Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng, hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng, phương trình khử, phương pháp trị riêng vecto riêng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (p3)
- Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo
hàm của các hàm cần tìm
Ví dụ: Các hệ ptvp
F (t , x, y, x , y ') = 0 Trong đó
Hệ 2 ptvp cấp 1
G (t , x, y, x , y ') = 0
t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.
Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc x = f (t , x, y, z )
y = g (t , x, y, z )
z = h(t , x, y, z )
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng
dx1
= a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + f1 (t )
dt
dx2
= a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn + f 2 (t )
dt
.............................................................
dxn
= an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn + f n (t )
dt
Trong đó fi(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b)
- Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng
a11
Đặt � a12 ... a1n � �x1 (t ) � �f1 (t ) �
� � �x2 (t ) � �f 2 (t ) �
a21 a22 ... a2 n
A=� �X (t ) = � �F (t ) = � �
�: : : : � �: � �: �
� � � �
xn (t ) � � �
�an1 an 2 ... ann � � �f n (t ) �
Thì hpt trên có thể viết thành
dX
= AX + F (t ) (1) Hệ không thuần nhất
dt
dX
= AX (2) Hệ thuần nhất
dt
Nghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàm
khả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
d
Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là D = Suy ra
dt
2 3
2 d 3 d
D = 2 , D = 3 , ...
dt dt
Ví dụ với hệ ptvp sau
x = 2 x + y + et ( D − 2) x − y = et
Ta viết thành
y = x − 2y + t − x + ( D + 2) y = t
Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt
đại số tuyến tính
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
t
x1 = 3x1 + x2 + e
Ví dụ: Giải hpt
x2 = 2 x1 + 2 x2 + t
t
Ta viết lại hpt ( D − 3) x1 − x2 = e (1)
−2 x1 + ( D − 2) x2 = t (2)
Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được :
t
(−2 + ( D − 2)( D − 3)) x2 = 2e + ( D − 3)t
2 t
D x2 − 5 Dx2 + 4 x2 = 2e − 3t + 3
t
Viết lại kí hiệu thường x2 − 5 x2 + 4 x2 = 2e − 3t + 1
Ta giải pt trên
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
t
x2 − 5 x2 + 4 x2 = 2e − 3t + 1
t 4t 2 t 3 11
x2 = C1e + C2e − te − t −
3 4 16
x2 t
Thay vào pt (2) x1 = − x2 −
2 2
4t 1 t 1 t 1 41
x2 = C2e − C1e + e (t − 1) + t +
2 3 4 24
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
x1' = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3
Ví dụ: Giải hpt x2' = −4 x1 − 6 x2 − 3x3
x3' = 3 x1 + 3 x2 + x3
Ta viết lại hpt: ( D − 2) x1 − 4 x2 − 3 x3 = 0 (1)
4 x1 + ( D + 6) x2 + 3 x3 = 0 (2)
−3 x1 − 3x2 + ( D − 1) x3 = 0 (3)
Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2)
( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0
(−4( D − 1) − 9) x1 + (−( D − 1)( D + 6) − 9) x2 = 0
- Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Hệ trên tương đương với:
( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0 (4)
2
(−4 D − 5) x1 + (− D − 5 D − 3) x2 = 0 (5)
Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5)
2
( D + 5 D + 3)( D + 2) x1 + (−4 D − 5)( D + 2) x1 = 0
3 2
( D + 3D − 4) x1 = 0 x1 + 3 x1 − 4 x1 = 0
