zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

38
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Nguyên hàm, tích phân xác định, các phương pháp tính tích phân. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán và nhứng ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập vầ nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2019)

13/10/2018 Chương 4: Tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Nguyên hàm §1. Nguyên hàm §2. Tích phân xác định §3. Các phương pháp tính tích phân LOG O 2 Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu I. Nguyên hàm: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng D. D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D đều có dạng F(x) + C.  F ( x )  f ( x ), x  D. Ví dụ 1.1:  x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.  x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x .  x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  C )  2 x. 3 4 Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là II. Tích phân bất định: hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x) cả các nguyên hàm của f trên D. Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x. ký hiệu là  f ( x )dx , trong đó  : dấu tích phân. x : biến lấy tích phân. f ( x ) : hàm lấy tích phân. f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân. 5 6 1
13/10/2018 III. Tính chất: IV. Bảng công thức tích phân cơ bản:   k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.    f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx. Xem Bảng 4.   f ( x )dx  f ( x )  C.    f ( x)dx   f ( x ). 7 8 I. Công thức Newton-Leibniz: Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích phân xác định của f từ a đến b là §2. Tích phân xác định b b  f ( x)dx  F ( x) a a  F (b )  F ( a ) 9 10 II. Tính chất: a   f ( x )dx  0 a a b   f ( x )dx   f ( x )dx b a b b §3. Các phương pháp   k. f ( x )dx  k. f ( x )dx với k là hằng số a b a b b tính tích phân    f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx a a a b c b   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a a c b  f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x)dx  0. a 11 12 2
13/10/2018 I. Phương pháp đổi biến số loại 1: Tích phân dạng: I   f u ( x)  u ( x) dx Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x )  dt  u( x ) dx Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp sao cho t   biểu thức còn lại trong hàm số. Bước 2 (thay vào tích phân): Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x )  C hàm số. 13 14 b Dấu hiệu đổi biến thường gặp: Tích phân dạng: I   f  u ( x)  u ( x )dx a Có Đặt Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx (u(x))n t  u(x) Bước 2 (đổi cận): x a b căn t = căn t u(a) u(b) e x  t  e x  ,   const Bước 3 (thay vào tích phân): 1 t  ln x ln x và u (b) x 1 1 1 I  f (t ) dt và t u(a) x x2 x (cận mới, biến mới). 15 16 Dạng Đặt Dạng Đặt 1 1 có tan x và t = tanx có arctanx và t = arctanx cos 2 x 1 x 2 1 có cot x và t = cotx 1 sin 2 x có arccotx và t = arccotx 1 1 x 2 có arcsinx và t = arcsinx 1 x 2  f (sin x)cosx dx t  sin x 1 có arccosx và t = arccosx 1 x 2  f (cos x)sinx dx t  cos x 17 18 3
