HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
HY ĐỨC MẠNH
Bài giảng: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích
Tài liệu học tập cho sinh viên tại Học viện KTQS
Lưu hành nội bộ
Hà Nội — 2013
2
Mục lục
Chương 2
Lời nói đầu ............................. 7
Những kí hiệu ........................... 9
1 Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 11
1.1 Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Logic mệnh đề và vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Tậphợp......................... 15
1.1.3 Ánh xạ. Lực lượng của tập hợp. . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4 Sơ lược về cấu trúc đại số . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.5 Sốphức:......................... 23
1.2 Đạisốmatrận ......................... 29
1.2.1 Ma trận - Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . 29
1.2.2 Phép chuyển vị, ma trận khả nghịch, vài loại ma trận
thườnggặp ....................... 33
1.3 Địnhthức ............................ 34
1.3.1 Nghịchthế: ....................... 34
1.3.2 Địnhthức:........................ 35
1.3.3 Tính chất của định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.4 Cách tính định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.5 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . 40
1.4 Hạngcủamatrận........................ 41
1.4.1 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp . . . . 43
1.4.3 Phân tích LU và LUP ................. 45
1.5 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.1 Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
1.5.2 HệCramer........................ 49
1.5.3 Điều kiện cần và đủ để hệ tổng quát có nghiệm . . . 50
1.6 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.6.1 Các phép toán và ký hiệu đặc biệt . . . . . . . . . . 52
1.6.2 Tính toán với các biểu thức đại số . . . . . . . . . . . 52
1.6.3 Tính toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Không gian vector và ánh xạ tuyến tính 57
2.1 Không gian vector và không gian vector con . . . . . . . . . 57
2.1.1 Địnhnghĩa ....................... 57
2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector. Cơ sở và chiều . . . . . . . 60
2.1.3 Tọa độ của vector trong cơ sở. Đổi cơ sở . . . . . . . 64
2.1.4 Định lý về hạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.5 Không gian tổng và không gian giao. Tổng trực tiếp . 67
2.2 Ánhxạtuyếntính ....................... 69
2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính . 69
2.2.2 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . 71
2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.4 Ma trận và biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính . . . 75
2.2.5 Không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất . . . 78
2.2.6 Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi đổi cơ sở . . . . . 80
2.3 Trị riêng và vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.1 Trị riêng và vector riêng của toán tử tuyến tính . . . 82
2.3.2 Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3 Hình học trong không gian Euclide 93
3.1 Dạng toàn phương trong không gian vector . . . . . . . . . . 93
3.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương 93
3.1.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc . . . . . . . 97
3.1.3 Luật quán tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.4 Dạng toàn phương xác định dấu . . . . . . . . . . . . 103
3.2 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.1 Tíchvôhướng...................... 105
3.2.2 Bất đẳng thức tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 107
4
3.2.3 Cơ sở trực chuẩn, quá trình trực chuẩn hóa Gram-
Schmidt ......................... 108
3.2.4 Phân tích QR ...................... 111
3.3 Không gian con trực giao và hình chiếu . . . . . . . . . . . . 113
3.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.1 Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.2 Phổ của toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 119
3.5 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai . . . . . . . . 121
3.5.1 Phương trình siêu mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . 121
3.5.2 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai . . . . 124
3.6 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Tài liệu tham khảo 133
5