Về vấn đề xây dựng nghiệm cơ sở cho một lớp các bài toán vỏ mỏng chịu uốn

97<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018<br /> <br /> <br /> VỀ VẤN ĐỀ XÂY DỰNG NGHIỆM CƠ SỞ CHO MỘT LỚP<br /> CÁC BÀI TOÁN VỎ MỎNG CHỊU UỐN<br /> ON THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF SOME CLASS OF THIN<br /> SHALLOW SHELL BENDING PROBLEMS<br /> Trần Đức Chính 1, Ngô Văn Tình2<br /> 1<br /> Đại học xây dựng Hà Nội<br /> td_chinh07@hcmutrans.edu.vn<br /> 2<br /> Đại học Giao thông vận tải Tp. Hồ chí Minh<br /> ngovantinhgtvt@gmail.com<br /> Tóm tắt: Bằng cách biểu diễn nghiệm tổng quát của bài toán biên thuộc lý thuyết uốn vỏ mỏng<br /> dưới dạng các ma trận Green, các tác giả đã kiến nghị một phương pháp giải tích để giải hệ các<br /> phương trình vi phân của bài toán. Các tác giả đã đặt và giải bài toán đặt ra được dựa trên ý tưởng<br /> của phương pháp tải trọng bù. Nghiệm cơ sở được xem là tổng của hai nghiệm: Nghiệm riêng của bài<br /> toán có vế phải và nghiệm thuần nhất của bài toán không có vế phải. Để xây dựng nghệm riêng các<br /> tác giả đã sử dụng toán tử Dirac. Để nghiệm tổng quát thõa mãn điều kiện biên, nghiệm cơ sở được<br /> xây dựng dựa trên bài toán hai điểm: Điểm miền và điểm nguồn (điểm nhận ảnh hưởng của tải và<br /> điểm chất tải). Nghiệm tổng quát cũng như tải nguồn đều biểu diễn bằng chuỗi Fourrier, có các hệ số<br /> chưa biết được xác định bằng cách cho thỏa mãn hệ các điều kiện biên của vỏ. Kết quả là đưa đến hệ<br /> phương trình tích phân Fredholm mà có thể giải gần đúng bằng phương pháp tải trọng bù, bằng cách<br /> đưa chúng về hệ phương trình đại số với ẩn số là các tải trọng bù. Các kết quả có thể dùng để tính<br /> toán vỏ trụ kín hoặc vỏ có gờ cứng.<br /> Từ khóa: Lý thuyết tuyến tính vỏ, vỏ hình cầu, vỏ hình trụ, vỏ hình dạng tùy ý, lý thuyết uốn vỏ<br /> mỏng, phân tích vỏ mỏng, tải trọng bù.<br /> Chỉ số phân loại: 2.5<br /> Abstract: By expressing the general solution of the boundary problem of shell bending theory in<br /> the form of Green matrix, the authors proposed an analytical method to solve the differential<br /> equations of the problem. The authors have set and solved the problem with idea of compensating<br /> loading method. General solution is considered as the sum of the two solutions. The solution of<br /> problem with right-hand side, the hemogeneous solution of problem that hasn’t right - hand side. To<br /> obtain the solution of the first problem, the authors has used the Dirac operator. For the general<br /> solution to satisfy the boundary condition, the solution was built based on two point problem: Domain<br /> point and source point The general solution and source loads are reprenented by the Fourrier series.<br /> The unknown coefficients are determined by satisfying the boundary conditions general solution of the<br /> problem. As the result we obtained Fredhold integral equations that can be approximated by the<br /> compensating loading method, that introduced them to the algebraic equations system. The results can<br /> be used for solving the bending problem of circular cylindrical shell.