Về dạng Jordan của các ma trận trên vành chia có ước cơ sở đơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của bài viết này là trình bày một số kỹ thuật phân tích ma trận trên vành chia của P. M. Cohn theo một cách trực quan và dễ hiểu. Từ các kết quả đó, chúng tôi chứng minh được rằng mọi ma trận có ước cơ sở đơn trên vành chia

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về dạng Jordan của các ma trận trên vành chia có ước cơ sở đơn

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 VỀ DẠNG JORDAN CỦA CÁC MA TRẬN TRÊN VÀNH CHIA CÓ ƯỚC CƠ SỞ ĐƠN Cao Minh Nam Phân hiệu tại Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Giao thông vận tải Email liên hệ: namcm@utc.edu.vn (Ngày nhận bài: 14/4/2023, ngày nhận bài chỉnh sửa: 15/5/2023, ngày duyệt đăng: 25/5/2023) TÓM TẮT Mục tiêu chính của bài báo này là trình bày một số kỹ thuật phân tích ma trận trên vành chia của P. M. Cohn theo một cách trực quan và dễ hiểu. Từ các kết quả đó, chúng tôi chứng minh được rằng mọi ma trận có ước cơ sở đơn trên vành chia 𝐷 đều đồng dạng với một ma trận dạng Jordan, trong đó 𝐷 là vành chia tâm 𝐹 thỏa mãn mọi đa thức bất khả quy trên 𝐹 đều có nghiệm trong 𝐷 và 𝐷 chứa bao đóng đại số của 𝐹. Từ khóa: Vành chia, phân tích ma trận, ma trận dạng Jordan mọi ma trận 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝐷) có ước cơ sở 1. Giới thiệu đơn đều đồng dạng với một ma trận dạng Trong bài báo này, chúng tôi chủ yếu Jordan 𝐽(𝛼), với 𝛼 ∈ 𝐷. trình bày lại sự phân tích ma trận trên Các ký hiệu được sử dụng trong bài vành chia sử dụng các kỹ thuật của P. M. báo này là thông thường; chẳng hạn, 𝐷 Cohn đã được trình bày trong các tài liệu là vành chia, Mn (𝐷) là vành các ma trận (Cohn, Free rings and their relations, cấp 𝑛 trên vành chia 𝐷, 𝐹 là trường và 𝐹 1985) và (Cohn, Skew fields - Theory of là bao đóng đại số của 𝐹. General Division Rings, 1995). Việc hiểu và vận dụng được các kết quả của 2. Một số kết quả trên miền các iđêan chính P. M. Cohn có nhiều ứng dụng trong Trước tiên, ta nhắc lại một số khái thực tiễn nghiên cứu. Do đó, trong bài niệm cần thiết cho việc nghiên cứu về báo này, chúng tôi sẽ làm rõ hơn các kết chủ đề này. Cho 𝑅 là một vành (có thể quả của P. M. Cohn về sự phân tích của không giao hoán) có đơn vị. Vành 𝑅 các không gian vectơ hữu hạn chiều trên được gọi là miền nếu mọi phần tử khác 0 một vành chia, từ đó dẫn đến các kết quả của 𝑅 đều không là ước của 0 và miền 𝑅 về sự phân tích ma trận trên vành chia được gọi là miền các iđêan trái chính nếu theo một cách đơn giản và dễ hiểu nhất. mọi iđêan trái của 𝑅 là iđêan chính; tức Thông qua sự phân tích trên, chúng là nếu 𝐼 là iđêan trái của 𝑅, thì 𝐼 = 𝑅𝑎, tôi cũng đã chứng minh được rằng trong với 𝑎 ∈ 𝑅. Tương tự, ta có định nghĩa lớp các vành chia 𝐷 đại số trên tâm 𝐹 của miền các iđêan phải chính. Miền 𝑅 thỏa mãn tính chất và mọi đa thức bất được gọi là miền các iđêan chính nếu 𝑅 khả quy trên 𝐹 đều có nghiệm trong vừa là miền các iđêan trái chính vừa là 𝐷 và 𝐷 chứa bao đóng đại số của 𝐹, miền các iđêan phải chính. 104
