Bài giảng Tích phân xác định

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

322
lượt xem 107
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề tích phân về Tích phân xác định

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tích phân xác định

1 Chương 6. Tích phân xác định Lê Văn Trực Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Tích phân xác định, tích phân, Tổng Darbox Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 6 Tích phân xác định............................................................................................... 3 6.1 Định nghĩa tích phân xác định.................................................................................... 3 6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong......................................................................... 3 6.1.2 Bài toán tính khối lượng......................................................................................... 4 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định................................................................................ 4 6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định ............................................................... 6 6.2 Điều kiện khả tích ...................................................................................................... 6 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích ............................................................................... 6 6.2.2 Các tổng Darboux................................................................................................... 7 6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux ............................................................. 7 6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định ................................................................. 9 6.3 Các lớp hàm khả tích................................................................................................ 10 6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân........................................................................... 12 6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định.................................................................... 12 1
2 6.4.2 Các định lí giá trị trung bình ................................................................................ 16 6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định .......................................................................... 17 6.5.1 Các định nghĩa...................................................................................................... 18 6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên............................................................ 18 6.6 Tính tích phân xác định............................................................................................ 20 6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định ................................................................ 20 6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần ............................................................................... 22 6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định ........................................................................ 26 6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định........................................ 30 6.7.1 Tính diện tích hình phẳng..................................................................................... 