13 Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2012-2013 của các trường chuyên

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HẢI DƯƠNG<br /> <br /> KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN<br /> NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013<br /> Môn thi: TOÁN (chuyên)<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> Đề thi gồm : 01 trang<br /> Ngày thi 20 tháng 6 năm 2012<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm)<br /> 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br /> <br /> a 2 (b-2c)+b2 (c-a)+2c2 (a-b)+abc .<br /> <br /> 2) Cho x, y thỏa mãn x  3 y- y 2 +1+ 3 y+ y 2 +1 . Tính giá trị của biểu thức<br /> <br /> A  x 4 +x3 y+3x 2 +xy- 2y2 +1 .<br /> Câu II ( 2,0 điểm)<br /> 1) Giải phương trình<br /> <br /> (x 2 - 4x+11)(x 4 - 8x 2 +21)  35 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x+ x 2 +2012 y+ y 2 +2012  2012<br /> <br /> 2) Giải hệ phương trình <br /> .<br />  x 2 + z2 - 4(y+z)+8  0<br /> <br /> Câu III (2,0 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.<br /> 2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của<br /> m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.<br /> Câu IV (3,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần<br /> lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên<br /> đoạn CE.<br /> <br /> 1) Tính BIF .<br /> 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI<br /> nội tiếp.<br /> 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu<br /> của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.<br /> Câu V (1,0 điểm)<br /> Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0  a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />  1<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> +<br /> .<br />  a+1 b+1 c+1 <br /> <br /> B  (a+b+c+3) <br /> <br /> +<br /> <br /> ----------------------------Hết---------------------------Họ và tên thí sinh………………………………. Số báo danh………………...………………<br /> Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2: ……………………<br /> <br /> W: www.hoc247.vn<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.vn<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> Câu<br /> Câu I (2,0đ)<br /> 1) 1,0 điểm<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> a 2 (b - 2c) +b 2 (c - a) + 2c 2 (a - b) + abc=2c 2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2  b 2 )  ac ( a  b )<br /> 2<br /> <br />  ( a  b)[2c  2 ac  ab  bc ]<br />  ( a  b)[2c (c  a )  b( a  c)]<br />  ( a  b)( a  c)(b  2c)<br /> <br /> 2) 1,0 điểm<br /> <br /> Có x = 3 y- y 2 + 1  3 y+ y 2 + 1<br />  x 3 = 2y +3 3 y -<br /> <br /> y 2 + 1 . 3 y+ y 2 + 1  3 y<br /> <br /> <br /> y 2 +1  3 y+ y 2 +1 <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  x 3 + 3x -2y = 0<br /> A = x 4 + x 3 y + 3x 2 - 2xy + 3xy - 2y 2 + 1 = (x 4 +3x 2 -2xy) +(x 3 y+3xy - 2y 2 )  1<br />  x(x 3 +3x-2y) +y(x 3 +3x - 2y)  1  1<br /> <br /> Câu II (1,0đ)<br /> 1)1,0 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( x  2) 2  7  7x <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Do 2<br />   ( x  2)  7   ( x  4)  5  35x<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> ( x  4)  5  5x <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( x  2) 2  7  7<br /> <br /> (1)   2<br /> 2<br /> ( x  4)  5  5<br /> <br /> <br /> 2)1,0 điểm<br /> <br /> phương trình đã cho tương đương với ( x  2) 2  7  ( x2  4) 2  5  35 (1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x=2<br /> (x+ x 2 +2012)(y+ y2 +2012)  2012 (1)<br /> <br />  2 2<br /> (2)<br /> x + z - 4(y+z)+8=0<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (1)  x  x2  2012 y  y 2  2012<br /> <br /> (Do<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y  2012<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y  0y )<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x  x 2  2012 2012  2012<br />  x y <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y  x  x 2  2012 <br /> <br /> y 2  2012  y<br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> <br />  x y <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> y 2  x2<br /> <br />  x y <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br />  ( x  y)<br /> <br /> y 2  2012  y  x 2  2012  x<br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> 0<br /> <br /> y 2  2012 | y | yy <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Do<br />   y  2012  y  x  2012  x  0  y   x<br /> 2<br /> x  2012 | x |  xx <br /> <br /> 2<br /> Thay y=-x vào(2)  x  z 2  4 x  4 z  8  0  ( x  2) 2  ( z  2)2  0<br /> 2<br /> <br /> ( x  2)  0  x  2<br /> <br /> <br /> <br />  y   x  2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2).<br /> 2<br /> ( z  2)  0<br /> z  2<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu III (2,0đ)<br /> W: www.hoc247.vn<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.vn<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 1)1,0 điểm<br /> <br /> 2)1,0 điểm<br /> <br /> Đặt A = n2 + n + 1 do n    n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k   )<br /> * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3)<br /> * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.