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 Trong miền 𝑅, phần tử 𝑐 ∈ 𝑅 khác 0 𝑄𝐴𝑃 = diag(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆 𝑘 , 0 𝑛−𝑘 ), và không là ước của 0 được gọi là chính trong đó 𝜆 𝑖 ||𝜆 𝑖+1 và 𝜆 𝑘 ≠ 0. Hơn nữa, quy (không suy biến). Hơn nữa, nếu các 𝜆 𝑖 là duy nhất sai khác một phép 𝑐𝑅 = 𝑅𝑐 thì lúc này 𝑐 được gọi là bất đồng dạng. biến. Phần tử 𝑎 được gọi là bất khả quy nếu 𝑎 không khả nghịch và 𝑎 không viết Chứng minh được thành tích của hai phần tử không Xem (Cohn, Free rings and their khả nghịch. Phần tử bất biến 𝑐 được gọi relations, 1985) Theorem 1.1, Section là 𝐼-bất khả quy nếu 𝑐 không có nhân tử 8.◼ bất biến nào khác ngoài các phần tử khả Cho 𝐷[𝑡] là vành các đa thức trên nghịch và các phần tử liên kết với 𝑐; nhắc vành chia 𝐷, trong đó mọi đa thức lại một phần tử 𝑐′ được gọi là liên kết với 𝑓(𝑡) ∈ 𝐷[𝑡] đều có dạng 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + 𝑐 nếu tồn tại các phần tử khả nghịch 𝑡𝑎1 + 𝑡 2 𝑎2 + ⋯ + 𝑡 𝑛 𝑎 𝑛 với 𝑛 ∈ ℕ và 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 sao cho 𝑢𝑐𝑣 = 𝑐′. Phần tử 𝑎 𝑎 𝑖 ∈ 𝐷, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Mệnh đề tiếp theo được gọi là ước toàn phần của 𝑏, ký hiệu cho ta biết hình dạng của các phần tử bất 𝑎||𝑏 nếu tồn tại phần tử bất biến 𝑐 sao biến trong vành 𝐷[𝑡]. cho 𝑎|𝑐 và 𝑐|𝑏 ; trong đó 𝑎|𝑏 nếu tồn tại Mệnh đề 2.2. Cho 𝐷 là vành chia tâm 𝐹 𝑟 ∈ 𝑅 sao cho 𝑎𝑟 = 𝑏 hay 𝑎 là nhân tử và 𝐷[𝑡] là vành đa thức trên 𝐷 với biến 𝑡 trái của 𝑏. thuộc tâm. Khi đó, một đa thức đơn khởi Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là bị trong 𝐷[𝑡] là bất biến khi và chỉ khi tất chặn nếu 𝑎 là ước của một phần tử bất cả các hệ số của đa thức nằm trong 𝐹. biến nào đó. Phần tử hoàn toàn không bị Chứng minh chặn trong miền 𝑅 là phần tử không có Xem (Cohn, Skew fields - Theory of nhân tử bị chặn nào khác ngoài các phần General Division Rings, 1995) tử khả nghịch. Phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là Proposition 2.2.2.◼ không tách được nếu môđun 𝑅⁄ 𝑎𝑅 là Mệnh đề 2.3. Cho 𝑅 là miền các iđêan không thể được viết thành tổng trực tiếp chính. Giả sử 𝑎 ∈ 𝑅 là phần tử không của hai 𝑅-môđun con thực sự. tách được và bị chặn. Giả sử 𝑎 có sự Kết quả sau cho ta thấy rằng mọi ma phân tích như sau 𝑎 = 𝑝1 𝑝2 … 𝑝 𝑟 , trong trận trên miền các iđêan chính đều liên đó, 𝑝 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑟, là bất khả quy, bị hợp với một ma trận dạng đường chéo. chặn. Khi đó, các khẳng định sau là Cụ thể, đúng: Mệnh đề 2.1. Cho 𝑅 là miền các iđêan a) Chặn trên nhỏ nhất của 𝑎 có dạng chính và ma trận 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝑅). Khi đó, 𝑝 𝑠 , trong đó 𝑠 ∈ ℕ, 𝑠 ≤ 𝑟 và 𝑝 là chặn tồn tại các ma trận khả nghịch 𝑄, 𝑃 ∈ trên nhỏ nhất của 𝑝1. M 𝑛 (𝑅) sao cho 105
