Bài giảng Mạch điện 2 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Chia sẻ: Mucnang222 Mucnang222 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:227

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Mạch điện 2 cung cấp cho người học các kiến thức như: Mạch phi tuyến; Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ; Phân tích mạch trong miền thời gian; Phân tích mạch trong miền tần số; Đường dây dài. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Mạch điện 2 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Môn học Mạch điện 2 là môn học cơ sở quan trọng đối với sinh viên các ngành học công nghệ kỹ thuật điện, điện tử; công nghệ kỹ thuật điều khiển và tự động hóa. Để tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu vào các lĩnh vực kỹ thuật điện, kỹ thuật điện tự, kỹ thuật điều khiển sinh viên cần nắm vững những kiến thức trong môn học mạch điện 2. Ngoài ra môn học này còn là cơ sở giúp sinh viên học tốt các môn học khác có liên quan: Máy điện, Lý thuyết tín hiệu, Điện tử cơ bản 2… Môn học mạch điện 2 chia làm 5 chương: Chương 1: Mạch phi tuyến Chương 2: Khái niệm cơ bản về quá trình quá độ Chương 3: Phân tích mạch trong miền thời gian Chương 4: Phân tích mạch trong miền tần số Chương 5: Đường dây dài Tập bài giảng này được nhóm tác giả trình bày cụ thể nội dung, các bước thực hiện của mỗi phương pháp phân tích mạch điện. Các bài tập và ví dụ minh họa được trình bày theo từng chương lý thuyết, giúp người có thể tiếp cận để làm bài tập hoặc ứng dụng vào các môn học có liên quan. Nhóm tác giả biên soạn tập bài giảng với sự cố gắng tham khảo nhiều tài liệu liên quan và tham khảo ý kiến đồng nghiệp. Qua đây chúng tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Bộ môn CSKTĐ –Khoa Điện Điện tử đã nhiệt tình đóng góp ý kiến quý báu trong quá trình biên soạn. Tuy nhiên đây là lần đầu tiên biên soạn tập bài giảng môn học Mạch điện 2 nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và các em sinh viên để hoàn thiện hơn nữa tập bài giảng này. Chân thành cảm ơn! Nam Định, ngày 7 tháng 12 năm 2014 Nhóm tác giả
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU................................................................................................................. 1 Chương 1 MẠCH PHI TUYẾN ...................................................................................... 1 1.1. Các phần tử phi tuyến ........................................................................................... 1 1.1.1. Điện trở phi tuyến .......................................................................................... 1 1.1.2. Điện cảm phi tuyến ........................................................................................ 3 1.1.3. Điện dung phi tuyến ....................................................................................... 5 1.2. Mạch phi tuyến ..................................................................................................... 6 1.2.1. Khái niệm về mạch phi tuyến ........................................................................ 6 1.2.2. Các tính chất của mạch phi tuyến .................................................................. 6 1.3. Phân tích mạch phi tuyến một chiều. .................................................................... 7 1.3.1. Phương pháp đồ thị ........................................................................................ 7 1.3.2. Phương pháp dò ........................................................................................... 11 1.3.3. Phương pháp số ............................................................................................ 13 1.4. Mạch từ ............................................................................................................... 16 1.4.1. Khái niệm về mạch từ .................................................................................. 16 1.4.2. Luật Kirchhoff cho mạch từ ......................................................................... 17 1.5. Phân tích mạch phi tuyến xoay chiều ................................................................. 