Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 2 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long)

Ghi ch(cid:243)

(cid:30)⁄i sŁ, gi£i t‰ch v(cid:160) øng d(cid:246)ng

Nguy„n Th(cid:224) Nhung

Bº m(cid:230)n To¡n - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th«ng Long

Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 1 / 42

Ch(cid:247)(cid:236)ng II

Kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) v(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 2 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

Kh¡i ni»m kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho V l(cid:160) mºt t“p hæp kh¡c rØng v(cid:238)i c¡c phƒn tß (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160): α, β, γ . . . . Ta x†t c(cid:242)ng v(cid:238)i V t“p hæp sŁ th(cid:252)c R v(cid:238)i c¡c phƒn tß (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) a, b, c, . . . x, y , z. Tr¶n V ta c(cid:226) hai ph†p to¡n sau:

Ph†p cºng hai phƒn tß cıa V :

(cid:0) : V (cid:2) V (cid:209) V

pα, βq

(cid:222)(cid:209) α (cid:0) β

Ph†p nh¥n mºt phƒn tß cıa V v(cid:238)i mºt sŁ th(cid:252)c:

. : R (cid:2) V (cid:209) V px, αq (cid:222)(cid:209) x.α

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 3 / 42

Ghi ch(cid:243)

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

Kh¡i ni»m kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Khi (cid:31)(cid:226) V (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) th(cid:252)c n‚u V c(cid:242)ng v(cid:238)i hai ph†p to¡n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:240) tr¶n th(cid:228)a m¢n t¡m ti¶n (cid:31)• sau:

1

pα (cid:0) βq (cid:0) γ (cid:16) α (cid:0) pβ (cid:0) γq, @ α, β, γ P V ,

6

7 2 T(cid:231)n t⁄i vect(cid:236) θ sao cho θ (cid:0) α (cid:16) α (cid:0) θ (cid:16) α, @ α P V , 3 V(cid:238)i mØi α c(cid:226) mºt phƒn tß α1 sao cho α (cid:0) α1 (cid:16) α1 (cid:0) α (cid:16) θ, 4 α (cid:0) β (cid:16) β (cid:0) α, @ α, β P V , 5 x.pα (cid:0) βq (cid:16) x.α (cid:0) x.β, @ α, β P V , @x P R , px (cid:0) y q.α (cid:16) x.α (cid:0) y .α, @ α P V , @x, y P R , pxy q.α (cid:16) x.py .αq, @ α P V , @x, y P R ,

8 1.α (cid:16) α, @ α P V trong (cid:31)(cid:226) 1 l(cid:160) phƒn tß (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) cıa tr(cid:247)(cid:237)ng R .

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 4 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

Ch(cid:243) (cid:254):

1

C¡c phƒn tß cıa V (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c vect(cid:236), c¡c sŁ th(cid:252)c trong R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng. Ph†p nh¥n mºt phƒn tß cıa V v(cid:238)i mºt sŁ th(cid:252)c (cid:31)(cid:247)æc cÆn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph†p nh¥n v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng. Phƒn tß θ trong ti¶n (cid:31)• thø 2 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) vect(cid:236) kh(cid:230)ng , α trong ti¶n (cid:31)• thø 3 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) phƒn tß (cid:31)Łi cıa α v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) p(cid:1)αq. Ta s‡ vi‚t α (cid:0) p(cid:1)βq l(cid:160) α (cid:1) β v(cid:160) g(cid:229)i l(cid:160) hi»u cıa hai vect(cid:236) α, β. C¥u h(cid:228)i: N¶u c¡ch ki”m tra pV , (cid:0), .q l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) v(cid:160) pV , (cid:0), .q kh(cid:230)ng l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) tr¶n R :

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 5 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

V‰ d(cid:246) v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

X†t t“p hæp sŁ th(cid:252)c R . K(cid:254) hi»u R n l(cid:160) t‰ch Descartes cıa n b£n R :

R n

(cid:16) tpa1, a2, . . . , anq | ai P R , i (cid:16) 1, nu.