30 6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng............................................................................. 35 6.7.3 Tính thể tích vật thể.............................................................................................. 38 6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay........................................................................................ 41 6.8 Tích phân suy rộng................................................................................................... 44 6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1..................................................................................... 44 6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2..................................................................................... 53 6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng ................................................................. 57 Bài tập chương 6 .................................................................................................................. 58
3 Chương 6 Tích phân xác định 6.1 Định nghĩa tích phân xác định 6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b]. Xét hình thang cong AabB (hình 6.1.1) là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) (trên [a,b]), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành. Hình 6.1.1 Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x0 , x1 , x2 ..., xn −1 , xn được chọn tùy ý sao cho x0 ≡ a < x1 < x2 ... < xi −1 < xi < ... < xn −1 < xn ≡ b. Đặt Δxi = x i – xi −1 (i = 1,2,...,n). Từ các điểm chia xi (i = 1,2,...,n) ta dựng các đường thẳng x = xi , như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ P−1 xi −1 xi P (i=1, 2,...,n) . Chọn các điểm i i ξi ∈ [ xi −1 , xi ]. Thay mỗi hình cong nhỏ P−1 xi −1 xi P bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và i i chiều cao là f (ξi ) . Diện tích các hình chữ nhật là: f (ξ1 ) Δ x1 , f (ξ 2 ) Δ x2 , ..., f (ξ n ) Δ xn . Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cần tìm S n của hình thang cong AabB đã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: S~ ∑ f (ξi )Δxi . i =1 Ta nhận thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn của các đọan chia càng nhỏ thì n tổng ∑ f (ξ )Δx i =1 i i càng gần giá trị đúng S. 3
4 Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→ ∞ sao cho Δxi → 0 (i = 1, n ) thì giá trị n giới hạn của tổng ∑ f (ξ )Δx i =1 i i chính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho: n S= lim maxΔxi →0 ∑ f (ξ )Δx . i =1 i i (6.1.1) 6.1.2 Bài toán tính khối lượng Cho một đoạn thẳng vật chất [0,S] và giả thiết là ta biết tỉ khối δ ở tại mỗi điểm của đoạn ấy. Hãy tính khối lượng của cả đoạn thẳng. Nếu tỉ khối δ không đổi trong cả đoạn thẳng, thì khối lượng m sẽ bằng tích của tỉ khối với độ dài đoạn thẳng, tức là m = δ .S. Trong trường hợp tổng quát δ là một hàm liên tục của độ dài s: δ = δ ( s) , với s ∈[0,S]. Việc tìm khối lượng của đoạn sẽ tiến hành như sau: Ta hãy chia đoạn thẳng ra làm n phần bởi các điểm chia: s0 =0, s1 , s2 ,..., si −1 , si ,..., sn −1 , sn = S. và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [ si −1 , si ] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối không đổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái δ = δ ( si −1 ) . Khi đó, khối lượng tương ứng của cả đoạn [0,S] sẽ bằng: m n = δ( s0 )( s1 − s0 ) + δ( s1 )( s2 − s1 ) + ... + δ( si −1 )( si − si −1 ) + ... + +δ( sn−1 )( sn − sn−1 ), n −1 hay mn = ∑ δ ( si )Δsi , trong đó: Δsi = si +1 - si (i=1, n ). i =0 Khi n tăng vô hạn sao cho max Δsi → 0 , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không và khối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm: n −1 m= lim max ( Si +1 − Si ) →0 ∑ δ (s )Δs . i =0 i i (6.1.2) Như vậy từ việc tính diện tích, khối lượng ta đi đến một cách tự nhiên việc khảo sát giới hạn của các tổng có dạng (6.1.1) hay (6.1.2). 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm y = f ( x) xác định trên [a,b]. Trước hết chia đoạn [a,b] thành n phần bởi các điểm chia: a = x0 < x1 < x2
5 Ta gọi bộ các điểm chia T = { xk } là một phân hoạch của đoạn [a,b] và đại lượng d gọi là đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [ xk −1 , xk ] chọn điểm tùy ý ξ k , tính giá trị f (ξ k ) và lập tổng: n σ n = ∑ f (ξ k )Δxk . (6.1.3) k =1 Ta thấy tổng (6.1.3) phụ thuộc vào phân hoạch T = { xk } và vào cách chọn các điểm ξ k và được gọi là tổng tích phân Riman của hàm f ( x ) theo phân hoạch { xk } của đoạn [a,b]. Bây giờ hãy thay đổi phân hoạch { xk } và tìm giới hạn của tổng tích phân (6.1.3) khi d → 0. Định nghĩa Nếu tổng tích phân Riman (6.1.3) có giới hạn I khi d → 0 không phụ thuộc vào phân hoạch { xk } của đoạn [a,b] và cách chọn các điểm ξ1 , ξ 2 , ..., ξ n tức là ∀ε > 0 , ∃δ > 0 sao cho: | I− σ n |< ε (6.1.4) với bất kì phân hoạch { xk } của đoạn [a,b] sao cho đường kính d< δ và với mọi cách chọn các điểm ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] ,( k=1, n ), thì giới hạn I được gọi là tích phân xác định ( theo định b nghĩa Riman) của hàm f ( x ) trên [a,b] và được kí hiệu là: ∫ f ( x)dx . a Như vậy , theo định nghĩa ta có: b n ∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξ k )Δxk . (6.1.5) d →0 a k =1 Trong trường hợp này hàm f được gọi là khả tích theo Riman trên [a,b]. Số a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân, hàm f - hàm dưới dấu tích phân và biểu thức f ( x ) dx - biểu thức dưới dấu tích phân. Trong định nghĩa trên thực chất ta đã giả thiết rằng a b. Khi a > b, theo định nghĩa, ta có: b a ∫ a f ( x) dx = − ∫ f ( x)dx . b (6.1.6) Khi a = b, theo định nghĩa, ta có: a ∫ f ( x)dx a = 0. (6.1.7) 5
6 Đẳng thức (6.1.7) nghĩa là tích phân xác định với các cận bằng nhau bằng 0. Bởi vì tổng tích phân (6.1.3) không phụ thuộc vào chữ cái dùng để kí hiệu đối số của hàm đã cho, nên giới hạn của nó, tức là tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân: b b b ∫ a f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( z )dz ,v.v... a a (6.1.8) Ví dụ 1: Cho f ( x) = 1, ∀x ∈ [a,b]. Với mọi phân điểm T = { xk } của đoạn [a,b] và với mọi cách chọn ξ k , ta có: n n σ n = ∑ f (ξ k )Δxk = ∑1.Δx k = b−a k =1 k =1 Suy ra: lim σ n = b − a. d →0 b Do đó: ∫ dx = b− a. a 6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theo công thức: b S= ∫ f ( x)dx . a (6.1.9) Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích. 6.2 Điều kiện khả tích 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích Định lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này. Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm f không bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không bị chặn trên [ x0 , x1 ]. Khi đó trong các đoạn còn lại [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ], …, [ xn −1 , xn ] ta hãy chọn các điểm tùy ý ξ1 , ξ 2 , …, ξ 2 và kí hiệu: σ ' = f (ξ 2 )Δx2 + f (ξ3 )Δx3 + ... + f (ξ n )Δxn . (6.2.1) Do f không bị chặn trên đoạn [ x0 , x1 ], nên với mọi M>0, ta chọn được ξ1 ∈[ x0 , x1 ] sao cho: | σ ' | +M | f (ξ1 ) | ≥ . (6.2.2) | Δx1 |
