intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài 6: Hệ phương trình đại số vô tỷ - ThS. Lê Văn Đoàn

Chia sẻ: Phan Tour Ris | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
130
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 6 "Hệ phương trình đại số vô tỷ" giới thiệu đến các bạn những câu hỏi bài tập có đáp án về hệ phương trình đại số vô tỷ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để có thêm tài liệu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 6: Hệ phương trình đại số vô tỷ - ThS. Lê Văn Đoàn

  1. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài 6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỶ  I. Hệ phương trình cơ bản 1. Hệ đối xứng loại I VD 285. Giải các hệ phương trình sau:  x + xy + y = 3 2 2 a)   x + xy + y = 3 { ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ }  x + xy + y = 5 b)  2 2  x y + y x = 6 { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( 2;1) ⋅ } 1 1 1  + =− c)  x y 2 ĐS: ( x; y ) = {( −1; 2 ) ; ( 2; −1)} ⋅  x2 + y 2 = 5   x + y + x + y = 4 2 2 d)   x( x + y + 1) + y( y + 1) = 2 ĐS: ( x; y ) = {( ± ) 2; ∓ 2 ; (1; −2 ) ; ( −2;1) ⋅ }  x + y = 8 3 3 e)   x + y + 2 xy = 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 0 ) ; ( 0; 2 )} ⋅  x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17 f)   x + xy + y = 5 { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( 2;1) ⋅ }  x + y + xy = 13 2 2 g)  4 4 2 2 ĐS: ( x; y ) = {( ±3; ±1) ; ( ±1; ±3 )} ⋅  x + y + x y = 91  x + y + xy = 7 2 2 h)  4 4 2 2 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅  x + y + x y = 21  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41 i)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅  xy( x + y ) = 10 VD 286. Giải các hệ phương trình sau:  1 1 x + y + x + y = 5   3 ± 5   3 ± 5   a)  ĐS: ( x; y ) =  1; ; ;1   ⋅  2   2   x2 + y 2 + 1 + 1 = 9     x2 y 2  2 2  1  ( x + y )  1 + 2 2  = 49   x y   7 ±3 5  7 ±3 5   b)  ĐS: ( x; y ) =  −1; ; ; −1   ⋅     ( x + y)  1 + 1  = 5  2   2        xy  ( x + y )(1 + xy) = 18 xy c)  2 2 2 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) ; (7 ± 4 )} 3; 2 ± 3 ⋅  x 2 + y 2 + x + y = 4 xy  d)  1 1 y x { ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ }  x + y + x2 + y 2 = 4   y x ( x + y )  +  = 4 e)  x y { ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ }  2 2 4 4 2 2 ( x + y )( x + y ) = 4 x y Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 230 -
  2. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 287. Giải các hệ phương trình sau:  x y + y x = 6 a)  2 2 { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 4 ) ; ( 4;1) ⋅ }  x y + y x = 20 2( x + y ) = 3( 3 x 2 y + 3 xy 2 ) b)  3 { ĐS: ( x; y ) = ( 64; 8 ) ; ( 8; 64 ) ⋅ }  x + 3 y = 6  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 c)  ĐS: ( x; y ) = {( 4; 4 )} ⋅  x + y = 4  x + y − xy = 3 d)  ĐS: ( x; y ) = {( 3; 3 )} ⋅  x + 1 + y + 1 = 4  x 2 − 1 + y 2 − 1 = xy + 2  e)  1  2 + 2 =1 1 ĐS: ( x; y ) = {( ± 2; ± 2 )} ⋅ x y  x − 1 + y − 1 = 3 f)  ĐS: ( x; y ) = {( 2; 5 ) ; ( 5; 2 )} ⋅  x + y = 5 + ( x − 1)( y − 1)  x 2 + y 2 + xy + 3 xy = 4 3 g)  ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 )} ⋅  x + y = 2 2 2. Hệ đối xứng loại II VD 288. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 − 4 x = 3 y   1 ± 13 1 ∓ 13   a)  2 ĐS: ( 0; 0 ) ; ( 7; 7 ) ;  ;  ⋅  y − 4 y = 3 x  2 2      x 2 − xy = 3(2 + y)   3 + 3 3 − 3   b)  2 ĐS: ( x; y ) = ( −2; −2 ) ;  − ;  ⋅  y − xy = 3(2 + x)  2 2      xy + x 2 = 1 + y   1 1  c)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −  , ( a; − a − 1)  ⋅  xy + y = 1 + x   2 2  ( x − 1)( y + 6) = y( x + 1) 2 2 d)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 ) ; ( 3; 3 ) ; ( 3; 2 ) ; ( 2; 3 )} ⋅ ( y − 1)( x + 6) = x( y + 1)  x 3 + 1 = 2 y   −1 ± 5 −1 ± 5   e)  3 ĐS: ( x; y ) = (1;1) ,  ;  ⋅  y + 1 = 2 x  2 2       1 3 2 x + y = x  f)  2 y + 1 = 3 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1) , ( ± 2; ∓ 2 )} ⋅  x y (5 x − 4 y )(3x + 2 y) = 7 y − 2 x g)  { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ } (5 y − 4 x)(3 y + 2 x) = 7 x − 2 y (6 x + 4 y )( x + y − 1) = 5 y( x + 1) 2 2 2 h)  2 2 2 { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( ±1; ±1) ⋅ } (6 y + 4 x)( x + y − 1) = 5x( y + 1)  4 2 3 9  x + y − xy − 8 x = 0   9 9   1   1  i)  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ;  ;  ;  1;  ;  ;1   ⋅  y 4 + x 2 − yx 3 − 9 y = 0   8 8   2   2   8 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 231 -
  3. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 289. Giải các hệ phương trình sau:  x + 2 − y = 2 a)  ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) , ( 2; 2 )}.  y + 2 − x = 2  x + 1 + 7 − y = 4 b)  ĐS: ( x; y ) = ( 8; 8 ) .  y + 1 + 7 − x = 4  x + 5 + y − 2 = 7 c)  ĐS: ( x; y ) = (11;11) .  x − 2 + y + 5 = 7  2  x +3 +2 x = 3+ y d)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  y 2 + 3 + 2 y = 3 + x  2 x + 3 + 4 − y = 4   11 11   e)  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) ,  ;   ⋅  2 y + 3 + 4 − x = 4   9 9     5 − 1   2 2 x 1 + y + y 1 + x = 2  5 −1 f)  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  x 1 + x 2 + y 1 + y 2 = 2  2 2    2 2 2  x (1 − x )(1 − y ) = x − y g)  { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ }  y (1 − y 2 )(1 − x 2 ) = y − x 2 VD 290. Giải các hệ phương trình sau: ( x + y )(3xy − 4 x ) = −2  2 2    2 − 1  2 −1  a)  ĐS: ( x; y ) =  2  3  ;  3  ⋅     ( x + y )(3xy + 4 y ) = 2   3   3      x 4 + 8 y = 4( x 3 − 1) − 16 3 b)  4 3  y + 8 x = 4( y − 1) + 16 3 ( ĐS: ( x; y ) = 1 ± 3;1 ± 3 . )  x 2 + x + y + 1 + x + y 2 + x + y + 1 + y = 18  c)  ĐS: ( x; y ) = ( 4; 4 ) .  x 2 + x + y + 1 − x + y 2 + x + y + 1 − y = 2  12   1 −  x =2  y + 3x  d)   1 + 12  y = 6 ( ĐS: ( x; y ) = 4 + 2 3;12 + 6 3 . )   y + 3x     1  2 x  1 + 2  = 3   x + y2    1 1  e)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ; −   ⋅ 2 y  1 − 1    2 2    x2 =1 + y 2     78 y x + 2 = 20  x + y2 f)  ĐS: ( x; y ) = {( 2; 3) ; (18;12 )} ⋅  y + 78 x = 15  x2 + y 2 2 x 2 + 2 − x + y − 1 − 34 = x + 2 xy g)  ĐS: ( x; y ) = ( −2; 5 ) . 2 2 y + 2 − x + y − 1 − 34 = 2 y − xy Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 232 -