19 1.5.1. Phương pháp đồ thị ...................................................................................... 20 1.5.2. Phương pháp cân bằng điều hòa .................................................................. 20 1.5.3. Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa.......................................................... 23 1.5.4. Phương pháp sơ đồ tương đương tín hiệu nhỏ ............................................. 24 1.5.5. Tính toán mạch từ ........................................................................................ 32 Tóm tắt chương 1 .......................................................................................................... 38 Câu hỏi - Bài tập chương 1 ........................................................................................... 40 Chương 2 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ ................................... 48 2.1. Định nghĩa quá trình quá độ trong mạch điện .................................................... 48 2.2. Các điều kiện đầu và các luật đóng mở. ............................................................. 49 2.2.1. Điều kiện đầu ............................................................................................... 49 2.2.2. Các luật đóng mở ......................................................................................... 49 2.3. Xác định các điều kiện đầu. ................................................................................ 53 2.3.1. Xác định điều kiện đầu độc lập .................................................................... 53 2.3.2. Xác định điều kiện đầu phụ thuộc ............................................................... 54 Tóm tắt chương 2 .......................................................................................................... 59 Câu hỏi – Bài tập chương 2 ........................................................................................... 60 Chương 3 PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN .................................... 62 3.1. Phương pháp tích phân kinh điển ....................................................................... 62
3.1.1. Phương trình mạch và nghiệm .....................................................................62 3.1.2. Quá trình quá độ trong mạch tuyến tính ......................................................69 3.2.2. Dạng toán tử của các định luật mạch cơ bản ...............................................99 3.2.3. Biến đổi ngược Laplace .............................................................................103 3.2.4. Áp dụng phương pháp toán tử phân tích quá trình quá độ trong mạch tuyến tính........................................................................................................................105 3.3. Pháp tích chập và tích phân Duhamel ...............................................................113 3.3.1. Đặc tính thời gian của hệ thống .................................................................113 3.3.2. Tích chập và tích phân Duhamel................................................................117 3.4. Phương pháp biến trạng thái .............................................................................123 3.4.1. Phương trình trạng thái ..............................................................................124 3.4.2. Phân tích quá trình quá độ trong mạch tuyến tính bằng phương pháp biến trạng thái ...............................................................................................................124 Tóm tắt chương 3.........................................................................................................129 Chương 4 PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................................140 4.1. Khái niệm chung ...............................................................................................140 4.2. Phương pháp chuỗi Fourier ..............................................................................140 4.2.1. Biểu diễn các quá trình tuần hoàn ..............................................................140 b. Biểu diễn x(t) theo chuỗi Fourier lượng giác ..........................................................145 4.2.2. Phân tích mạch tuyến tính có nguồn chu kỳ không hình sin .....................148 Biểu diễn e(t) theo chuỗi Fourier lượng giác ..............................................................151 4.2.3. Phân tích mạch tuyến tính với nhiều nguồn tác động điều hoà .................155 4.3. Phương pháp biến đổi tích phân Fourier ..........................................................157 4.3.