<br /> * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9<br /> Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.<br /> Giả sử tồn tại m  * để phơng trình có nghiệm x1, x2<br />  x  x  m2<br />  (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3<br /> Theo vi-et:  1 2<br /> x1 x2  2m  2<br /> <br /> *<br /> Với m  . Ta có x1x2  1 và x1 + x2  4 mà x1hoặc x2 nguyên và<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x1  x 2  m 2   *  x1 , x2   *  ( x1  1)( x2  1)  0<br /> <br />   m 2  2m  2  0  (m  1)(m  3)  0  m  3  m {1;2;3}<br /> <br /> Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phơng trình đã cho vô nghiệm.<br /> Với m = 3 thay vào phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho<br /> là x =1; x = 8 thoả mãn. Vậy m= 3<br /> Câu IV (2,0đ)<br /> 1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> F<br /> <br /> K<br /> <br /> D<br /> <br /> H<br /> <br /> O<br /> I<br /> <br /> A<br /> <br /> E<br /> <br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K<br />  1<br /> Có DFE= DOE=450<br /> 2<br /> <br />  BIF  450<br /> <br /> 2) 1,0 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => DBH=450 .Có DFH=450<br /> => Tứ giác BDHF nội tiếp<br /> => 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn.<br />  <br /> => BFO=BHO  900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H thẳng hàng<br />  <br /> BAH=BIH  450 => Tứ giác ABHI nội tiếp.<br /> <br /> W: www.hoc247.vn<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.vn<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 3) 1,0 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> F<br /> P<br /> <br /> D<br /> <br /> O<br /> N<br /> <br /> A<br /> <br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> Q<br /> <br />   <br /> Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN .<br /> <br /> Câu V (1,0đ)<br /> <br />   <br /> Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng<br /> PQ NQ<br /> =<br />  1  PQ  EF<br /> =><br /> EF NE<br /> Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q  E => DN là đường kính của (O)<br /> => PQ lớn nhất bằng EF.<br /> Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại M thì<br /> PQ lớn nhất.<br /> Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0  a  b  c  1 = >1 z  y  x  2<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> y<br /> <br /> 1<br /> z<br /> <br /> Khi đó A= (x+y+z)(   )=3+ 3 <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x x y y z z<br />     <br /> y z x z x y<br /> <br />  x  y <br /> x y x. y<br /> x y x<br />  0    1<br /> 1  1    0  1   <br /> y z y.z<br /> y z z<br />  y  z <br />  z  y <br /> z y z. y<br /> z y z<br />  0    1<br /> 1  1    0  1   <br /> y x y.x<br /> y x x<br />  y  x <br /> x y z y x z<br /> x x y y z z<br /> x z<br />        2        2    2<br /> y z y x z x<br /> y z x z x y<br />  z x<br /> x<br /> Đặt = t => 1  t  2<br /> z<br /> x z<br /> 1 t 2  1 2t 2  5t  2 5 (2t  1)(t  2) 5<br />  t <br /> <br />  <br /> <br /> z x<br /> t<br /> t<br /> 2t<br /> 2<br /> 2t<br /> 2<br /> (2t 1)(t  2)<br /> x z 5<br /> Do 1  t  2 <br /> 0   <br /> 2t<br /> z x 2<br /> 5<br />  A  3  2.  2  10<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> W: www.hoc247.vn<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.vn<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2012<br /> <br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH<br /> <br /> Môn thi: Toán (Chuyên)<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> ————————<br /> <br /> .<br /> <br /> Đề Chính Thức<br /> Bài 1 .<br /> a) Giải hệ phương trình:<br /> <br /> <br /> x2 + 6x = 6y<br /> <br /> y 2 + 9 = 2xy<br /> √<br /> √<br /> b) Giải phương trình: 3 x + 6 + x − 1 = x2 − 1<br /> Bài 2 .<br /> b<br /> c<br /> a<br /> a) Cho các số a, b, c, x, y thỏa mãn: x + y + z = 1, 3 = 3 = 3 .<br /> x<br /> y<br /> z<br /> √<br /> √<br /> √<br /> a<br /> b<br /> c<br /> Chứng minh: 3 2 + 2 + 2 = 3 a + 3 b + 3 c.<br /> x<br /> y<br /> z<br /> b) Tìm số nguyên m để phương trình x2 + m(1 − m)x − 3m − 1 = 0 có nghiệm nguyên dương.<br /> Bài 3 .<br /> Tam giác ABC có góc B,C nhọn, góc A nhỏ hơn 450 nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm. M<br /> là một điểm trên cung nhỏ BC(M ko trùng B,C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng với M qua<br /> AB, AC.<br /> a) Chứng minh rằng: AHCP nội tiếp và 3 điểm N,H,P thẳng hàng.<br /> b) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ANP lớn nhất.<br /> Bài 4 .<br /> Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = 8. Chứng minh:<br /> 2+a 2+b 2+c<br /> a+b+c<br /> ≥<br /> +<br /> +<br /> 2<br /> 2+b 2+c 2+a<br /> Bài 5 .<br /> Cho 2012 số thực a1 , a2 , ..., a2012 có tính chất tổng của 1008 số bất kì lớn hơn tổng của 1004 số<br /> còn lại. Chứng minh rằng trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương.<br /> —— Hết ——<br /> <br />