13/10/2018 Đặt Ví dụ 3.1. Tính 1 Dạng a )  (x 3  x )5 (3x 2  1)dx b)  x 3 1 x 2 dx 4 0 Thay sin x   sin x dx 4 x t  cos x c)  2 d)  dx f đổi dấu 1  x 1 x  x Thay cos x   cos x x e dx dx t  sin x e)  f)  x (2  ln 2 f đổi dấu ex  1 x)  f (sin x, cos x)dx sin x   sin x 1 Thay  1 1 3 x 3  cos x   cos x t  tan x g) x 2 sin 2   dx h)  dx 1/2 x  x 11 f không đổi dấu  x 4 e tan x Tổng quát t  tan 2 i)  cos 2 dx  j )  tan 2 x  tan 4 x dx  0 x 19 20  arccos x dx sin x  cos x k) dx 2 s)  t)  dx 1 x 2 l )  e2sin x cos xdx 2 4x  4x  5 sin x  cos x 0   6 2 sin x 2 u)  dx 2 m)  (1  cos3x)sin3xdx 7 n)  sin x cos xdx 5 3  v )  4x  2 e x x dx  0 0 x cos x 0 sin(2 x  1) o)  cos2 x tan 3 xdx p)  dx cos2 (2 x  1) sin 2 x dx q)  dx r)  cos 6 x 3cos x  4sin x  5 21 22 Ví dụ 3.2. Tính II. Phương pháp đổi biến số loại 2 dx Phương pháp (đổi biến): a)  x 1  xdx b)  , x 1 2 Đặt x  u (t )  dx  u ( t )dt x x2  1 3 2 Dấu hiệu đặt thông thường: 2 x3 Có Đặt c)  dx     0 (4 x 2  9)3/2 2 a  u ( x) 2 u ( x)  a sin t , t   ;   2 2 a     u 2 ( x)  a 2 u ( x)  ,t  ;  \{0} sin t  2 2     u 2 ( x)  a 2 u ( x )  a tan t , t   ;   2 2 23 24 4
13/10/2018 n Mẫu có ( ax  b) : Đặt t  ax  b. III. Tích phân hàm hữu tỉ: P( x ) Mẫu là tam thức bậc hai ax 2  bx  c :  Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức. dx Vô nghiệm và tích phân có dạng  ax 2  bx  c , ta Phương pháp: 2 2 2 Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức. biến đổi ax  bx  c  a  u ( x ). Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = Có nghiệm kép x0 , ta phân tích một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2 làm như sau P( x ) P( x )  2  . ax  bx  c a ( x  x0 )2 25 26 Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các hệ số như sau Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích P( x) A B C    2 ax  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 ). ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) x  x1 x  x2 x  x3 Tìm hệ số A, B sao cho P ( x) A B C    P( x ) A B ( x  x1 )( x  x2 )2 x  x1 x  x2 ( x  x2 ) 2   . a ( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2 P( x) A Bx  C   ( x  x0 )( ax 2 + bx + c ) x  x0 ax 2  bx  c trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm. 27 28 P( x) A B Cx  D Ví dụ 3.3. Tính 2 2   2  2 1 ( x  x0 ) ( ax + bx + c ) x  x0 ( x  x0 ) ax  bx  c sin 3 x 4x  3 a)  dx b)  dx 2  cos x 2x 1 P ( x) A Bx  C Dx  E  0    ( x  x0 )(ax2 + bx + c)2 x  x0 ax2  bx  c (ax2  bx  c)2 2 dx d)  xdx c)  2  sin x (2 x  1)3 trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm. 0 4 ( x 2  1) 2x3  4 x2  x  3 Đặc điểm: e)  dx f ) dx -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng. 1 x  3 x 2  4 x  12 3 x2  2 x  3 -Mẫu là lũy thừa của tam thức ax 2  bx  c vô nghiệm: Tử ( x  2)2 2 x 2  3 x  11 là nhị thức. g)  dx h)  dx x( x  1)2 x 3  x 2  3x  5 x2  2 x  1 2x3  5x2  8x  4 i)  dx j)  dx ( x  1) 2 ( x 2  1) ( x 2  2 x  2) 2 29 30 5