7 Khi đó,| f (ξ1 ) |. | Δx1 | ≥ | σ ' | + M và tổng tích phân tương ứng | σ n |=| f (ξ1 )Δx1 + σ ' | ≥ || f (ξ1 ) || Δx1 | − | σ ' || ≥ M (6.2.3) Do đó, tổng tích phân σ n không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác định của hàm f không tồn tại. Nhận xét: Định lí trên chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ để hàm số là khả tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích. Ví dụ, ta hãy xét hàm Dirichlet D: → được cho dưới dạng: ⎧1 nÕ x h÷u t Ø u D( x ) = ⎨ ⎩0 nÕ x v« t Ø u Với a ≠ b, hàm D không khả tích trên [a,b], bởi vì với phân điểm T = { xk } tùy ý: n σ n = ∑ D(ξ k )( xk − xk −1 ) = k =1 ⎧n ⎪∑ ( xk − xk −1 ) = b − a,nÕ ξ 1 ,ξ2 ,...,ξn h÷u tØ u ⎪ k =1 =⎨ n ⎪ 0.( x − x ) = 0,nÕ ξ ...ξ v« t Ø ⎪∑ k k −1 u 1 n . ⎩ k =1 Do đó tổng tích phân σ n không thể tiến đến giới hạn hữu hạn. 6.2.2 Các tổng Darboux Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [a,b]. Khi đó tồn tại các hằng số m và M sao cho: m ≤ f ( x) ≤ M, ∀x ∈ [a,b] . Ta xét phân điểm T = { xk } của đoạn [a,b]. Kí hiệu: mk = inf f ( x) , M k = sup f ( x) , ωk = M k − mk . Đại lượng ωk gọi là dao động của f trên x∈[ xk −1 , xk ] x∈[ xk −1 , xk ] [ xk −1 , xk ] . Tổng n n Sn = ∑ mk Δxk , Sn = k=1 ∑M k=1 k Δxk (6.2.4) lần lượt gọi là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm f ( x ) trên đoạn [a,b] tương ứng với phân điểm T của đoạn [a,b]. Nếu { xk } là một phân điểm của đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau: S n ≤ σ n ≤ Sn . (6.2.5) 6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 7
8 Tính chất 1: Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân điểm { xk } của đoạn [a,b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Riman tương ứng với cách chọn các điểm khác nhau ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] , k = 1,n , tức là: S n = sup σ n , S n = inf σ n . (6.2.6) (ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) (ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) Do bất đẳng thức (6.2.5) ta chỉ cần chứng minh rằng có thể tìm được: ξ *1 , ξ *2 ,..., ξ *n sao cho: n ∑ f (ξ k =1 * k )Δxk > S n − ε . Thật vậy, theo định nghĩa các số M k , ta có thể tìm được ξ *k ∈ [ xk −1 , xk ] sao cho: ε f (ξ *k ) > M k − . b−a n n ε n Khi đó: ∑ k =1 f (ξ *k )Δxk > ∑ M k Δxk − k =1 b−a ∑ Δx k =1 k = Sn − ε suy ra phần đầu của tính chất 1 được chứng minh. Phần thứ hai được chứng minh tương tự. Tính chất 2: Khi tăng số điểm chia trong phân điểm T = { xk } thì tổng tích phân Darboux dưới tăng lên và tổng trên giảm đi. Chứng minh: Giả sử T’ nhận được từ T bởi thêm điểm chia x 'i ∈ [ xi −1 , xi ] . Khi đó: σn = ∑ f (ξ j #i j )Δx j + f (ξi )Δxi . Theo định nghĩa: S n (T ) = ∑ m Δx j #i j j + mi ( xi − xi −1 ) , trong đó: mi = inf f . [ xi −1 , xi ] S n (T ′) = ∑ m Δx j #i j j + m *i ( x 'i − xi −1 ) + m **i ( xi − x 'i ) trong đó: m *i = inf f , m ** = inf f . [ xi −1 , x 'i ] [ x 'i , xi ] Do m *i ≥ mi , m **i ≥ mi nên: S n (T ') ≥ ∑ m j Δx j + mi ( x 'i − xi −1 ) + mi ( xi − x 'i ) = S n (T ) . j #i Tương tự, ta chứng minh: S n (T ') ≤ S n (T ) .