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn trong miền tần số ..............................157 4.3.2. Phân tích mạch tuyến tính với nguồn tín hiệu không tuần hoàn ................163 Tóm tắt chương 4.........................................................................................................172 Câu hỏi – Bài tập chương 4 .........................................................................................174 Chương 5: ĐƯỜNG DÂY DÀI ...................................................................................180 5.1. Khái niệm về mạch thông số rải .......................................................................180 5.2. Các thông số đơn vị của đường dây dài ............................................................181 5.2.1. Định nghĩa ..................................................................................................181 5.2.2. Cách xác định các thông số đơn vị.............................................................181 5.3. Phương trình đường dây dài và nghiệm............................................................182 5.3.1. Thành lập phương trình đường dây dài ......................................................182 5.3.2. Nghiệm xác lập điều hòa ............................................................................185 5.3.3. Mô tả bốn cực của đường dây dài ..............................................................189 5.3.4. Các thông số sóng của đường dây dài ........................................................193
5.3.5. Đường dây hòa hợp tải ............................................................................... 198 5.4. Đường dây không tổn hao ................................................................................ 203 5.4.1. Nghiệm của phương trình đường dây không tổn hao ................................ 204 5.4.2. Phân bố dòng áp trên đường dây không tổn hao ....................................... 206 Tóm tắt chương 5 ........................................................................................................ 216 Câu hỏi - Bài tập chương 5 ......................................................................................... 218 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 223
Chương 1 MẠCH PHI TUYẾN 1.1. Các phần tử phi tuyến Các phần tử phi tuyến được sử dụng để tạo nên các quá trình phi tuyến mà mạch tuyến tính không thể tạo ra được ví dụ như các quá trình chỉnh lưu, điều chế, tách sóng, tạo dao động. Quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng của phần tử phi tuyến khó biểu diễn dưới dạng giải tích. Thông thường các quan hệ này được mô tả bằng các hàm bậc cao hoặc các đường đặc tuyến thực nghiệm như sau: - Quan hệ dòng điện và điện áp đối với điện trở; - Quan hệ từ thông và dòng điện đối với cuộn dây; - Quan hệ điện tích và điện áp đối với tụ điện. Các hàm, đặc tuyến của phần tử phi tuyến có thể biểu diễn dưới các hình thức khác nhau như đường đặc tính, bảng số liệu, hàm số bậc cao (bậc lớn hơn 2). Tùy thuộc vào điều kiện làm việc, người ta phân biệt các đặc tuyến của các phần tử phi tuyến thành nhiều loại: - Đặc tuyến tĩnh được xác định, đo lường khi phần tử phi tuyến làm việc ở các quá trình biến thiên chậm theo thời gian. - Đặc tuyến động được xác định, đo lường khi các phần tử p h i t u yế n làm việc ở quá trình điều hòa. - Đặc tuyến xung được xác định khi phần tử phi tuyến làm việc với các quá trình đột biến theo thời gian. Thông số giá trị của phần tử phi tuyến có hai loại là thông số tĩnh và thống số động. Trong đó: - Thông số tĩnh được dùng để mô tả phần tử phi tuyến tại điểm làm việc tĩnh; - Thông số động dùng để mô tả phần tử phi tuyến tại điểm làm việc tĩnh khi có nguồn tác động biến thiên theo thời gian. Có ba cách mô tả phần tử phi tuyến: - Mô tả bằng đường đặc tuyến (được giới thiệu trong ví dụ 1.1 đến ví dụ 1.5) - Mô tả bằng bảng số liệu (được giới thiệu trong ví dụ 1.7) - Mô tả bằng hàm số bậc cao (được giới thiệu trong ví dụ 1.6 và ví dụ 1.8) 1.1.1. Điện trở phi tuyến 1. Ký hiệu Ký hiệu của điện trở phi tuyến trong mạch điện có hai dạng cơ bản thể hiện ở hình 1.1a và hình 1.1b. 1
