Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 5 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long) (p3)

Chia sẻ: Sơn Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số, giải tích và ứng dụng - Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Công thức đạo hàm toàn phần, khái niệm hàm ẩn, định lý hàm ẩn một biến cho một phương trình,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 5 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long) (p3)

Ghi chó ¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng Nguy¹n Thà Nhung Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 1 / 38 Ghi chó Ch÷ìng V Ph²p t½nh vi ph¥n h m nhi·u bi¸n Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 2 / 38 Ghi chó ¤o h m to n ph¦n Cæng thùc ¤o h m to n ph¦n Cho h m y f px , t q, x g pt q. Khi â By Bf dx Bf (1) Bt Bx dt Bt Cho h m y f px1 , x2 , t q, x1 g pt q, x2 hpt q. Khi â By Bf dx1 Bf dx2 By , (2) Bt Bx1 dt Bx2 dt Bt Cho h m y f px1 , x2 , u, v q, x1 g pu, v q, x2 hpu, v q. Khi â By Bf Bx1 Bf Bx2 Bf , (3) Bu Bx1 Bu Bx2 Bu Bu By Bf Bx1 Bf Bx2 Bf , (4) Bv Bx1 Bv Bx2 Bv Bv Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 3 / 38
Ghi chó ¤o h m to n ph¦n V½ dö t½nh ¤o h m to n ph¦n B i to¡n T½nh ¤o h m to n ph¦n cõa c¡c h m sè sau: a. y x 2 t t , x 2t 3 1. b. y x1 t x2 t , x1 t 2 1, x2 t 1. c. y x1 pt s q x2 pt 2 s 2 q, x1 t s , x2 t s. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 4 / 38 Ghi chó ¤o h m to n ph¦n T¼nh huèng trong b i C¥u häi t¼nh huèng Cho h m cung v h m c¦u cõa mët h ng hâa câ d¤ng: Qd P 2Y0 Qs P 5 trong â Qd , Qs t÷ìng ùng l l÷ñng c¦u v l÷ñng cung, P l gi¡ cõa h ng hâa, Y0 l thu nhªp. H¢y x²t xem gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa h ng hâa s³ thay êi th¸ n o khi thu nhªp t«ng l¶n. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 5 / 38 Ghi chó ¤o h m to n ph¦n T¼nh huèng trong b i C¥u häi t¼nh huèng Cho h m cung v h m c¦u cõa mët h ng hâa câ d¤ng: Qd P 3 2Y0 Qs P 5 trong â Qd , Qs t÷ìng ùng l l÷ñng c¦u v l÷ñng cung, P l gi¡ cõa h ng hâa, Y0 l thu nhªp. H¢y x²t xem gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa h ng hâa s³ thay êi th¸ n o khi thu nhªp t«ng l¶n. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 6 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n mët bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh Kh¡i ni»m v· h m ©n ? H m cho d÷îi d¤ng y f px q, ch¯ng h¤n y f px q 3 1 x 3 ÷ñc gåi l h m hi»n bði v¼ y ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng t÷íng minh nh÷ l h m cõa x. N¸u h m n y ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng x3 y3 1 ? th¼ ta khæng cán h m hi»n núa m h m y 1 x 3 ÷ñc ành ngh¾a mët c¡ch ©n qua ph÷ìng tr¼nh x 3 y 3 1. Khi chóng ta ch¿ câ ph÷ìng tr¼nh d¤ng F py , x q 0 v bi¸t tçn t¤i h m y f px q thäa m¢n F px , y q 0 nh÷ng câ thº khæng bi¸t d¤ng t÷íng minh cõa nâ th¼ trong tr÷íng hñp â y f px q ÷ñc gåi l h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 7 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n mët bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh Kh¡i ni»m v· h m ©n mët bi¸n ành ngh¾a Cho ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0, trong â f : Ω ÝÑ R l mët h m sè x¡c ành tr¶n tªp Ω trong R 2 . N¸u tçn t¤i mët h m sè f : I ÝÑ R x¡c ành tr¶n mët kho£ng I R sao cho pf px q, x q P Ω v F pf px q, x q 0, @x P I , th¼ h m sè y f px q gåi l h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 8 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n mët bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n mët bi¸n ành l½ (ành l½ h m ©n) Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0 thäa m¢n c¡c i·u ki»n: i. F câ c¡c ¤o h m ri¶ng Fy , Fx li¶n töc. ii. Tçn t¤i iºm py0 , x0 q l nghi»m cõa F py , x q 0, tùc l F py0 , x0 q 0 v Fy1 py0 , x0 q 0. Khi â tçn t¤i h m ©n y f px q x¡c ành trong mët l¥n cªn n o â cõa iºm px0 , y0 q. Hìn núa, ta cán câ i. y0 f px0 q. ii. f li¶n töc v câ ¤o h m li¶n töc. Chó þ: ành l½ h m ©n chùng tä sü tçn t¤i h m ©n f nh÷ng ành l½ khæng ch¿ rã cho ta h m f câ d¤ng t÷íng minh nh÷ th¸ n o. Tuy nhi¶n ành l½ h m ©n ch¿ ra f câ ¤o h m. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 9 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n mët bi¸n ành l½ h m ©n mët bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh ành l½ Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0 x¡c ành h m ©n y f px q. Khi â ¤o h m cõa f ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc sau: 1 y 1 px q FFx1 . (5) y Chó þ: ành l½ v· cæng thùc t½nh ¤o h m h m ©n cho ta t½nh ÷ñc c¡c ¤o h m ri¶ng cõa h m ©n m khæng c¦n bi¸t d¤ng t÷íng minh cõa nâ; Tuy nhi¶n, ành l½ h m ©n công ch¿ ra r¬ng muèn dòng ÷ñc cæng thùc (5) th¼ ph£i chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa nâ. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 10 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n mët bi¸n V½ dö X²t xem ph÷ìng tr¼nh F py , x q 0 sau câ h m ©n x¡c ành xung quanh l¥n cªn iºm py , x q p3, 1q khæng? 2x 2 4xy y 4 67 0 N¸u tçn t¤i h¢y t½nh dy dx v t½nh gi¡ trà cõa nâ t¤i iºm ¢ cho. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 11 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n mët bi¸n Líi gi£i cho v½ dö Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 12 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n mët bi¸n V½ dö C¥u häi t¼nh huèng Cho h m cung v h m c¦u cõa mët h ng hâa câ d¤ng: Qd P 3 2Y0 Qs P 5 trong â Qd , Qs t÷ìng ùng l l÷ñng c¦u v l÷ñng cung, P l gi¡ cõa h ng hâa, Y0 l thu nhªp. H¢y x²t xem gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa h ng hâa s³ thay êi th¸ n o khi thu nhªp t«ng l¶n. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 13 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n mët bi¸n Líi gi£i cho v½ dö Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 14 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh Kh¡i ni»m v· h m ©n nhi·u bi¸n ành ngh¾a Gi£ sû c¡c bi¸n y v x1 , x2 , . . . , xm li¶n h» vîi nhau bði ph÷ìng tr¼nh F py , x1 , x2 , . . . , xm q 0, trong â F py , x1 , x2 , . . . , xm q l h m m 1 bi¸n x¡c ành tr¶n tªp Ω trong R m 1 . N¸u tçn t¤i mët h m sè f : U ÝÑ R x¡c ành tr¶n mët tªp mð U R m sao cho pf px1, x2, . . . , xm q, x1, x2, . . . , xm q P Ω v F pf px1 , x2 , . . . , xm q, x1 , x2 , . . . , xm q 0, @px1 , x2 , . . . , xm q P U , th¼ h m sè y f px1 , x2 , . . . , xm q gåi l mët h m ©n x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh F py , x1 , x2 , . . . , xm q 0. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 15 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n ành l½ (ành l½ h m ©n) Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh F py , x1 , . . . , xm q 0 thäa m¢n c¡c i·u ki»n: i. F câ c¡c ¤o h m ri¶ng Fy , Fx1 , . . . , Fx li¶n töc. m ii. Tçn t¤i iºm py0 , x10 , . . . , xm0 q l nghi»m cõa F py , x1 , . . . , xm q 0, tùc l F py0 , x10 , . . . , x0m q 0 v Fy py0 , x10 , . . . , xm0 q 0. Khi â tçn t¤i h m ©n y f px1 , x2 , . . . , xm q x¡c ành trong mët l¥n cªn n o â cõa iºm px10 , x20 , . . . , xm0 q. Hìn núa, ta cán câ i. y0 f px10 , x20 , . . . , xm0 q. ii. f li¶n töc v câ c¡c ¤o h m ri¶ng li¶n töc. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 16 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n Chó þ: ành l½ h m ©n chùng tä sü tçn t¤i h m ©n f nh÷ng ành l½ khæng ch¿ rã cho ta h m f câ d¤ng t÷íng minh nh÷ th¸ n o. Tuy nhi¶n ành l½ h m ©n ch¿ ra sü tçn t¤i cõa c¡c ¤o h m ri¶ng cõa f Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 17 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n nhi·u bi¸n ành l½ h m ©n nhi·u bi¸n cho mët ph÷ìng tr¼nh ành l½ Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh F py , x1 , . . . , xm q 0 x¡c ành h m ©n y f px1 , x2 , . . . , xm q. Khi â c¡c ¤o h m ri¶ng cõa f ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc sau: By Fx Bxi Fy pi 1, 2, . . . , mq. (6) i Chó þ: ành l½ v· cæng thùc t½nh ¤o h m h m ©n cho ta t½nh ÷ñc c¡c ¤o h m ri¶ng cõa h m ©n m khæng c¦n bi¸t d¤ng t÷íng minh cõa nâ; Tuy nhi¶n, ành l½ h m ©n công ch¿ ra r¬ng muèn dòng ÷ñc cæng thùc (6) th¼ ph£i chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa nâ. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 18 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n nhi·u bi¸n V½ dö t½nh ¤o h m h m ©n B i to¡n Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh sau tçn t¤i h m ©n z z px , y q x¡c ành xung quanh l¥n cªn cõa iºm pz0 , x0 , y0 q p1, 1, 1q: F pz , x , y q z 4 2z 2 x zy 4 0. H¢y t¼m c¡c ¤o h m ri¶ng cõa z z px , y q xung quanh l¥n cªn cõa iºm p1, 1, 1q v t½nh gi¡ trà cõa c¡c ¤o h m ri¶ng n y t¤i iºm p1, 1, 1q. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 19 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n nhi·u bi¸n Líi gi£i cho v½ dö Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 20 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ¤o h m h m ©n nhi·u bi¸n V½ dö sû döng ¤o h m h m ©n trong b i to¡n so s¡nh t¾nh B i to¡n Mæ h¼nh thà tr÷íng h ng hâa ìn vîi h m c¦u Qd l h m cõa gi¡ P v bi¸n ngo¤i sinh thu nhªp Y0 ; h m cung Qs l h m cõa gi¡ P v bi¸n ngo¤i sinh thu nhªp T0 , cho bði mæ h¼nh têng qu¡t sau: Qd D pP , Y0 q pDP1 0; DY1 0 ¡ 0q; Qs S pP , T0 q pSP1 ¡ 0; ST1 0 0q, Gi£ sû D v S l c¡c h m câ ¤o h m ri¶ng li¶n töc vîi DP1 0; DY1 0 ¡ 0 v SP1 ¡ 0; ST1 0 0. H¢y t½nh c¡c ¤o h m so s¡nh t¾nh, x²t d§u c¡c ¤o h m v n¶u þ ngh¾a kinh t¸. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 21 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n cho mët ph÷ìng tr¼nh Trong ph¦n n y ta s³ mð rëng ành l½ h m ©n cho mët ph÷ìng tr¼nh sang ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh. Cö thº l ta x²t xem khi n o h» ph÷ìng tr¼nh F 1 py1 , . . . , yn , x1 , . . . , xm q 0 F 2 py1 , . . . , yn , x1 , . . . , xm q 0 (7) ..................... ... ... F n py1 , . . . , yn , x1 , . . . , xm q 0 Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 22 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n cho mët ph÷ìng tr¼nh Trong ph¦n n y ta s³ mð rëng ành l½ h m ©n cho mët ph÷ìng tr¼nh sang ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh. Cö thº l ta x²t xem khi n o h» ph÷ìng tr¼nh s³ x¡c ành cho ta h» c¡c h m ©n y1 f1 px1 , . . . , xm q y2 f2 px1 , . . . , xm q (8) ... ... ............... yn fn px1 , . . . , xm q Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 23 / 38 Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ (ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh) Cho h» ph÷ìng tr¼nh (9). Gi£ sû tçn t¤i iºm pY0 , X0 q py10, . . . , yn0, x10, . . . , xm0q thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau i. C¡c h m F 1 , F 2 , . . . , F n x¡c ành, li¶n töc v câ c¡c ¤o h m ri¶ng li¶n töc t¤i iºm pY0 , X0 q. ii. H» ph÷ìng tr¼nh (9) nhªn pY0 , X0 q l m nghi»m, tùc l F k py10 , . . . , ym0 , x10 , . . . , xm0 q 0, @k 1, 2, . . . , m. Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 16 th¡ng 2 n«m 2012 24 / 38
Ghi chó ¤o h m h m ©n ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh ành l½ (ành l½ h m ©n cho h» ph÷ìng tr¼nh) iii. ành thùc Jacobian cõa F 1 , . . . , F n theo c¡c bi¸n y1 , . . . , yn sau kh¡c khæng
BF BF 1 . . . BF 1
1
B y1 B y2 Byn2
Bp F 1, . . . , F nq
B
2 F B F 2 B F