<br /> Keywords: Linear theory of shell, spherical shell, cylindrical shell, shell of arbitrayry shape, shell<br /> bending theory, analytical method for thin shell, compensating loading method.<br /> Classification number: 2.5<br /> 1. Giới thiệu<br /> Trong bài báo này, với những bài toán được ở dạng tổng quát của các bài toán đã<br /> đặc thù về uốn vỏ ở miền lân cận các điểm giải trước đó trong trường hợp các vỏ mỏng<br /> chịu lực tập trung, moment tập trung,…,ứng có chức năng đặc biệt. Ví dụ, vỏ hình cầu<br /> xử của vỏ mô tả bởi các hàm u,…, T 1 ,…H 1 chịu tải tập trung và moment đã được<br /> biểu diễn độ võng, ứng suất và moment đã Gol’denveizer xem xét trong [1]. Vỏ hình trụ<br /> được xem xét. Nhóm tác giả sẽ thiết lập công đã được xem xét bởi Darevskii [2]. Chernykh<br /> thức tổng quát cho bài toán vỏ chịu uốn có [3] đã nghiên cứu bài toán uốn các vỏ có<br /> hình dạng tùy ý, đồng thời thiết lập các hình dạng bất kỳ nhưng đã không giải quyết<br /> phương trình moment của kết cấu vỏ mỏng vấn đề đến kết quả cuối cùng.<br /> theo lý thuyết tuyến tính. Các kết quả thu<br /> 98<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018<br /> <br /> Để giải bài toán vỏ chịu uốn, các tác giả của tải phân bố với cường độ q v , ứng xử của<br /> sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm được cho trên hình 1.<br /> dạng elliptic, tương tự như Gel’fond và<br /> Shilov [4], Levi [5], Ion [6], Lopatinkii [7].<br /> 2. Xây dựng nghiệm cơ sở cho các bài<br /> toán vỏ mỏng chịu uốn<br /> Ta sẽ xét ở dạng tường minh các kỳ dị<br /> xuất hiện trong các hàm chuyển vị u, v, w<br /> chứa trong các phương trình vi phân cân<br /> bằng của vỏ khi vỏ chịu tác dụng của một<br /> moment tập trung.<br /> Ta sẽ xây dựng nghiệm cơ sở của các<br /> phương trình vi phân L(ϕ)=0 và L(ϕ)=δ(ξ- Hình 1<br /> ξ 0 ), trong đó L là toán tử vi phân: ξ = {ξ 1 , …, Các nhánh của hàm q v ở bên phải và bên<br /> ξ n }, ξ 0 = {ξ 10 , …, ξ n0 } là vector ẩn số trong trái điểm ξ=0, có dạng hàm Delta δ. Ta giả<br /> không gian n chiều, δ là hàm Dirac. thiết rằng khi v→∞ các tải trọng này có<br /> Chú ý rằng, xét về phương diện cơ học cường độ không thay đổi và liên tục tới điểm<br /> độ lớn của lực tập trung có thể được xem như ξ=0, và có trị số bằng 0 ở gốc tọa độ.<br /> giới hạn của cường độ tải phân bố hoạt động Kết quả ta thu được phương trình:<br /> trên phân tố ở lân cận điểm khảo sát hoặc có b<br /> thể xem như lời giải của một phương trình vi lim ∫ ξ qv (ξ )=<br /> d ξ 1..... ( a.〈.0.〈.b ) ..............(1)<br /> phân chứa kỳ dị theo quan điểm toán học. v →∞<br /> a<br /> Đầu tiên, ta sẽ sử dụng cách tiếp cận cơ học<br /> trong những điều kiện nhất định, sau đó sẽ sử Và kèm theo điều kiện:<br /> dụng lý thuyết hàm tổng quát. b<br /> lim ∫ qv (ξ )=<br /> d ξ 0.....(a.〈.0.〈.b)................(2)<br /> Bài toán về lực tập trung đặt tại điểm ξ = v →∞<br /> a<br /> 0, được đưa về bài toán tìm giới hạn của<br /> Sử dụng phương pháp tích phân từng<br /> chuỗi các tải phân bố đều cường độ q v đáp<br /> phần, từ (1) ta nhận được.<br /> ứng các điều kiện sau:<br /> b b<br /> 1. Với mỗi M >0 sao cho lim ∫ d ξ ∫ qv (η ) dη = −1.......................