V(cid:238)i α (cid:16) pa1, a2, . . . , anq, β (cid:16) pb1, b2, . . . , bnq l(cid:160) hai phƒn tß t(cid:242)y (cid:254) thuºc R n v(cid:160) x l(cid:160) mºt phƒn tß t(cid:242)y (cid:254) thuºc R , ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ph†p cºng v(cid:160) nh¥n v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng tr¶n R n nh(cid:247) sau:

α(cid:0)β (cid:16) pa1, a2, . . . , anq(cid:0)pb1, b2, . . . , bnq (cid:16) pa1(cid:0)b1, a2(cid:0)b2, . . . , an(cid:0)bnq,

xα (cid:16) xpa1, a2, . . . , anq (cid:16) pxa1, xa2, . . . , xanq. Khi (cid:31)(cid:226) R n c(cid:242)ng v(cid:238)i ph†p to¡n cºng v(cid:160) nh¥n nh(cid:247) tr¶n l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) th(cid:252)c v(cid:238)i v†c t(cid:236) kh(cid:230)ng l(cid:160) Θ (cid:16) p0, 0, . . . , 0q, v†c t(cid:236) (cid:31)Łi cıa v†c t(cid:236) α (cid:16) pa1, a2, . . . , anq l(cid:160) (cid:1)α (cid:16) p(cid:1)a1, (cid:1)a2, . . . , (cid:1)anq.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 6 / 42

Ghi ch(cid:243)

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

V‰ d(cid:246) v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

X†t t“p hæp Mmn c¡c ma tr“n c§p m (cid:2) n tr¶n t“p sŁ th(cid:252)c. Khi (cid:31)(cid:226) Mmn c(cid:242)ng v(cid:238)i ph†p cºng hai ma tr“n v(cid:160) nh¥n ma tr“n v(cid:238)i mºt sŁ l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) tr¶n t“p sŁ th(cid:252)c.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 7 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

M»nh (cid:31)•

Cho V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) th(cid:252)c, khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) c¡c khflng (cid:31)(cid:224)nh sau:

1 Vect(cid:236) kh(cid:230)ng θ l(cid:160) duy nh§t. 2 V(cid:238)i mØi α P V , vect(cid:236) (cid:31)Łi cıa α l(cid:160) duy nh§t. 3 0α (cid:16) θ, @α P V . 4 xθ (cid:16) θ, @x P R . 5 N‚u xα (cid:16) θ th… x (cid:16) 0 ho(cid:176)c α (cid:16) θ. 6 xp(cid:1)αq (cid:16) (cid:1)pxαq (cid:16) p(cid:1)xqα, @x P R , α P V .

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 8 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Gi£ sß V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) th(cid:252)c. T“p con W kh¡c rØng cıa V (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) con (hay kh(cid:230)ng gian con) cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V n‚u W c(cid:242)ng v(cid:238)i hai ph†p to¡n cıa V t⁄o th(cid:160)nh mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) th(cid:252)c.

(cid:30)(cid:224)nh l‰

Gi£ sß V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) th(cid:252)c. T“p con W kh¡c rØng cıa V l(cid:160) kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) con (hay kh(cid:230)ng gian con) cıa V n‚u hai (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:

1 @α, β P W : α (cid:0) β P W . 2 @α P W , @x P R : xα P W .

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 9 / 42

Ghi ch(cid:243)

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con

Ki”m tra mºt t“p l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con

C¥u h(cid:228)i: N¶u c¡ch ki”m tra mºt t“p con W l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con v(cid:160) kh(cid:230)ng l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) V :

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 10 / 42

Kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con

V‰ d(cid:246)

Ki”m tra xem t“p n(cid:160)o sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) con cıa R 2:

W1 (cid:16) tpx, y q P R 2|y (cid:16) 2xu. W2 (cid:16) tpx, y q P R 2|y (cid:16) 2x (cid:0) 1u. W3 (cid:16) tpx, y q P R 2|y (cid:16) x 2u.