  4. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3. Hệ đẳng cấp và phương pháp thế tạo phương trình bậc cao hoặc phương trình đẳng cấp VD 291. Giải các hệ phương trình sau: 3 x − 2 xy = 16 2 a)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −2;1) ; ( 2; −1)} ⋅  x − 3 xy − 2 y = 8  x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 9  3 17 8 17   b)  2 ĐS: ( x; y ) =  ± ;∓  ⋅ 2 2 x + 2 xy + y = 2  17 17      x − 3 xy + y = −1 2 2 c)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1)} ⋅  x + 2 xy − 2 y = 1  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9   5 1   d)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ±2 ) ,  ± ;±  ⋅ 2 x − 13 xy + 15 y = 0   2 2   3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11   4 3 5 3   e)  2 ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±2 ) ;  ± ;∓  ⋅ 2  x + 2 xy + 3 y = 17  3 3      x − 2 xy + 3 y = 9 2 2   3 2 3 2   f)  2 ĐS: ( x; y ) = ( ±3; 0 ) ;  ± ;±  ⋅ 2 2 x − 13 xy + 15 y = 18  2 2     VD 292. Giải các hệ phương trình sau: 14 x 2 − 21y 2 + 22 x − 39 y = 0 a)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) , ( −3;1)} ⋅ 35 x + 28 y + 111x − 10 y = 0 3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 b)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −3; −1) , ( 3;1)} ⋅ 5 x − 9 xy − 3 y = 15 2 x − x( y − 1) + y = 3 y   7 3  2 2 c)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( ±1;1) ;  ;   ⋅  x + xy − 3 y = x − 2 y   43 43   14 x 2 − 21y 2 − 6 x + 45 y − 14 = 0 d)  2 2 { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) , ( −2; 3 ) ⋅} 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0 VD 293. Giải các hệ phương trình sau:  x 3 − 2 xy + 5 y = 7   6 ± 2 33 −153 ∓ 44 23   a)  2 ĐS: ( 1; 2 ) ;  ;  ⋅ 3 x − 2 x + y = 3  7 49       xy = x + 7 y + 1   1  b)  2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 3; −1) ;  1; −   ⋅  x y = 10 y − 1   3  2 x + y( x + 1) = 4 x 3 2 c)  4 6 2 ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) ; (1;1) ; ( 2; 2 )} ⋅ 5 x − 4 x = y  x 2 ( y + 1)( y + x + 1) = 3x 2 − 4 x + 1   5  d)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ;  −2; −   ⋅  x( y + 1) + 1 = x   2   x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9  17  e)  2 ĐS: ( x; y ) =  −4;  ⋅  x + 2 xy = 6 x + 6  4   5  x − y + 1 = 2  3 f)  ĐS: ( x; y ) =  3; −  ⋅  y + 2( x − 3) x + 1 = − 3  4  4 VD 294. Giải các hệ phương trình sau: Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 233 -
  5. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 5 x 2 − 3 y = x − 3xy  1 1   a)  3 2 2 3 ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −1;1)  ⋅  x − x = y − 3 y  2 2    x 3 + y 3 − xy 2 = 1  1 1  b)  4 4 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ; ( 1;1) ;  ; ⋅ 4 x + y = 4 x + y 3 3  25 25   x 3 − 2 y 3 = x + 4 y c)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2;1) ; ( −2; −1)} ⋅ 13x − 41xy + 21y = −9  x 3 + y 3 = 1  1 1   3 3 2 3 3   d)  2 ĐS: ( x; y ) =  3 ; 3  ,  ;  ⋅ 2 3  3    x y + 2 xy + y = 2  2 2   3  x 3 − 8 x = y 3 + 2 y  6 6  e)  2 ĐS: ( ±1; −3 ) ;  ;4 ⋅ 2  x − 3 y = 6  13 13    x 3 + 4 y = y 3 + 16 x f)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 0; ±2 ) ; (1; −3 ) ; ( −1; 3 )} ⋅ 1 + y = 5(1 + x ) 2 x 3 − 9 y 3 = ( x − y )(2 xy + 3) g)  2 2 ĐS: ( x; y) = {( ±2; ±1)} ⋅  x − xy + y = 3 ( x + y)( x + y ) = 15 2 2 h)  4  y + y = x ĐS: ( x; y ) = {( 2;1) , ( 2 3 )} 3; − 3 3 ⋅  x + y = 2 2 2 i)  2 2 5 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1)} ⋅ ( x + y )(4 − x y − 2 xy ) = 2 y II. Biến đổi một phương trình về tích số, kết hợp với phương trình còn lại 1. Sử dụng tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai đưa 1 phương trình về tích VD 295. Giải các hệ phương trình sau:  x + xy + y = 7 2 2 a)  2 2 (CĐ – 2014) ĐS: ( x; y ) = {( ±2; ±1) ; ( 2; −3 ) ; ( −3; 2 )} ⋅  x − xy − 2 y = − x + 2 y  xy + x − 2 = 0   −1 ± 5   b)  3 (D – 2012) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ± 5  ⋅ 2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0  2      5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y) = 0   2 2 2   c)  (A – 2011) ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±1) ,  ± ;±  ⋅ 2 2  xy( x + y ) + 2 = ( x + y) 2  5     5  −13 ∓ 157  2 y 2 + xy − x 2 = 0  −13 ± 157 ;  d)  2 ĐS:  2  2 ⋅  x − xy − y + 3 x + 7 y + 3 = 0  ( 1; −1) , ( 3; −3 ) 2 x 2 + xy − y 2 = 5x − y − 2   4 13   e)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −   ⋅  x + y + x + y = 4   5 5   x + 5x − xy = 3 y − 6  −45 ± 3 233   1 9   2 f)  2 ĐS:  −3;  , ( −1;1) ,  ;   ⋅ 2 4 x y − 3 xy + 2 y = 9  4   4 4     2 x + 2 x y − xy = y − x − y 3 2 2   1 ± 17   g)  3 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ,  ;10 ± 17   ⋅ 2 2 x − xy + x = 4  2      2 x 2 − 8 xy 2 − xy + 4 y 3 = 0  1   3 ± 19 3 ± 19   h)  ĐS: ( x; y ) =  ;1  ,  ;  ⋅ 3 2   16 x + 2 x − 8 y + 5 = 0  2   4 2   Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 234 -