u(i);i(u) u(i);i(u) i i R R + u + u a) b) Hình 1.1: Ký hiệu điện trở phi tuyến 2. Đặc tuyến Đặc tuyến của điện trở phi tuyến xác định mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp của điện trở phi tuyến. Có hai dạng đặc tuyến thể hiện ở phương trình (1.1) hoặc (1.2) u  fR i  (1.1) Hoặc i  R  u  (1.2) Trong đó fR i  , R  u  là hàm liên tục trong khoảng (-,+) và R  u   fR1 i  . Các đặc tuyến được mô tả bởi các phương trình (1.1) và (1.2) sẽ đi qua gốc tọa độ và nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. u i 0 i 0 u a) b) Hình 1.2 a: Đặc tuyến điện trở phi tuyến dạng u  fR i  B: Đặc tuyến điện trở phi tuyến dạng i  R  u  Nếu điện trở phi tuyến có đặc tuyến như hình 1.2a mà không có đặc tuyến dạng hình 1.2b ta gọi điện trở phi tuyến này là phần tử phụ thuộc dòng điện hay tham số điện trở của phần tử này thay đổi theo dòng điện. Nếu điện trở phi tuyến có đặc tuyến dạng hình 1.2b mà không có đặc tuyến dạng 1.2a thì đó là phần tử phi tuyến phụ thuộc điện áp hay tham số điện trở của phần tử phi tuyến thay đổi theo điện áp. Trong trường hợp điện trở phi tuyến có cả hai đặc tuyến (dòng điện là hàm đơn trị của đ i ệ n áp và ngược lại) thì đó là phần tử phi tuyến không phụ thuộc. 3. Điện trở tĩnh và điện trở động Giả thiết xét điện trở phi tuyến có đặc tuyến u = fR(i). Điện trở tĩnh được xác định bằng tỉ số giữa giá trị điện áp và giá trị dòng điện tại điểm làm việc M(Uo, Io) trên đặc tuyến. Biểu thức tính điện trở tĩnh (1.3). 2
Điện trở động của phần tử phi tuyến được xác định bằng đạo hàm của điện áp theo dòng điện tại điểm làm việc. Biểu thức tính điện trở động (1.4). U (1.3) R0  I M du Rd  di M (1.4) Đồ thị 1.3a minh họa cách tính điện trở tĩnh dựa trên đặc tuyến làm việc, còn đồ thị 1.3b minh họa cách tính điện trở động dựa trên đặc tuyến làm việc. Cả điện trở tĩnh và điện trở động đều phụ thuộc vào điểm làm việc trên đặc tuyến của phần tử phi tuyến và là hàm của dòng điện. Nên ta đặt R 0  R 0 i  và Rd  Rd i  . Chú ý: Với một số phần tử phi tuyến, trong một khoảng biến thiên nào đó của dòng điện và điện áp, điện trở động của nó có thể nhận giá trị âm, còn giá trị của điện trở tĩnh thì luôn luôn dương. u u M U0 M U0 du 0 i i 0 I0 di I0 a) b) Hình 1.3a: Đồ thị xác định điện trở tĩnh b: Đồ thị xác định điện trở động 1.1.2. Điện cảm phi tuyến 1. Ký hiệu  L;i();(i) L;i();(i) i i i 0 + u + u a) b) Hình 1.4a: Ký hiệu cuộn cảm phi tuyến b: Đặc tuyến cuộn cảm phi tuyến 3
2. Đặc tuyến Đặc tuyến điện cảm phi tuyến thể hiện mối quan hệ giữa từ thông và dòng điện của cuộn cảm phi tuyến được biểu diễn bởi phương trình (1.5) hoặc (1.6):   fL i  (1.5) d (1.6) u dt Trong đó fL là hàm liên tục trong khoảng (–∞, +∞), đi qua gốc tọa độ của hệ tọa độ và nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba như hình 1.4b. Ngoài ra phương trình (1.5) còn được biểu diễn dưới dạng: i  L   (1.7) Với L  fL1 (1.8) 3. Điện cảm tĩnh và điện cảm động Điện cảm phi tuyến được đặc trưng bởi   fL  i  . Điện cảm tĩnh là tỉ số giữa từ thông và dòng điện của cuộn cảm tại điểm làm việc M(o, Io) được biểu diễn bằng công thức (1.9). Điện cảm động là đạo hàm của từ thông theo dòng điện tại điểm làm việc M được xác định bởi công thức (1.10).  (1.9) L0  IM d (1.10) Ld  di M Hình 1.5a minh họa cách xác định điện cảm tĩnh từ đặc tuyến của cuộn cảm, hình 1.5b minh họa cách tính điện cảm động của cuộn cảm.   M 0 M 0 d 0 i 0 i I0 I0 di a) b) Hình 1.5a: Đồ thị xác định điện cảm tĩnh b: Đồ thị xác định điện cảm động 4