(3)<br /> a ≤ M ,. b ≤ M trong đó a, b và v là các v →∞<br /> a a<br /> <br /> hằng số phụ thuộc M, ta có thể xác định. Trên cơ sở của (2) và (3) ta sẽ có.<br /> b<br /> lim qv = −δ '(0)<br /> ∫ q (ξ ) d ξ<br /> v<br /> v →∞<br /> <br /> a Ở đây δ’ biểu thị đạo hàm của hàm δ,<br /> 2. Với a và b khác 0, ta có theo [4] được định nghĩa như sau:<br /> b<br /> 0.......(a.〈.b.〈.0, ..0.〈.a.〈.b) Giả sử φ(ξ) là hàm bất kỳ thuộc lớp thứ k<br /> lim ∫ qv (ξ ) d ξ =  (k≥2) các hàm tường minh. Ngoài ra, ta giả<br /> v →∞<br /> a 1............(a.〈.0.〈.b) sử rằng:<br /> Hàm q v có các tính chất này được gọi là d<br /> hàm số Dirac δ trong lý thuyết các hàm tổng ∫ f (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) =−ϕ ' (ξ ) ....... ( c.〈.ξ .〈.d )<br /> 0 0<br /> quát [4]. Do đó, định nghĩa ở đây được áp c<br /> <br /> dụng cho bài toán vỏ chịu lực tập trung mô tả Trong đó f(ξ) = δ’(ξ-ξ 0 ). Để thấy là:<br /> bằng hàm Dirac δ. Chuỗi các hàm q v được b<br /> gọi là chuỗi kiểu δ.<br /> ∫ q (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) =<br /> v −ϕ ' (ξ 0 ) .............. ( 4 )<br /> Ta hãy tìm hiểu về khái niệm moment a<br /> <br /> tập trung. Moment tập trung là giới hạn v→∞ Vậy, tích phân từng phần (4) cho ta:<br />  99<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018<br /> <br /> b<br /> cân bằng và chuyển vị của vỏ có thể được<br /> lim ∫ qv (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) = lim ϕ ∫ qv (ξ ) d (ξ ) a<br /> b<br /> <br /> v →∞<br /> a<br /> v →∞ biểu diễn dưới dạng sau:<br /> b ξ 1-σ 2<br /> .................................. − lim ∫ ϕ ' (ξ )d (ξ ) ∫ qv (η ) dη ∆11u + ∆12 v + ∆13 w = - X<br /> v →∞ 2Eh<br /> a a<br /> 1-σ 2<br /> ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w = - Y ..........(5)<br /> Biểu thức thứ nhất ở vế phải bằng 0 theo 2Eh<br /> (2), biểu thức thứ hai bằng với φ’(0) theo (3), 1-σ 2<br /> ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w = - Z<br /> với a và b tùy ý. Để giải bài toán uốn vỏ, ta 2Eh<br /> sử dụng hệ tọa độ trực giao (α, β). Với giả ∆ ik = ∆ ik0 + ∆ ik'<br /> thiết là các lực tập trung đơn vị và của Trong đó:<br /> moment tập trung đơn vị phân bố dọc theo<br /> các đường tọa độ α và β, chúng có thể được u, v và w: Các hàm chuyển vị;<br /> mô tả nhờ các toán tử sau: X, Y và Z: Các tải trọng;<br /> δ 1 ∂δ 1 ∂δ ∆ ik0 : Các toán tử có chứa các đạo hàm<br /> , ..... , ..... −<br /> AB AB ∂β<br /> 2<br /> AB 2 ∂α bậc cao;<br /> Trong đó A và B là các hệ số của dạng ∆ ik' : Các toán tử liên quan đến các điều<br /> toàn phương thứ nhất, phương trình mặt giữa kiện còn lại.<br /> của vỏ. Ở đây, chúng ta giả định rằng mặt<br /> trung gian của vỏ được xét trong hệ tọa độ<br /> trực giao liên hợp. Các phương trình vi phân<br /> Biểu diễn của toán tử ∆ ik trong các phương trình cân bằng cho trong [9]. Dạng ma trận<br /> của các toán tử ∆ ik0 như sau:<br /> <br />  2 1−σ 2  h2<br /> p1  Dαα + 2<br /> Dββ  ...................................q1 Dαβ ............................. Dα ∆<br />  2  3R1<br />  2 1−σ 2  h2<br /> 2<br /> ...........q2 Dαβ ..................................... p2  Dββ + Dαα  ................ Dβ ∆ .....................................