  6. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x 3 − 3x 2 + x + 3 y = xy + 3   1 5  i)  2 2 ĐS: ( 3; −4 ) , ( 3; 9 ) , ( −1; 2 ) ,  − ;   ⋅ 2 y − 3 xy − 9 x + 3 x = y   2 4  VD 296. Giải các hệ phương trình sau:  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 a)  (D – 2008) ĐS: ( x; y ) = {( 2; 5 )} ⋅  x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y  y 4 − 2 xy 2 + 7 y 2 = − x 2 + 7 x + 8 b)  2 ĐS: ( x; y) = {(3; −2),(3; 2)} ⋅  3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 c)  ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) .  x + y = 1  x − 2 y − xy = 0 d)   x − 1 − 2 y − 1 = 1 HD: ( 1) ⇔ ( x+ y )( x − 2 y = 0. )  x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0 e)   x − y + x + y = 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 ) , ( 32 − 8 15; 8 − 2 15 )} ⋅  x 2 + 6 y = y − x − 2 y   8 4  f)  ĐS: ( x; y ) = ( 12; −2 ) ,  ;   ⋅    3 9   x + x − 2y = x + 3y − 2  y 2 + ( y − 3) x − 4 y = −3 g)  3 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 2 ) .  x − 2 + 2 − y = 3 3 y 2 + 1 + 2 y( x + 1) = 4 y x 2 + 2 y + 1   415 17   h)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅  y( y − x) = 3 − 3 y   51 3    x 2 + y 2 = 5 i)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; 2 ) .  y − 1( x + y − 1) = ( y − 2) x + y  x 3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy j)  2 3  2 x − 2 y − 1 + 3 y − 14 = x − 2 ( ĐS: ( x; y ) = 1 ± 2; 1 ± 2 . ) 2 x( y + 1) − 2 y( y − 1) = 3  2 k)  2  x +y −x= 4+y HD: ( 2 ) ⇔ ( x2 + y − x ) = 4.  2 x2 + y  2 2 2 xy x + y + =1 l)  x +y { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) , ( −2; 3 ) . }  x + y = x2 − y   x 3 − 3x 2 y − 4 x 2 + 4 y 3 + 16 xy − 16 y 2 = 0   3 3   m)  ĐS: ( x; y ) = ( 8; 4 ) ,  8 − ; − 4  ⋅  3 3   x − 2 y + x + y = 2 3     ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 3) = 3( x 2 + y 2 ) + 2 n)  2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 0 ) , ( −1; −3 )} ⋅ 4 x + 2 + 16 − 3 y = x + 8  x + y = 2  22 + 8 6 22 − 8 6  o)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ⋅   4 x + y = 5 ( 2 x − y ) xy 2  25 25   y − xy + 2 y − 3x − 3 = 0 2 p)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 4; 5 ) .  2 x − 3 = ( y + 2015)(5 − y ) + y Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 235 -
  7. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x − y )( x + y + y 2 ) = x( y + 1)  q)  ( y + 2)2 ĐS: ( x; y) = (2; 3). 3  x + 4x = 1 +  3 2. Liên hợp đưa 1 phương trình về tích số VD 297. Giải các hệ phương trình sau: ( x + x 2 + 4)( y + y 2 + 1) = 2   1  a)  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ;  −1;   ⋅ 6 y 2 − 5 y + 1 = 3 x 3 + 1   2   y−3  x+y + x+3 = b)  x ĐS: ( x; y ) = ( 1; 8 ) .  x+y + x =x+3   2 x + y − 1 − x + 2 y − 2 = y − x − 1 c)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 3 ) . 2 2  x + y − 2 xy + 4 x − 3 y = 0  x + 2 y + 3 = y + 2 x + 1 + 1  1 ± 13 −1 ± 13  d)  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 3 2 2  2 2   3 x + 7 x + 11( y + 1) + 5 + x − y − 4 = 5x + 7    x + y + 1 + 1 = 4( x + y )2 + 3( x + y)  2 1 e)  5 ĐS: ( x; y ) =  ; −  ⋅  2 x + 2 y + 2x − y = 3 6  2  x 3 + x 2 + 2 y + 1 = x 2 y + y + 1 f)  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) . ( x + y − 1) y + 1 = 10  x + 2 y + 2 x − y + x 2 y = x + 3 y + y 2 x g)  2 2 2(1 − y) x + 2 y − 1 = y − 2 x − 1 ĐS: ( x; y ) = ( 6 − 1; 6 − 1 .)   xy − ( x − y)( xy − 2) + x = y + y h)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . ( x + 1)  y + xy + x(1 − x)  = 4   x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y i)  2 2 { (A – 2013) ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 2;1) .}  x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0 (1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y   1 + 5 5 − 1   j)  (B.14) ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  ;  ⋅ 2  2 2    2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3   (1 − y ) x + y + x + 3 y = 6 + ( x + y − 4) y  k)  5 ĐS: ( x ; y ) = ( 3;1) .  x − 2y − x + 1 =  x− y−7  ( x + 1) y + ( x − y + 1) y + x + 1 = y + y  3 5 l)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  3x − 2 − y = 2 x − y − 2 2 2 2  x 2 + 2( y − 1)( x − y ) + xy = 2 y   3 3  m)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ;   ⋅  x(2 x + 2 y − 5) + y( y − 3) + 3 = 0   5 5   4 x + (4 x − 9)( x − y) + xy = 3 y 2 n)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 4 ( x + 2)( y + 2 x) = 3( x + 3) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 236 -