9 Tính chất 3: Gọi S 1 , S 1 là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm T1 và S 2 , S 2 là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm T2 . Khi đó: S 1 ≤ S 2 . Chứng minh: Gọi T phân điểm thứ ba có được bằng cách hợp tập các điểm chia của phân điểm T1 và của phân điểm T2 . Gọi S , S lần lượt là tổng trên tổng dưới của phân điểm T. Khi đó: S1 ≤ S ≤ S ≤ S 2 . Suy ra: S1 ≤ S 2 . Từ tính chất 2 và tính chất 3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới {S n } ứng với các phân điểm T khác nhau của đoạn [a,b] là một tập hợp bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phân trên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn: I* = sup {S n } , I* ≥ S n . (6.2.7) { } Tương tự tập hợp các tổng trên S n bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng: { } I * = inf S n , I * ≤ S n vµ I * ≥ I* (6.2.8) Hiển nhiên ta có bất đẳng thức: S n ≤ I* ≤ I * ≤ S n . (6.2.9) 6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định Định lý 6.2.4 Để hàm bị chặn f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] điều kiện cần và đủ là: k d →0 ( ) d = max Δxk , lim S n − S n = 0 . (6.2.10) Điều kiện (6.2.10) nghĩa là: ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε ) > 0 , sao cho nếu d < δ thì: Sn − Sn < ε . (6.2.11) không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ξ k ∈ ⎡ xk −1, xk ⎤ . ⎣ ⎦ Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử f ( x ) khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn: lim σ n = I ∀T = { xk } , ∀ξ k ∈ ⎡ xk −1, xk ⎤ , k = 1, n ⎣ ⎦ d →0 ε tức là ∀ , ∃δ > 0 sao cho nếu d < δ thì 2 9
10 ε ε I− < σn < I + ∀T (6.2.12) 2 2 ∀ξ1 , ξ 2 ..., ξ n . Từ tính chất 1 và tính chất 2 ε ε I− ≤ infσ n ≤ sup σ n ≤ I + (6.2.13) 2 ξ k ∈⎡ xk −1, xk ⎤ ⎣ ⎦ ξk ∈[ xk −1 , xk ] 2 ε ε I− ≤ Sn ≤ Sn ≤ I + . (6.2.14) 2 2 Từ (6.2.13) và (6.2.14) 0 ≤ S n − S n < ε ∀T sao cho d < δ suy ra ( lim S n − S n = 0 . d →0 ) ( Điều kiện đủ: Giả sử: lim S n − S n = 0 . d →0 ) (6.2.15) Khi đó tồn tại giới hạn: lim S n = lim S n (6.2.16) d →0 d →0 Từ đây với (6.2.9) suy ra: I* = I * Đặt: I = I* = I * Ta nhận được: S n ≤ I ≤ S n (6.2.17) Mặt khác: S n ≤ σ n ≤ S n ∀ ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] (6.2.18) Suy ra: ( ) − S n − S n ≤ σ n − I ≤ S n − S n ∀T = { xk } , ∀ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] Theo (6.2.16) ta thu được lim σ n = I , tức là tích phân xác định tồn tại. d →0 6.3 Các lớp hàm khả tích Trong phần này chúng ta xét một vài lớp hàm khả tích, tức là các hàm mà tích phân xác định của nó tồn tại. Trước hết ta hãy viết điều kiện (6.2.10) dưới dạng khác. Ký hiệu ωk = M k − mk , ta có n n S n − S n = ∑ ( M k − mk ) Δxk = ∑ ωk Δxk . k −1 k −1 Từ đây ta suy ra điều kiện (6.2.10) có dạng: lim ∑ n =1 ωk Δxk = 0 . k (6.3.1) d →0
11 Định lí 6.3.1 Nếu f ( x) liên tục trên [a,b] thì f ( x) khả tích trên [a,b]. Chứng minh: Do f ( x) liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên [a,b], tức là: ∀ε > 0 , ∃δ > 0 ∀x′, x′′ ∈ [a,b] sao cho x′ − x′′ < δ thì f ( x′) − f ( x′′) < ε . Vì thế, ∀ε > 0 , có thể tìm được δ > 0 sao cho nếu chia đoạn [a,b] thành những đọan nhỏ có độ dài Δxk < δ (k = 1, n) , thì tất cả: ε ωk < (k = 1, n) . b−a Từ đây đối với phân điểm bất kì { xk } với đường kính d< δ ta có: n ε n ε ∑ ωk Δxk < k =1 b−a ∑ Δx k =1 k = b−a (b − a ) =ε . Theo định lí 2 6.2.2 hàm f ( x ) khả tích trên [a.b]. Điều kiện của định lí 1 là quá khắt khe đối với hàm dưới dấu tích phân. Chúng ta hãy phát biểu( không chứng minh) các định lí yêu cầu những điều kiện tồn tại yếu hơn của tích phân xác định. Định lí 6.3.2 Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]. Ví dụ 1: Xét hàm số ⎧1 khi x > 0 ⎪ y = ⎨0 khi x = 0 ⎪−1 khi x < 0 ⎩ trên đoạn [–1,1] (Hình 6.3.1) Hàm số y chỉ có một điểm gián đoạn loại một x = 0. Theo định lí trên nó khả tích. Về phương diện hình học rõ ràng rằng: 1 I= ∫ ydx = S2 − S1 = 0 . −1 Hình 6.3.1 11
