cIa C = 0 ; -aMA + bMB + cMC = (-a + b + c) MIa uuur uuur uuu r uuur r uuur uuur uuur ii) aI b A - bIb B + cI bC = 0 ; aMA - bMB + cMC = (a - b + c) MI b uuur uur uur r uuur uuur uuur uuur iii) aIc A + bIc B - cIcC = 0 ; aMA + bMB - cMC = (a + b - c) MIc . Xuất phát từ hệ thức i), ta có: uuur uuur uuur ( (-a + b + c) MIa = -aMA + bMB + cMC ) 2 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( = a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c 2 MC2 - 2 abMA.MB - bcMB.MC + caMC.MA ) = (-a + b + c) éêë-aMA 2 + bMB2 + cMC2 + abcùúû Þ (-a + b + c) MIa = -aMA 2 + bMB2 + cMC2 + abc 2 (III) * Khi M º O , ta được: (-aOA 2 + bOB2 + cOC2 + abc) = R 2 + -a + b + c 1 abc 2.1) OIa = 2 (-a + b + c) = R 2 + 2Rra Tương tự, ta có: abc abc OI 2 = R 2 + = R 2 + 2Rrb ; OIc = R 2 + 2 = R 2 + 2Rrc a -b+c a + b-c b * Khi M º H , ta được: (-aHA 2 + bHB2 + cHC2 + abc) 1 2.2) HIa = 2 -a + b + c a 3 - b3 - c3 + abc = 4R +2 = 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rra + 2bc -a + b + c Tương tự, ta có: b3 - c3 - a 3 + abc HI2 = 4R 2 + = 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rrb + 2ca ; a-b+c b c3 - a 3 - b3 + abc HI = 4R + 2 2 = 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rrc + 2ab a + b-c c Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 6 * Khi M º I , ta được: (-aIA 2 + bIB2 + cIC2 + abc) 1 2.3) I Ia = 2 -a + b + c - 4Rr = 4R (ra - r ) 2abc = -a + b + c Tương tự, ta có: I I 2 = 4R (rb - r ) ; I Ic = 4R (rc - r ) b 2 * Khi M º G , ta được: (-aGA 2 + bGB2 + cGC2 + abc) 1 2.4) GIa = 2 -a + b + c a 3 - b3 - c3 + 3abc 1 = (å a ) + = (6bc - 5p 2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rra 2 2 9 3(-a + b + c) 9 Tương tự, ta có: (6ca - 5p2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rrb 1 GI 2 = b 9 (6ab - 5p2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rrc 1 GIc = 2 9 * Khi M º A , ta được: bAB2 + cAC2 + abc bcp 2.5) AI = 2 = = bc + 4Rra a (-a + b + c) p-a Tương tự, ta có: cap abp BI 2 = = ca + 4Rrb , CIc = 2 = ab + 4Rrc . p-b p-c b * Khi M º B , ta có: -aBA 2 + cBC2 + abc ca (p - c) 2.6) BI =2 = -a + b + c p-a a ab (p - b) Tương tự, ta có: CIa = 2 p-a bc(p - c) ab (p - a ) bc(p - b) 2 ca (p - a ) AI 2 = , CI 2 = , AIc = 2 , BIc = p-b p-b p-c p-c b b Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 7 * Khi M º I b , ta được: -aI b A 2 + bI b B2 + cIb C2 + abc abc 2 2.7) I b Ia = 2 = = 4R (ra + rb ) -a + b + c (p - a )(p - b) Tương tự, ta có: a 2 bc ab 2c II = 2 = 4R (rb + rc ) ; Ic Ia = 2 = 4R (rc + ra ) b c (p - b)(p - c) (p - c)(p - a ) 3. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Lemoine(Lomoan) của tam giác Điểm Lemoine. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy các điểm C1 ,A1 ,B1 tương AC1 b 2 BA1 c2 CB1 a 2 ứng sao cho = ; = ; = . Khi đó các đường thẳng C1B a 2 A1C b 2 B1A c2 AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm L(điểm L được gọi là điểm Lemoine của tam giác) Chứng minh: Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng AA1 , CC1 . Áp dụng định lý Menelauyts AC1 BC A1L cho tam giác ABA1 , ta có: . . = 1. C1B CA1 LA AC1 b 2 BC b 2 + c 2 Với = ; = nên ta có; C1B a 2 CA1 b2 A1L a2 LA b 2 + c2 = Þ = . LA b 2 + c2 AA1 a 2 + b 2 + c2 BA1 c 2 uuur uuur Mặt khác, từ hệ thức = 2 ta có b 2 BA1 = c2 A1C . Từ đó, ta có hệ thức: A1C b uuuu r b 2 uuu r c2 uuu r AA1 = AB + 2 AC b 2 + c2 b + c2 uuu r uur uur r Do vậy: a 2 LA + b 2 LB + c2 LC = 0 . Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 8 Tương tự, giao điểm của hai đường thẳng BB1 và CC1 cũng thỏa mãn hệ thức này. Điểm L được xác định duy nhất theo hệ thức này, vì vậy ba đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại điểm L thỏa mãn hệ thức trên☺. Xuất phát từ hệ thức trên, ta tính khoảng cách từ L đến các điểm G, H, O, I, Ia , I b , Ic . uuur uuur uuur uuu r Với mọi điểm M, ta có hệ thức: a MA + b MB + c MC = (å a ) ML . Do vậy, 2 2 2 2 ta có: uuur uuur uuur (å ( a 2 ) ML2 = a 2 MA + b 2 MB + c 2 MC ) 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( = a 4 MA 2 + b 4 MB2 + c 4 MC2 + 2 a 2 b 2 MA.MB + b 2c 2 MB.MC + c 2a 2 MC.MA ) = (å a 2 )(a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c2 MC2 ) - 3a 2 b 2c 2 a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c2 MC2 3a 2 b 2c2 Þ ML2 = - (å a2 ) (IV) (å a 2 ) 2 * Khi M º O , ta có: a 2OA 2 + b 2OB2 + c2OC2 3a 2 b 2c2 3a 2 b 2c 2 3.1) OL = 2 - =R - 2 (å a 2 ) (å a2 ) 2 (å a 2 ) 2 * Khi M º G , ta có: a 2GA 2 + b 2GB2 + c2GC2 3a 2 b 2c2 3.2) GL = 2 - (å a 2 ) (å a 2 ) 2 é( a 4 )( a 2 ) + 9a 2 b 2c2 ù êå å úû = (å a 2 ) - ë 2 å3( a 2 ) 2 9 2(å a ) - 3(å a )(å a ) - 27 (abc) 3 2 2 4 2 = 9 (å a ) 2 2 6(å a 2 )(å a 2 b 2 ) - (å a 2 ) - 27 (abc) 3 2 = 9 (å a 2 ) 2 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 9 * Khi M º H , ta có: a 2 HA 2 + b 2 HB2 + c2 HC2 3a 2 b 2c2 3.3) HL = 2 - (å a 2 ) (å a 2 ) 2 = 4R 2 - (å a 4 )(å a 2 ) + 3a 2b2c2 (å a 2 ) 2 2(å a 2 )(å a 2 b 2 ) - 3(abc) 2 = 4R - (å a ) + 2 2 (å a 2 ) 2 * Khi M º I , ta có: a 2 IA 2 + b 2 IB2 + c 2 IC2 3a 2 b 2c2 3.4) IL = 2 - (å a 2 ) (å a 2 ) 2 abc éê(å a )(å a 2 ) - 3abcùú = ë û - 4Rr = 4Rr 2 é p 2 (R + r ) - r (4R + r )2 ù 2 ê úû (å a 2 ) (p2 - r 2 - 4Rr ) ë 2 * Khi M º Ia , ta có: a 2 Ia A 2 + b 2 Ia B2 + c 2 Ia C2 3a 2 b 2c 2 abc(2p 2 - 2bc) 3a 2 b 2c 2 3.5) Ia L = 2 - = - (å a2 ) (å a ) 2 2 (p - a )(å a 2 ) (å a 2 )2 Tương tự, ta có: abc (2p 2 - 2ca ) 3a 2 b 2c2 abc(2p 2 - 2ab) 3a 2 b 2c2 IbL = 2 - , Ic L = 2 - (p - b)(å a 2 ) (å a ) 2 2 (p - c)(å a 2 ) (å a 2 ) 2 * Khi M º A , ta có: b 2 AB2 + c2 AC2 3a 2 b 2c2 b 2c 2 (2å a 2 - 3a 2 ) 3.6) AL = 2 - = (å a2 ) (å a ) 2 2 (å a 2 ) 2 Tương tự, ta có: c2a 2 (2å a 2 - 3b 2 ) a 2 b 2 (2å a 2 - 3c 2 ) BL = 2 , CL =2 (å a ) 2 2 (å a 2 ) 2 4. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Gergone của tam giác Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 10 Điểm Gergone. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1 ,B1 ,C1 . Khi đó các đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm J(điểm J được gọi là điểm Gergone). Ta có AC1 = AB1 = p - a;BC1 = BA1 = p - b;CA1 = CB1 = p - c . Bằng cách chứng minh tương tự như điểm Lemoine, ta có điểm Gergone uur uu r uu r r thỏa mãn hệ thức: (p - b)(p - c) JA + (p - c)(p - a ) JB + (p - a )(p - b) JC = 0 . Để thuận tiện trong việc tính toán ta đặt: x = (p - b)(p - c); y = (p - c)(p - a ); z = (p - a )(p - b) uuur uuur uuur uur Khi đó, với mọi điểm M ta có: xMA + yMB + zMC = ( x + y + z ) MJ . Do vậy: uuur uuur uuur (x + y + z) MJ 2 = ( xMA + yMB + zMC) 2 2 uuur uuur uuu uuur r uuur uuur ( = x 2 MA 2 + y 2 MB2 + z 2 MC2 + 2 xyMA.MB + yzMB.MC + zxMC.MA ) = ( x + y + z)( xMA 2 + yMB2 + zMC2 ) - ( xyc 2 + yza 2 + zxb 2 ) xMA 2 + yMB2 + zMC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2 Þ MJ = 2 - (V) x+y+z ( x + y + z) 2 Ta có: xyc2 + yza 2 + zxb 2 (p - a )(p - b)(p - c) éêë p(å a 2 ) - (å a 3 )ùúû 4p 2 r (R + r ) = = (x + y + z) é r (4R + r )ù 2 (4R + r ) 2 2 ë û * Khi M º O , ta có: xOA 2 + yOB2 + zOC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2 4p 2 r (R + r ) 4.1) OJ = 2 - =R - 2 x+y+z ( x + y + z) (4R + r ) 2 2 * Khi M º G , ta có: xGA 2 + yGB2 + zGC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2 4.2) GJ 2 = - x+y+z ( x + y + z) 2 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 11 4 p (4R + 8Rr - 5r ) - r (4R + r ) 2 2 2 3 = . (4R + r ) 2 9 * Khi M º H , ta có: xHA 2 + yHB2 + zHC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2 4.3) HJ = 2 - x+y+z (x + y + z) 2 8p 2 R (2R - r ) = 4R -2 (4R + r ) 2 * Khi M º I , ta có: xIA 2 + yIB2 + zIC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2 3p 2 r 2 4.4) IJ = 2 - =r - 2 x+y+z (x + y + z) (4R + r ) 2 2 * Khi M º L , ta có: xLA 2 + yLB2 + zLC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2 4.5) LJ = 2 - x+y+z (x + y + z) 2 2 éê 4Rrp 2 (å ab) + (å a 3b3 ) - p 2 (å a 2 b 2 )ùú 3(abc)2 4p 2 r (R + r ) = ë û- - r (4R + r )(å a ) (å a2 ) (4R + r ) 2 2 2 * Khi M º A , ta có: yAB2 + zAC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2 4.6) AJ = 2 - x+y+z ( x + y + z) 2 pr æ c 2 b 2 ö 4p r (R + r ) ÷- 2 = ç ç + ÷ ÷ 4R + r ç p - b p - c ø (4R + r )2 ÷ è Tương tự, ta có: pr æ c2 a 2 ö 4p r (R + r ) ÷- 2 JB = 2 ç ç + ÷ ÷ 4R + r ç p - a p - c ø (4R + r )2 ÷ è pr æ a 2 b 2 ö 4p r (R + r ) ÷- 2 JC = 2 ç ç + ÷ ÷ 4R + r ç p - b p - a ø (4R + r )2 ÷ è 5. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Naghen của tam giác Điểm Naghen. Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 12 Các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A1 ,B1 ,C1 . Khi đó các đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm N(điểm N được gọi là điểm Naghen). Ta có C1B = CB1 = p - a;A1C = AC1 = p - b;B1A = A1B = p - c . Bằng cách chứng minh tương tự như điểm Lemoine, ta có điểm Naghen uuu r uuu r uuu r r thỏa mãn hệ thức: (p - a ) NA + (p - b) NB + (p - c) NC = 0 . uuur uuur uuur uuur Với mọi điểm M, ta có (p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MC = pMN . Vì vậy: uuur uuur uuur 2 p 2 MN 2 = éê(p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MCùú ë û = p éêë(p - a ) MA 2 + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ùúû - éêë(p - a )(p - b)c2 + (p - b)(p - c)a 2 + (p - c)(p - a ) b 2 ùúû Ta có: é(p - a )(p - b)c 2 + (p - b)(p - c)a 2 + (p - c)(p - a ) b 2 ù êë úû 2 = 4r (R - r ) p (p - a )MA 2 + (p - b)MB2 + (p - c)MC2 Þ MN = 2 - 4r (R - r ) (VI) p * Khi M º O , ta có: 5.1) ON 2 = R 2 - 4r (R - r ) = (R - 2r ) 2 * Khi M º G , ta có: (p - a )GA 2 + (p - b)GB2 + (p - c)GC2 5.2) GN = 2 - 4r (R - r ) p (p + 5r 2 -16Rr ) 4 2 = 9 * Khi M º H , ta có: (p - a ) HA 2 + (p - b) HB2 + (p - c) HC2 5.3) HN = 2 - 4r (R - r ) = 4R (R - 2r ) p * Khi M º I , ta có: Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 13 (p - a )IA 2 + (p - b) IB2 + (p - c) IC2 5.4) IN = 2 - 4r (R - r ) = p 2 + 5r 2 -16Rr p * Khi M º L , ta có: (p - a )LA 2 + (p - b) LB2 + (p - c) LC2 5.5) LN = 2 - 4r (R - r ) p 2 2 2 2 é 4 ù - 48p r R - 4r (R - r ) = p - 2p r (6R - r ) + r (4R + r )úû a 2 êë 2 3 å ( a2 ) 2 å * Khi M º J , ta có: (p - a )JA 2 + (p - b) JB2 + (p - c) JC2 5.6) JN = 2 - 4r (R - r ) p = 16R é p 2 (R + r ) - r (4R + r )2 ù ê úû (4R + r ) ë 2 * Khi M º A , ta có: (p - b) AB2 + (p - c) AC2 5.7) AN = - 4r (R - r ) = (b - c) + 4r 2 2 2 p Tương tự, ta có: BN 2 = (c - a ) + 4r 2 , CN 2 = (a - b) + 4r 2 2 2 6. Hệ thức liên hệ các khoảng cách giữa các điểm đặc biệt Như nhận xét ở trên, bây giờ ta tìm các hệ thức liên hệ các khoảng cách giữa các điểm đặc biệt OG 2 , HG 2 , IG 2 ,OH 2 , HI 2 ,OI 2 . uuu r uuu uuu r r uuu r uuu r Từ các hệ thức OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO ta có: 6.1) OH 2 - 9OG 2 = 0 6.2) GH 2 - 4OG 2 = 0 6.3) 9HG 2 - 4OH 2 = 0 Ta xuất phát từ đẳng thức: xOG 2 + yOH 2 + zOI 2 + tGH 2 + kGI 2 + qIH 2 