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 b) Trong tập hợp các phần tử không Cho 𝑉 là không gian vectơ phải 𝑛 tách được và bị chặn, hai phần tử 𝑎, 𝑏 chiều trên vành chia 𝐷 và cho hệ các đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng vectơ (𝑣) = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣 𝑛 } là cơ sở của có cùng chặn trên nhỏ nhất. không gian 𝑉. Một tự đồng cấu 𝜃: 𝑉 → 𝑉 Chứng minh hoàn toàn được xác định bằng Xem (Cohn, Skew fields - Theory of 𝜃(𝑣 𝑗 ) = 𝑣1 𝑎1𝑗 + 𝑣2 𝑎2𝑗 + ⋯ General Division Rings, 1995) + 𝑣 𝑛 𝑎 𝑛𝑗 , ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Proposition 1.5.6.◼ Khi đó, phép tương ứng 𝜃⟼ Tiếp theo, ta có sự phân tích của các 𝐴, trong đó 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ M 𝑛 (𝐷), xác môđun xoắn, hữu hạn sinh trên miền các định một đồng cấu giữa End 𝐷 (𝑉) và iđean chính thành tổng trực tiếp của các M 𝑛 (𝐷), trong đó End 𝐷 (𝑉) là vành các tự môđun con cyclic. đồng cấu của 𝑉 trên 𝐷. Ma trận 𝐴 lúc này Mệnh đề 2.4. Cho 𝑅 là miền các iđêan được gọi là ma trận biểu diễn của tự chính và 𝑀 là 𝑅-môđun phải hữu hạn đồng cấu 𝜃 theo cơ sở (𝑣). Hơn nữa, ta sinh bao gồm các phần tử xoắn. Khi đó, đã biết rằng các ma trận biểu diễn của tự 𝑀 ≅ 𝑅⁄ 𝑞 𝑅 ⊕ 𝑅⁄ 𝑞 𝑅 ⊕ ⋯ ⊕ 𝑅⁄ 𝑞 𝑅 đồng cấu 𝜃 trong các cơ sở khác nhau 1 2 𝑘 hình thành nên các ma trận đồng dạng ⊕ 𝑅⁄ 𝑢𝑅 , với 𝐴. Tiếp theo, ta có thể xem 𝑉 như là trong đó 𝑞 𝑖 là tích của các phần tử đồng một 𝐷[𝑡]-môđun phải bằng cách đặt dạng, bất khả quy, bị chặn và 𝑢 là hoàn ∑𝑡 𝑖 𝑐 𝑖 tương ứng với ∑𝜃 𝑖 𝑐 𝑖 . Khi đó, toàn không bị chặn. Hơn nữa, hạng tử không gian 𝑉 được gọi là 𝐷[𝑡]-môđun 𝑅⁄ liên kết với ma trận 𝐴. 𝑢𝑅 có thể không có mặt trong sự phân tích trên và điều này chỉ xảy ra khi Bổ đề sau đây cho chúng ta một điều môđun 𝑀 bị chặn. kiện cần và đủ để hai ma trận đồng dạng Chứng minh dựa trên các môđun liên kết với chúng. Xem (Cohn, Free Ideal Rings and Bổ đề 3.1. Cho 𝐷 là vành chia và 𝐴, 𝐵 là Localization in General Rings, 2006) hai ma trận thuộc M 𝑛 (𝐷). Khi đó, ma Proposition 6.2.7.◼ trận 𝐴 đồng dạng với ma trận 𝐵 khi và chỉ khi các 𝐷[𝑡]-môđun liên kết với 𝐴 và 3. Sự phân tích ma trận trên vành chia 𝐵 đẳng cấu với nhau. Ta nhắc lại rằng hai ma trận 𝐴 và 𝐵 Chứng minh thuộc M 𝑛 (𝐷) được gọi là liên kết nếu tồn tại các ma trận khả nghịch 𝑃, 𝑄 ∈ Gọi 𝜃 𝐴 và 𝜃 𝐵 lần lượt là các tự đồng GL 𝑛 (𝐷) sao cho 𝐴 = 𝑄𝐵𝑃. Hơn nữa, cấu của các 𝐷-không gian vectơ 𝑛 chiều nếu 𝑄 = 𝑃−1 thì ta nói ma trận 𝐴 đồng 𝑉 𝐴 và 𝑉 𝐵 . Gọi (𝑎) và (𝑏) là các cơ sở của dạng với 𝐵. 𝑉 𝐴 và 𝑉 𝐵 tương ứng sao cho ma trận biểu 106