Nh“n x†t:

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 11 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) TŒ hæp tuy‚n t‰nh

Kh¡i ni»m v• bi”u th(cid:224) tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) th(cid:252)c v(cid:160) α1, α2, . . . , αm l(cid:160) m vect(cid:236) thuºc V , pm ¥ 1q. Khi (cid:31)(cid:226)

Mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa α1, α2, . . . , αm l(cid:160) v†c t(cid:236) c(cid:226) d⁄ng

x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) xmαm, xi P R , i (cid:16) 1, m.

V†c t(cid:236) α (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tŒ hæp tuy‚n t‰nh hay α bi”u di„n tuy‚n t‰nh cıa m vect(cid:236) α1, α2, . . . , αm n‚u t(cid:231)n t⁄i nhœng sŁ th(cid:252)c xi , i (cid:16) 1, m sao cho

α (cid:16) x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) xmαm

hay mºt c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh α (cid:16) x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) . . . (cid:0) xmαm c(cid:226) nghi»m x1, x2, . . . , xm.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 12 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) TŒ hæp tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246)

Cho hai v†c t(cid:236) α (cid:16) p1, 4, 2q, β (cid:16) p(cid:1)1, 2, 2q v(cid:160) γ (cid:16) cp0, 1, 2q.

a. H¢y t…m mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa α, β v(cid:160) γ. b. H¢y x†t xem v†c t(cid:236) ε (cid:16) p3, 1, 0q c(cid:226) th” bi”u th(cid:224) tuy‚n t‰nh qua α, β

v(cid:160) γ kh(cid:230)ng?

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 13 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H» v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

Kh¡i ni»m v• h» (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho m vect(cid:236) α1, α2, . . . , αm cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V , m ¥ 1.

1 H» vect(cid:236) α1, α2, . . . , αm (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh n‚u t(cid:231)n t⁄i m phƒn tß x1, x2, . . . , xm P K kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i b‹ng 0 sao cho x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) xmαm (cid:16) θ.

2 H» vect(cid:236) α1, α2, . . . , αm (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh n‚u n(cid:226) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh, hay mºt c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) xmαm (cid:16) θ k†o theo x1 (cid:16) x2 (cid:16) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:16) xm (cid:16) 0.

Nh“n x†t: Mºt h» v†c t(cid:236) l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh khi v(cid:160) ch¿ khi mºt v†c t(cid:236) bi”u th(cid:224) tuy‚n t‰nh qua c¡c v†c t(cid:236) cÆn l⁄i.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 14 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H» v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246)

S(cid:252) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh v(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh trong R 3 (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ mºt c¡ch h…nh h(cid:229)c nh(cid:247) sau:

Hai vect(cid:236) c(cid:242)ng ph(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

Hai vect(cid:236) kh(cid:230)ng c(cid:242)ng ph(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh.

Ba vect(cid:236) (cid:31)(cid:231)ng phflng l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

Ba vect(cid:236) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng phflng l(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh.

BŁn vect(cid:236) b§t k(cid:253) l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 15 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H» v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246)

X†t s(cid:252) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh cıa c¡c v†c t(cid:236) sau v(cid:160) r(cid:243)t ra nh“n x†t

a. (cid:15)1 (cid:16) p1, 0, 0q, (cid:15)2 (cid:16) p0, 1, 0q, (cid:15)3 (cid:16) p0, 0, 1q. b. α1 (cid:16) p1, (cid:1)2, 3q, α2 (cid:16) p2, 1, 1q, α3 (cid:16) p3, (cid:1)1, 4q.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 16 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H» v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh l‰ v• s(cid:252) (cid:31)ltt v(cid:160) pttt