t −2 t −2 t
x1 = C1e + C2e + C3te
t −2 t −2 t
Thay vào pt (4) để tìm x2: x2 = −C1e + C4e − C3te
1
Thay vào (1) để tìm x3: x3 = C1e − (4C2 + C3 + 4C4 )e −2t
t
3
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
dX
Hệ pt = AX + F (t )
dt
Với A là ma trận thực, vuông chéo được
Tồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1
dX −1
Thay vào hpt = SDS X + F (t )
dt
−1 dX −1 −1
S = DS X + S F (t )
dt
dY −1 dX Thay vào hpt trên
Đặt Y=S X
-1
=S
dt dt
dY
= DY + S −1F (t ) Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt
dt
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
2
x1 = x1 − 2 x2 + t
Ví dụ: Giải hpt
x2 = x1 + 4 x2 − 2
�1 −2 � �2 1 � −1 �1 1 � �2 0�
A=� � S =� ,S = �
� ,D = �
� �
�1 4 � �−1 −1 � �−1 −2 � 0 3�
�
Đặt Y=S-1X, ta được hpt:
dY y1 = 2 y1 + t 2 − 2
= DY + S −1F (t )
dt y 2 = 3 y2 − t + 4 2
y1 = e 2 dt
�
( 2
(t − 2)e −�
2 dt
dt + C1 )
y1 = e �3dt ( (−t 2 + 4)e − �3dt dt + C2 )
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
1 2 1 3
y1 = − t − t + + C1e 2t
2 2 4
1 2 4 34 3t
y2 = t + t − + C2 e
3 9 27
�2 1 � �y1 �
Ta tính X = SY = � �y �
�
�−1 −1 �
�2 �
2 2 5 17
x1 = − t − t + + 2C1e 2t + C2e3t
3 9 54
5 2 1 55 2t 3t
x2 = − t + t + − C1e − C2e
6 18 108
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
−2 t
x1 = x1 − 3x2 + 3 x3 + e
Ví dụ: Giải hpt x2 = 3 x1 − 5 x2 + 3 x3 + e −2t
x3 = 6 x1 − 6 x2 + 4 x3 − 2t
−2 t
�1 −3 3 � �e � �1 1 1�
� � �−2t � � �
A = 3 −5 3 F (t ) = �e � S = 1 0 1
� � � �
�6 −6 4 � �−2 t � �0 −1 2 �
� � � �
�1 −3 1 � �−2 0 0�
−1 1� � � �
S = − −2 2 0 , D = 0 −2 0
2�
�−1 1 −1�
� �
�0
�
� � � 0 4� �
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S-1X, ta được hpt
−2 t 1 1
−2 t y1 = C1e + t−
y1 = −2 y1 + e +t 2 4
−2 t
y2 = −2 y2 y 2 = C2 e
y3 = 4 y3 − t 1 4t 1
y3 = C3e + t +
4 16
Vậy � −2 t 4t 3 3�
(C1 + C2 )e + C3e + t − �
�
x
�1 � � 4 16
�
�x �= � C e −2t + C e 4t + 3 t − 3 �
X = SY �2 � � 1 3
�x � 4 16 �
�3 � � 1 1 �
� −C2e −2t + 2C3e 4t + t + �
� 2 8 �
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
x1 = − x1 + 3x2 + 2 x3 + t 2
2
Ví dụ: Giải hpt x2 = 3 x1 − x2 + 2 x3 − t
x3 = x1 + x2 + 2 x3 + 2t
2
�−1 3 2 � �t � �1 1 1 �
� � � 2� � �
A = 3 −1 2 F (t ) = �−t � S = 1 1 −1
� �
� �
�1 1 2 � �2t � −1 1 0 �
� � � � �
1 1 −2 �
� 0 0 0�
�
1�
S = 1 1 2�
−1
,D = �
0 4 0�
4�
�
�
�
�
�
�
�
�2 −2 0 � 0
� 0 −4 �
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S-1X, ta được hpt
1 2
y1 = − t + C1
y1 = −t 2
1 1
y2 = 4 y2 + t 4t
y2 = C2 e − t −
4 16
y3 = −4 y3 y3 = C3e −4t
4t 4t 1 2 1 1
x1 = C1 + C2e + C2e − t − t −
2 4 16
1 2 1 1
X = SY 4t 4t
x2 = C1 + C2e − C2e − t − t −
2 4 16
4t 1 2 1 1
x3 = −C1 + C2e + t − t −
2 4 16
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
Giải các hpt sau
x = 2x + y
1.
y = x + 2y
x = 4x + 6 y
2.
y = 2x + 3y + t
x + y = 2 x + 6 y − cos t
3.
y = x + 3 y + sin t
x1' = x1 − 4 x2 − 4 x3 + et
4. x2' = 8 x1 − 11x2 − 8 x3 + 2t
x3' = −8 x1 + 8 x2 + 5 x3
- Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
x1' = −4 x1 + 2 x2 + 5 x3 + t 2
5. x2' = 6 x1 − x2 − 6 x3 + 2t
x3' = −8 x1 + 3 x2 + 9 x3
x1 = 2 x1 − x2 + 2 x3 + 2t
−2t
6. x2 = 5 x1 − 3 x2 + 3 x3 − e
x3 = − x1 − 2 x3
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