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 diễn của các tự đồng cấu 𝜃 𝐴 và 𝜃 𝐵 lần Từ đây, ánh xạ tuyến tính 𝜑 là một lượt trong với các cơ sở (𝑎) và (𝑏) là 𝐴 đẳng cấu giữa hai 𝐷[𝑡]-môđun 𝑉 𝐴 và 𝑉 𝐵 ; và 𝐵. do đó 𝑉 𝐴 ≅ 𝑉 𝐵 như là các 𝐷[𝑡]-môđun.◼ Giả sử 𝑉 𝐴 ≅ 𝑉 𝐵 như là các 𝐷[𝑡]- Định lý 3.2. Cho 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝐷). Nếu 𝑉 là môđun, ta gọi 𝜑: 𝑉 𝐴 → 𝑉 𝐵 là một 𝐷[𝑡]- 𝐷[𝑡]-môđun liên kết với 𝐴 thì 𝑉 được đẳng cấu; khi đó, với mọi 𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 , phân tích thành tổng trực tiếp của các [(𝑣)𝜃 𝐴 ]𝜑 = [(𝑣)𝜑]𝜃 𝐵 . Từ đây, 𝜃 𝐴 𝜑 = 𝐷[𝑡]-môđun con cyclic 𝜑𝜃 𝐵 (∗) và ta được sơ đồ các 𝐷[𝑡]-đồng 𝑉 ≅ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ ⋯ ⁄ ⁄ cấu sau 1 2 𝜑 −1 𝜃𝐴 𝜑 ⊕ 𝐷[𝑡]⁄ 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ 𝐷[𝑡] 𝑢𝐷[𝑡], ⁄ 𝑉𝐵 → 𝑉𝐴 → 𝑉𝐴 → 𝑉 𝐵. 𝑘 trong đó, mỗi 𝑞 𝑖 là tích của các phần tử Gọi 𝑃 là ma trận biểu diễn của ánh bất khả quy bị chặn, đồng dạng với nhau xạ tuyến tính 𝜑 trong cặp cơ sở (𝑎) và và 𝑢 là phần tử hoàn toàn không bị chặn. (𝑏). Dễ thấy, 𝑃−1 𝐴𝑃 là ma trận biểu Chứng minh diễn của tự đồng cấu 𝜑 −1 𝜃 𝐴 𝜑 trong cơ sở (𝑏) của không gian 𝑉 𝐵 . Từ đẳng thức Gọi (𝑢) = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢 𝑛 } và (𝑤) = (∗), ta có 𝐵 = 𝑃 −1 𝐴𝑃. Vì vậy, ma trận 𝐴 {𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤 𝑛 } là hai cơ sở của 𝐷[𝑡]- đồng dạng với ma trận 𝐵. môđun phải 𝐷[𝑡] 𝑛 . Ta xét sơ đồ các đồng cấu của các 𝐷[𝑡]-môđun phải như sau: Ngược lại, giả sử 𝐵 = 𝑃−1 𝐴𝑃, trong 𝜎 𝜓 đó 𝑃 ∈ GL 𝑛 (𝐷); khi đó tồn tại một đẳng 0 → 𝐷[𝑡] 𝑛 → 𝐷[𝑡] 𝑛 → 𝑉 → 0, (∗) cấu 𝜑 giữa hai 𝐷-không gian vectơ 𝑉 𝐴 và trong đó, tự đồng cấu 𝜎 được xác định 𝑉 𝐵 thỏa mãn tính chất 𝜑𝜃 𝐵 = 𝜃 𝐴 𝜑. Ta bởi ma trận 𝐴 − 𝑡𝐼 𝑛 = chứng minh rằng 𝜑 cũng là đẳng cấu 𝑎11 − 𝑡 𝑎12 … 𝑎1𝑛 giữa các 𝐷[𝑡]-môđun liên kết 𝑉 𝐴 và 𝑉 𝐵 . 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 … 𝑎2𝑛 ( ⋮ Thật vậy, lấy bất kỳ ⋮ ⋱ ⋮ ) 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 − 𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑡 𝑛 ∈ 𝐷[𝑡], theo cặp cơ sở (𝑢), (𝑤) và đồng cấu 𝜓 ta có, được xác định bởi 𝜓(𝑤 𝑖 ) = 𝑣 𝑖 , với mọi [𝑣𝑓(𝑡)]𝜑 = [𝑣 (𝑐0 1 𝐴 + 𝜃 𝐴 𝑐1 + … 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. + 𝜃 𝐴𝑛 𝑐 𝑛 )] Trước tiên, với các đồng cấu 𝜎 và 𝜓 = (𝑣)𝜑𝑐0 + (𝑣)𝜑𝜃 𝐵 𝑐1 + ⋯ như trên, dễ thấy 𝜎𝜓 = 0; từ đây, ta có + (𝑣)𝜑𝜃 𝐵𝑛 𝑐 𝑛 Im 𝜎 ⊆ Ker 𝜓. Sơ đồ (∗) là một dãy = (𝑣)𝜑[ 𝑐0 + 𝜃 𝐵 𝑐1 + ⋯ + 𝜃 𝐵𝑛 𝑐 𝑛 ] khớp ngắn các 𝐷[𝑡]-môđun phải. Thật = [(𝑣)𝜑]𝑓(𝑡). vậy, vì hệ {𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤 𝑛 } là cơ sở của 𝐷[𝑡] 𝑛 nên hệ {𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤 𝑛 } sinh ra 107