(cid:30)(cid:224)nh l‰ Cho h» v†c t(cid:236) α1, α2, . . . , αm trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) R n. G(cid:229)i A l(cid:160) ma tr“n c(cid:226) c¡c dÆng l(cid:160) α1, α2, . . . , αm. Khi (cid:31)(cid:226)

i. N‚u rankpAq (cid:16) m th… h» (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh. ii. N‚u rankpAq (cid:160) m th… h» ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 17 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H» v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh

T‰nh ch§t cıa h» (cid:31)ltt v(cid:160) pttt

M»nh (cid:31)•

1 H» g(cid:231)m mºt vect(cid:236) α l(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh khi v(cid:160) ch¿ khi α (cid:24) θ. 2 M(cid:229)i h» vect(cid:236) chøa vect(cid:236) θ (cid:31)•u ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh. 3 H» g(cid:231)m hai vect(cid:236) t¿ l» v(cid:238)i nhau th… ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

4 H» g(cid:231)m hai vect(cid:236) kh(cid:230)ng t¿ l» th… (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh.

5 N‚u ta th¶m mºt sŁ v†c t(cid:236) v(cid:160)o h» ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh th… v¤n (cid:31)(cid:247)æc

h» ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

6 N‚u ta b(cid:238)t mºt sŁ v†c t(cid:236) tł mºt h» (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh th… v¤n (cid:31)(cid:247)æc

h» (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 18 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a c(cid:236) s(cid:240) cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236). H» vect(cid:236) α1, α2, . . . , αm (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h» sinh cıa V n‚u m(cid:229)i vect(cid:236) α P V (cid:31)•u bi”u th(cid:224) tuy‚n t‰nh qua α1, α2, . . . , αm, tøc l(cid:160):

@α P V , Dx1, x2, . . . , xm P R : α (cid:16) x1α1 (cid:0) x2α2 (cid:0) . . . (cid:0) xmαm.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 19 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

V‰ d(cid:246)

H¢y chøng t(cid:228) (cid:15)1 (cid:16) p1, 0, 0q, (cid:15)2 (cid:16) p0, 1, 0q, (cid:15)3 (cid:16) p0, 0, 1q l(cid:160) mºt h» sinh cıa R 3.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 20 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a c(cid:236) s(cid:240) cıa kgvt

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236). H» vect(cid:236) α1, α2, . . . , αn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa V n‚u α1, α2, . . . , αn l(cid:160) h» sinh v(cid:160) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh trong V .

V‰ d(cid:246):

H» v†c t(cid:236) (cid:15)1 (cid:16) p1, 0, 0q, (cid:15)2 (cid:16) p0, 1, 0q, (cid:15)3 (cid:16) p0, 0, 1q l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa R 3. H» v†c t(cid:236) (cid:15)1 (cid:16) p1, 0, . . . , 0q, (cid:15)2 (cid:16) p0, 1, . . . , 0q, . . . , (cid:15)n (cid:16) p0, 0 . . . , 1q l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa R n v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) ch‰nh t›c cıa R n.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 21 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

SŁ c¡c vect(cid:236) trong c¡c c(cid:236) s(cid:240) cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V (cid:24) tθu (cid:31)•u b‹ng nhau v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) sŁ chi•u cıa V , k‰ hi»u l(cid:160) dimpV q. Khi dimpV q (cid:16) n ta n(cid:226)i V l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n(cid:1) chi•u. Kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) V (cid:16) tθu kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:236) s(cid:240). Ta quy (cid:247)(cid:238)c dimtθu (cid:16) 0.

V‰ d(cid:246): Ta c(cid:226)

dimpR nq (cid:16) n. dimpR 2q (cid:16) 2. dimpR 3q (cid:16) 3.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 22 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰

Cho V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) n chi•u v(cid:160) α1, α2, . . . , αm l(cid:160) mºt h» g(cid:231)m m vect(cid:236) trong V . Khi (cid:31)(cid:226)

1 N‚u α1, α2, . . . , αm l(cid:160) h» (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh th… m ⁄ n. 2 N‚u α1, α2, . . . , αm l(cid:160) h» sinh cıa V th… m ¥ n. 3 N‚u m ¡ n th… α1, α2, . . . , αm ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 23 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰

Trong kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V c(cid:226) sŁ chi•u n,

pn ¡ 1q

1 MØi h» g(cid:231)m n vect(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh (cid:31)•u l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa V .