13/10/2018 dx 1 x k)  l)  dx IV. Phương pháp tích phân từng phần: x( x2  1) 2 x Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log); e2 x dx m)  đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); e  3e x  2 2x mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân. Phương pháp: u  f ( x ) du  f ( x)dx B1: Đặt    dv  g ( x)dx v  Nguyên hàm của g(x) 31 32 B2: Dùng công thức tích phân từng phần Ví dụ 3.4. Tính 1  udv  uv   vdu a )  x cos xdx b)  x 2e x dx hoặc 0 b b e b ln x  udv  uv a   vdu. c)  ln( x  x 2 )dx d) dx a a 1 x2 e )  arctan 4xdx f )  x 2 arccos xdx  g )  e x sin xdx 2 h)  sin 2 x ln(2  cos x) dx 0 i)  x ln 2 xdx 33 34 6
Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tính các tích phân sau 1  x 1  x  x 3e x  x 2 1)   7 x 2    dx . 2 2)  ( x  1) xdx . 3)  dx .  5 cos 2 x  0 x3  x 2 3x 2 (1  e ) e 1 2 x 4)  dx 5) e dx . 6)  2cos dx . e3 x x 1 0 2  4 2 7)  tan xdx . 8)  (tan x  cot x )2 dx . 9)  1  cos 4 xdx . 0 2 1  cos x 10)  dx . 11)  sin x cos 3x cos 5 xdx . 12)  2 x.32 x.53 x dx . 0 2 2 3dx dx 13)  . 14)  8  2x 2 . 2 1  9x 0 Bài 2: Tính các tích phân sau 1 x 1)  ( x 2  3 x  1)10 (2 x  3)dx 2)  3 dx. 3)  3x 2 x 3  1dx. x 2  4 1 2 dx 2 xdx x2 4)  x(1  x 2 . 5)  . 6)  dx. 1 ) 3 x2 1 x 1 dx ex 7) x . 8)  (1  e x )2 dx. 9)  e x 1  e x dx. 2 x 1 ln 4 2X e x dx dx 10)  2 X  3 dx. 11)  0 e 92x . 12)  1 e 2 x e4 e dx ln x dx 13)  . 14)  dx 15)  . e x ln x x 1  ln x 1 x 4  ln 2 x 1 1  x 1 cot xdx 16)  2 cos   1 dx. 17)  dx. 18)  . x x  x5 cos 2 x x 1  tan 2 x tan 2 x  /2 cot 2 19)  dx. 20)  dx. 21)  2 dx . 1  tan x cos4 x  /3 sin 2 x 2 1/ 2 arcsin x x  (arccos 3 x) 2 arcsin x 22) 1/ 4 x(1  x) dx . 23)  dx . 24)  dx . 1  9x 2 1 x 2  3 2 sin x sin x 25)  cos3 x sin xdx . 26)  dx. 27)   3  2 cos x  2 dx. cos4 x 0 7
Bài tập Giải tích cos x x x 1 1 1 28)  sin 2 dx . 29)  sin 5 cos dx. 30)  sin cos dx. x  2 tan 2 x 3 3 x 2 x x  2 sin 2 x 31)  dx. 32)  1  sin 2  x  1 sin  x  1 cos  x  1 dx.  1  cos x 3 1 sin 2 x sin x 1  x  . 3 33)  4  sin 4 x dx . 34)  (1  sin x)2 dx . 35)  x 1 4 2dx x4  3x2  1 x 36) 1 x  4x x dx. 37)  x5  5 x3  5 x dx 38)  1 x 3 dx. 12 Bài 3: Tính các tích phân sau dx x 2 dx x 2  25dx xdx 1) x . 2)  . 3)  , x  5. 4)  . x 1 2 2 9 x 2 x3 1 x 4 Bài 4: Tính các tích phân sau x 1 x4 2 x 3  7 x 2  12 x  11 1)  x  1 dx . 2)  x 2  4 dx . 3)  2x  3 dx . 1 0 x 3  4 x  10 x 3 dx x2  8 4) 0 x 2  x  6 . 5)  2 . 6)  2 dx . 