Bài giảng Giải tích 2 (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 7 Chuỗi số, chuỗi lũy thừa

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

324
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung gồm: Khái niệm chuỗi số. Chuỗi không âm. Chuỗi có dấu tùy ý, hôi tụ tuyệt đối. Chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi lũy thừa, bán kính và miền hội tụ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2 (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 7 Chuỗi số, chuỗi lũy thừa

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa thừa. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Khái niệm chuỗi số. II – Chuỗi không âm. III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz. V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.
II. Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm  Chuỗi số không âm là chuỗi  an , (n)an  0, n 1 Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không giảm Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.
Tiêu chuẩn so sánh 1   Hai chuỗi  an ,  bn thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1   1) Nếu chuỗi  bn hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1   2) Nếu chuỗi  an phân kỳ, thì chuỗi  an phân kỳ. n 1 n 1  CM Chuỗi  b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr n 1  n n '  S n   an   bn S n dãy tổng  riêng an của n 1 k 0 k 0 bị chặn trên, vậy chuỗi hội
Tiêu chuẩn so sánh 2   Hai chuỗi  an (1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1 an K  lim n b n 1) K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ. 2) K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng P 3) K   : Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.
 2  cos n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    an n 1 n( n  1) n 1 2 cos n 1 1 Chuỗi dương   2 n(n  1) n(n  1) n   1 Chọn chuỗi số  2   bn n 1 n n 1 an lim  1 hữu hạn, khác không. n b n   Suy ra hai chuỗi  an ,  bn cùng tính chất hội tụ. n 1 n 1   1 Vì chuỗi  bn   2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n 1 n
5  3(1)n   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2 n 1 Chuỗi dương 0  5  3(1) n 8 1 n 3  n 3  n 2 2 2  1 1 Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2 2  n 3 e n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2  ln n n 1 n 3 n n Chuỗi dương e n e e n 3  n   2  ln n 2  2   n e e chuỗi    , |q |  1 FK, nên chuỗi đã cho FK. n 1  2  2
 ln(1  sin(1/ n)  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  ln 2 n   an n 1 n 1 ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1 Chuỗi dương 2   2 n  ln n n n  1 Vì chuỗi  2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n      Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  cosh  1   an  n  n1 n 1    2  2 an  n  cosh  1  n1/ 2  1  2  1  3/ 2  n   2n  2n  2  chuỗi  2n3/ 2 HT, nên chuỗi đã cho HT. n 1
  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  1  ln  cosh(1/ n)    an n 1 n 1 2 1 an  n  1  ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2 2n  1 Vì chuỗi  3/ 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2n  2 arctan(n  2n)  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  3n  n2   an n 1 n 1 arctan(n 2  2n)  /2  1 an   n  n 3 n 2 3 2 3n  1 chuỗi  n HT, nên chuỗi đã cho HT. n 1 3
  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT  1  n  sin(1/ n)  n 1    1 1  1 an  1  n  sin(1/ n)   1  n    3     2   n 3!n   6 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2    1 1 Ví dụ Tìm  để chuỗi HT   ln sin n  ln n  n 1      1 1  1   1  1 an   ln   3   ln   ln 1    2  2    n 6n  n    6n   6 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2
   1  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT    cos(1/ n)  n 1  n sin(1/ n)    1  1  an   3  1  2    n(1/ n  1/ 6n )  2n     1  1  an   2  1  2    1  1/ 6n  2n     1  1  2 1 an  1  2  1  2      2  6n  2n   3 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2
n  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT   e  1  1/ n   2 n 1 1  cos(1/ n)  n  1 n ln(11/ n ) n (1/ n 1/ 2 n2 ) e  1    e  e  ee  ee11/ 2n  n 1/ 2 n  1  e  e  e.e  e  e 1     2n  2n 1     2 e /2 n e 1  cos(1/ n)   2  an   4n 4n 2 2  2 n 2 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2    1    1
iêu chuẩn d'Alembert  an 1 Chuỗi dương  an . Giả sử lim n a D n 1 n 1) D  1: chuỗi hội tụ. 2) D  1: chuỗi phân kỳ. ) D  1 không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK. :
Tiêu chuẩn Cô si  Chuỗi dương  an . Giả sử lim n an  C n n 1 1) C  1: chuỗi hội tụ. 2) C  1: chuỗi phân kỳ. 3) C  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.
 n 3  n!  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n   an n 1 n n 1 n 1 n n 3  (n  1)! 3  3  (n  1)  n! 3  3  n! an 1  n 1   (n  1) n (n  1)  (n  1) (n  1) n an 1 3  3n  n! n n 3 n 3   n  n  n    1 Phân kỳ an (n  1) 3  n! (1  1/ n) e   n 5  3n  2  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n    a n 1  4n  3  n1 3n  2 n 5 3 lim ann  lim  n  1 HT theo t/c Cô si. n n 4n  3 4
 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  an n 1 2  5  8 (3n  1) an  1  6 11 (5n  4) 2  5  8 (3(n  1)  1) 2  5  8 (3n  2) an 1   1  6 11 (5(n  1)  4) 1  6 11 (5n  1) 2  5  8 (3n  1)(3n  2) (3n  2)   an  1  6 11 (5n  4)(5n  1) (5n  1) an 1 3n  2 3  lim  lim  1 n a n 5n  1 5 n Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.
 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  an n 1 2  5  8 (3n  2) an  n 2  (n  1)! 2  5  8 (3(n  1)  2) 2  5  8 (3n  5) an 1  n 1  n 2  (n  1  1)! 2  2  (n  2)! 2  5  8 (3n  2)  (3n  5) (3n  5)  n  an  2  2  (n  1)!(n  2) 2( n  2) an 1 3n  5 3  lim  lim  1 n  a n  2n  4 2 n Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert.
 n í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n/2 ,  0 n 1 (ln( n  1)) n 1 n a  lim n lim n n/2  lim  0 1 n n (ln( n  1)) n ln( n  1) Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi   n3  1  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi   cos n  n 1   1 3 n n2  2 n 2  2 n 2  1  1 m n an  lim n  cos   lim  cos   1  1  1   n  n  n   n   n  2n 2  lim    1     1/ 2   1 Hội tụ theo Cô si. e e
 n 4 3n 1 í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    n 1   n 1  n  1  2 n 4 3 n 1 n3 3 n 1  ( n 1)  n  n 1    n 1 n lim n an  lim   2  2  1 n  n  n  1   lim 1    2 n  n n 1   e   Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si.  n2 n 1 n2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3    n3 n 1 1  ( n 3) n 3 n   n a  lim 3  n 3   1  1  1  3 lim n     1 Phân kỳ n n   n  3   e  
II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa hội tụ tuyệt đối   Chuỗi  an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi  an hội tụ n 1 n 1 Định lý   Nếu chuỗi  an hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1 Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Mệnh đề ngược lại không đúng có những chuỗi hội tụ, đúng: tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.