2 MØi h» sinh g(cid:231)m n vect(cid:236) (cid:31)•u l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa V .

Nh“n x†t:

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 24 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian n-chi•u

(cid:30)(cid:224)nh l‰ Cho h» g(cid:231)m n v†c t(cid:236) α1, α2, . . . , αn trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n(cid:1) chi•u R n. G(cid:229)i A l(cid:160) ma tr“n c(cid:226) c¡c dÆng l(cid:160) α1, α2, . . . , αn. Khi (cid:31)(cid:226)

i. N‚u detpAq (cid:24) 0 th… h» α1, α2, . . . , αn (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) l(cid:160)

c(cid:236) s(cid:240) cıa R n.

ii. N‚u detpAq (cid:16) 0 th… h» α1, α2, . . . , αn kh(cid:230)ng (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh v(cid:160) do

(cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa R n.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 25 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) Mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l‰ trong kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) n-chi•u

V‰ d(cid:246)

Ki”m tra xem h» v†c t(cid:236) n(cid:160)o sau l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa R 3:

α1 (cid:16) p1, 2, 3q, α2 (cid:16) p0, 1, (cid:1)1q. α1 (cid:16) p1, (cid:1)1, 3q, α2 (cid:16) p0, 1, 1q, α3 (cid:16) p3, 1, 4q. α1 (cid:16) p(cid:1)1, (cid:1)1, 2q, α2 (cid:16) p0, (cid:1)1, 1q, α3 (cid:16) p2, 1, 4q, α4 (cid:16) p(cid:1)2, 1, 2q.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 26 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H⁄ng cıa h» v†c t(cid:236)

H⁄ng cıa mºt h» v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho h» v†c t(cid:236) tα1, α2, . . . , αmup1q trong kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V . H⁄ng cıa h» v†c t(cid:236) p1q l(cid:160) sŁ v†c t(cid:236) (cid:31)ºc l“p tuy‚n t‰nh l(cid:238)n nh§t trong p1q.

M»nh (cid:31)•

Cho h» v†c t(cid:236) tα1, α2, . . . , αmup1q trong kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V . G(cid:229)i A l(cid:160) v†c t(cid:236) c(cid:226) c¡c dÆng l(cid:160) α1, α2, . . . , αm. Khi (cid:31)(cid:226) h⁄ng cıa h» v†c t(cid:236) p1q b‹ng h⁄ng cıa ma tr“n A.

Nh“n x†t:

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 27 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) H⁄ng cıa h» v†c t(cid:236)

V‰ d(cid:246)

T…m h⁄ng cıa h» v†c t(cid:236) sau:

α1 (cid:16) p1, (cid:1)1, 3, 6q, α2 (cid:16) p0, 1, 1, (cid:1)2q, α3 (cid:16) p3, (cid:1)1, (cid:1)4, (cid:1)2q, α4 (cid:16) p4, (cid:1)1, 0, 2q

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 28 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) T(cid:229)a (cid:31)º cıa mºt h» v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a t(cid:229)a (cid:31)º cıa mºt h» v†c t(cid:236)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho c(cid:236) s(cid:240) α1, α2, . . . , αn cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) V . Khi (cid:31)(cid:226) mØi α P V (cid:31)•u bi”u di„n duy nh§t d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

α (cid:16) a1α1 (cid:0) a2α2 (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0) anαn, ai P R , i (cid:16) 1, n.

Bº n sŁ pa1, a2, . . . , anq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:229)a (cid:31)º cıa α (cid:31)Łi v(cid:238)i c(cid:236) s(cid:240) α1, α2, . . . , αn v(cid:160) ai (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:229)a (cid:31)º thø i cıa α (cid:31)Łi v(cid:238)i c(cid:236) s(cid:240) (cid:31)(cid:226).