  8. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x( x + y ) + x + y = 2 y 2 − 2 y o)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 2 2  x y − 5 x + 7 x + 7 y − 4 = 6 3 xy − x + 1  x 2 + y 2 + 2 2 x 2 − 3 xy + 2 y 2 = x + y + 2 xy p)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  x + y + x − y = 3 x − 4 y + 4 ( x + 1) y 2 + y + 2 + ( y − 1) x 2 + x + 1 = x + y  1 1   7 1   q)  ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −  ; ( −1; −2 )  ⋅ 2 2 ( x + x) x − y + 3 = 2 x + x + y + 1  2 2   8 8   ( x − y − 1) x + 2 = 2 x − y + (1 − x) x − y  r)   x + 2y + 1  ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) .  x + y + 3 = 2  1 − x +  2 x + y     2 x + 2 y = 4 s)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  2 x + 5 + 2 y + 5 = 6 VD 298. Giải các hệ phương trình sau:  2 y  x −x−y = 3 5 3 a)  x−y ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  2 2 2 2 2( x + y ) − 3 2 x − 1 = 11 3 3 2 2 y2  x + x + y + xy = b)  x + xy + 1 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 3 ) .  2 ( x − 1) x + 1 − x + x − y + y − 2 + 4 x − 3 y  x 2 + y 2 + 8 x 2 − 12 xy + 8 y 2 = x + y + 2 xy c)  2 { ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . } ( y + 1) 4 x + 5 + 2( x + 5) y + 3 = 3 y + 14 x + 13  x − 3 x + 3 = 3 y − 5 − y d)  ĐS: ( x; y ) = ( 6; 6 ) . 2  x + 16( y − x) + y = 2 xy  y + 3 y 2 − 2 y + 3 x 2 + 6 = 3 x + 7 x 2 + 7 + 2   7 25   e)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −1) ;  − ;   ⋅ 2 2 3 y − 4 x − 3 y + 3x + 1 = 0   23 23    2( x 2 + y 2 ) + 2(5x − 3 y) − 4( xy − 3) + x + 1 = 3 y  f)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 4 ) .  y 2 − 4( x + y ) + 17 − x − y + 3 = 2 ( x − y + 2) x + 1 = y   3 2  g)  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  − ;   ⋅ (4 − x + 1) x + 1 = 3 y − 2 + 2 1 − x   5 5   x 2 + y 2 + 2 xy − 2 x + y − 9 = 0 h)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) .  2 x + 8 + 2 x + 1 = 4 y − 3 y + 2 y − 1 ( x + y) x − y + 2 = x + 3 y + 2 5 1 i)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ ( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2 2 2  x = 3 y + 1 + y − x 3 − 1 j)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . (8 y − 6 x + 9) 4 x 2 + 21 + 16 x 4 − 12 x 2 + 2 x = 21 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 237 -
  9. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3. Đưa về tích số dựa vào phương pháp cộng VD 299. Giải các hệ phương trình sau:  2 2 1  x + y = 5  2 1   11 2   a)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅ 4 x 2 + 3 x − 57 = − y(3 x + 1)  5 5   5 25    25 14 x − 21y − 6 x + 45 y − 14 = 0 2 2 b)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −2; 3 ) ; (1; 2 )} ⋅ 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0  xy − 3 x = 2( y + 8) c)  2 2  x + y − 2 x − 4 y = 33 ĐS: ( x; y ) = {( −3 ± 3; −2 ∓ 3 ⋅ )} 2 x 2 + 3 xy + 2 x + y = 0  3 3 d)  2 2  x + 2 xy + 2 y + 3 x = 0  5 5 ( ĐS: ( 0; 0 ) ;  − ; −  ; −3 ± 2 2; 2 ∓ 2 ⋅ ) VD 300. Giải các hệ phương trình sau:  x − y = 35 3 3 a)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; −3 ) ; ( 3; −2 )} ⋅ 2 x + 3 y = 4 x − 9 y  x − y = 9 3 3 b)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; −1) ; (1; −2 )} ⋅ 2 x + y − 4 x + y = 0  x + y = 91 3 3 c)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 3; 4 ) ; ( 4; 3 )} ⋅ 4 x + 3 y = 16 x + 9 y  x − y − 3 y = 9 3 3 2  3 ± 33 −9 ± 33  d)  2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 2  x + y = x − 4 y  4 4    VD 301. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 y 3 + 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 a)  2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) .  x y − 2 x + y = 0  x 3 + 3 xy 2 = 6 xy − 3 x − 49 b)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −1; 5 ) ; ( −1; 3 )} .  x − 8 xy + y = 10 y − 25x − 9 2( x + y )(25 − xy ) = 4 x 2 + 17 y 2 + 105 c)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) .  x + y + 2 x − 2 y = 7 6 x y + 2 y + 35 = 0 2 3  1 5 d)  2 2 ĐS: ( x; y ) =  ± ; −  ⋅ 5 x + 5 y + 2 xy + 5x + 13 y = 0  2 2  x 3 + 3 xy 2 = −49 e)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −1; −4 ) ; ( −1; 4 )}.  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x VD 302. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 y 2 + 3 x + 3 y − 3 = 0 a)  2 2 { ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ⋅ }  x y − 4 xy − 3 y + 2 y − x + 1 = 0 3 x 2 + xy − 9 x − y 2 − 9 y = 0 b)  3 2 ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) ; ( 2; −1) ; (10;15 )} ⋅ 2 x − 20 x − x y − 20 y = 0  x − 2 xy + x + y = 0 2 c)  4 2 2 2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 2; 2 ) ; ( 1; 2 ) ⋅  x − 4 x y + 3 x + y = 0 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 238 -
  10. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III. Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình đại số – vô tỷ 1. Loại 1. Đặt hai ẩn đưa về phương trình đẳng cấp VD 303. Giải các hệ phương trình sau:  x + y + x − y = 2 y  4 a)  ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅  x + 5 y = 3  5  x 2 − 2 = 4 y y + 1 b)  2 2 2 22( y − 1) = ( x + 9)( x + 9 y ) ĐS: ( x; y ) = {( − )( 2; 0 ; 2;0 ⋅ )} ( x + 6 y + 3) xy + 3 y = y(8 y + 3x + 9) c)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 2  − x + 8 x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − 1 + 3 y + 17  x + 3 = 2 ( y + 1)(3 y − x)  d)  x+5 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 2 ) .  3y − 2 − = xy − 2 y − 2  2  2 2 8 xy x + y + = 16  x +y  24 4   e)  2 3 2 ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −8;12 )  ⋅  x + 2x = x + x − y  7 7    8y 3 3y 4 2  2. Loại 2. Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu a = x + y ; b = x − y . VD 304. Giải các hệ phương trình sau: 2 x + 2 x 2 − 2 y 2 = 7  3 1   3 1   a)  2 2 ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ;   ⋅ 2( x + y ) = 5  2 2   2 2    x 2 + 2 x + 6 − y = 1 b)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( −3; 2 ) ; (1; 2 )} ⋅  x + xy + y = 7  x + y − xy = 1   3 2 3   2 2 c)  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  ;  ⋅ 2 2  3 3    x + x + 1 = y + y − 1    2 2 3 4 xy + 4( x + y ) + =7  ( x + y)2 d)  ĐS: ( x; y) = (1; 0). 2 x + 1 = 3  x+y  2 2 5 8( x + y ) + 4 xy + = 13  ( x + y )2 e)  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) . 2 x + 1 = 1  x+y (4 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 51)( x − y)2 + 3 = 0 5± 3 5∓ 3  f)  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ (2 x − 7)( x − y) + 1 = 0  2 3    2 xy + y x 2 − y 2 x+y x−y  = +  14 2 2 g)  3 3 ĐS: ( x; y ) = ( 5; 3 ) .  x+y x−y   2  +  2  =9      Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 239 -