(6)<br />  2  3R2<br /> h2  1 1−σ 3  h2  1 1−σ  h2 2<br />  Dα ∆ +  ..........  Dβ ∆ −  ............ ∆<br /> 3<br /> pDαββ pDααβ<br /> 3  R1 2  3  R2 2  3<br /> <br /> Trong đó:<br /> h2 1+ σ h2 1 − σ h2<br /> pi = 1 + , qi = + − (i=1, 2)<br /> 3Ri2 2 3R1 R2 2 3Ri2<br /> 1 1 1 ∂2 1 ∂2 h2<br /> =<br /> p − = , ∆ + , p = 1 +<br /> R1 R2 A2 ∂α 2 B 2 ∂β 2 3<br /> 3R1 R2<br /> Ngoài ra:<br /> 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂<br /> Dα = 2<br /> , Dαα = 2 , Dβ = ,....<br /> A ∂α A ∂α 2<br /> B ∂β<br /> R 1 và R 2 là bán kính cong; 2h là bề dày của vỏ. Giả sử rằng A và B ≠ ∞ .<br /> Ta sẽ biểu diễn l ik là các toán tử đại số tương đương của ∆ ik0 trong ma trận ∆ ik0 và ta có<br /> dạng sau đây của ma trận lik .<br /> 100<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018<br /> <br /> <br /> h  1−σ 2 2  2 h2 1 + σ 2 2 h2  1−σ 2 2 <br />  Dαα + Dββ  ∆ , ... − Dαβ ∆ , ... Dα  − Dαα + r13 Dββ ∆<br /> 3 2  3 2 3  2 R1 <br /> h 1+ σ 2 2 h  1−σ 2<br /> 2<br /> 2  2 h 2<br />  1−σ 2 2 <br /> − Dαβ ∆ , ...  Dββ + Dαα  ∆ , ... Dβ  − Dββ + r23 Dαα ∆<br /> 3 2 3 2  3  2 R2 <br /> h2  1−σ 2 2  h2  1−σ 2 2  1−σ 2<br /> Dα  − Dαα + r31 Dββ  ∆ , ... Dβ  − Dββ + r32 Dαα  ∆, ... ∆<br /> 3  2 R1  3  2 R2  2<br /> Trong đó:<br /> 1 3 −σ 1 3 −σ 1+ σ 1 1+ σ 1<br /> r13 = − , ....r23 = − , r31 = − , ....r32 = −<br /> R2 2 R1 R1 2 R2 2 R2 R1 2 R1 R2<br /> Hệ phương trình cân bằng là hệ các 2 Eh<br /> − ABΛΦ = δ (α 0 , β 0 )<br /> phương trình vi phân dạng elliptic và toán tử 1−σ 2<br /> elliptic Λ có dạng: Levi đề xuất phương pháp tổng quát để<br /> 1−σ h tìm Φ . Đối với trường hợp Λ có dạng (7) thì<br /> Λ = ∆ ik0 = (4<br /> p2 Dαααα + 2 p3 Dααββ<br /> 4<br /> + p1 Dββββ<br /> 4<br /> ∆2 )<br /> 2 3 phần chính của nghiệm cơ sở ψ , là phần có<br /> Ở đây, ta bỏ qua vô cùng bé bậc cao chứa số mũ cao nhất, ta có:<br /> h / 3Ri Rk ..(i, k = 1, 2) vì chúng nhỏ hơn 1.<br /> 2<br /> 3<br /> ψ= − r 6 ln r 2<br /> Sau đó ta đặt: 36 × 64 × 2π h3 (1 + σ )<br /> 1 − σ h2 4 r 2 = A 2 (α − α 0 ) + B 2 ( β − β 0 )<br /> 2 2<br /> =Λ ∆ .....................(7)<br /> 2 3<br /> Đặt φ= ψ − Ψ . Trong đó, Ψ chứa các<br /> Ta sẽ giới hạn ở bài toán vỏ chịu lực tập<br /> trung có phương song song với trục tọa độ. Ở kỳ dị bậc thấp. Ψ có thể tồn tại trong các biểu<br /> vế phải của phương trình (5), ta thay diễn khác nhau, ở các dạng khác nhau, chẳng<br /> X= δ / AB, ..Y= Z= 0 và ta thu được hạn như:<br /> nghiệm của hệ phương trình: χ χ 2 2<br /> ∆ψ = − r 4 ln r 2 + Ψ , ...∆ 2ψ = − r ln r + Ψ<br /> 4 × 64π 32π<br /> 1−σ 2 δ<br /> ∆11u + ∆12 v + ∆13 w = − χ 2 2 χ 2<br /> ∆ψ = − A (α − α 0 ) ln r 2 + Ψ<br /> 2<br /> 2 Eh AB<br /> 2<br /> Dαα r ln r −<br /> ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w = 0<br /> 64π 32π<br /> χ 6<br /> ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w = 0 2<br /> Dαα ∆ 2ψ = − ln r 2 + Ψ , ...χ = 3<br /> 8π h (1 + σ )<br /> Sử dụng lời giải của Levi [5], ta có thể<br /> biểu diễn các hàm chuyển vị u, v, w dưới Các biểu diễn của ∆ψ và ∆ 2ψ trong tọa<br /> dạng sau: độ cong β có thể thiết lập một cách tương tự.