10 Bài toán tư duy thử trí thông minh THCS - Nguyễn Đức Tấn

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 10 BÀI TOÁN TƯ DUY THỬ TRÍ THÔNG MINH THCS<br /> Bài 1: Trong một kỳ thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “Có” hoặc “Không” cho mỗi<br /> câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi:<br /> a) Câu 1 và câu 5 cần trả lời trái ngược nhau.<br /> b) Câu 2 và câu 4 cần trả lời giống nhau.<br /> c) Câu 4 trả lời “Có” thì câu 5 trả lời “Không”<br /> d) Số câu trả lời “Không” ít hơn số câu trả lời “Có”.<br /> Thì một thí sinh dự thi có thể trả lời đúng ít nhất bốn câu hỏi.<br /> Bài giải:<br /> Giả sử câu 2 trả lời “Không” từ b) câu 4 trả lời “Không” kết hợp d) suy ra các câu 1; 3; 5 trả lời “Có”. Mâu<br /> thuẫn a). Vậy câu a phải trả lời “Có” kết hợp b) câu 4 trả lời “Có” và từ e) câu 5 trả lời “Không” kết hợp a) câu<br /> 1 trả lời “Có”<br /> Như vậy một thí sinh dự thi có thể trả lời đúng ít nhất 4 câu hỏi.<br /> Bài 2: Ông Tư mỗi ngày chơi ít nhất 1 ván cờ tướng, nhưng vì muốn chơi đúng mức để tập luyện nên mỗi<br /> tuần chơi không quá 12 ván. Hãy chứng tỏ rằng có một thời gian và ngày liên tiếp mà trong vòng những ngày<br /> này ông Tư chơi đúng 20 ván cờ.<br /> Bài giải:<br /> 3<br /> <br /> Giả sử vào ngày thứ hai ông Tư chơi a1 ván, chơi a2 ván trong suốt ngày thứ hai và thứ ba, a ván trong suốt<br /> ngày thứ ba ngày đầu,…chơi a77 ván trong suốt 77 ngày.<br /> Nhận ra rằng trong 154 số a1 ,a2 ,a3 ,..., a77 ;a1  20,a2  20,a3  20;..., a77  20 mà mỗi số không lớn hơn<br /> 12.11 + 20 = 152. Do vậy ít nhất hai số trong 154 số này bằng nhau. Mỗi ngày chơi ít nhất 1 ván nên trong các<br /> số a1 , a2 , a3 ,...,a77 không có hai số nào bằng nhau và như vậy trong các số<br /> <br /> a1  20, a2 , 20a3  20,...,a77  20 cũng không có hai số nào bằng nhau.<br /> Vậy với số m và n nào đó ta phải có:<br /> <br /> am  an  20  am  an  20 (m  n).<br /> Từ đó ta có đều cần chứng minh.<br /> Bài 3: Hai học sinh thoả thuận với nhau một quy ước về chơi bài như sau:<br /> - Chơi 10 ván không kể những ván hoà.<br /> - Sau mỗi ván, người thắng được 1 điểm, nhưng nếu số quân ăn được nhiều hơn thì được 2 điểm.<br /> - Người thắng cuộc là người được nhiều điểm hơn.<br /> Sau cuộc chơi kết quả B thắng. Hai người được cả thảy 13 điểm, nhưng số ván thắng của B ít hơn của A.<br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Hỏi mỗi người thắng mấy ván?<br /> Bài giải:<br /> Hai người chơi 10 ván, số ván thắng của B ít hơn của A. Vậy số ván thắng của B nhiều nhất là 4. Mà số ván<br /> thắng của B không thể ít hơn 4 vì nếu số bán thắng tối đa là 3 thì số điểm tối đa của B chỉ là 6, ít hơn nữa tổng<br /> số điểm của hai người (13 điểm). Trái giả thiết là B thắng. Vây B thắng 4 ván, A thắng 6 ván.<br /> Bài 4: Có một số dây dài<br /> <br /> 2<br /> 7<br /> m. Hãy tìm cách cắt để được<br /> m mà không cần thước đo.