12 Từ ví dụ trên, ta thấy rằng tính liên tục của hàm số dưới dấu tích phân không phải là điều kiện cần để hàm số khả tích. Định lí 6.3.3 Hàm f ( x ) đơn điệu, bị chặn trên [a,b] thì khả tích trên đoạn này . b Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ e x dx (0 < a < b). a Giải: Bởi vì hàm f = e x liên tục trên [a,b], nên theo định lí 6.3.1 tích phân trên tồn tại. Để tính tích phân ta hãy chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau. b−a Δxi = = Δx . n Khi đó max Δxi → 0 khi n → ∞ , ta chọn ξ1 = a + Δx , ξ 2 = a + 2Δx ,..., ξi = a + iΔx ,…, ξ n −1 = a + ( n − 1) Δx , ξ n = a + nΔx và lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ n = ∑ f (ξi )Δxi = ∑ ea +iΔx Δx i =0 i =0 ( = Δx ea + ea +Δx + e a + 2 Δx + ... + ea +( n −1)Δx ) 1 − eb − a ( σ n = ea Δx 1 + e Δx + ... + e( n −1)Δx = ea Δx ) 1 − eΔx b−a do Δx = n 1 − eb − a e a − eb σ n = ea Δx = Δx . 1 − eΔx 1 − e Δx Theo định nghĩa: b Δx ∫ e dx = lim ( e − eb ) = ( e a − eb ) ( −1) x a Δx a Δx → 0 1− e b hay ∫ e x dx = ( eb − e a ) . a 6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định
13 Định lí 6.4.1 (Tính chất tuyến tính): Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì α f + β g , trong đó α , β = const, cũng khả tích trên [a,b] và: b b b ∫ (α f ( x) + β g ( x) )dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx . a a a ( 6.4.1) Chứng minh: Với phân điểm T bất kì và với cách chọn tùy ý ( ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] ) ta có b n ∫ [α f ( x) + β g ( x)]dx = lim ∑ ⎡α f (ξk ) + β g (ξk ) ⎤ Δxk a d →0 ⎣ k =1 ⎦ n n = α lim ∑ f (ξ k )Δxk + β lim ∑ f (ξ k )Δxk d →0 d →0 k =1 k =1 Do f, g khả tích trên [a,b] nên: b b b ∫ [α f ( x) + β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx , đpcm. a a a Định lí 6.4.2 Nếu f. g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì tích của hai hàm g. f cũng khả tích trên [a,b]. Định lí 6.4.3 (Tính chất cộng của tích phân): Cho ba đoạn [a,b], [a,c] và [c,b]. Nếu f ( x ) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên hai đoạn còn lại và b c b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . a a c (6.4.2) Chứng minh: a) Trước hết giả sử a < c < b và f ( x ) khả tích trên [a,b]. Xét phân điểm T trong đó c được chọn làm điểm chia. Khi đó: b c b ∑ ωk Δxk = ∑ ωk Δxk + ∑ ωk Δxk . a a c (6.4.3) Vì ωk = M k − mk > 0, Δxk > 0 nên vế trái của (6.4.3) tiến tới không kéo theo hai tổng ở vế phải cũng dẫn tới không. Do đó f khả tích trên [a,c] và [c,b] . Mặt khác: b c b ∑ f (ξ a k )Δxk = ∑ f (ξ k )Δxk + ∑ f (ξ k )Δxk a c Trong cả hai vế của đẳng thức trên cho d → 0 ta được b c b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . a a c b) Giả sử b< a < c và f ( x ) khả tích trên [b,c]. Khi đó theo chứng minh trên f ( x ) khả tích trên [b,a], và [a,c], ta có 13