<br /> u= l11Φ (α , β , α 0 , β 0 ) Để xác định các hàm ẩn f i ta xây dựng hệ<br /> phương trình tích phân Fredholm loại hai<br /> .... + ∫∫ l11Φ (α , β , ξ ,η ) f1 (ξ ,η , α 0 , β 0 ) d ξ dη<br /> bằng cách thay (8) vào các phương trình thứ<br /> nhất. Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề ta<br /> G<br /> <br /> v= l12 Φ (α , β , α 0 , β 0 )<br /> quan tâm vì mục tiêu của nhóm tác giả là tìm<br /> .... + ∫∫ l12 Φ (α , β , ξ ,η ) f 2 (ξ ,η , α 0 , β 0 ) d ξ dη ...(8) ra những kỳ dị cơ bản chứa ở vế phải của (8).<br /> G<br /> Trong trường hợp hệ phương trình ban đầu<br /> w= l13Φ (α , β , α 0 , β 0 )<br /> chứa các hệ số cần xác định thì các biểu thức<br /> .... + ∫∫ l13Φ (α , β , ξ ,η ) f 3 (ξ ,η , α 0 , β 0 ) d ξ dη = u l11= φ , ..v l12φ , ..w=l13φ sẽ cho ta nghiệm<br /> G<br /> của bài toán.<br /> Trong đó f i vẫn là hàm chưa biết,<br /> Việc tìm nghiệm của hệ phương trình có<br /> Φ (α , β , α 0 , β 0 ) là nghiệm cơ sở của phương<br /> các hệ số biến thiên sẽ được tiến hành tương<br /> trình. tự tại các điểm lân cận với điểm đặt lực tập<br /> trung. Bers [8] đã xác định được kỳ dị chứa<br />  101<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018<br /> <br /> trong nghiệm của hệ phương trình vi phân có xác định nhờ các liên hệ<br /> các hệ số biến thiên trong miền lân cận của u= − Dβ u z ,..., H1 =− Dα H1z .<br /> lực tập trung, kể cả các kỳ dị có trong<br /> nghiệm cơ sở của phương trình vi phân hệ số Xét các phương trình cho vỏ mỏng có độ<br /> hằng và kỳ dị bậc thấp hơn chứa trong các hệ cong Gausian (tương ứng với trường hợp<br /> số chính. phương trình vi phân có dạng elliptic). Ta có<br /> nhận xét là ma trận của toán tử của hệ ∆ ik bao<br /> Các trường hợp còn lại (cho các lực tập<br /> trung Y và Z) có thể tiến hành tương tự. Kết gồm các ma trận chính và ma trận phụ, với<br /> quả tính toán cho trong bảng 1. Ta xét bài ∆ ik = ∆ ik0 + ∆ ik' . Trong các phương trình vi<br /> toán vỏ chịu tác dụng của moment tập trung, phân cân bằng theo chuyển vị [9] ta hãy viết<br /> khi xem tải trọng này là giới hạn của một tải ở dạng ma trận.<br /> phân bố đều, ta có hệ phương trình sau: 1−σ 1+ σ  1 σ <br /> D2 +<br /> αα D 2 .........<br /> ββ αβ D 2 ....... −<br />   α + D<br /> 1 2 2  R1 R2 <br /> ∆11u + ∆12 v + ∆13 w=0..........(M1 = Dβ δ )<br /> AB 1+ σ 2 1−σ 2 σ 1 <br /> 1= ∆ ik0 Dαα + Dββ ... −  +  Dβ<br /> 2<br /> ..... Dαβ ........<br /> ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w=0....(M 2 = − Dα δ )...(9) 2 2  1<br /> R R2 <br /> <br /> AB  1 σ  σ 1 <br /> −  +  Dα ... −  +  Dβ ............2r11<br /> 1-σ 2  R1 R2   R1 R2 <br /> ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w= M i ...(i =1, 2)<br /> 2Eh<br /> Trong đó ma trận đại số l ik là ma trận đối<br /> Trong đó M 1 là moment đặt trên đường xứng trong trường hợp nhất định, nghĩa là l ik<br /> tọa độ α, còn M 2 là moment đặt trên đường = l ki ; 1, k=1, 2 và các phần tử của nó có<br /> tọa độ β. Hệ phương trình (9) có thể giải dạng:<br /> bằng phương pháp tương tự. Bây giờ ta tìm  1+ σ  1−σ 2 2<br /> nghiệm của phương trình. (1 − σ )  r11Dαα2 + 2 Dββ2  , .....l12 =<br /> l11 = − p Dαβ<br />  R 1  2<br /> 1−σ 2 1−σ  1 σ  2 <br /> ΛΦ1 = Mi =<br /> l13 Dα  +  Dαα + r13 Dββ 2<br /> <br /> 2 Eh 2  1<br /> R R2  <br />  1+ σ <br /> Theo lý thuyết hàm tổng quát, nếu ϕ là l22 = (1 − σ )  2 Dαα2 + r11Dββ2 <br /> nghiệm cơ sở của phương trình Λφ = δ , thì  2 R <br /> 1−σ   1 σ  2  1−σ 2<br /> ∂φ / ∂α sẽ là nghiệm của phương trình l23 = Dβ  r23 Dαα2<br /> +  +  Dββ  , .....l33 = ∆<br /> 2   R2 R1   2<br /> Λφ =∂δ / ∂α . Ở đây, các phần chính của<br /> 1 1 2σ 1  2 +σ 1<br /> nghiệm trong một vài trường hợp có thể thu r11 =  2 + + 2  , ..r13 = − , ..