  11. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  4 xy  3 1   13 + 29 −9 − 29   2 ( x − y ) + =1 h)  x+y ĐS:  ; −  ;  ;  ⋅    3x + y + 4 x = (3x + y − 6)2 + 4 x + y )  2 2   4 4    1 1 1 1 3. Loại 3. Đặt ẩn phụ dạng a = x + ; b = y + hoặc a = x + ; b = y + ⋅ x y y x VD 305. Giải các hệ phương trình sau:  1 x2 + y 2  xy + + =5  3 ± 5   3 ± 5    xy xy a)  ĐS: ( x; y ) =  1; ; ;1   ⋅  2   2  ( x + y)  1 + 1  = 6         xy   2 ± 3; 7 ± 4 3 ; 7 ± 4 3; 2 ± 3 ( x + y )(1 + xy) = 18 xy b)  2  ĐS:  ( )( ⋅ ) 2 2 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ( 0; 0 ) 2 x − y − xy 2 = 2 xy(1 − x)  2 c)  2 2  1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . ( x + 2 y )  1 +  = 12   xy    1  2 ( x 2 + y 2 )  1 +  =8 d)   xy  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .   xy(2 x + y − 6) + y + 2 x = 0   3 1  125 ( x 3 + y 3 )  1 +  =   xy  4   1 1  e)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;   ⋅  2 2  1  25   2 2  ( x + y )  1 +  =   xy  2 4. Loại 4. Chia để xác định lượng đặt ẩn phụ  xy + x + 1 = 7 y   1  a)  2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  1;   ⋅  x y + xy + 1 = 13 y   3   x + y + xy = 3 x − 2 2 2 b)  2 4 2 4 4 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 3; −2 ) ; ( 2; 0 ) ; ( 3; −1) ⋅ ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x 1 + x y = 19 x  1   1  3 3 3 c)  2 2 ĐS: ( x; y ) =  ; −2  ;  − ; 3   ⋅  y + xy = −6 x  3   2   x + y + xy + 1 = 4 y 2 2 d)  2 2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( −2; 5 ) ⋅  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2  x 2 − y x + y = y − 1  −3 ± 53 11 ∓ 53   e)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2  x ( x + y − 2) + x = 5 y + 2  2 2   x 2 y 2 + 2 y 2 + 16 = 11xy   1 ± 17 1 ± 17   f)  2 ĐS: ( 4; 2 ) ; ( −2; −1) ;  ;  ⋅ 2  x + 2 y + 12 y = 3xy 2  2 2       xy + x + 2 + x 2 + x − 4 x = 0  7 g)  ĐS: ( x; y) =  3;  ⋅ 2  xy + x + 2 = x( xy + 2 + 3)  3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 240 -
  12. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 (2 x + y − 1)( x + 3 + xy + x ) = 8 x h)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 2 ( x + 3 + xy ) + xy = 2 x(6 − x)  2 2 6 x5 y ( x − 1) + 3 = 2    x +2 2 i)  ĐS: ( x; y ) =  − 1 − 5 ; − ⋅ 3 y − x = 4 x − 3 x 2 y − 9 xy 2    3 1 − 5   x + 3y  5. Loại 5. Liên hợp để tìm ra phép đặt ẩn phụ  x2 + 2 + y 2 + 3 + x + y = 5  7 1   17 13    a)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅  x 2 + 2 + y 2 + 3 − x − y = 2  6 4   20 20    2 x + 2 y = 4 b)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  2 x + 5 + 2 y + 5 = 6  x y 2 + 6 + y x 2 + 3 = 7 xy   1   2 15 2 30   c)  ĐS: ( x; y ) =  1;  ;  ;  ⋅  15    x x 2 + 3 + y y 2 + 6 = x 2 + y 2 + 2  2   15  x2 2 2  2 +2 x +1+ y = 3  y d)  ĐS: ( x; y ) = ( 0; −1) . x + y + y2 = 0  2  1 + x + x 6. Loại 6. Dựa vào định lý đảo Viét để tìm ra cách đặt ẩn phụ ( x; y ) = ( 2;1) ; ( −3;1) ; 1 ± 7 ; 2  x 2 + y 2 + xy + y = 8  ( ) a)  ĐS:    ⋅ 2  xy( y + xy + x + y ) = 12 ( x; y ) = 1 ± 3; 2 ;  3 ± 17  ( )   2     2 x 2 + xy + y = 5 b)  4 3 2  x + x y + x ( y + 1) + xy + y = 9 ( ĐS: ( x; y ) = ± 2; ±1 ± 2 . )  2 2 y3  x + xy + y + x + =2   ±1 ± 17 ∓1 ± 17   x+1 ĐS: ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ;  c)  ;  ⋅ 2  4 4  2 x + y + y = 2      x+1  y 2 + x + xy − 6 y + 1 = 0 d)  3 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) .  y x − 8 y + x y + x = 0  x 2 + xy + y 2 = 3 y − 1  −1 ± 5 5 ∓ 5  e)  3 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 2 2  x + x y = x − x + 1  2 2   2 x 2 + xy = 1   −1 ± 3  f)  9 x 2 3 xy ĐS: ( x; y ) =  ;2⋅ = 1+  2   4    2(1 − x) 2(1 − x)2 7. Loại 7. Biến đổi để xác định lượng đặt ẩn phụ  4 x + y + 2 x + y = 2  3 5 −9 a)  ĐS: ( x; y ) =  3 − 5; ⋅  2   2 x + y + x + y = 1   Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 241 -
  13. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  7 x + y − 2 x + y = 4  56 13  b)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2 x + y − 5 x + 8 = 2  5 5 (2 x − y + 2)(2 x + y) + 6 x − 3 y + 6 = 0 3  c)  ĐS: ( x; y ) =  ; 5  ⋅  2 x + 1 + y − 1 = 4 2   1  x+ + x+y−3 =3  y d)  2 x + y + 1 = 8 ĐS: {( 4 ± ) 10; 3 ∓ 10 ; ( 5; −1) ; ( 3;1) ⋅ }  y   x y + xy = 5 + x 3 e)  2 4 2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 3 ) .  