10 bài cực trị hình học hay

Chia sẻ: Akai Shuyichi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

135
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '10 bài cực trị hình học hay', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 10 bài cực trị hình học hay

10 BÀI CỰC TRỊ HÌNH HỌC HAY (SƯU TẦM) GV : NGÔ VĨNH CHIẾN Bài 1 : Cho ® êng trßn (0; R) , A vµ B lµ hai ® m cè ® nh n»m ngoµi ® êng trßn . M lµ ® m cè ® nh iÓ Þ iÓ Þ trªn ® êng trßn (0) . X¸ c ® nh vÞtrÝcña ® m M ® diÖ tÝ tam gi¸ c MAB cã gi¸ trÞ: Þ iÓ Ó n ch a) Lí n nhÊt b) nhá nhÊt Gi¶i C VÏ ® êng th¼ d qua 0 vµ ⊥ AB t¹ i K ng M d c¾ ® êng trßn ( 0 ) t¹ i C vµ D t H¹ AH ⊥ AB O MH .AB ⇒ SMAB = 2 a) Ta cã MH ≤ MK XÐ 3 ® m M,O ,K ta cã t iÓ D MK ≤ OM + OK A B ⇔ MK ≤ OC + OK ⇔ MH ≤ CK H K d CK .AB ⇒ SMAB ≤ ( kh«ng ® i ) æ 2 DÊ “ = “ x¶y ra ⇔ H ≡ K u ⇔ M ≡C b) XÐ 3 ® m M,O ,H ta cã MH ≥ OH − OM t iÓ Mµ OK ≤ OH vµ OK OM = OK OD = DK ⇒ MH ≥ DK DK .AB ⇒ SMAB ≥ ( kh«ng ® i ) æ DÊ “ = “ x¶y ra ⇔ M ∈ [ OH ] u 2 Vµ M ≡ K ⇔ M ≡ D
Bài 2 : Cho ® êng trßn (O;R); A lµ ® m cè ® nh trong ® êng trßn iÓ Þ (A ≠ O). X¸ c ® nh vÞtrÝcña ® m B trªn ® êng trßn O sao cho gãc OBA lí n nhÊ Þ iÓ t. Gi¶i: Gi¶ sö cã B ∈ (O). VÏ d© BC cña ® êng trßn (O) qua A ta cã OB = OC = R y 180 0 − COB B => ∆OBC c© t¹ i O => gãc OBC = n 2 Nªn gãc OBA max ⇔ gãc COBmin. H Trong ∆COB cã CO = OB = R kh«ng ® i æ A O => ∠COB min ⇔ BCmin = OHmax C Mµ OH ≤ OA nªn OHmax ⇔ H ≡ A ⇔ BC ⊥ OA t¹ i A. VË OBA max ⇔ B ∈ (O) sao cho BC ⊥ OA t¹ i A. y Bài 3 : Cho tø gi¸ c låi ABCD. T× ® m M trong tø gi¸ c ® sao cho AM + MB + MC + MD ® t cùc m iÓ ã ¹ trÞnhá nhÊt. Gi¶i: D Ví i 3 ® m M, A, C ta cã: MA + MC ≥ AC iÓ C DÊ "=" x¶y ra ⇔ M ∈ AC u M T ¬ng tù ví i ba ® m M, B, D iÓ O ta cã MB + MD ≥ BD. DÊ "=" x¶y ra ⇔ M ∈ BD u A B AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (kh«ng ® i). æ M ∈ AC ⇔ M ≡ O DÊ "=" x¶y ra ⇔  u M ∈ BD VË min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ⇔M ≡ O y
Bài 4 : Cho ∆ABC (¢ = 900) M lµ ® m chuyÓ ® iÓ n éng trªn c¹ nh BC. VÏ MD ⊥ AB; ME ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC). X¸ c ® nh vÞtrÝcña M ® DE cã ® dµi nhá nhÊ Þ Ó é t. Gi¶i: Þ æ ˆ VÏ AH ⊥ BC (H ∈ BC), H cè ® nh vµ AH kh«ng ® i, tø gi¸ c AEMD cã ¢ = £ = D = 900 => AEMD lµ h× ch÷ nhË nh t. A A => DE = AM mµ AM ≥ AH (kh«ng ® i) æ D (theo t/c ® êng xiªn vµ ® êng vu«ng gãc). E DÊ "=" x¶y ra ⇔ M ≡H. VË khi M ≡ H u y B th×DE nhá nhÊt. H M C Bài 5 : Cho ® êng th¼ d vµ ® êng trßn (O;R) cã kho¶ng c¸ ch tõ t© ® n d lµ OH ≥ R. LÊ hai ® m bÊ ng m Õ y iÓ t kú A ∈ d; B ∈ (O;R). H· y chØ vÞtrÝcña A vµ B sao cho ® dµi cña AB ng¾ nhÊ Chøng minh ra é n t? ® u® iÒ ã. Gi¶i: Tõ t© (O) kÎ OH ⊥ d, OH c¾ ® êng trßn (O) t¹ i K. XÐ ba ® m A. B. O ta cã AB + OB ≤ m t t iÓ OA mµ OA ≥ OH (quan hÖ® êng xiªn vµ ® êng vu«ng gãc). B => AB ≥ OH OB = HK kh«ng ® i æ O A ≡ H K VË min AB = KH ⇔  y d B ≡ K A H Bài 6 : Cho ® êng trßn (O) vµ mét ® m M n»m trong ® êng trßn ® (M ≠ O). X¸ c ® nh vÞtrÝcña d© iÓ ã Þ y cung AB cña ® êng trßn (O) qua M sao cho ® dµi AB ng¾ nhÊ é n t. Gi¶i: A Ta cã d© AB ⊥ OM t¹ i M lµ d© cung cã ® dµi y y é A’ M’ M B’ nhá nhÊt. B ThËt vËy: Qua M vÏ d© A'B' bÊ kú cña (O) A'B' y t O kh«ng vu«ng gãc ví i OM. VÏ OM' ⊥ A'B'. M' ∈ A'B'; M' ≠ M => OM' ⊥ MM' => OM > OM' => AB < A'B' (theo ® nh lý kho¶ng c¸ ch tõ t© Þ m ® n d© Õ y).