<br /> 2  R1 R1 R2 R2 <br /> được bằng cách, tách các phần chính của các<br /> R1 R2<br /> 2 +σ 1<br /> hàm u z , v z và w z ứng với vỏ chịu lực tập = r23 −<br /> trung Z, chứa trong vế phải phương trình thứ<br /> R2 R1<br /> <br /> ba của (9). Khi đó, lời giải bài toán sẽ nhận Hàm Λ = ∆ik0 và có dạng:<br /> được khá dễ dàng. Chẳng hạn, khi vỏ chịu<br /> moment tập trung đặt dọc theo đường tọa= độ (1 − σ ) (1 − σ 2 )  1 2 1 2 2<br /> Λ  Dαα + Dββ <br /> α, thì lời giải có dạng 2  R2 R1 <br /> =u D=<br /> β u z ,.., w D=<br /> β wz , ..T1 =<br /> Dβ T1 z ,.., H1 Dβ H1z<br /> với T 1 ,…H 1 là các ứng suất và moment trong<br /> vỏ. Moment dọc theo đường tọa độ β có thể<br /> 102<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018<br /> <br /> Bảng 1<br /> X Y Z<br /> <br /> xy χ 3 Dα  m13 −<br /> (1)<br /> <br /> u − χ1 ln r 2 χ2 2<br /> r − (1 + σ ) py 2 / r 2  r 2 ln r 2<br /> <br /> xy χ 3 Dβ  m23(1) +<br /> v χ2 2 − χ1 ln r 2<br /> r + (1 + σ ) px 2 / r 2  r 2 ln r 2<br /> <br /> w χ 3 Dα  m31 − 2 py / r  r ln r − χ 3 Dβ  m32 (1) + 2 px 2 / r 2  r 2 ln r 2 − χ 4 r 2 ln r 2<br /> (1) 2 2 2 2<br /> <br /> <br /> Trong đó:<br /> <br /> χ=<br /> ( 3 − σ )(1 + σ ) , ...χ= (1 + σ )<br /> 2<br /> <br /> , ...χ=<br /> (1 + σ ) , ...χ= (<br /> 3 1−σ 2 ) , ...=p 1 1<br /> − , ..<br /> 16π Eh 8π Eh 64π Eh 32π Eh<br /> 1 2 3 4 3<br /> R1 R2<br /> 1  1 + σ 5 − 3σ  1  1 + σ 5 − 3σ  1 3 − 2σ 1 3 − 2σ<br /> m13(1) =  −  , ...m23 =<br /> (1)<br />  −  , ...m31 =<br /> (1)<br /> − , ..m32 (1) = −<br /> 2  R2 R1  2  R1 R2  R2 R1 R1 R2<br /> A (α − α 0 ) , ... y =<br /> x= B ( β − β 0 ) , ...=<br /> .r A 2 (α − α 0 ) + B ( β − β 0 )<br /> Bảng 2<br /> X Y Z<br /> 1 1<br /> Dβ (1 − σ ) ln r 2 −<br /> 1<br /> − Dα ( 3 + σ ) ln r 2 +  m13(2) ln r 2 − 2t −<br /> 8π 8π 4π <br /> T1  x2 y 2 <br /> y2  y2 <br /> ............. +2(1 + σ ) 2  ............. −2(1 + σ ) 2  ..... − (1 + σ ) p  4  <br /> r  r   r <br /> 1 1 1<br /> Dα (1 − σ ) ln r 2 − − Dβ ( 3 + σ ) ln r 2 +  m23(2) ln r 2 + 2t +<br /> 8π 8π 4π <br /> T2  x2 y 2 <br /> x2  x2 <br /> ............. −2(1 + σ ) 2  ............. +2(1 + σ ) 2  ..... − (1 + σ ) p  4  <br /> r  r   r <br /> 1<br /> Dβ (1 − σ ) ln r 2 +<br /> 1<br /> − − Dα (1 − σ ) ln r 2 + 1 2<br /> 4π 4π Dαβ  m33(2) + 2t +<br /> S1 8π<br /> y2  x2 <br /> ............. +2(1 + σ ) 2  ............. +2(1 + σ ) 2  ..... + (1 + σ ) t  r 2 ln r 2<br /> r  r <br /> 1<br /> h2 3 h2 3 (1 + σ ) ln r 2 +<br /> Dαββ  m41 + Dααβ  m42 + 4π <br /> (2) (2)<br /> <br /> G1 24π 24π<br /> x2 <br /> ................. +2t ] r 2 ln r 2 ................. +2t ] r 2 ln r 2 ............. +2(1 − σ ) 2 <br /> r <br /> 1<br /> h2 3 h2 3 (1 + σ ) ln r 2 +<br /> Dαββ  m51 − Dααβ  m52 − 2π <br /> (2) (2)<br /> <br /> G2 24π 24π<br /> y2 <br /> ................. −2t ] r 2 ln r 2 ................. −2t ] r 2 ln r 2 ............. +2(1 − σ ) <br /> r2 <br /> h2 ( 2) 1 + σ x2 h2 ( 2) 1+ σ y2<br /> − Dβ  m61 ln r 2 − − Dα  m62 ln r 2 −<br /> 6π R2 r 2 6π R1 r 2 1 − σ xy<br /> H1<br /> 2 y  2 x  2π r 2<br /> 2 2 2 2 2 2<br /> x y x y<br /> ................ + p +  ................ − p 4<br /> + <br /> r 4<br /> R1 r 2  r R2 r 2 <br />  103<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018<br /> <br /> Trong đó:<br /> x 2<br /> y2 1  5 + σ 1 − 3σ  1  5 + σ 1 − 3σ  ( 2 ) 1 − 3σ  1 1  ( 2 ) 1 + 2σ 1 − 2σ<br /> t =+ , ..m13( 2) =  − ( 2)<br />  , ..m23 =  −  , ..m33 =  +  , ..m41 = +<br /> R2 R1 4  R1 R2  4  R2 R1  2  1<br /> R R 2  R2 R1<br /> ( 2) 1 5 ( 2) 1 3 ( 2) 3 + 2σ 3 − 2σ ( 2) 3 2 (1 + 2σ ) ( 2) 3 2 (1 + 2σ )<br /> m42 = − − , ...m51 = − , ...m52 = + , ...m61 = − , ...m62 = −<br /> R1 R2 R2 R1 R1 R2 R1 R2 R2 R1<br /> Bảng 3<br /> X Y Z<br /> <br /> χ<br /> − Dα ( 2 (1 + σ ) −<br /> x1 y1 2<br /> U ( 3)<br /> − χ m11 ln r 2 χ p2<br /> y12 <br /> r12 )<br /> 1<br /> ( 3)<br /> − m13(3) ln r12 − m23 <br /> r12 <br /> <br /> <br /> χ<br /> − Dβ ( 2 (1 + σ ) +<br /> x1 y1 2<br /> V χ p2 − χ m22 ln r( 3) 2<br /> x12 <br /> r12 )<br /> 1<br /> ( 3)<br /> + m13(3) ln r12 − m23 <br /> r12 <br /> <br /> χ χ<br /> − Dα ( 2 (1 + σ ) − − Dβ ( 2 (1 + σ ) +<br /> 2 2 χ<br /> W y12  x12 <br /> ∆ 2 r12 ln r12<br /> −m (3)<br /> 13 ) ln r 1<br /> 2<br /> − m23 ( 3)<br /> <br /> r12 <br /> +m (3)<br /> 13 ) ln r 1<br /> 2<br /> − m23( 3)<br /> <br /> r12 <br /> 2<br /> <br /> Trong đó:<br /> R2 A (α − α 0 ) , ....= R1 B ( β − β 0 ) , ....= R2 A2 (α − α 0 ) + R1 B (α − α 0 )<br /> 2 2<br /> =<br /> x1 y1 r1<br /> <br /> ( R − R2 )<br /> 2<br /> R2 1 2 + 4σ R1 1 2 + 4σ R1 R2 R12 − R22<br /> m11( 3) = + + , .m ( 3)<br /> = + + , .χ = , .m (3)<br /> = (3)<br /> , .m23 = 2 1<br /> 16π Eh<br /> 2 22 2 13<br /> R1 R2 R1 R2 R1 R2 R 1 R2 R 1 R2<br /> Bảng 4<br /> X Y Z<br /> 1 R1 1 R1 R1 R2 2<br /> T1 Dα ln r12 − Dβ ln r12 − Dαα ln r12<br /> 4π R2 4π R2 4π<br /> 1 R2 1 R2 R1 R2 2<br /> T2 − Dα ln r12 Dβ ln r12 − Dββ ln r12<br /> 4π R1 4π R1 4π<br /> 1 R2 1 R1 R1 R2 2<br /> S1 Dβ ln r12 Dα ln r12 Dαβ ln r12<br /> 4π R1 4π R2 4π<br /> Trong đó:<br /> 2 Eh3<br /> G1 =<br /> −<br /> 2 Eh<br /> D 2<br /> + σ D 2<br /> w , ..G( =<br /> −<br /> 2 Eh<br /> σ D 2<br /> + D 2<br /> )<br /> w , .. H = 2<br /> Dαβ wi ....(i =(<br /> X ,Y , Z ) )<br /> 3 1−σ 2<br /> (<br /> αα ββ i<br /> ) 2<br /> 3 1−σ 2 αα ββ i 1<br /> (<br /> 3 (1 + σ ) )<br /> Chú ý: Chỉ số i cho thấy w phải được lấy từ bảng 3 cho lực tương ứng. Ở đây, R 1 và R 2<br /> có cùng một dạng. Vì vậy Λ là một toán tử dạng elliptic.<br /> 3. Kết luận 1−σ 2 δ<br /> ΛΦ =<br /> Phương pháp trình bày ở trên có thể tiến 2Eh AB<br /> hành tương tự như đối với phương trình Đối với vỏ mỏng, ta có:<br /> moment. Vì vậy việc làm này có thể bỏ qua.<br /> R1 R2<br /> Chỉ cần lưu ý một điều là hàm ψ biểu thị ψ= r12 ln r12<br /> phần chính của nghiệm cơ sở của phương 16π Eh ( 1 − σ )<br /> trình. r12 A2 R2 (α − α 0 ) + B 2 R1 ( β − β 0 )<br /> =<br /> 104<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018<br /> <br /> Thực hiện tính toán tương tự với các Functions and Operations with them). Fizmatgiz,<br /> phép tính trước, ta thu được các đặc trưng cơ 1958.