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 𝐷[𝑡] 𝑛⁄ 0 trong các đa thức 𝑎 𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. toàn bộ môđun Im 𝜎 như là một Từ đây, 𝐷[𝑡]-môđun phải. Hơn nữa, vì 𝑏1 (𝑡) = (𝑎11 − 𝑡)𝑎1 (𝑡) + 𝑎12 𝑎2 (𝑡) 𝑤1 𝑎1𝑖 + 𝑤2 𝑎2𝑖 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑎 𝑛𝑖 − 𝑤 𝑖 𝑡 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑎 𝑛 (𝑡) (1) = (𝑢 𝑖 )𝜎 ∈ Im 𝜎 Mặt khác, (𝑎11 − 𝑡)𝑎1 (𝑡) là hạng tử nên khác 0 và có bậc cao nhất trong các hạng ̅̅̅𝑡 = ̅𝑤1 1𝑖 + ̅̅̅̅𝑎2𝑖 + ⋯ + ̅̅̅̅ 𝑎 𝑛𝑖 , 𝑤𝑖 ̅̅̅𝑎 𝑤2 𝑤𝑛 tử của 𝑏1 (𝑡) theo sự phân tích (1). Từ với mọi 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}. Từ đây, 𝐷- đây, 𝑏1 (𝑡) ≠ 0 và do đó 𝜎(𝑢) ≠ 0. Điều không gian ⟨𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤 𝑛 ⟩ bằng toàn này có nghĩa là 𝜎 là đơn cấu và vì vậy 𝐷[𝑡] 𝑛⁄ dãy (∗) là dãy khớp ngắn các 𝑅-môđun bộ không gian Im 𝜎. Tiếp theo, ta 𝐷[𝑡] 𝑛⁄ phải. Vì tự đồng cấu 𝜎 là đơn ánh nên ma xét phép tương ứng 𝜓: 𝐼𝑚 𝜎 → 𝑉 trận 𝐴 − 𝑡𝐼 𝑛 là ma trận không suy biến; với ̅(𝑤1 1 + ̅̅̅̅𝑐2 + ⋯ + ̅̅̅̅𝑐 𝑛 ) = 𝜓 ̅̅̅̅𝑐 𝑤2 𝑤𝑛 từ đây theo Mệnh đề 2.1, ma trận 𝐴 − 𝑡𝐼 𝑛 𝑣1 𝑐1 + 𝑣2 𝑐2 + ⋯ 𝑣 𝑛 𝑐 𝑛 , trong đó 𝑐 𝑖 ∈ 𝜆1 0 0 0 𝐷, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Dễ thấy, đây là một tự 0 𝜆2 0 0 liên kết với ( ), trong đẳng cấu của các 𝐷-không gian vectơ. ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 Từ đây, ta có 𝑝𝜓 = 𝜓, trong đó 𝐷[𝑡] 𝑛⁄ đó 𝜆 𝑖 ||𝜆 𝑖+1 với mọi 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1. 𝑝: 𝐷[𝑡] 𝑛 → 𝐼𝑚 𝜎 là toàn cấu Từ đây, chính tắc. Vì vậy, 𝜓 là một toàn cấu. Im 𝜎 ≅ 𝜆1 𝐷[𝑡] ⊕ 𝜆2 𝐷[𝑡] ⊕ ⋯ Tiếp theo, ta chứng minh 𝜎 là đơn cấu. ⊕ 𝜆 𝑛 𝐷[𝑡] Thật vậy, giả sử và 𝑢 = 𝑢1 𝑎1 (𝑡) + 𝑢2 𝑎2 (𝑡) + ⋯ 𝑢 𝑛 𝑎 𝑛 (𝑡) 𝐷[𝑡] 𝐷[𝑡] ∈ 𝐷[𝑡] 𝑛 ∖ {0}, 𝑉≅ ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡] ⊕ ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡] ⊕ … 1 2 trong đó 𝑎 𝑖 (𝑡) ∈ 𝐷[𝑡], 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Khi ⊕ 𝐷[𝑡] ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡] đó, 𝑛 [𝜎(𝑣)](𝑤) = như là các 𝐷[𝑡]-môđun phải. Ta đã biết 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1, bị chặn. Mặt khác, 𝑎11 − 𝑡 𝑎12 … 𝑎1𝑛 theo Mệnh đề 2.4, ta có sự phân tích 𝑎21 𝑎22 − 𝑡 … 𝑎2𝑛 ( ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ). 𝑉 ≅ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ ⋯ ⁄ ⁄ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 − 𝑡 1 2 𝐷[𝑡] 𝑎1 (𝑡) 𝑏1 (𝑡) ⊕ 𝐷[𝑡]⁄ 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ ⁄ 𝑢𝐷[𝑡], 𝑎 (𝑡) 𝑏 (𝑡) 𝑘 ( 2 )=( 2 ) ⋮ ⋮ trong đó, 𝑞 𝑖 là tích của các phần tử đồng 𝑎 𝑛 (𝑡) 𝑏 𝑛 (𝑡) dạng, bất khả quy, bị chặn và 𝑢 là phần Không mất tính tổng quát, giả sử tử hoàn toàn không bị chặn.◼ 𝑎1 (𝑡) là đa thức có bậc lớn nhất khác 108