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 14 = ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R 2 - 2(z + 2k + 4q ) Rr - ( x + 9y + 4t + k + 9q ) p 2 4 9 + (2x + 18y + 8t + 5k + 27q )(ab + bc + ca ) 1 9 = ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R 2 + (2x + 18y + 5k + 27q + 8t ) r 2 1 9 + (8x + 72y -18z -16k + 36q + 32t ) Rr + (-2x -18y + k - 9q - 8t ) p 2 1 1 9 9 trong đó x, y, z, k, t, q là các số thực. * Lấy q = -1;z = 4;x = y = t = k = 0 , ta được: 6.4) 4OI 2 - IH 2 = 4p 2 - 3(å ab) = p 2 - 3r 2 -12Rr * Lấy k = -1;z = 2;x = y = t = q = 0 , ta được: 6.5) 2OI 2 - GI 2 = 2R 2 + p 2 - (å ab) = (18R 2 - 5r 2 - 20Rr - p 2 ) 4 5 1 9 9 9 * Lấy t = -1;z = 4;x = y = k = q = 0 , ta được: p - (å ab) - 8Rr = (p 2 - r 2 -13Rr ) 16 2 8 8 6.6) 4OI 2 - GH 2 = 9 9 9 * Lấy t = 3;q = -2;k = 6;z = -4; x = y = 0 , ta được: 6.7) 3GH 2 + 6IG 2 = 2IH 2 + 4IO 2 * Lấy x = 6; y = t = 0;z = -2;k = 3;q = -1 , ta được: 6.8) 3(2OG 2 + GI 2 ) = 2OI 2 + IH 2 . * Lấy x = 4;q = -1; y = z = t = k = 0 , ta được: p - (å ab) = + (å a 2 ) - (å ab) 20 2 19 4abc 5 6.9) 4OG 2 - IH 2 = 8Rr + 9 9 a +b+c 9 5(å a 3 ) + 9abc - 4 éë ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a )ùû (p -19r 2 - 4Rr ) 1 2 = = 9 (a + b + c ) 9 * Lấy y = 1;q = -2;x = z = t = k = 0 , ta được: 6.10) OH 2 - 2IH 2 = R 2 + 16Rr + 4p 2 - 3(å ab) Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 15 = R 2 + 16Rr + å a 2 - 2(å ab) = R 2 - 4r 2 * Lấy x = y = z = 0, t = 1, k = q = -1 , ta được: 6.11) GH 2 - GI 2 - IH 2 = 12Rr + p 2 - (å ab) = r (R - 2r ) 8 8 4 3 3 3 * Lấy x = t = k = 0, y = 1, z = -1,q = -2 , ta được: 6.12) OH 2 - OI 2 - 2IH 2 = 18Rr + 4p 2 - 4(å ab) = 2r (R - 2r ) 7. Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt * Từ 6.4) và bất đẳng thức åa 2 ³ å ab , ta có được: 7.1) IH £ 2IO * Từ 1.4), 6.5) và bất đẳng thức åa 2 ³ å ab , ta được: 7.2) IG £ 2 OI * Từ bất đẳng thức åa 2 ³ å ab ; bất đẳng thức å ab ³ 18Rr và 6.6), ta được: 7.3) GH £ 2OI 2 * Từ các đẳng thức HG = 2OG; HG = OH và 7.3), ta được: 3 7.4) OG £ OI; OH £ 3OI * Từ 7.1), 7.2), 7.3), 7.4), ta có: { 7.5) max 3IH,3 2IG,6OG, 2OH £ 6OI } * Từ đẳng thức 2(å ab) - (å a 2 ) = 4r 2 + 16Rr và 6.10), 1.5) với chú ý OI2 ³ 0 , ta được: 7.6) OH ³ 2IH * Từ các bất đẳng thức: 2(a 3 + b3 + c3 ) ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ; Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 16 a 3 + b3 + c3 + 3abc ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) và 6.9), hoặc từ các bất đẳng thức p 2 ³ 16Rr - 5r 2 ; R ³ 2r , ta được: 7.7) HI £ 2OG 8. Một số kết quả khác khai thác được từ các khoảng cách trên Từ các công thức xác định khoảng cách giữa các điểm đặc biệt ta sẽ khai thác một số kết quả cơ bản. Cụ thể như sau: * Từ 1.5) ta có: 8.1) R ³ 2r * Từ 1.1) ta có: 8.2) 2p 2 £ 9R 2 + 2r 2 + 8Rr * Từ 1.3) ta có: 8.3) p 2 ³ 16Rr - 5r 2 * Từ 1.6) ta có: 8.4) p 2 £ 4R 2 + 4Rr + 3r 2 (đánh giá này mạnh hơn 8.2)) * Từ 8.1) và 8.3) ta có: 8.5) p 2 ³ 12Rr + 3r 2 * Từ 8.1) và 8.4) ta có: 8.6) 3p 2 £ (4R + r ) 2 * Từ 4.1) và 5.6) ta có: r (4R + r ) R 2 (4R + r ) 2 2 8.7) £p £ 2 R +r 4r (R + r ) * Từ 4.3) ta có: R (4R + r ) 2 8.8) p £2 2(2R - r ) * Từ 8.3) và 8.4) ta có: (R - 2r )(R + 2r ) £ OG 2 = OH 2 = GH 2 £ (9R 2 - 24Rr + 12r 2 ) 1 1 1 1 8.9) 9 9 4 9 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 17 * Từ 4.1), 8.5) và 8.6) ta có: 12r 2 (R + r ) 8.10) R - r (R + r ) £ OJ £ R - 4 2 2 2 3 4R + r * Từ 1.3), 8.4) và 8.5) ta có: R (2R - r ) £ GI2 = NI 2 = GN 2 £ (R 2 - 3Rr + 2r 2 ) 4 1 1 4 8.11) 9 9 4 9 * Từ 1.6) và 8.5) ta có: 8.12) HI2 £ 4(R 2 - 3Rr + 2r 2 ) * Từ 6.11) và 8.1) ta có: 8.13) GH 2 ³ GI2 + IH 2 * Từ 6.12) và 8.1) ta có: 8.14) OH 2 ³ OI2 + 2IH 2 * Từ 4.1) và 8.8) ta có: R (R - 2r )(2R + r ) 8.15) OJ 2 ³ 2R - r * Từ 3.1), 8.3) và 8.4) ta có: 8R 3 (R - 2r ) 8.16) OL ³ 2 3(2R - r ) 2 * Từ 1.5), 5.1) và 8.15) ta có: OJ 2 5OI 2 - ON 2 8.17) ³ OI2 3OI 2 + ON 2 * Từ 1.5), 5.1) và 8.16) ta có: OL 2 OI 2 8.18) ³4 . OI 3 3OI2 + ON 2 Ngoài ra ta cũng tìm được các kết quả sau đây: 48Rr 4 (R - 2r )(2R - r ) R (R - 2r )(R + 2r )(4R + r ) 2 2 8.19) £ IL £ 2 (4R + r ) (4R - 3Rr + 2r ) 2 2 36r (2R - r ) 2 2 2 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com
MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 18 (R + r )(R - 2r ) (2R - r )(R - 2r ) 8.20) 4r 2 . £ IJ 2 £ 8r 2 . (4R + r ) (4R + r ) 2 2 R (R - 2r ) = OI 2 16 16 8.21) NJ 2 £ 3 3 8.22) OIa + OI b + OIc + OI 2 = 12R 2 2 2 2 8.23) Ia Ib + I b Ic + Ic Ia = 8R (4R + r ) 2 2 2 8.24) HIa + HI 2 + HIc - 7HI 2 = 16(R - r )(R + r ) 2 b 2 48R 2 + 16Rr + r 2 - 3p 2 8.25) GI + GI + GI = 2 a 2 b 2 c 3 8.26) I Ia .I I b .I Ic = 16R 2 r (17R + 2r ) 3 8.27) 4p £ Ia I b + Ib Ic + Ic Ia £ 3 4 3 8.28) 12r £ p £ I Ia + I Ib + I Ic £ 7R - 2r 3 8.29) Với mọi điểm M, ta có: aMA 2 + bMB2 + cMC2 ³ abc 3a 2 b 2c 2 8.30) Với mọi điểm M, ta có: a MA + b MB + c MC ³ 2 2 2 2 2 2 2 a + b 2 + c2 8.31) Với mọi điểm M, ta có: (p - a ) MA 2 + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ³ 4pr (R - r ) MA 2 MB2 MC2 4p (R + r ) 8.32) Với mọi điểm M, ta có: + + ³ p-a p-b p-c 4R + r 8.33) Với mọi điểm M nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có: aMA 2 + bMB2 + cMC2 = 2pr (2R + r ) 8.34) Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì: 6(å a 2 )(å a 2 b 2 ) ³ (å a 2 ) + 27 (abc) 3 2 8.35) 3.sin A.sin B.sin C £ 1 + cos A.cos B.cosC . Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com