Bài 7 : Cho tam gi¸ c ® u ABC néi tiÕ trong ® êng trßn (O;R). M lµ ® m di ® Ò p iÓ éng trªn ® êng trßn (O). X¸ c ® nh vÞtrÝcña M ® MA + MB + MC ® t gi¸ trÞlí n nhÊ Þ Ó ¹ t. Gi¶i: Ta xÐ M ∈ cung BC. Trªn MA lÊ D sao cho MB = MD. Ta chøng minh ® î c: ∆BMD lµ t y tam gi¸ c ® u. Ò A ˆ ˆ => B2 + B3 = 602 ˆ ˆ ˆ ˆ Mµ B1 + B2 = 600 => B1 = B3 O Chøng minh cho ∆BAD = ∆BCM (gcg) D B => AD = MC C M => MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA Mµ MA lµ d© cung cña ® êng trßn (O;R) => MA = 2R y => max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ⇔MA lµ ® êng kÝ cña ® êng trßn (O) ⇔M lµ nh ® m chÝ gi÷a cña cung BC. iÓ nh T ¬ng tù ta xÐ M thuéc cung AB vµ M thuéc cung AC => M lµ ® m chÝ gi÷a cung AB hoÆ t iÓ nh c cung AC th×MA + MB + MC ® t gi¸ trÞlí n nhÊ ¹ t. Bài 8 : Cho ® êng trßn (0; R) , ® êng kÝ AB , M lµ ® m chuyÓ ® nh iÓ n éng trªn ® êng trßn . X¸ c ® nh Þ vÞtrÝcña M trªn ® êng trßn ® MA + 3 MB ® t gi¸ trÞlí n nhÊ Ó ¹ t M Gi¶i : Ta cã : ∠ AMB = 900 ( gãc nt ch¾ nöa ® n .trßn) ∆ MAB cã ∠ M = 900 Theo Pitago ta cã : A B MA 2 + MB2 = AB2 = 4R2 ¸ p dông B§ T Bunhiacopski ta cã MA + 3 MB ≤ (1 + 3)(MA2 + MB 2 ) = 4.4 R 2 = 4R ⇒ MA + 3 MB ≤ 4R 1 3 MB DÊ "=" x¶y ra ⇔ u = ⇔ = 3 MA MB MA MB ⇔ tg¢ = = 3 = tg600 MA ⇔ M¢ B = 600 nªn max(MA + 3 .MB) = 4R ⇔ M¢ B = 600
Bài 9 : Cho ® n th¼ AB , ® m M di chuyÓ trªn ® n Ê .VÏ c¸ c ® êng trßn ® êng kÝ MA , o¹ ng iÓ n o¹ y nh MB .X¸ c ®nh vÞtrÝcña M ® tæ diÖ tÝ cña hai h× trßn cã gi¸ trÞnhá nhÊ . Þ Ó ng n ch nh t Gi¶i A O M O/ B § ÆMA =x , MB = y , ta cã : x + y = AB ( 0 < x< y < AB ) t Gäi S vµ S’ thø tù lµ diÖ tÝ cña 2 h× trßn cã ® êng kÝ lµ MA vµ MB n ch nh nh 2 2 x2 + y2 Ta cã : S + S’ = π   + π   = π . x y     2 2 4 2 ¸ p dông B§ T : x + y ≥2( x + y ) 2 ⇒ S + S’ ≥ π. ( x + y ) 2 = π . AB 2 2 8 8 AB 2 DÊ "=" x¶y ra ⇔ x = y u VË Min (S + S’ ) = π . y 8 ⇔ M lµ trung ® m cña AB iÓ
Bài 10 : Cho ∆ ABC cã BC = a , AC = b , AB = c T× ® m M n»m bªn trong tam gi¸ c ABC sao cho m iÓ a b c + + cã gi¸ trÞnhá nhÊ . Trong ® x,y,z lµ kho¶ng c¸ ch tõ M ® n BC , AC , AB t ã Õ x y z Gi¶i Gäi diÖ tÝ ∆ ABC lµ S . Ta cã ax +by + cz = 2S Kh«ng ® i n ch æ Ap dông B§ T Bunhiacopski ta cã 2 a b c  a b c (ax +by + cz ) ( + + ) ≥  ax + by + cz  x y z  x y z A   a b c ⇒ (ax +by + cz ) ( + + ) ≥ (a+b+c)2 x y z c b ⇒( + a b c + )≥ ( a + b + c) 2 x y z 2S M z a b c VËy + + ® t gi¸ trÞnhá nhÊ ¹ t x x y z C B a b c ⇔ ( + + )= ( a + b + c) 2 a x y z 2S ax by cz ⇔ = = ⇔ x = y = z ⇔ ∆ ABC lµ tam gi¸ c ® u Ò a b c x y z