1.1.3. Điện dung phi tuyến 1. Ký hiệu q C; q(u); u(q) C; q(u); u(q) i i 0 u + u + u a) b) Hình 1.6a: Ký hiệu tụ điện phi tuyến b: Đặc tuyến tụ điện phi tuyến 2. Đặc tuyến Đặc tuyến tụ điện phi tuyến đặc trưng cho quan hệ phi tuyến giữa điện tích và điện áp trên tụ điện và được thể hiện bởi công thức (1.11) hoặc (1.12). q  fC  u  (1.11) dq (1.12) i dt Trong đó fc là hàm liên tục trong khoảng (–∞, +∞), có đạo hàm liên tục và đi qua gốc tọa độ và nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. 3. Điện dung tĩnh và điện dung động Điện dung phi tuyến có đặc tuyến q = fc(u) có các thông số tĩnh và động được định nghĩa như sau: q (1.13) C0  UM dq (1.14) Và Cd  du M Hình 1.7a minh họa cách xác định điện dung tĩnh từ đặc tuyến của tụ điện. Hình 1.7b minh họa cách tính điện dung động của tụ điện. q q q0 q0 M dq M 0 u 0 u U0 U0 du a) b) 5
Hình 1.7a: Đồ thị xác định điện dung tĩnh b: Đồ thị xác định điện dung động Các giá trị điện dung tĩnh và điện dung động của tụ điện phi tuyến đều phụ thuộc vào điểm làm việc. Khi đã biết giá trị điện dung động Cd(u) ta có thể xác định dòng điện đi của bằng công thức (1.15). dq dq du du (1.15) i   Cd (u) dt du dt dt 1.2. Mạch phi tuyến 1.2.1. Khái niệm về mạch phi tuyến Mạch phi tuyến là mạch điện trong đó có chứa phần tử phi tuyến và được mô tả bởi hệ phương trình vi phân phi tuyến, phương trình vi phân là phương trình có hệ số biến đổi theo biến. Ví dụ 1.1: Một mạch điện gồm các phần tử R, L, C là phi tuyến mắc nối tiếp mắc vào nguồn e(t) như hình 1.8. Hãy viết phương trình vi phân mô tả mạch điện. L(i) C(i) R(i) e(t) Hình 1.8: Mạch điện ví dụ 1.1 Áp dụng định luật Kirchhoff 2 xác định phương trình mô tả mạch điện: di(t) 1 R i  i  t   L i  i  t  dt  e  t  C i    dt 1.2.2. Các tính chất của mạch phi tuyến - Tính tạo tần: là tính chất chỉ có ở mạch phi tuyến khi kích thích có tần số  thì đáp ứng của mạch có tần số 1, 2, 3… khác với . Tính chất này áp dụng trong mạch nhân, chia tần số. Chứng minh Một mạch phi tuyến bậc 2 đặc tuyến x = y2 nếu đưa kích thích y = Asint thì đáp A2 A2 ứng x = A2sin2t =  cos2t , vậy mạch tạo tần số gấp hai lần tần số ban đầu . 2 2 - Mạch phi tuyến không có tính xếp chồng nghiệm Chứng minh 6
Một mạch phi tuyến bậc 2 đặc tuyến x = y2 Xét kích thích y3(t) = ay1(t) + by2(t) Khi đưa kích thích y1(t) thì đáp ứng x1 = y21(t). Khi đưa kích thích y2(t) thì đáp ứng x2= y22(t).  x3 = {ay1(t)+b y2(t)}2 a.y21(t) + b.y22(t) Vậy mạch phi tuyến không thỏa mãn tính xếp chồng. - Trong mạch phi tuyến có hai hay nhiều kho điện (tụ điện), kho từ (cuộn cảm) trao đổi năng lượng qua lại gây ra hiện tượng tự dao động. - Mạch phi tuyến có thể gây ra hiện tượng cộng hưởng sắt từ. - Có thể xảy ra hiện tượng Trigger. 1.3. Phân tích mạch phi tuyến một chiều. Trong mạch một chiều có tần số  = 0 nên: di d di - Điện áp trên cuộn dây xác định u L (t)  L(i)  .  0 vì vậy cuộn dây được dt di dt coi như nối tắt (ngắn mạch) với dòng một chiều. du dq du - Dòng diện qua tụ điện xác định iC (t)  C(u)  .  0 vì vậy tụ điện được dt du dt coi như hở mạch (đoản mạch) với dòng một chiều. Do đó trong mạch phi tuyến một chiều L(i), C(u) bị loại ra khỏi sơ đồ mạch điện, nên phương trình mô tả mạch chỉ còn là phương trình đại số phi tuyến liên hệ giữa dòng điện và điện áp trên các điện trở phi tuyến. Thực chất của việc giải mạch phi tuyến một chiều là việc giải hệ phương trình đại số phi tuyến viết theo luật Kirchhoff 1 (K1), Kirchhoff 2 (K2) cho mô hình mạch phi tuyến xác lập một chiều. Do đặc tuyến của mạch phi tuyến là thực nghiệm và gần đúng do đó phân tích mạch phi tuyến không có một phương pháp tính toán chính xác nào mà chỉ có phương pháp gần đúng ứng với các bài toán cụ thể theo các dạng hàm đặc tuyến của các phần tử cụ thể. 1.3.1. Phương pháp đồ thị 1. Nội dung phương pháp Trong phương pháp này giải phương trình đại số phi tuyến bằng đồ thị dựa trên cơ sở là đồ thị của hàm đặc tuyến đã biết hoặc vẽ đồ thị của các hàm đặc tuyến cho dưới dạng biểu thức toán học bậc cao, và xây dựng phương trình mô tả mạch điện, thực hiện phép tính đại số và phép tính cân bằng trên đồ thị để xác định nghiệm bài toán. Các bước thực hiện: 7