14 c a c ∫ b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . b a Chuyển vế ta được. a c c − ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b b a b c b hay ∫a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , (đpcm). a c Định lí 6.4.4: Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm. Định lí 6.4.5: Giả sử f ( x ) khả tích trên [a,b] b a) Nếu f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b], a0 ∀x ∈ [a,b], a0. a (6.4.5) Chứng minh: Ta hãy chứng minh tính chất a) Xét tổng tích phân bất kì của hàm f ( x) trên [a,b]. n σ n = ∑ f (ξ k )Δxk k =1 Bởi vì f (ξ k ) ≥ 0 , Δxk = xk − xk −1 > 0 , k=1,2,…,n b nên lim σ n ≥ 0 và ta có d →0 ∫ f ( x)dx ≥ 0 . a Định lí 6.4.6 (Tính đơn điệu): Nếu f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [ a, b ] thì b b ∫ a f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx . a (6.4.6) b Chứng minh: Theo giả thiết g ( x) − f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b] ta có ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx ≥ 0 . a Mặt khác theo tính chất tuyến tính b b b ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx = ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≥ 0. a a a Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
15 Định lí 6.4.7 Nếu f ( x ) khả tích trên [a,b], thỡ f ( x) khả tích trên [a,b] và b b ∫ f ( x)dx ≤ ∫ a a f ( x) dx . (6.4.7) Chứng minh: Trước hết ta hãy chứng minh f ( x) khả tích. Do f ( x) − f ( y ) ≤ f ( x) − f ( y ) ∀x, y ∈ [a,b] , nên ωk (T , f ( x) ) ≤ sup f ( x) − f ( x) [ xk −1 , xk ] ≤ sup f ( x) − f ( y ) = ωk (T , f ) [ xk −1 , xk ] suy ra: n n ω (T , f ) = ∑ ωk (T , f )Δxk ≤ ∑ ωk (T , f )Δxk = ω (T , f ) k =1 k =1 Từ đây ta thấy: 0 ≤ lim ω (T , f ) ≤ lim ω (T , f ) = 0 , nên lim ω (T , f ) =0. Vậy f khả tích trên [a,b] Hơn nữa − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) Theo định lí 6.4.6. Ta nhận được b b b − ∫ f ( x) dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx a a a b b ⇒ ∫a f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx a (đpcm). Định lí 6.4.8 (Đánh giá tích phân xác định): Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f ( x) trên [a,b], a < b, thì: b m(b–a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b–a). a (6.4.8) Chứng minh: Theo giả thiết m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] b b b Suy ra: m ∫ dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M ∫ dx a a a b Hay m(b–a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b – a). a 15
16 1 1 ≤ ∫ e − x dx ≤ 1 . 2 Ví dụ: Chứng minh e 0 2 Giải: Do f = e − x đơn điệu giảm trên [0,1] nên 2 e −1 ≤ e − x ≤ e0 1 2 hay ≤ e− x ≤ 1 . e Từ bất đẳng thức (6.4.8) ta nhận được. 1 1 (1 − 0 ) ≤ ∫ e− x dx ≤ 1(1 − 0 ) . 2 e 0 6.4.2 Các định lí giá trị trung bình Định lí giá trị trung bình thứ nhất: Giả sử f ( x ) là khả tích trên [a,b], (a
17 Từ công thức (6.4.11) suy ra rằng giá trị trung bình của hàm f ( x) liên tục trên [a,b] bằng giá trị f ( c ) của hàm dưới dấu tích phân, trong đó c là điểm nào đó, c thuộc đoạn [a,b]. Định lí giá trị trung bình thứ hai: Giả sử a) f ( x) và tích f ( x) g ( x) khả tích trên [a,b], a0, chia cả hai vế (6.413) cho a ∫ g ( x)dx a ta được b 1 m≤ b ∫ f ( x) g ( x)dx ≤ M . ∫ g ( x)dx a a b ∫ f ( x) g ( x)dx Đặt μ = a b , ta có m ≤ μ ≤ M suy ra điều phải chứng minh ∫ g ( x)dx a 6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định 17