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 Trong chứng minh của Định lý 3.2, mọi 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Từ đây, tồn tại các đa ta có, thức 𝑔 𝑖 (𝑡) ∈ 𝐷[𝑡] sao cho 𝑔 𝑖 (𝑡)𝜆 𝑖 = 𝐷[𝑡] 𝑓(𝑡) với 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛. Nếu đặt𝐷 = 𝑉 ≅ 𝐷[𝑡] 𝜆 𝐷[𝑡] ⊕ ⁄ ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡] ⊕ 1 2 𝑔1 (𝑡) 0 ⋯ 0 𝐷[𝑡] 0 𝑔2 (𝑡) ⋯ 0 …⊕ ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡], ( ), 𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ trong đó 𝜆 𝑖 ||𝜆 𝑖+1 với mọi 𝑖 = 0 0 ⋯ 𝑔 𝑛 (𝑡) 1,2, … , 𝑛 − 1. Khi đó, phần tử 𝜆 𝑖 được thì 𝐷𝑄(𝐴 − 𝑡. 𝐼 𝑛 )𝑃 = 𝑓(𝑡). 𝐼 𝑛 . Mặt gọi là nhân tử bất biến thứ 𝑖 của ma trận khác, ta có sự phân tích, 𝑓(𝑡). 𝐼 𝑛 = 𝐴, với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Bổ đề tiếp theo cho 𝐻(𝑡. 𝐼 𝑛 − 𝐴) + 𝐿, trong đó 𝐻 là đa thức biết về mối liên quan giữa tính đại số của theo 𝐴 với các hệ số trên 𝐹[𝑡] và 𝐿 là đa ma trận 𝐴 và tính bị chặn của nhân tử bất thức theo biến 𝐴 với các hệ số trên 𝐹. Từ biến thứ 𝑛. đây, Bổ đề 3.3. Cho 𝐷 là vành chia tâm 𝐹 và 𝑓(𝐴) = (𝑃−1 𝐷𝑄 − 𝐻)(𝑡𝐼 𝑛 − 𝐴) (∗∗). 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝐷) có các nhân tử bất biến Nếu ma trận 𝑃−1 𝐷𝑄 − 𝐴 ≠ 0 thì tồn tại 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆 𝑛 thỏa mãn 𝜆 𝑖 ||𝜆 𝑖+1 , với 𝑖 = một dòng khác 0, không mất tính tổng 1,2, … , 𝑛 − 1. Khi đó, ma trận 𝐴 đại số quát ta giả sử dòng thứ 𝑖 khác 0 và các trên 𝐹 khi và chỉ khi 𝜆 𝑛 bị chặn. hệ số của dòng được ký hiệu như Chứng minh sau ( 𝑐 𝑖1 𝑐 𝑖2 ⋯ 𝑐 𝑖𝑛 ). Giả sử 𝑐 𝑖𝑗 là phần tử của dòng có bậc cao nhất. Khi Do 𝐷[𝑡] là miền các iđêan chính, áp đó, phần tử ở hàng thứ 𝑖 cột thứ 𝑗 của ma dụng Mệnh đề 2.1 ta thu được trận (𝑃−1 𝐷𝑄 − 𝐻)(𝑡𝐼 𝑛 − 𝐴) là phần tử 𝜆1 0 ⋯ 0 ở hàng thứ 𝑖 và có bậc cao nhất. Vì thế, 0 𝜆2 ⋯ 0 𝑄(𝐴 − 𝑡. 𝐼 𝑛 )𝑃 = ( ), ma trận (𝑃−1 𝐷𝑄 − 𝐻)(𝑡𝐼 𝑛 − 𝐴) chứa ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 hạng tử theo biến 𝑡, trong khi đó, 𝑓(𝐴) trong đó 𝑄, 𝑃 ∈ GL 𝑛 (𝐷). Mặt khác, theo không chứa hạng tử theo biến 𝑡 (mâu chứng minh của Định lý 3.2, ma trận 𝐴 − thuẫn). Vì vậy, 𝑃−1 𝐷𝑄 − 𝐴 = 0. Theo 𝑡. 𝐼 𝑛 là không suy biến, và điều này dẫn đẳng thức (∗∗), 𝑓(𝐴) = 0 và ma trận 𝐴 đến các phần tử 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 khác đại số trên tâm 𝐹.Ngược lại, nếu tồn tại 0.Giả sử 𝜆 𝑛 bị chặn, khi đó tồn tại phần đa thức khác 0 đơn khởi 𝑓(𝑡) trên trường tử bất biến 𝑓(𝑡) ∈ 𝐷[𝑡] sao cho 𝜆 𝑛 |𝑓(𝑡). 𝐹 thỏa mãn 𝑓(𝐴) = 0 thì 𝑓(𝑡). 𝐼 𝑛 = Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, mỗi đa thức 𝐻(𝑡𝐼 𝑛 − 𝐴), trong đó 𝐻 là một đa thức bất biến trong vành 𝐷[𝑡] đồng dạng với theo biến 𝐴 với các hệ số trên 𝐹. Từ đây, một đa thức có hệ số trong 𝐹. Ta có thể 𝑓(𝑡)𝐼 𝑛 = giả sử 𝑓(𝑡) là đa thức đơn khởi với các 𝜆1 0 ⋯ 0 hệ số nằm trong trường 𝐹. Vì 𝜆 𝑖 là ước 0 𝜆2 ⋯ 0 𝑄 −1 ( ) 𝑃−1 𝐻 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ của 𝜆 𝑛 nên 𝜆 𝑖 cũng là ước của 𝑓(𝑡), với 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 109