Bước 1: Viết phương trình mô tả mạch. Bước 2: Thực hiện các phép đại số trên đồ thị tìm ra đường đặc tuyến chung của U(I) hoặc I(U) (cộng theo trục điện áp hoặc trục dòng điện). Bước 3: Thực hiện phép cân bằng giữa đặc tuyến chung và yêu cầu đầu bài tìm ra nghiệm bài toán trên đồ thị. Chú ý: Đối với mạch điện phi tuyến đơn giản dùng phương pháp cộng đồ thị có hiệu quả, đối mạch điện mắc phức tạp có nhiều phần tử phi tuyến hoặc nhiều nhánh phương pháp đồ thị gặp khó khăn bài toán sẽ giải quyết bằng các phương pháp khác thuận lợi hơn. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1.2: Giải mạch phi tuyến không phân nhánh Cho mạch điện như hình 1.9a. Biết: - Nguồn áp kích thích là E, - Các hàm đặc tuyến U1(I), U2(I) cho dưới dạng đường cong đặc tuyến như hình 1.9b. Hãy xác định I0, U1, U2 bằng phương pháp đồ thị. U1(I) U U U(I) I0 E U2(I) U2(I) E U2(I) U2 U1(I) U1 U1(I) 0 I 0 I I0 a) b) c) Hình 1.9a: Mạch điện b: Đồ thị U1(I), U2(I) – c: Đồ thị tìm nghiệm Giải: Bước 1: Mô tả mạch điện bởi phương trình tuân theo định luật K2: U1  I   U2  I   E Bước 2: Thực hiện cộng đồ thị hai đường cong U1(I), U2(I) theo trục điện áp được đường cong U(I). U1  I   U2  I   U  I  Bước 3: Cân bằng đường cong U(I) với E trên đồ thị hình 1.9c . Ta tìm được: dòng điện I0 là giao điểm hai đường U = U(I) và U = E trên đồ thị. Điện áp trên phần tử phi tuyến thứ nhất: U1 = E- U2(I0). 8
Điện áp trên phần tử phi tuyến thứ hai: U2 = E- U1(I0). Ví dụ 1.3: Giải mạch phi tuyến có phân nhánh Cho mạch điện như hình 1.10a, biết nguồn dòng kích thích là J, các hàm đặc tuyến I1(U), I2(U) cho dưới dạng đường cong hình 1.10b. Hãy xác định U0, I1, I2 bằng phương pháp đồ thị. U U I2(U) I2(U)  I1(U) I2(U) I1(U) I1(U) J   U0 I(U)  I1 I2 0 I 0 I I2 I1 J a) b) c) Hình vd 1.10a: Mạch điện ví dụ 1.3 b: Đồ thị I1(U), I2(U) – c: Đồ thị tìm nghiệm Giải: Bước 1: Mô tả mạch điện bởi phương trình tuân theo định luật K1: I1  U  I2  U  J Bước 2: Thực hiện cộng đồ thị hai đường cong đặc tuyến I1(U), I2(U) theo trục dòng điện được đường cong I(U). I1  U  I2  U  I  U Bước 3: Cân bằng đường I = J với đường cong I(U) ta được U0; I1=J- I2(U) và I2= J- I1(U). Ví dụ 1.4: Giải mạch phi tuyến hỗn hợp Cho mạch điện như hình hình 1.11a, biết kích thích E, các hàm đặc tuyến I2(U), I3(U), U1(I1) cho dưới dạng đường cong hình 1.11b. Hãy xác định I1. U U U(I1) I1(U1) I1 E U1(I1) U1(I1) I3(U2) U1 I3(U2) E I2(U) I2(U2) I2(U2) I3(U) U2 I1(U2) I2 I3 0 I 0 I I3 I2 I1 a) b) c) Hình 1.11a: Mạch điện ví dụ 1.4 9
b: Đồ thị U1(I1), I3(U2), I2(U2) – c: Đồ thị tìm nghiệm Giải: Bước 1: Mô tả mạch điện bởi phương trình tuân theo định luật K1: I2  U2   I3  U2   I1  U2  Bước 2: Thực hiện cộng đồ thị hai đường cong I2(U2), I3(U2) trên trục dòng điện được đường cong I1(U2). Bước 3: Mô tả mạch điện bởi phương trình tuân theo định luật K2: U1  I1   U2  I1   E Bước 4: Thực hiện cộng đồ thị hai đường cong U1(I1), U2(I1) theo trục điện áp được đường cong U(I1). U1  I1   U2  I1   U  I1  Bước 5: Cân bằng đồ thị đường U = E và đường cong U(I1) xác định được nghiệm I1 trên đồ thị. Ví dụ 1.5: Cho mạch phi tuyến như hình 1.12a, biết E =12V, R = 3, phần tử phi tuyến có đường đặc tuyến như hình 1.12b. Hãy tìm dòng điện I và điện áp UR trong mạch theo phương pháp đồ thị. R U(V) U(V) I 12 12 9 9 E U2 (I ) 6 6 3 3 0 I(A) 0 I(A) 1 2 3 4 1 2 3 4 a) b) c) Hình 1.12a: Mạch điện ví dụ 1.5 b: Đồ thị U2(I) – c: Đồ thị tìm nghiệm Giải: Bước 1: Mô tả mạch điện bởi phương trình tuân theo định luật K2: U2 (I)  I.R  E  U2 (I)  E  I.R Bước 2: Vẽ đồ thị E-IR Bước 3: Xác định giao điểm của đường U2(I) và E-IR từ đồ thị tìm ra nghiệm I = 2A; UR = E-U2(I) = 12 – 6 = 6V. Chú ý: Trong các ví dụ 1.1 đến ví dụ 1.4 thực hiện phương pháp cộng đồ thị các đường cong đặc tuyến của các phần tử phi tuyến nên sẽ có sai số lớn. Còn ví dụ 1.5 10
thực hiện trừ đồ thị hai đường tuyến tính U = E và U = IR sau đó dùng phương pháp cân bằng đồ thị tìm ra nghiệm bài toán nên sẽ có sai số nhỏ hơn. Như vậy khi gặp bài toán có nhiều phần tử phi tuyến bắt buộc phải thực hiện cộng trừ đồ thị đối với các đường cong phi tuyến trong quá trình phân tích bài toán theo phương pháp này, nhưng khi gặp bài toán chỉ chứa một phần tử phi tuyến nên thực hiện phép công, trừ trên các đường tuyến tính rồi cân bằng với đặc tuyến của phần tử phi tuyến để tìm nghiệm để giảm sai số của bài toán. 1.3.2. Phương pháp dò 1. Nội dung phương pháp Phương pháp này tiện lợi khi giải mạch điện mắc kiểu xâu chuỗi bằng tay. Khi biết sơ đồ mạch điện, nguồn kích thích