<br /> 3<br /> 12<br /> <br /> Bài giải:<br /> Lấy ra<br /> <br /> 7<br /> (m) thì sợi dây còn lại:<br /> 12<br /> <br /> 2 7<br /> 8 7<br /> 1<br /> 2<br /> 1<br />     (m) mà : 8 <br /> 3 12 12 12 12<br /> 3<br /> 12<br /> Từ dây ta có cách cắt như sau: gập đôi sợi dây rồi gập một lần nữa rồi lại gập đôi một lần nữa để tìm được<br /> của sợi dây<br /> <br /> Cắt rời<br /> <br /> 1<br /> 8<br /> <br /> 2<br /> (m).<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 7<br /> của sợi dây (m), phần còn lại chính là đoạn dây dài là<br /> (m) cần có.<br /> 8<br /> 3<br /> 12<br /> <br /> Bài 5: Bốn con ếch nằm ở đáy của một cái giếng sâu 40m. Trong một ngày chúng bò lên được 16m mỗi con.<br /> Sau đó con thứ nhất bị tụt xuống 14m, con thứ hai bị tụt xuống 13m, con thứ ba bị tụt xuống 12m, con thứ tư<br /> tụt xuống 10m. Ngày hôm sau chúng lại tiếp tục bò.<br /> Hỏi cần mấy ngày thì mỗi con ếch này ra khỏi được miệng giếng?<br /> Bài giải:<br /> Ngày cuối cùng mỗi con ếch bò lên được 16m và ra khỏi miệng giếng.<br /> Trong những ngày trước đó mỗi ngày:<br /> Con ếch thứ nhất bò lên được 16 - 14 = 2(m).<br /> Con ếch thứ hai bò lên được 16 - 13 = 3(m).<br /> Con ếch thứ ba bò lên được 16 - 12 = 4(m).<br /> Con ếch thứ tư bò lên được 16 - 10 = 6(m).<br /> Không tính ngày cuối cùng::<br /> Con ếch thứ nhất đã leo trong (40-16) : 2 = 12 (ngày).<br /> Con ếch thứ hai đã leo trong (40-16) : 3 = 8 (ngày)<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Con ếch thứ ba đã leo trong (40-16) : 4 = 6 (ngày).<br /> Con ếch thứ tư đã leo trong (40-16) : 6 = 4 (ngày).<br /> Như vậy để bò ra khỏi được miệng giếng:<br /> Con ếch thứ nhất cần 12 + 1 = 13 (ngày).<br /> Con ếch thứ hai cần 8 + 1 = 9 (ngày).<br /> Con ếch thứ ba cần 6 + 1 = 7 (ngày).<br /> Con ếch thứ tư cần 4 + 1 = 5 (ngày).<br /> Bài 6: Trong kỳ thi tuyển sinh chọn học sinh giỏi Toán, Trinh nhìn đồng hồ và bắt đầu làm bài. Khoảng hơn 2<br /> giờ sau thì làm bài xong. Trinh nhìn lại đồng hồ thì thấy kim giờ và kim phút đã đổi chỗ cho nhau. Trinh đã<br /> giải bài thi trong thời gian bao nhiêu?<br /> Bài giải:<br /> Trinh đã làm bài thi khoảng hơn 2 giờ nên trong khoảng thời gian này kim phút đã quay hơn 2 vòng nhưng<br /> chưa đến 3 vòng.<br /> Khi xong bài thi kim giờ và kim phút đổi vị trí cho nhau, như vậy tổng số vòng quay của kim giờ và kim phút<br /> là đúng 3 vòng.<br /> Vận tốc quay của kim phút bằng 12 lần vận tốc quay của kim giờ nên trong thời gian Tring làm bài thi thì kim<br /> phút đã quay được: (3.12):(12  1) <br /> <br /> Thời gian để kim phút quay<br /> <br /> 36<br /> (vòng)<br /> 13<br /> <br /> 36<br /> vòng là:<br /> 13<br /> <br /> 36<br />  2 giờ 46 phút 9 giây.<br /> 13<br /> Vậy Trinh đã giải bài thi trong vòng thời gian 2 giờ 46 phút 9 giây.<br /> Bài 7: Trong 15 giây bạn có thể viết phân số sau dưới dạng phân số tối giải không?<br /> <br /> 122436123636<br /> 316293319393<br /> Sau 15 giây mà vẫn không giải được bạn có còn “ráng thêm” nữa không?<br /> Nếu bạn vẫn chưa tìm được lời giải đáp thì mời bạn hãy xem lời giải bài toán này và tin chắc rằng bạn sẽ<br /> thích thú.<br /> Bài giải:<br /> Bạn có thấy?