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 𝜆1 0 ⋯ 0 trong 𝐷. Nếu đa thức 𝑓(𝑡) ∈ 𝐷[𝑡] không 0 𝜆2 ⋯ 0 tách được, bị chặn thì 𝑓(𝑡) đồng dạng =( ) 𝑃−1 𝐻𝑄 −1 . ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ với một đa thức có dạng (𝑡 − 𝛼) 𝑛 , trong 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 đó 𝛼 ∈ 𝐹 và 𝑛 ∈ ℕ ∖ {0}. Dễ thấy, hạng tử ở dòng thứ 𝑛 và cột Chứng minh thứ 𝑛 của ma trận 𝑃 −1 𝐻𝑄 −1 khác 0. Do Áp dụng Proposition 8.3.5 trong đó, tồn tại 𝑏(𝑡) ∈ 𝐷[𝑡] sao cho 𝑓(𝑡) = (Cohn, Skew fields - Theory of General 𝜆 𝑛 𝑏(𝑡) và điều này có nghĩa là 𝜆 𝑛 bị Division Rings, 1995), ta có điều phải chặn.◼ chứng minh.◼ Từ Định lý 3.2 và Bổ đề 3.3, ta có Từ Định lý 3.2, các phần tử 𝑞 𝑖 được hệ quả. gọi là các ước cơ sở của ma trận 𝐴. Hơn Hệ quả 3.4. Cho 𝐷 là vành chia tâm 𝐹, nữa, nếu 𝑉 được phân tích duy nhất thành 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝐷) và 𝑉 là 𝐷[𝑡]-môđun liên kết 𝐷[𝑡] với 𝐴. Nếu 𝐴 đại số trên 𝐹 thì ⁄ 𝑞𝐷[𝑡] , trong đó 𝑞 là tích của các phần tử đồng dạng, bất khả quy và bị chặn, 𝑉 ≅ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ 𝐷[𝑡]⁄ 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ ⁄ 1 2 thì 𝑞 được gọi là ước cơ sở đơn của 𝐴. 𝐷[𝑡] ⋯⊕ ⁄ 𝑞 𝐷[𝑡], Định lý 3.6. Cho 𝐷 là vành chia tâm 𝐹 𝑘 thỏa mãn mọi đa thức bất khả quy trên 𝐹 trong đó, mỗi 𝑞 𝑖 là tích của các phần tử đều có nghiệm trong 𝐷. Giả sử 𝐷 chứa bất khả quy bị chặn, đồng dạng với nhau. bao đóng đại số của 𝐹. Nếu 𝐴 ∈ M 𝑛 (𝐷) Chứng minh là ma trận có ước cơ sở đơn thì 𝐴 đồng Theo Bổ đề 3.3, nếu ma trận 𝐴 đại số dạng với ma trận dạng Jordan sau trên tâm 𝐹 thì nhân tử bất biến thứ 𝑛 của 𝛼 0 0 … 0 0 ma trận 𝐴 bị chặn. Gọi 𝜆 𝑛 là nhân tử bất 1 𝛼 0 … 0 0 biến thứ 𝑛 của 𝐴. Theo Mệnh đề 2.4 và 0 1 𝛼 … 0 0 𝐽(𝛼) = , Định lý 3.2, không tồn tại hạng tử … … … … … … 0 0 0 … 𝛼 0 𝐷[𝑡] (0 ⁄ 𝑢𝐷[𝑡] trong sự phân tích của 0 0 … 1 𝛼) 𝐷[𝑡] trong đó, 𝛼 ∈ 𝐹. ⁄ 𝜆 𝐷[𝑡], trong đó 𝑢 là phần tử hoàn 𝑛 Chứng minh toàn không bị chặn của 𝐷[𝑡]. Do đó, Giả sử 𝜆 là ước cơ sở đơn của ma 𝑉 ≅ 𝐷[𝑡] 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ 𝐷[𝑡]⁄ 𝑞 𝐷[𝑡] ⊕ ⁄ trận 𝐴, và theo định nghĩa của ước cơ sở 1 2 𝐷[𝑡] đơn, ta có sự phân tích 𝜆 = 𝑝1 𝑝2 … 𝑝 𝑟 , ⋯⊕ ⁄ 𝑞 𝐷[𝑡].◼ 𝑘 trong đó các 𝑝 𝑗 là các phần tử đồng dạng Bổ đề 3.5. Cho 𝐷 là vành chia tâm 𝐹 thỏa với nhau và mỗi 𝑝 𝑗 là bất khả quy, bị 𝐷 chứa bao đóng đại số của 𝐹 và mọi đa chặn. Giả 𝑝 𝑖 là đa thức có bậc 𝑛 𝑖 , 𝑖 = thức bất khả quy trên 𝐹 đều có nghiệm 1,2, … , 𝑟. Khi đó, với mỗi giá trị 𝑖, hệ 110