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 29 / 42

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) T(cid:229)a (cid:31)º cıa mºt h» v†c t(cid:236)

V‰ d(cid:246)

Trong R 2 cho hai h» v†c t(cid:236):

(cid:15)1 (cid:16) p1, 0q, (cid:15)2 (cid:16) p0, 1q.

α1 (cid:16) p1, 1q, α2 (cid:16) p1, 2q.

a. Chøng minh r‹ng hai h» v†c t(cid:236) tr¶n (cid:31)•u l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa R 2. b. T…m t(cid:229)a (cid:31)º cıa α (cid:16) p2, 3q (cid:31)Łi v(cid:238)i tłng c(cid:236) s(cid:240) tr¶n.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 30 / 42

Ghi ch(cid:243)

C(cid:236) s(cid:240) v(cid:160) sŁ chi•u cıa kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) T(cid:229)a (cid:31)º cıa mºt h» v†c t(cid:236)

L(cid:237)i gi£i cho v‰ d(cid:246)

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 31 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Gi£ sß U v(cid:160) V l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) t“p sŁ th(cid:252)c. (cid:129)nh x⁄ f : U (cid:209) V (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh n‚u n(cid:226) th(cid:228)a m¢n hai (cid:31)i•u ki»n sau:

f pα (cid:0) βq (cid:16) f pαq (cid:0) f pβq, f ptαq (cid:16) tf pαq,

@α, β P U, @α P U, t P R .

M»nh (cid:31)•

Gi£ sß U v(cid:160) V l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) t“p sŁ th(cid:252)c. (cid:129)nh x⁄ f : U (cid:209) V l(cid:160) tuy‚n t‰nh khi v(cid:160) ch¿ khi

f psα (cid:0) tβq (cid:16) sf pαq (cid:0) tf pβq @α, β P U, @s, t P R .

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 32 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

C¡ch ki”m tra ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

C¥u h(cid:228)i: N¶u c¡ch ki”m tra mºt ¡nh x⁄ l(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh v(cid:160) c¡ch ki”m tra mºt ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng l(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh:

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 33 / 42

Ghi ch(cid:243)

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Mºt sŁ t‰nh ch§t ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

M»nh (cid:31)•

Gi£ sß U v(cid:160) V l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236) tr¶n t“p sŁ th(cid:252)c v(cid:160) f : U (cid:209) V l(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh. Khi (cid:31)(cid:226): a. f pθU q (cid:16) θV . b. f pt1α1(cid:0)t2α2(cid:0). . .(cid:0)tnαnq (cid:16) t1f pα1q(cid:0)t2f pα2q(cid:0). . .(cid:0)tnf pαnq.

Nh“n x†t:

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 34 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Mºt sŁ t‰nh ch§t ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246) v• ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

Ki”m tra xem nhœng ¡nh x⁄ n(cid:160)o sau (cid:31)¥y l(cid:160) ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh:

a. f : R (cid:209) R cho b(cid:240)i f pxq (cid:16) ax. b. f : R (cid:209) R cho b(cid:240)i f pxq (cid:16) ax (cid:0) b, b (cid:24) 0. c. f : R (cid:209) R cho b(cid:240)i f pxq (cid:16) x 2. d. f : R n (cid:209) R cho b(cid:240)i f px1, x2, . . . , xnq (cid:16) a1x1 (cid:0) a2x2 (cid:0) . . . (cid:0) anxn. e. f : R 3 (cid:209) R 2 cho b(cid:240)i f px, y , zq (cid:16) px (cid:1) y , x (cid:0) 3zq. f. f : R 2 (cid:209) R 2 cho b(cid:240)i f px, y q (cid:16) px (cid:1) y , x (cid:0) y (cid:0) 1q. g. f : R 2 (cid:209) R 2 cho b(cid:240)i f px, y q (cid:16) pxy , x (cid:0) y q.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 35 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Mºt sŁ t‰nh ch§t ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