18 Trong ví dụ 1 của mục 6.1 và và ví dụ 2 của mục 6.3 ta thấy rằng nếu chỉ dùng định nghĩa để tính tích phân xác định thì khối lượng tính toán rất cồng kềnh. Trong mục này ta sẽ đưa ra cách tính tích phân thuận tiện hơn. 6.5.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1 Cho hàm f: [a,b] → Hàm số khả vi F: [a,b] → gọi là nguyên hàm của f ( x ) trên [a,b] nếu F ′( x) = f ( x) ∀x ∈ [a,b] (6.5.1) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f ( x ) , kí hiệu là ∫ f ( x)dx (6.5.2) gọi là tích phân không xác định của f ( x ) . Định nghĩa 2 Cho f ( x ) khả tích trên [a,b], khi đó ∀x ∈ [a,b] hàm f ( x ) khả tích trên [a,x] (hình 6.5.1). Ta có thể xét hàm số φ :[a,b] → cho bởi x φ ( x) = ∫ f (t )dt . (6.5.3) a Hàm φ ( x) gọi là tích phân xác định như hàm của cận trên. Hình 6.5.1 6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên Định lí 6.5.1 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì φ là một nguyên hàm của f, tức là φ ′( x) = f ( x) ∀x ∈ [a,b]. (6.5.4) Chứng minh: Cho x ∈ [a,b], với h đủ bé theo định lý trung bình thứ nhất ta có x+h x x+h φ ( x + h) − φ ( x ) = ∫ a f (t )dt − ∫ f (t )dt = a ∫ x f (t )dt φ ( x + h) − φ ( x) = f [ c(h)] .h (6.5.5)
19 trong đó c( h ) ∈ [ x, x + h ] φ ( x + h ) − φ ( x) Suy ra φ ′( x) = lim = lim f ⎡c ( h ) ⎤ = f ( x) (khi h → 0, c ( h ) → x ) ⎣ ⎦ h →0 h h →0 Vậy φ ( x) là nguyên hàm của f ( x) . Định lí 6.5.2 Nếu f ( x) khả tích trên [a,b] thì φ ( x) liên tục trên [a,b] Chứng minh: Lấy x tùy ý, x ∈ [a,b] . Cho x một số gia tùy ý Δx = h sao cho x + h∈ [a,b]. Khi đó theo định nghĩa ta có: x+h x x+h x+h φ ( x + h) = ∫ a f (t )dt = ∫ f (t )dt + a ∫x f (t )dt = φ ( x) + ∫ x f (t )dt Theo định lí giá trị trung bình: x+h φ ( x + h) − φ ( x ) = ∫x f (t )dt = μ h (6.5.6) trong đó m′ ≤ μ ≤ M ′ với m′ = in f , M ′ = sup f [ x,x+h] [ x,x+h] Gọi m = in f , M = sup f . Hiển nhiên m ≤ μ ≤ M . Bây giờ cho h → 0 , hiển nhiên có: [ a ,b ] [ a ,b ] φ ( x + h) −φ ( x) → 0 , hay là φ ( x + h) → φ ( x) , điều này chứng tỏ tính liên tục của φ ( x) . Định lí 6.5.3 Giả sử f ( x ) liên tục trên [a,b], còn F ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) . Khi đó: b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) b a (6.5.7) a x Chứng minh: Ta thấy φ ( x) = ∫ f (t )dt a là một nguyên hàm của f. Do đó: ∃C ∈ sao cho x ∫ f ( t )dt = F ( x) +C. a (6.5.8) Thay x = a vào (6.5.8) ta được C =− F (a) . Do đó x ∫ f ( t )dt a = F ( x) − F ( a) . (6.5.9) Thay x = b vào (6.5.9) ta có b ∫ f ( x )dx = a F ( b) − F ( a ) Công thức (6.5.7) gọi là công thức Newton – Leibnitz. Ví dụ 1: 19
20 1 1 dx ∫ 0 x2 + 1 = ln x + x 2 + 1 0 = ln(1 + 2 ) − ln 1 = ln(1 + 2 ) . Ví dụ 2: Tìm giá trị trung bình của hàm y = sinx trên đoạn [ 0,π ] , ta có π 1 1 π 2 sin xdx = ( − cosx ) π∫ f ( c) = = . 0 π 0 π Ví dụ 3: Tính đạo hàm của tích phân sau x b b d d d ∫ sin t dt ∫ 1 + t dt ∫ sin x dx . 2 2 2 a) b) c) dx a da a dx a x d ∫ sin t dt = sin x . 2 2 Giải: a) dx a d b d ⎛ ⎞ a b) ∫ 1 + t 2 dt = ⎜ − ∫ 1 + t 2 dt ⎟ = − 1 + a2 . da a da ⎝ b ⎠ b d ∫ sin x dx = 0. 2 c) dx a 6.6 Tính tích phân xác định 6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định b Giả sử để tính tích phân ∫ f ( x)dx , trong đó a f ( x) liên tục trên [a,b] ta cần đưa vào biến số mới x = ϕ (t ) , ∀t ∈ [α , β ] (6.6.1) trong đó ϕ (t ) là hàm khả vi liên tục trên [α , β ] và ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b . Giả sử F ( x) là nguyên hàm của f ( x) , tức là ∫ f ( x)dx = F ( x) +C. Sử dụng phép đổi biến (6.6.1) ta được dx = ϕ ′(t )dt và ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = F [ϕ (t )] + C . Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta được b ∫ f ( x)dx b = F ( x) a = F (b) − F (a ) (6.6.2) a β β và ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = F [ϕ (t )] α α