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 {1 + 𝑝 𝑖 𝐷[𝑡], 𝑡 + 𝑝 𝑖 𝐷[𝑡], … , 𝑡 𝑛 𝑖 −1 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )𝑡 = 𝑣(𝑡 − 𝛼0 ). 𝛼0 + 𝑝 𝑖 𝐷[𝑡]} + 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )2 . 1 là một cơ sở của 𝐷-không gian 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )2 𝑡 = 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )2 . 𝛼0 𝐷[𝑡]⁄ + 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )3 . 1 𝑝 𝑖 𝐷[𝑡]. Mặt khác, vì 𝐷[𝑡]⁄ 𝐷[𝑡] 𝑝 𝑖 𝐷[𝑡] ≅ ⁄ 𝑝 𝑗 𝐷[𝑡] như các ⋮ 𝐷[𝑡]-môđun phải nên ta có thể xem như 𝑣(𝑡 − 𝛼0 ) 𝑛−1 𝑡 = 𝑣(𝑡 − 𝛼0 ) 𝑛−1 . 𝛼0 là đẳng cấu của các 𝐷-không gian. Từ Từ đây, ma trận biểu diễn của tự đây, ta suy ra được 𝑛 𝑖 = 𝑛 𝑗 với mọi 𝑖 ≠ đồng cấu 𝑗. Do đó, các đa thức 𝑝 𝑖 có cùng bậc 𝑑 và 𝑟𝑑 = 𝑛. Vì 𝜆 là không tách được và bị 𝜑: 𝐷[𝑡] (𝑡 − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡] ⁄ 0 chặn nên theo Bổ đề 3.5, 𝐷[𝑡] ⟶ ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡], (𝑡 0 𝐷[𝑡] 𝐷[𝑡] ⁄ 𝜆𝐷[𝑡] ≅ ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡], (𝑡 với (𝑣)𝜑 = 𝑣𝑡 có dạng như sau: 0 𝛼0 0 0 … 0 0 trong đó 𝛼0 ∈ 𝐹. Rõ ràng, 1 𝛼0 0 … 0 0 𝐷[𝑡] 0 1 𝛼0 … 0 0 ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡] là (𝑡 𝐷[𝑡]-môđun 𝐽(𝛼0 ) = 0 … … … … … … cyclic được sinh bởi phần tử 0 0 0 … 𝛼0 0 (0 0 0 … 1 𝛼0 ) 𝑣 = 1 + (𝑡 − 𝛼0 ) 𝑛 𝐷[𝑡]. Mặt khác, không gian Dễ thấy, hệ các vectơ 𝐷[𝑡] ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡] là 𝐷[𝑡]-môđun liên (𝑡 0 {𝑣, 𝑣(𝑡 − 𝛼0 ), 𝑣(𝑡 − 𝛼0 )2 , … , 𝑣(𝑡 kết với ma trận 𝐽(𝛼0 ). Hơn nữa, vì − 𝛼0 ) 𝑛−1 } 𝐷[𝑡] 𝑉≅ ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡] là một cơ sở của 𝐷-không gian (𝑡 0 𝐷[𝑡] như là các 𝐷[𝑡]-môđun nên theo Mệnh đề ⁄ − 𝛼 ) 𝑛 𝐷[𝑡]. Ta có các đẳng (𝑡 0 3.1 ta có ma trận 𝐴 đồng dạng với 𝐽(𝛼0 ).◼ thức 𝑣𝑡 = 𝑣. 𝛼0 + 𝑣(𝑡 − 𝛼0 ). 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO Cohn, P. M. (1985). Free rings and their relations. Academic Press. Cohn, P. M. (1995). Skew fields - Theory of General Division Rings. Cambridge University Press. Cohn, P. M. (2006). Free Ideal Rings and Localization in General Rings. Cambridge University Press. 111
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 27 - 2023 ISSN 2354-1482 ON THE JORDAN FORM OF MATRICES OVER DIVISION RINGS WITH SINGLE ELMENTARY DIVISORS Cao Minh Nam Campus in Ho Chi Minh City, University of Transport and Communications Email: namcm@utc.edu.vn (Received: 14/4/2023, Revised: 15/5/2023, Accepted for publication: 25/5/2023) ABSTRACT The main objective of this paper is to present some techniques on decomposition of matrices over division rings of P. M. Cohn in an intuitive and easy to understand way. From these results, we prove that every matrix over 𝐷 with single elementary divisor is similar to a Jordan matrix, where 𝐷 is a divison ring with center 𝐹 satisfying D containing the algebraic closure of F and every irreducible polynomial on 𝐹 has a root in 𝐷. Keywords: Division ring, matrix decomposition, Jordan matrix 112