1 x  2 x  1 x  5x  6 4 x3  2 x 2  4 x4  9 9 x 3  3x  1 7)  3 dx. 8)  4 dx. 9)  dx. 3 x  2x2 x  9 x2 x3  x 2 x2  4 x  1 x4 6x  7 10)  dx. 11)  dx. 12)  2 dx.  x  1 x  1 x  3 x  3 x 2  10 x 3  x  2 3 x2 3x2  x  4 x3  x2  2 x  1 13)   x  1 ( x2  2 x  1) dx. 14)  dx. 15)  dx . 1 x3  x ( x 2  1)( x 2  1) 2 x  2x 1 x 4  81 x2 16)  ( x2  1)2 dx. 17)  2 dx. 18)  dx. x  x2  9 x4 1 1 x dx 2 x3  x 19) 0 x 2  4 x  13 dx. 20)  x2  x4 . 21)  dx . x4 1 sin x ex ex 22)  cos2 x  3cos x dx . 23)  (e x  2)(e2 x  1) dx . 24)  (e x  2)(e2 x  1) dx . dx dx dx 25)  1 e x . 26)  sin x(1  cos x) . 27)  4 cos x  3sin x  5 . x 1 dx dx 28)  dx . 29) 2 . 30) x 2 . x x3  x x x 8
Bài tập Giải tích 1 1 dx 31)  1 dx. 32)  . 0 3 x x3 x Bài 5: Tính các tích phân sau 2 x 2 1)  x sin 2 dx. 2)  x cos xdx. 3)  x ln xdx. 1 x  2 x  1 e 2 x dx. 2 4) 5)  e 2 x cos 3 xdx. 6)  sin  ln x  dx. 2 earctan x arctan x x ln( x  1  x 2 ) 7)  x  ln x  dx. 8)  1 x2 dx 9)  1  x2 dx . ln 2 1 xe arctan x x ln(2 x 2  4 x  1) 10)  dx . 11)  xe dx . 12) 0 ( x  1)3 dx . (1  x 2 )3/ 2 0 3  /2  /2 13)  x arctan xdx . 14)  esin x sin 2 xdx . 15)  (2 x  1) cos 2 xdx . 0 0 0 2 1 4  2 2 16)  x ln(1  x )dx . 17)  sin xdx . 18)  e x cos 2 xdx . 0 0 0 9
BẢNG 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN (1)  0dx  C (2)  dx  x  C Với A  0 :  x 1 1 ( Ax  B ) 1  (3)  x dx    1  C  ( Ax  B) dx  A    1  C (  1) dx dx 1 (4)  x  ln x  C ( x  0)  Ax  B A ln Ax  B  C  ( Ax  B  0) dx 1 dx 1  1  (5)  x2  x  C  ( Ax  B)2  A . Ax  B   C dx 1 dx 1 1 (6)  xn  (n  1)xn1  C  ( Ax  B)n  A  (n  1)( Ax  B)n1  C dx dx 2 (7)  x  2 x  C (x > 0)  Ax  B  A Ax  B  C (Ax + B > 0) n m n n n m n m 1 n n n m (8)  x dx  n  m x  C  ( Ax  B) dx  A  n  m ( Ax  B)  C 1 n n n m 1 1 n n (9)  n xm dx  x C  n ( Ax  B)m dx   ( Ax  B)nm  C nm A nm dx 1 ax  b (10)  (ax  b)(cx  d)  ad  bc ln cx  d  C x x ( Ax  B ) 1 ( Ax B ) (11)  e dx  e C e dx  A e C x ax ( Ax  B ) 1 a ( Ax  B ) (12)  a dx  ln a C  a dx   A ln a C (0  a  1) 1 (13)  cos xdx  sin x  C  cos( Ax  B ) dx  A sin( Ax  B)  C 1 (14)  sin xdx   cos x  C  sin( Ax  B ) dx  A cos( Ax  B)  C 1 (15)  cot xdx  ln sin x  C  cot( Ax  B ) dx  A ln sin( Ax  B )  C 1 (16)  tan xdx   ln cos x  C  tan( Ax  B ) dx  A ln cos( Ax  B )  C dx dx 1 (17)  cos2 x  tan x  C  cos2 ( Ax  B)  A tan( Ax  B)  C dx dx 1 (18)  sin 2 x   cot x  C  sin 2 ( Ax  B)  A cot( Ax  B)  C 11
dx 1 x dx 1 1 Ax  B (19)   k 2  x2 k arctan  C ( k  0)    ( Ax  B)2  k 2 A k arctan C k k dx x dx 1 Ax  B (20)  k 2  x 2  arcsin k  C (k  0)  k 2  ( Ax  B)2  A arcsin k  C dx  dx 2  ln x  x  k  C  ( Ax  B ) 2  k 2 (21) x k 1 (k  0)  ln ( Ax  B )  ( Ax  B ) 2  k  C A 2 2 x 2 2 k2 x (22)  k  x dx  k  x  arcsin  C (k  0) 2 2 k 2 x 2 k (23)  x 2  k 2 dx  x  k 2  ln x  x 2  k 2  C 2 2 x k (24)  k  x 2 dx  k  x 2  ln x  k  x 2  C 2 2 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.