và các hàm đặc tuyến của các phần tử phi tuyến (thông thường trong phương pháp này đặc tuyến cho dạng biểu thức toán học hoặc bảng số liệu), ta giả thiết nghiệm ở một điểm nào đó trong xâu chuỗi sau đó tiến hành dò tìm ra kích thích, nếu giá trị kích thích tìm được bằng hoặc xấp xỉ bằng kích thích đã cho (sai số nhỏ hơn sai số cho phép) thì coi như bài toán được giải quyết. Phương pháp này dẫn đến hội tụ vì giá trị dò lần sau được xác định căn cứ vào kết quả dò lần trước. Các bước thực hiện: Bước 1: Chọn phần tử dò đầu tiên (nếu có). Bước 2: Lập chu trình các bước dò. Bước 3: Lập bảng số liệu. Bước 4: Tính sai số so sánh với sai số cho phép. Bước 5: Kết luận nghiệm. Chú ý: Nếu mạch điện bao gồm các phần tử điện trở tuyến tính nếu có thể ta dùng phép biến đổi tương đương, và nguyên lý biến đổi tương đương để chuyển phần mạch gồm các phần tử tuyến tính thành mạch điện đơn giản hơn trước khi thực hiện bài toán bằng phương pháp dò. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1.6: Cho mạch phi tuyến như hình 1.13. Biết: E = 12,4V; R1 I1 I3 R3 = 5; R2 = 4,8; R5 = 3; Đặc I2 I4 I5 tuyến R3, R4 cho theo quan hệ hàm E R4 số: UR3  0, 4IR2 3 V; UR4  1,5IR2 4 V. R2 R5 R1 Hãy tìm dòng điện trong các nhánh bằng phương pháp dò (bắt đầu từ phần tử R5). Cho phép sai số   5. Hình 1.13: Mạch điện ví dụ 1.6 11
Giải: - Chọn giá trị dò đầu tiên là dòng điện I5 U4 - Lập chu trình các bước dò: I5 U5 = I5.R5 I4 = I3 = I4 + I5 1,5  U3  UR3  0, 4IR2 3  U2 = U3 + U5  I2 = U2/R2  I1 = I2 + I3  U1 = I1.R1 Echo  Etính  Etính = U1 + U2  %  .100 Echo - Lập bảng nghiệm thực hiện các bước dò theo chu trình đã lập: I5(A) U5(V) I4(A) I3(A) U3(V) U2(V) I2(A) I1(A) U1(V) E1(V)  0,1 0,3 0,45 0,55 0,12 0,57 0,12 0,67 3,35 3,92 68% 0,5 1,5 1 1,5 0,9 2,4 0,5 2 10 12,4 0% - Kết luận nghiệm: I1 = 2(A); I2 = 0,5(A); I3 = 1,5(A); I4 = 1(A); I5 = 0,5(A). Ví dụ 1.7: Cho mạch điện hình 1.14a biết E1 = E2 = 12V; R1 = R2 = 4  ; R4 = 6  ; R5 = 4  ; đặc tuyến R3 cho như bảng vd1.7. Hãy tính dòng qua R3 bằng phương pháp dò (bắt đầu từ phần tử R3). Cho phép sai số   5%. Bảng vd1.7: Số liệu phần tử R3 UR3(V) 4 7 10,5 20 50 IR3(A) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I1 R3 R3 I3 I3 R1 R2 I4 I5 Rtd I2 R4 R5 E1 E2 E1 a) b) Hình 1.14a: Mạch điện ví dụ 1.7 b: Mạch điện tương đương mạch điện hình 1.14a Giải: - Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương và định lý Thevenin biến đổi mạch điện hình 1.14a thành mạch điện hình 1.14b. Trong đó Rtđ và Etđ được xác định như sau: R1.R 2 R .R R td   4 5 R1  R 2 R 4  R 5 E1 E2  R1 R 2 Etd   E1  E2 1 1  R1 R 2 12
- Lập chu trình các bước dò: I3UR3  URtđ = I3.Rtd  Etính sai số - Lập bảng nghiệm thực hiện các bước dò theo chu trình đã lập: I3(A) UR3(V) URtđ (V) Etính (V)  0,1 4 0,44 4,44 63% 0,3 10,5 1,32 11,82 1,5% - Kết luận: Dòng điện qua R3 là 0,3(A). 1.3.3. Phương pháp số 1. Nội dung phương pháp Phương pháp số kết hợp với sự trợ giúp máy tính giúp cho quá trình giải bài toán phi tuyến có hiệu quả. Phương pháp số bao gồm hai bước cơ bản: Bước 1: Thiết lập hệ phương trình cân bằng của mạch. Dựa vào kết cấu mạch điện, các định luật cơ bản và các phương pháp phân tích mạch thiết lập hệ với phương trình phi tuyến mô tả mạch điện. Thông thường phương pháp thế nút áp dụng trong mạch điện chứa các điện trở là phần tử phi tuyến phụ thuộc điện áp, phương pháp dòng điện nhánh, dòng điện vòng áp dụng cho mạch chứa các điện trở là phần tử phi tuyến phụ thuộc dòng điện. Bước 2: Giải hệ phương trình cân bằng theo giải thuật lặp. Có hai giải thuật lặp: giải thuật lặp đơn giản và giải thuật lặp Newton-Raphson việc lựa chọn giải thuật lặp áp dụng phụ thuộc vào từng bài toán, trong bài toán có thể áp dụng cả hai giải thuật lặp thì giải thuật lặp Newton-Raphson có tốc độ hội tụ cao hơn. Chú ý: Không phải tất cả các bài toán sử dụng phương pháp lặp đều hội tụ. Hình 1.15 minh họa cách thực hiện phép lặp giải phương trình x = f(x). y y=x y y = f(x) y = f(x) y=x 0 x 0 x (0) x x (1) x (2) x (3) x(3) x(2) x (1) x (0) a) b) 13