x ( x y − y + 2 y) = 5 + x ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = 6 f)  2 2  x + y − 2 x − 2 y − 3 = 0 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 3 ) ; ( 3; 2 )} ⋅ ( x + x)( y + y ) = 1 2 2  −1 ± 5 −1 ± 5  g)  2 2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 2  x ( y + 1) + 2 y( x + x + 1) = 3  2 2     x + y − 1 = 6 h)  2 ĐS: ( x; y ) = {( 2;17 ) ; ( 3;10 )} ⋅  x + 2 x + y + 2( x + 1) y − 1 = 29  2 x  y   2 − 1   2 − 9  = 18  y  x  1 1 i)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  y 2x 9 3  9x + x + 2 y + y = 4   xy + x + y = 3  j)  1 1 2 { ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( −3; −3 ) ⋅ }  x2 + 2 x + y 2 + 2 y = 3   x  2  y  2  k)  y + 1   x + 1  + =1 { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 0;1) ⋅ }  2 2 1 + xy = x + y x y 1 1 1  + − = 2 + 2 −1  y x xy x y l)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  x + y = x − xy + y x + 1 y + 1 xy   x − 4 x + 2 y − 6 2.y = −9  3 2  5 2   4 2 2 m)  ĐS: ( x; y) =  ±2;  ;  ± 2;  ⋅ 2 2  2   2    2.x y + x + 2 2.y = 22   2( x − 1)  x+y−2 + x+y =3   5 1  n)  ĐS: ( x; y ) = ( 4; 2 ) ;  ;   ⋅    2 2  ( x + y) x − y + 2 = 6 x + y − 2 5 y( xy − 1) = 2( y 2 + 1) o)  2 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) . 2 x( xy − 1) = x + 1  2 x 2 − 5 xy − y 2 = 1 3 2 2 p)  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 2 2  2 2   y( xy − 2 y + 4 y − xy ) = 1  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 242 -
  14. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 IV. Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vô tỷ 1. Sử dụng phương pháp hàm số VD 306. Giải các hệ phương trình sau: ( x 2 + 1 + x)( y 2 + 1 + y) = 1   1± 7 1± 7  a)  4 3x2 + 2 x − 2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 9 2  3 3   x + =   y2 y 8 x 3 + 2 y = y + 5 x + 2 b)  ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) . 2 2 (3 x + 1 + 9 x )( y + 1 + y ) = 1  x 3 − 3x 2 + 6 x − 4 = y 3 + 3 y c)  ĐS: ( x; y ) = ( 4; 3 ) .  x − 3 + y + 1 = 3  x 3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 d)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 5; −4 ) .  x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y  x 3 − 3x 2 + 2 = y 3 + 3 y 2  e)  ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) . 3 x − 2 = y 2 + 8 y  x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x = 2 f)  2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) .  x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0  x 3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 g)  2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) .  2 4 − x − 3 3 + 2 y − y − 3 x + 2 = 0  x 3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y   1 3   3 1   h)  2 2 1 (A – 2012) ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −   ⋅ x + y − x + y =  2 2   2 2    2  x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 i)  2 2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) .  x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0 VD 307. Giải các hệ phương trình sau: (2 x + 2) 2 x − 1 = y 3 + 3 y a)  2  y − xy + 5 = 5 x − 6 y ( ĐS: ( x; y ) = 2 + 2;1 + 2 . )  2x − x2 = 2 1 − y2 + 2x − 1  b)  { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( 1; −1) ⋅  x 3 − 3x 2 + 2 + ( y 2 + 2) 1 − y 2 = 0 (4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 1  c)  (A – 2010) ĐS: ( x; y ) =  ; 7  ⋅ 2 2  4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 2  2 y 3 + 12 y 2 + 25 y + 18 = (2 x + 9) x + 4 d)  ĐS: ( x; y ) = ( 5;1) . 2 2  3x + 1 + 3 x − 14 x − 8 = 6 − 4 y − y  x 3 + 5 x + ( x 2 − 2 y + 6) x 3 − 2 y + 1 = 0   1 e)  1 ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅ 3 2 8 x − 4 x − 3 x = 3 y −  2  2 2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x f)  2 2 2  9 − 4 y = 2 x + 6 y − 7 ( ĐS: ( x; y ) = 1 − 2; ± 4 2 . ) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 243 -
  15. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x + 1) x + 2 + 3 x + 2 = y 3 + 3 y 2 + 5 y + 3 g)  3 2 2  x + 2 x + x − 7 y − 14 y + 19 = 3 3 9( y + 1) 2 ( ĐS: ( x; y ) = 1; 3 − 1 . ) (23 − 3x) 7 − x = (20 − 3 y ) 6 − y h)  ĐS: ( x; y ) = ( 5; 4 ) . 2  2 x + y + 2 − −3x + 2 y + 8 = −3 x + 14 x + 8  x + 2 x = 5 − 2 y 3 2   5  i)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)( −1; 2 ) ;  −2;   ⋅ (15 − 2 x) 6 − x − (4 y + 9) 2 y + 3 = 0   2  (53 − 5x) 10 − x + (5 y − 48) 9 − y = 0 j)  ĐS: ( x; y ) = ( 9; 8 ) . 2  2 x − y + 6 + x − 2 x − 66 = y − 2 x + 11 (4 x + 2)(1 + x 2 + x + 1) + 3 y(2 + 9 y 2 + 3) = 0  1 k)  ĐS: ( x; y ) =  −1;  ⋅ 3 4 x − 3 y + 5 + 3 1 − 3 y = 0  3 (18 x + 9) x + x + 1 = y 4 y + 27  45 ± 24 3  2 2 l)  ĐS: ( x; y ) =  7 ± 4 3; ⋅  2  (2 y + 3)2 = 24 x (2 y − 9)   VD 308. Giải các hệ phương trình sau:  y 3 = 2( 2 x 3 + 2 x − y)  9   a)  ĐS: ( x; y) =  ; 3  ,(2 + 3;1 + 3)  ⋅  y( y − x − 2) = 3 − 3 x  2    x + 1 + y − 3 + x − y = 2 b)  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 4 ) . 2 2  x − y + 1 = 2( y − x + 1 − x)  x+ y +3 y −7 x = 4  c)  { ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 9 ) ⋅ } (2 y − 1) − y xy = (2 x − 1) − x xy 2 2 2 y + 1 − 2( x + y ) = x − y − 2 d)  ĐS: ( x; y ) = ( 4; 2 ) . 2 3 3 y − 2 x + 6 − y − 3 = x + 1  x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y e)  2 (A – 2013) { ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 2;1) ⋅ }  x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0 2  x + 3 + 4 x − 2 − 4 y 4 + 5 = y f)  2 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 0 ) ; ( 3;1)} ⋅  x + 2 x( y − 2) + y − 8 y + 4 = 0  x 2 + 2 y 2 = 2 x − 4 y + 3   5 2  g)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅ 2 2 2  3 x − 2 x − 5 + 2 x x + 1 = 2( y + 1) y + 2 y + 2   3 3   x = ( y 2 − 1)( y + 2) + 1  3 ± 13 −1 ± 13  h)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; 0 ) ;  ; ⋅ 2 2 2 2  xy( xy − 1) + x y = ( x + 1)( x + x + 1)  2 2     x 3 − 8 y 3 − 3x 2 + 12 y 2 + 6 x − 12 y = 2 y − 1 − x − 1 3+2 2  i)  ĐS: ( x; y ) =  ;3 + 2 2 ⋅ 2  2  (2 xy + 1) 2 x = 6 y x + 4 y + 1   VD 309. Giải các hệ phương trình sau:  x 3 + xy 2 = y 6 + y 4 a)  2  3x + 1 + y + 3 = 4 { ( )( ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; 33; − 33 ; 33; 33 ⋅ )} 2 x 2 y + y 3 = x6 + 2 x 4 b)  ( x + 2) y + 1 = ( x + 1) 2 ĐS: ( x; y ) = {( )( 3; 3 ; − 3; 3 ⋅ )} Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 244 -
