zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 6 - Nguyễn Trần Phi Phượng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

83
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 6 - Cây của Nguyễn Trần Phi Phương sau đây để nắm bắt được những kiến thức về định nghĩa, tính chất; bài toán cây khung nhỏ nhất. Mời các bạn tham khảo bài giảng để bổ sung thêm kiến thức về lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 6 - Nguyễn Trần Phi Phượng

Chương 6 CÂY
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 1 Cây là đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình. Đồ thị không có chu trình gọi là rừng. Ví dụ 1 Rừng gồm ba cây T1, T2, T3. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 2
6.1 Định nghĩa – Tính chất Ví dụ 2 G1, G2 là cây. G3 không là cây do có chứa chu trình. G4 không là cây do không liên thông. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 3
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định lý 1 Giả sử T=(V,E) là một đồ thị vô hướng n đỉnh. Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương đương: 1. T là cây; 2. T không chứa chu trình và có n – 1 cạnh; 3. T liên thông và có n – 1 cạnh; 4. T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu; 5. Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bằng đúng một đường đi đơn; 6. T không chứa chu trình nhưng nếu thêm một cạnh bất kỳ vào T thì ta sẽ được thêm đúng 1 chu trình. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 4
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (1) ⇒ (2): T là cây ⇒ T không chứa chu trình và có n-1 cạnh. • Hiển nhiên T không chứa chu trình (do T là cây) • Ta chỉ cần chứng minh T có n-1 cạnh. • Xét Tn là cây có n đỉnh. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n – n = 2, Cây có 2 đỉnh thì có 1 cạnh. Đúng. – Giả sử mọi cây có k đỉnh thì sẽ có k-1 cạnh – Xét Tk+1 là cây có k + 1 đỉnh. Dễ thấy rằng trong cây Tk+1 luôn tồn tại ít nhất 1 đỉnh treo. – Loại đỉnh treo này (cùng với cạnh nối) ra khỏi Tk+1 ta được đồ thị T’ có k đỉnh. Dễ thấy T’ vẫn liên thông và không có chu trình (do Tk+1 không có chu trình) – Suy ra T’ là cây. Theo giả thiết quy nạp, T’ có k đỉnh thì sẽ có k-1 cạnh. Vậy cây Tk+1 có k cạnh. (đpcm) 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 5
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (2) ⇒ (3): T không chứa chu trình và có n-1 cạnh ⇒ T liên thông và có n-1 cạnh. • Hiển nhiên T có n-1 cạnh (theo giả thiết) • Ta chỉ cần chứng minh T liên thông. • Giả sử T có k thành phần liên thông với số đỉnh lần lượt là n1,…, nk. • Khi đó mỗi thành phần liên thông của T sẽ là một cây và sẽ có số cạnh lần lượt là n1-1, n2-1,…, nk-1. • Suy ra, số cạnh của T sẽ là n1-1 + n2-1 +…+ nk-1 = n – k. • Theo giả thiết, số cạnh của cây là n-1. Từ đó suy ra k = 1 hay T chỉ có 1 thành phần liên thông. Suy ra T liên thông (đpcm). 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 6
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (3) ⇒ (4): T liên thông và có n-1 cạnh ⇒ T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu. • Hiển nhiên T liên thông (theo giả thiết) • Ta chỉ cần chứng minh mỗi cạnh của T đều là cầu. • Xét (u,v) là cạnh bất kỳ của T. Nếu bỏ (u,v) ra khỏi T, ta sẽ được đồ thị T’ có n đỉnh và n-2 cạnh. • Ta đã chứng minh được đồ thị có n đỉnh và n-2 cạnh thì không thể liên thông. • Vậy nếu bỏ cạnh (u,v) ra thì sẽ làm mất tính liên thông của đồ thị. Suy ra (u,v) là cầu. (đpcm). 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 7
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (4) ⇒ (5): T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu ⇒ Giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn tồn tại đúng 1 đường đi đơn. • Xét u, v là hai đỉnh bất kỳ trong T. • Do T liên thông nên luôn tồn tại đường đi giữa u và v. Ta sẽ chứng minh đường đi này là duy nhất. • Giả sử có hai đường đi đơn khác nhau giữa u và v. Khi đó hai đường đi này sẽ tạo thành một chu trình. • Suy ra, các cạnh trên chu trình này sẽ không thể là cầu được – Mâu thuẫn. • Vậy giữa u và v chỉ có thể tồn tại đúng 1 đường đi đơn. (đpcm) 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 8
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (5) ⇒ (6): Giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn tồn tại đúng 1 đường đi đơn ⇒ T không chứa chu trình, nhưng nếu thêm vào 1 cạnh bất kỳ thì sẽ phát sinh đúng 1 chu trình • T không thể có chu trình, vì nếu có chu trình thì giữa hai đỉnh trên chu trình này sẽ có 2 đường đi đơn khác nhau – mâu thuẫn với GT. • Giả sử ta thêm vào T cạnh (u,v) bất kỳ (trước đó không có cạnh này trong T). • Khi đó cạnh này sẽ tạo với đường đi duy nhất giữa u và v trong T tạo thành 1 chu trình duy nhất. (Vì nếu tạo thành 2 chu trình thì chứng tỏ trước đó có 2 đường đi khác nhau giữa u và v – mâu thuẫn với giả thiết) 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 9
6.1 Định nghĩa – Tính chất Chứng minh định lý (6) ⇒ (1): T không chứa chu trình, nhưng nếu thêm vào 1 cạnh bất kỳ thì sẽ phát sinh đúng 1 chu trình ⇒ T là cây • Hiển nhiên T không chứa chu trình (theo giả thiết). • Giả sử T không liên thông. Khi đó T sẽ có nhiều hơn 1 thành phần liên thông • Suy ra, nếu thêm vào một cạnh bất kỳ giữa hai đỉnh thuộc 2 thành phần liên thông khác nhau sẽ không tạo thêm chu trình nào – mâu thuẫn với giả thiết. • Vậy, T phải liên thông. Suy ra T là cây. (đpcm) 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 10
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 2 Cho T là một cây. Chọn một đỉnh r của cây gọi là gốc. Vì có đường đi duy nhất từ gốc tới mỗi đỉnh của đồ thị nên ta định hướng mỗi cạnh là hướng từ gốc đi ra. Cây cùng với gốc sinh ra một đồ thị có hướng gọi là cây có gốc. – Trong một cây có gốc r thì: – deg-(r) = 0 – deg-(v) =1 với mọi đỉnh không phải là gốc. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 11
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 3 Cho cây có gốc r. – Gốc r được gọi là đỉnh mức 0 (level 0). – Các đỉnh kề với gốc r được xếp ở phía dưới gốc và gọi là đỉnh mức 1 (level 1). – Đỉnh sau của đỉnh mức 1 (xếp phía dưới đỉnh mức)gọi là đỉnh mức 2. –… – Level (v) = k ⇔ đường đi từ gốc r đến v qua k cung. – Độ cao của cây là mức cao nhất của các đỉnh. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 12
6.1 Định nghĩa – Tính chất -----------------------------------level 0 ---------------------------------------level 1 --------------------------------------------level 2 -----------------------------------------------level 3 -------------------------------------------level 4 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 13
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 4 Cho cây có gốc r. a) Nếu uv là một cung của T thì u được gọi là cha của v,còn v gọi là con của u. b) Đỉnh không có con gọi là lá (hay đỉnh ngoài). Đỉnh không phải là lá gọi là đỉnh trong. c) Hai đỉnh có cùng cha gọi là anh em. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 14
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 5 Cho T là cây có gốc. a) T được gọi là cây k-phân nếu mỗi đỉnh của T có nhiều nhất là k con. b) Cây 2-phân được gọi là cây nhị phân. c) Cây k-phân đủ là cây mà mọi đỉnh trong có đúng k con. d) Cây k-phân với độ cao h được gọi là cân đối nếu các đỉnh đều ở mức h hoặc h – 1. 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 15
6.1 Định nghĩa – Tính chất 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 16
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 6 Cho T là cây nhị phân có gốc là r. Ta có thể biểu diễn T như hình vẽ dưới với hai cây con tại r là TL và TR ,chúng lần lượt được gọi là cây con bên trái và cây con bên phải của T. r TL TR 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 17
6.1 Định nghĩa – Tính chất Định nghĩa 7 Độ dài đường đi trong và độ dài đường đi ngoài Cho T là cây nhị phân đủ. a) Độ dài đường đi trong là tổng tất cả các mức của các đỉnh trong, ký hiệu IP(T). b) Độ dài đường đi ngoài là tổng tất cả các mức của các lá, ký hiệu EP(T). 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 18
6.1 Định nghĩa – Tính chất Ví dụ Tính độ dài đường đi trong và độ dài đường đi ngoài của đồ thị dưới đây: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 19
6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Định nghĩa 1 Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng liên thông. Cây T=(V,F) với F⊆ E được gọi là cây khung (cây tối đại, cây bao trùm) của đồ thị G. Ví dụ Đồ thị và các cây khung của nó 12/05/2011 Lý thuyết đồ thị 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.