Hình 1.15a: Phép lặp hội tụ 1.15b: Phép lặp không hội tụ *Giải thuật lặp đơn giản Áp dụng vào bài toán phương trình cân bằng mạch có dạng x = f(x). Nghiệm của phương trình sẽ được tìm theo các bước sau: Bước 1: Chọn giá trị đầu x0. Bước 2: Xác định xn+1 = f(xn) với n = 0, 1, 2,… Bước 3: Kiểm tra |xn+1-xn| <  ( là sai số mong muốn) Chú ý: khi giải hệ gồm k phương trình ta chọn véc tơ x 0 gồm k thành phần (x01, x02,… x0k). Ở bước n+1 với n = 0, 1, 2… ta xác định véc tơ x n 1 gồm k thành phần: x(n+1)1 = f1(xn) x(n+1)2 = f2(xn) … x(n+1)k = fk(xn) 2. Ví dụ minh họa R Ví dụ 1.8: Cho mạch phi tuyến như hình 1.16. I Có nguồn E = 8V, R = 2, U2 (I)  4 3 I V. Hãy tìm dòng điện I trong mạch bằng phương E U2 (I ) pháp số. Hình 1.16: Mạch điện ví dụ 1.8 Giải: Thành lập phương trình mô tả mạch: E  I.R  U2 (I)  2.I  4 3 I  8  I  4  2 3 I Chọn: I0 = 0,5A  I1  4  2 3 0,5  2, 41A  I2  4  2 3 2, 41  1,32 A  I3  4  2 3 1,32  1,81 A  I4  4  2 3 1,81  1,56 A  I5  4  2 3 1,56  1,67 A  I6  4  2 3 1,67  1,62 A  I7  4  2 3 1,62  1,65 A  I8  4  2 3 1,65  1,64 A  I9  4  2 3 1,64  1,64 A. - Kết luận nghiệm: I = 1,64A. *Giải thuật lặp Newton-Raphson áp dụng vào bài toán phương trình mạch có dạng f(x) = 0. Bước 1: Chọn giá trị đầu x0. 14
f (x n ) Bước 2: Xác định x n 1  x n  f ' (x n ) Bước 3: Kiểm tra |xn+1-xn| <  ( là sai số mong muốn) Mở rộng khi áp dụng cho bài toán gồm k phương trình: f1(x1,x2…xk) = 0 f2(x1,x2…xk) = 0 … fk(x1,x2…xk) = 0 Ta chọn véc tơ x 0 gồm k thành phần (x01, x02, … x0k) Ở bước lặp thứ n véc tơ x n 1 được xác định như sau: 1  f1 (x n ) f1 (x n )   x ... x nk   f1 (x n )   n1  x n 1  x n   ... ... ....  .  ....     f k (x n ) f k (x n )  f k (x n )   x n1 x nk  Ví dụ 1.9: Cho mạch phi tuyến như hình R 1.17. Có nguồn E = 8V, R = 2, U2 (I)  4 3 I V. I Hãy tìm dòng điện I trong mạch bằng phương E U2 (I ) pháp số. Hình 1.17 Mạch điện ví dụ 1.9 Giải: Thành lập phương trình mô tả mạch: E  I.R  U2 (I) Thay số: 2.I  4 3 I  8  F(I)  I  4  2 3 I  0 I0  4  2 3 I0 I  4  2 3 I1 Chọn I0 = 0,5A  I1  I0  =1,43 A  I2  I1  1 = 2,52 A 2 1 2 1 1 . 1 . 3 3 I02 3 3 I12 I2  4  2 3 I2 I  4  2 3 I2  I3  I 2  = 1,99 A  I3  I2  2 = 1,64 A 2 1 2 1 1 . 1 . 3 3 I22 3 3 I22 I3  4  2 3 I 3  I 4  I3  =1,64 A. 2 1 1 . 3 3 I32 Kết luận nghiệm: I = 1,64A. 15
Như vậy: Qua hai ví dụ 1.8 và 1.0 với cùng một bài toán khi sử dụng được cả hai phương pháp lặp thì phương pháp lặp Newton-Raphson có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp đơn giản. 1.4. Mạch từ 1.4.1. Khái niệm về mạch từ 1. Khái niệm Định nghĩa: Mạch từ là hệ thống gồm nguồn từ và các đoạn mạch từ, mạch từ là đường đi của dòng từ thông. - Nguồn từ tạo ra hai đại lượng B, . Có hai loại nguồn từ cơ bản: + Nam châm vĩnh cửu được làm bằng vật liệu có tính giữ từ cao. Xác định B, dựa vào đường cong từ trễ và kích thước của nam châm; + Nam châm điện là nguồn từ được hình thành bởi cuộn dây quấn quanh lõi thép có dòng điện đi qua có sức từ động F = iw trong đó i là dòng điện đi qua cuộn dây, w số vòng dây của cuộn dây. - Đoạn mạch từ gồm trụ và gông từ được chế tạo bằng các lá thép kỹ thuật ghép cách điện với tạo thành đường kín cho từ thông đi qua. Trên trụ của mạch từ có dây quấn cách điện. Nếu xét một đầy đủ  phân bố cả về thời gian và không gian trong mạch từ vậy bài toán mạch từ là bài toán trường điện từ sẽ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân từng phần rất phức tạp. Nếu trong điều kiện cụ thể của bài toán khi bài toán mạch từ thỏa mãn các điều kiện sau: - Bước sóng nguồn kích thích rất lớn so với kích thước mạch từ; - Hệ số từ thẩm của vật liệu dùng làm gông và trụ từ rất lớn so với hệ số từ thẩm của môi trường; - Hệ số điện thẩm của dây dẫn trong nam châm điện rất lớn so với hệ số điện thẩm của môi trường. Thì có thể coi giá trị  chạy trong đoạn mạch từ là như nhau nghĩa là  chỉ là hàm của biến thời gian (t). Khi đó thay vì mô tả mạch từ bởi hệ phương trình điện từ trường ta dùng hệ phương trình K1, K2 để mô tả, ta có được mô hình mạch từ. 2. Mô hình mạch từ Với các vật liệu sắt từ khác nhau thì  khác nhau, nên có B = (H).H cũng khác nhau. Trong đó  là hàm của H vậy quan hệ B, H là phi tuyến được xác định bằng thực nghiệm. Kích thước gông từ khác nhau (l, S khác nhau) thì  cũng khác nhau vì  = B.S. Vậy một đoạn mạch từ sẽ được đặc trưng bởi kích thước đoạn mạch từ và vật liệu 16