L(cid:237)i gi£i cho v‰ d(cid:246)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 36 / 42

Ghi ch(cid:243)

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ma tr“n ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho U v(cid:160) V l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236), ε1, . . . , εn p1q l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa U, e1, . . . , em p2q l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa V v(cid:160) f l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh tł U (cid:31)‚n V . Gi£ sß c¡c f pεi q pi (cid:16) 1, 2, . . . , nq bi”u th(cid:224) tuy‚n t‰nh qua c(cid:236) s(cid:240) p2q nh(cid:247) sau:

f pε1q (cid:16) a11.e1 (cid:0) . . . (cid:0) am1.em, f pε2q (cid:16) a12.e1 (cid:0) . . . (cid:0) am2.em, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f pεnq (cid:16) a1n.e1 (cid:0) . . . (cid:0) amn.em.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 37 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ma tr“n ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Khi (cid:31)(cid:226) ma tr“n

(cid:4)

(cid:12)

A (cid:16)

. . . a1n . . . a2n . . . . . . . . . amn

(cid:6) (cid:6) (cid:5)

(cid:14) (cid:14) (cid:13)

a12 a11 a22 a21 . . . . . . am1 am2

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh f (cid:31)Łi v(cid:238)i 2 c(cid:236) s(cid:240) p1q v(cid:160) p2q. K(cid:254) hi»u A (cid:16) M p2q

p1q f .

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 38 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246)

Cho ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh f : R 3 (cid:209) R 2 cho b(cid:240)i f px, y , zq (cid:16) px (cid:1) y , x (cid:0) 3zq. H¢y t…m ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh f:

a. trong hai c(cid:236) s(cid:240) ch‰nh t›c cıa R 3 v(cid:160) R 2. b. trong hai c(cid:236) s(cid:240) ε1 (cid:16) p1, 1, 1q, ε2 (cid:16) p1, 1, 0q, ε1 (cid:16) p1, 0, 0q v(cid:160)

e1 (cid:16) p2, 1q, e2 (cid:16) p1, 1q.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 39 / 42

Ghi ch(cid:243)

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

L(cid:237)i gi£i cho v‰ d(cid:246)

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 40 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

T(cid:229)a (cid:31)º cıa £nh cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

M»nh (cid:31)•

Cho U v(cid:160) V l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian v†c t(cid:236), ε1, . . . , εn l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa U, e1, . . . , em l(cid:160) mºt c(cid:236) s(cid:240) cıa V v(cid:160) f l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh tł U (cid:31)‚n V . Gi£ sß α c(cid:226) t(cid:229)a (cid:31)º x (cid:16) pa1, a2, . . . , anq trong c(cid:236) s(cid:240) ε1, . . . , εn. Khi (cid:31)(cid:226) f pαq s‡ c(cid:226) t(cid:229)a (cid:31)º l(cid:160) Ax trong c(cid:236) s(cid:240) e1, . . . , em.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 41 / 42

(cid:129)nh x⁄ tuy‚n t‰nh Ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

V‰ d(cid:246)

Cho ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh f : R 3 (cid:209) R 2 cho b(cid:240)i f px, y , zq (cid:16) px (cid:1) y , x (cid:0) 3zq.

a. T…m t(cid:229)a (cid:31)º cıa v†c t(cid:236) α (cid:16) p4, 3, 1q trong c(cid:236) s(cid:240)

ε1 (cid:16) p1, 1, 1q, ε2 (cid:16) p1, 1, 0q, ε1 (cid:16) p1, 0, 0q cıa R 3

b. T…m t(cid:229)a (cid:31)º cıa f pαq trong c(cid:236) s(cid:240) e1 (cid:16) p2, 1q, e2 (cid:16) p1, 1q cıa R 2.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 42 / 42