<br /> bản của các hàm u, v và w (bảng 3). [5]. Levi, E.E, O lineinykh ellipticheskikh<br /> uravneniiakh v chastnykh proizvodnykh (On<br /> Các thành phần biến dạng ε 1 ,…,τ có thể linear elliptic partial differential equations).<br /> được xác định bằng cách sử dụng các hàm u, [6]. Ion, F, Ploskie volny i sfericheskie (Plane Wave<br /> v và w. Các ứng suất và moment T 1 ,…,H 1 and Spherical Means). IL, 1958. [7]. Lopatinskii,<br /> được biểu diễn theo các biến dạng ε 1 ,…,τ dựa Ia.B., Fundamental’naia sistema reshenii sistemy<br /> trên các quan hệ của vật liệu đàn hồi. Các kết lineinykh differentsial’nykh uravnenii elliptickeskogo<br /> quả cho trong các bảng từ 2 đến 4. tipa (Fundamental system of solutions of linear<br /> Kết quả tính toán cho vỏ trụ tròn chịu differential equations of the elliptic type). Dokl. Akad.<br /> uốn đã được so sánh với các kết quả thu được Nauk SSSR Vol. 71, No. 3, 1950.<br /> bởi Darevskii [2]. Ở đây, cũng tìm được [8]. Bers, L, Local behavior of solutions of general<br /> linear elliptic equations. Math. 8, No. 4, 1955.<br /> nghiệm tiệm cận cho u, v, T 1 , T 2 , S 1 và S 2<br /> trong trường hợp vỏ chịu tác dụng của các [9]. Gol’denveizer, A.L, Teoriia tonkikh uprugikh<br /> obolochek (Theory of Thin Elastic Shells).<br /> lực tập trung X và Y; trong trường hợp vỏ<br /> Gostekhteoretizdat, 1953.<br /> chịu lực Z, ta có kết quả giống như trong [2];<br /> [10]. J. Michael Rotter, Adam J. Sadowski,<br /> các trường hợp còn lại có sự sai khác do đặc Cylindrical shell bending theory for orthotropic<br /> điểm riêng của từng phương pháp tính toán shells under general axisymmetric pressure<br /> được sử dụng. distributions, (2012).<br /> Đối với bài toán vỏ cầu, kết quả của [11]. Interlaminar stresses in thick cylindrical shell<br /> nhóm trùng hoàn toàn với [9] with arbitrary laminations and and boundary<br /> Tài liệu tham khảo conditions under transverse loads, (2016).<br /> [1]. Gol’ denveizer, A.L, Napriazhennoe sostoianie [12]. Vincenzo Vullo, Bending theory of circular<br /> sfericeskoi obolochki (State of stress of a cylindrical shells under axisymmetric loads,<br /> spherical shell). PMM Vol. 8, No. 6, 1994. (2013).<br /> [2]. Darevskii, V.M, Nekotorye voprosy teorii [13]. S. Jafari Mehrabadi, B. Sobhani Aragh, Stress<br /> tsilindricheskoi obolochki (Some problems of the analysis of functionally graded open cylindrical<br /> theory of a cylindrical shell). PMM Vol.15, No. shell reinforced by agglomerated carbon<br /> 5, 1951; PMM Vol. 27, No. 2, 1953. nanotubes, (2014).<br /> [3]. Chernykh, K.F, Sviaz’ mezhdu dislokatsiiamii Ngày nhận bài: 30/5/2018<br /> sosredotochennymi vozdeistviiami teorii Ngày chuyển phản biện: 2/6/2018<br /> obolochek (Relation between dislocations and Ngày hoàn thành sửa bài: 22/6/2018<br /> concentrated loadings in the theory of shells). Ngày chấp nhận đăng: 29/6/2018<br /> PMM Vol. 23, No. 2, 1959.<br /> [4]. Gel’fand, I.M. and shilov, G.E., obobshchennye<br /> funktsii i deistviia pod nimi (Generalized<br />