  16. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x11 + xy 10 = y 22 + y12  16 5 + 89  c)  ĐS: ( x; y ) =  ;± ⋅ 4 4 2 2 7 y + 13 x + 8 = 2 y 3 x(3x + 3 y − 1)  89 − 5 2     y 3 (3 x 2 − 4 x − 23) + 8 y = 8  2 d)  2 3 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  y ( x + 10 x + 27) − 6 y = 8  3  2 x+y  x (1 + 4 x) = y     1  e)   2  ĐS: ( x; y ) = ( 1; 4 ) ;  ;1   ⋅    2  3 2 x − 1 + x 5 − y = y  y 3 (4 x 2 + 1) + 2( y 2 + 1) y = 6 1  f)  ĐS: ( x; y ) =  ;1  ⋅ 2 2  y x(2 + 2 4 x + 1) = y + y + 1 2 2   x x 2 + y + y = x 4 + x 3 + x  25 25  g)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  x + x + x − 1 + y( x − 1) = 4, 5  16 16  4 1 + 2 x2 y − 1 = 3x + 2 1 − 2x 2 y + 1 − x2  3 5    h)  ĐS: ( x; y ) =  − ; −  ; ( 0; y ) , ∀y ∈ ℝ  ⋅ 2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x 3 y 4 y 2 + 1  5 6   2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 1 = 2 x 3 (2 − y) 3 − 2 y   111  i)  ĐS: ( x; y ) =  7; ⋅  x + 2 = 3 14 − x 3 − 2 y + 1  98   x3 x + = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1)  1+ 5  j)  x+1 ĐS: ( x; y ) =  ;0⋅  2   x y + 1 − 2x + x + 1 = 0     2 2 2 4 x2 + 1  2 x + 3 = (4 x − 2 yx ) 3 − 2 y +  5 −1 3+ 5   x k)  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ 3 2 3  2 4   2 − 3 − 2y = 2x + x + x + 2   2x + 1   3  2 2  2( x − y ) + 2 ⋅ 1 +  = x + 2 xy + y − 4 l)   2( x − y )  ĐS: ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( 2;1)} ⋅  2 2  3 x + 3 y + 5 = 10 xy VD 310. Giải các hệ phương trình sau:  2 1 3x + 4 x + 3y + 1 = y − y + a)  x+1 ĐS: ( x; y ) = {( 8; 3) , ( 3; 2 )} ⋅  9y − 2 + 3 7 x + 2y + 2 = 2y + 3   2 + 2 4y2 + 1 1  =  1 b)  x + x − 2 x + 2 y( x − 1)2 2 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  2 2  2  4 y x − 1 − x − 4 y + 3 x − 3 = 0  2 4 2 y − 9 y − + 2 = 0  1   4   c)  x ĐS: ( x; y ) =  − ; 2  ;  − ;1   ⋅  4 x + 1 + xy y 2 + 4 = 0  2   5     2( x − 2) x + 6 = 6 − y d)  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 0 ) . 2 ( x − 2) y + 2 = x − 4 x + 5. y + 1 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 245 -
  17. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  2x + 1 x2 + x + 1  =  2y y2 + 3 e)  ĐS: ( x; y) = {( 2; 5) ; ( 3; 7 )}.  19 1 2  3x − 5 + 2 3 ( y − 1) − 30 = ( y − 1) − 7 x + 11  2 2  2 2  2 x + y + 1 + 2 7 x + 12 y + 8 = (8 y − y ) + y + 5 3 f)  5 { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ } (2 x − 1) x + y = (6 − x − y) 2 − x  ( x + y) x 2 − 4 x + 5 + ( x − 2) x 2 + 2 xy + y 2 + 1 = 0   2 ± 10 4 ∓ 10   g)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;  ⋅ 2 2 2 2  6 3   x − y( x − y ) = 2(1 − x + y )     VD 311. Giải các hệ phương trình sau:  x + x 2 − 2 x + 5 = 3 y + y 2 + 4  3 1   3 1   a)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅ 2 2  x − y − 3x + 3 y + 1 = 0  2 2   4 4    3 x 2 − 2 x − 5 + 2 x x 2 + 1 = 2( y + 1) y 2 + 2 y + 2   5 2  b)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅ 2 2  x + 2 y = 2 x − 4 y + 3   3 3   y 3 + 3 y 2 + y + 4 x 2 − 22 x + 21 = (2 x + 1) 2 x − 1 c)  2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 5; 2 ) ⋅  2 x − 11x + 9 = 2 y 16 3 y + 4 = 85 − 2 x 5  d)  ĐS: ( x; y ) =  ; 7  ⋅ 3 16( x − y) + 6 x(3 − 4 x) = 6 3 y + 1 + 21 2    2  2  8 y + 24 y + 18 + 2 2 + 2 y 2 + 3 2   x + 2 − x  = 2  5 e)  ĐS: ( x; y ) =  1 ± 5; −1 ± ⋅  2   x 2 − 2 y − 6 = 8 y − 17    xy + 2 = y x 2 + 2  1  f)  ĐS: ( x; y ) =  − ;1  ⋅  y + 2( x + 1) x + 2 x + 3 = 2 x − 4 x 2 2 2  2  ( x 2 + 1 − 3x 2 y + 2)( 4 y 2 + 1 + 1) = 8 x 2 y 3  1 g)  ĐS: ( x; y ) =  4;  ⋅ 2  x y − x + 2 = 0  8 2. Sử dụng phương pháp bất đẳng thức VD 312. Giải các hệ phương trình sau:  2 x 2 xy + x 3 + y 3 = 4 x 2 y 19 + 37 7 − 13 a)  ĐS: x = y = ;x = y = ⋅ 2  y + x = −2 x + 14 y − 9 18 2  x 2 − y 2 + y 2 − x 2 = 2   2 2 2   b)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅ 2 2 3  5 5    5 x y − 4 xy + 3 y − 2 x − 2 y = 0   4 x4 − 8 x2 y + 4 y 3 + 2 − 1 = 0   2 2 c)  x y 1 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅ + =  2 2   2 2    1− x 1− y (1 − x )(1 − y 2 ) 2  (12 − y) x 2 + y(12 − x 2 ) = 12 d)  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) .  3x − 5 + 2 3 19 x − 30 = 35 − 2 y − 7 x  x 12 − y + y(12 − x ) = 12 2 e)  (A – 2014) ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) . 3  x − 8 x − 1 = 2 y − 2 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 246 -