<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 12<br /> <br /> 12x 2<br /> <br /> 12x3<br /> <br /> 12<br /> <br /> 12x3<br /> <br /> 12x3<br /> <br /> 12<br /> 31<br /> <br /> 24<br /> 62<br /> <br /> 36<br /> 93<br /> <br /> 12<br /> 31<br /> <br /> 36<br /> 93<br /> <br /> 36<br /> 93<br /> <br /> 31<br /> <br /> 31x3<br /> <br /> 31x3<br /> <br /> 31<br /> Do vậy<br /> <br /> 31x12 31x3<br /> <br /> 122436123636 12x10203010303 12<br /> <br />  .<br /> 316293319393 31x10203010303 31<br /> <br /> Bài 8: Phượng đang tính tổng sau:<br /> <br /> 672953<br /> 107297<br /> 528468<br />  325874<br /> 327046<br /> 892702<br /> 471531<br /> Ngồi kề bên Phượng là Hoà. Hoà đã xem đầu bài xong và nói kết quả là 3325871. Rất chính xác! Bạn biết bạn<br /> Hoà tính thế nào không?<br /> Bài giải:<br /> Do Hoà đã phát hiện được rằng:<br /> <br /> 672953<br /> <br /> +999999<br /> <br /> 107297<br /> 528468<br />  325874<br /> <br /> +999999<br /> <br /> 327046<br /> 892702<br /> <br /> +999999<br /> <br /> 471531<br /> Kết quả của tổng tìm được dựa vào số còn thừa 325874 mà đến với kết quả là 3325871 (thêm số 3 vào đằng<br /> trước số 32874 rồi bớt số này đi 3 đơn vị.<br /> Bài 9: Chứng tỏ rằng bàn cờ 100 x 4 không thể phủ kín bởi các quân đôminô.<br /> Bài giải:<br /> Bàn cờ 100 x 4 khi được chia đôi bởi bất kỳ đường giới hạn nào thì mỗi phần cũng một số chẵn ô.<br /> Giả sử bàn cờ này được phủ kín bởi các quân đôminô và không chồng lên nhau thì ở mỗi phần ở hai loại o:<br /> -<br /> <br /> Loại I: bị phủ bởi quân đôminô không bị cắt.<br /> Loại II: bị phủ bởi quân đôminô bị cắt.<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Dễ thấy số ô của loại I là số chẵn vì mỗi quân đôminô không bị cắt sẽ phủ kín 2 ô của bàn cờ. Mà tổng số của<br /> hai loại ở mỗi phần là số chẵn, do đó số ô loại II ở mỗi phần cũng chẵn. Suy ra số các quân ddoominoo bị cắt<br /> là số chẵn. Như vậy nếu tất cả 102 đường giới hạn nào cũng cắt quân đôminô thì ít nhất trên bàn cờ được<br /> phải có 102 x 2 = 204 quân đôminô. Mâu thuẫn vì bàn cò được phủ kín bởi 200 quân đôminô.<br /> Vậy ít nhất phải có đường giới hạn không cắt quân đôminô nào. Do vậy bàn cờ này không thể phủ kín bởi các<br /> quân đôminô.<br /> Bài 10: Trên bàn cờ kỳ lạ 1999 x 1999 ô vuông có một con mã ở một ô nào đó. Hỏi con mã có thể qua tất cả<br /> các ô, mỗi ô đúng một lần rồi trở lại về ô ban đầu hay không?<br /> Bài giải:<br /> Câu trả lời là KHÔNG! Thật vậy:<br /> Ta tô màu bàn cờ bằng hai màu trắng, đen xen kẽ nhau (hai ô có cạnh chung có màu khác nhau).<br /> Nhận xét rằng: Nếu lúc đầu con mã ở ô đen, sau một bước nhảy nó ở ô trắng và nếu lúc đầu nó ở ô trắng, sau<br /> một bước nhảy nó ở trên ô đen.<br /> Không mất tính tổng quát, giả sử lúc đầu con mã ở ô trắng. Theo nhận xét trên khi con mã nhảy được số lẻ<br /> bước nó sẽ ở ô đen (*).<br /> 2<br /> <br /> Muốn con mã nhảy qua tất cả các ô mỗi ô đúng một lần, rồi trở về lại ô ban đầu nó phải nhảy đúng 1999<br /> bước nhảy, tức, tức một số lẻ bước.<br /> Theo(*) lúc này nó ở ô đen không phải là ô ban đầu!<br /> Vậy ta có đều phải chứng minh.<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br />