  18. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  5x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3( x + y ) f)  { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ }  2 x + y + 1 + 2 3 7 x + 12 y + 8 = 2 xy + y + 5  x 2 + xy + 2 y 2 + y 2 + xy + 2 x 2 = 2( x + y )   22 22   g)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;   ⋅ (8 y − 6) x − 1 = (2 + x − 2)( y + 4 y − 2 + 3)   9 9   x2 + y 2 x 2 + xy + y 2  + = x+ y h)  2 3 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) .   x 2 xy + 5 x + 3 = 4 xy − 5 x − 3  4 x2 + y 2 4 x 2 + 2 xy + y 2  + = 2x + y i)  2 3 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 6 ) .  3 5 x + 1 − 2 7 x + 6 = 4  x y 2 xy  + = j)  y + 1 x + 1 xy + 1 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 ) ; ( 3; 3 )} ⋅  3 2  3x − 5 + 2 19 x − 30 = 2 x − 7 x + 11  y 3 + 5 x 2 + 6 x = ( x + 2)( 2 y + 2 + 5 − x )  k)   1 1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . ( x + y )  + =2    x + 3 y 3 x + y   xy + 6 y x − 1 + 12 y = 4   1 l)  xy 1 2 x ĐS: ( x; y ) =  10;  ⋅  1 + y + xy + y =  10   x+ y  1 1 2  + =  2 2 1 + 2 xy  9 ± 73 9 ± 73  m)  1 + 2 x 1 + 2y (VMO – 09) ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  36 36   2   x(1 − 2 x) + y(1 − 2 y ) = 9 ( x + 7 y ) x + ( y + 7 x) y = 8 2 xy( x + y ) n)  2(1 − y) x 2 + 2 x − 1 = y 2 − 2 x − 1 ĐS: ( x; y ) = ( 6 − 1; 6 − 1 . ) ( x + 1) x + 2 + 3 x + 2 = y 3 + 3 y 2 + 5 y + 3 o)  3 2 2  x + 2 x + x − 7 y − 14 y + 19 = 3 3 9( y + 1) 2 ( ĐS: ( x; y ) = 1; 3 − 1 . )  2 y 3 − ( x + 4) y 2 + 8 y + x 2 − 4 x = 0  1 1 p)  1 − x 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  + x + 2 y + 3 = 4( x − 1)2 + 8 y − 2 4  2 2 VD 313. Giải các hệ phương trình sau:  9 − (1 − x 2 y)2 = x 4 + y 4 + 1  a)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  4 + ( x − y)2 = 2 x 3 y 2 + x 4 − x6  2 xy x + 3 2 = x2 + y  x − 2 x + 9 b)  2 xy { ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ } y + = y2 + x  3 2 y − 2y + 9  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 247 -
  19. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  y  1  x +  xy +  = 4 y c)  x  x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  2 ( x − 1) y + x( y − 1) = 0 ( x − 1) y + ( y − 1) x = 2 xy d)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  x y − 1 + y x − 1 = xy  x2 y2 1  + =   1 1  e)  ( y + 1)2 ( x + 1)2 2 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −   ⋅    3 3   x + y + 1 = 3 xy  x 2 + 2 x − 2 = − y 2 − 4 y − 2 f)  ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) . 6 x − y − 11 + 10 − 4 x − 2 x 2 = 0 2 x + y 2 + y + 3 − 3 y = x + 2 g)  ĐS: ( x; y ) = ( −1;1) .  y 3 + y 2 − 3 y − 5 = 3 x − 3 x + 2  2 1 2  2 − x + 2 − 2 = 1+ y  x h)  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . x + 1 = 2 2 − y  x ( )  2 x + 2 4 6 − x − y 2 = 2 2 i)  4  2 x + 2 6 − x + 2 2 y = 8 + 2 ( ĐS: ( x; y ) = 2; 2 . ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BT 448. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 − 2 xy + x + y = 0  x 3 + 3 xy 2 + 49 = 0 a)  4 2 2 2 b)  2 2  x − 4 x y + 3 x + y = 0  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x  x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2 2 x 2 y + 3xy = 4 x 2 + 9 y c)  2 2 d)  2 2 x − y − 2 y − 2 = 0 7 y + 6 = 2 x + 9 x 8 x 3 − 1 + 6 xy 2 = y 12 x 2 + y 2 ( ) ( )  x − x − y − 1 = 1  e)  2 f)  ( )( 2 2  x + y − 4 x x + y − 2 x − 5 = 14 ) 2 2  y + x + 2 y x − y x = 0  x + 2 y − x − 2 y = 2  7 x + y − 2 x + y = 4 g)  h)  3 2 2  x + 3 + x − 4 y = 5 2 2 x + y − 5 x + 8 = 2  x ( x + y + 1) − 3 = 0 16 x 3 y 3 − 9 y 3 = ( 2 xy − y ) 4 xy 2 + 3 i)   j)  ( ) 2 5 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 2 2 2 2  4 x y − 2 xy + y = 3  x  x 3 + y 3 = 1  x 3 − 2 y 3 = x + 4 y k)  2 2 3 l)  2 2  x y + 2 xy + y = 2 13x − 41xy + 21y = −9  x 2 + 2 y 2 = xy + 2 y  x 3 − xy 2 + y 3 = 1 m)  3 2 2 2 n)  4 4 2 x + 3xy = 2 y + 3x y 4 x − y = 4 x − y BT 449. Giải các hệ phương trình sau: 2 y + xy − x = 0  x 2 + 2 y 2 − 3xy + x − y = 0 2 2 a)  2 2 b)  2 2  x − xy − y + 3 x + 7 y + 3 = 0  x − 3 y + 4 y − 1 = 0 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 248 -
  20. www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2 x 3 + 2 x 2 y − xy = y 2 − x − y  x 2 − 2 y 2 + xy + x − y = 0 c)  3 2 d)  3 3 2 2 2 x − xy + x = 4  x − y + 2 x y + y = −1  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y = 2 e)  f)  2  x + y = 1 8 1 − 2 x + y − 9 = 0 2 x 2 − 8 xy 2 − xy + 4 y 3 = 0 2 x 2 + xy − y 2 = 5x − y − 2 g)  3 2 h)  2 2 16 x + 2 x − 8 y + 5 = 0  x + y + x + y = 4  x − 3 x + x + 3 y = xy + 3  x + 5x − xy = 3 y − 6 3 2 2 i)  2 2 j)  2 2 2 y − 3xy − 9 x + 3 x = y 4 x y − 3 xy + 2 y = 9  y 2 + ( y − 3 ) x − 4 y = −3  x 3 + 2 y 2 + y = x 2 y + 2 xy + x k)  l)  3 2 2  x − 2 + 2 − y = 3  5 x − 2 y − 2 + 3 y − 2 x − 4 = 4  y2 + 2  y2 − x = 2x − 2  x 2 + y 2 = 5 m)  x n)   2 3  y − 1 ( x + y − 1) = ( y − 2 ) x + y  y + 1 + 2x − 1 = 1 2 xy − y + x + y = 5  x 3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy o)  p)  2 3  5 − x + 1 − y = 1 2 x − 2 y − 1 + 3 y − 14 = x − 2  x − 2 y − xy = 0  x − 3x y − 4 x + 4 y + 16 xy − 16 y = 0 3 2 2 3 2 q)  r)   x − 1 − 2 y − 1 = 1  x − 2 y + x + y = 2 3 9 x 4 + 24 y 3 − xy 2 + 7 y 2 = 16 − x + 24 y  x 3 + y 3 + 6 xy = 8 s)  3 2 t)  2 2 8 y + 9 y + 20 y − 3 6 y + 1 + 15 = x  x + y = 2 x + y + 14  6x  y  − 2 = 3x − y + 3 y 12 = 3 + x − 2 4 y − x u)  y v)  x   y + 3 + y = x2 − x − 3 2 3x + 3x − y = 6x + 3 y − 4  BT 450. Giải các hệ phương trình sau: 1 1  3 85 x + y = 9 ( 2 2  4 x + xy + y + ) 2 = a)    b)  (x + y) 3     1 + 1   1 + 1   1 + 1  = 18  2 x + 1 = 13   3 x 3 y   3 x       3 y    x+y 3  2 13  2 2 1 9 2  x + y = 2  x + y + 6 xy − 2 + =0 8 c)   d)  (x − y) 3 y 2 x + x 3 = 35 2 y − 1 + 5 = 0  2  x−y 4    1   x 2 + 2 y 2 + 3xy + 3 = 0 ( x + y )  1 + =4    xy  e)  x − y + 18 f)  =9 x−y  2  x + y =1  ( x + y)  x2 + 1 y 2 + 1    2 1   1  x2 + y 2 ( ) 1 +  =8  xy + xy = 2   xy   g)  h)  ( x + y )  1 + 1  = 4 3  3  1  (  x +y 3 ) 1 +  = 16    xy   xy     Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 249 -
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
925 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2