Bài giảng Toán 1: Bài 1 - Dãy số - Giới hạn dãy số (SV)

Chia sẻ: Thị Huyền | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tìm hiểu khái niệm dãy số; dãy tăng, giảm, bị chặn, dãy con; giới hạn dãy số; tính chất giới hạn;... được trình bày cụ thể trong "Bài giảng Bài 1: Dãy số - Giới hạn dãy số (SV)". Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1: Bài 1 - Dãy số - Giới hạn dãy số (SV)

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK TOÁN 1 – HỌC KỲ 1 0708 BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007) SGK: Giải tích hàm 1 biến – BM Toán Ứng Dụng (ĐHBK) Giải tích hàm 1 biến – Đỗ Công Khanh Toán học cao cấp – Tập hai – Nguyễn Đình Trí (chủ biên)
NỘI DUNG 1 KHÁI NIỆM DÃY SỐ 2 DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON 3 GIỚI HẠN DÃY SỐ 4 TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5 TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN 6 GIỚI HẠN KẸP
KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG – ĐẠI HỌC) Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích. “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào đó” Đạo hàm (theo định nghĩa): giới hạn y / x Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội ti Diếệpn tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật Giôùihaïn daõy soá Giới hạn: Giôùihaïnhaøm soá
DÃY SỐ THỰC Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến : x1, x2 … xn … Dãy số {xn}n 1 (hoặc từ 0 đến : x0, x1 … xn … {xn}n VD: Dãy s ) 0 ố nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy số chẵn: 2, 4, 6 … Câu hỏi: Tìm số hạng cuối cùng của 1 dãy số? Thông thường, dãy số được xác định theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n n 1 2 3 n VD: Dãy xn , ,   n 1 n 1 2 3 4 n 1 n n 1 xn1: số hạng xn 1 n n 0 0, 1, 2  1 n 1 thứ n của {xn}n
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG THỨ n 1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trị & vẫn vô hạn phần tử 2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát? Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) như hàm số từ tập số nguyên dương N* R. VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 … xn = n2 f(x) = x2 VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {xn}n 1: 1 1 1 1 2 3 a / , , , b / , , , c / 1,3,5, Maple: > n^2 $n = 1..5; 2 4 8 2 3 4 1 n 1 n > array( [ [n, n^2]$ n ĐS: a / n b / 1 c / 2n 1 2 n 1 = 1 .. 5 ]);
DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU xn TĂNG: xn xn+1 n 1. Tổng quát: xn xn+1 n N0 1 1 VD: a / xn  1 : chöùa TOÅNG neân xeùt HIEÄUxn 1 xn 2 n 2n 3 2x 3 b / xn : bthöùc gioáng HAØMSOÁ xeùtf x & tính f '! 3n 4 3x 4 xn GIẢM: xn xn+1 n 1. Tổng quát: xn xn+1 n N0 1 1 xn 1 xn 1  1 ,n 2 : döông,daïng TÍCH Xeùt THÖÔNG 2 n xn Dãy xn LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU
DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON xn bị chặn trên: xn M n 1. Tổng quát: xn M n Nx0n bị chặn dưới: xn m n 1. Tổng quát: xn m n N0 Dãy bị chặn trên lẫn dưới: gọi chung bị chặn m xn M 1 n VD: Xét tính bị chặn của các dãy a/ b / 3n c/ 1 n n2 a/ Bị chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0 bị chặn trên, dưới xn Dãy con xn1 , , xnk , , n1  nk  , lim nk k 1 2 3 4 1 3 2 4 VD: Dãy , , ,  Dãy con ,  : & ,  : 2 3 4 5 2 4 3 5 Chú ý: Từ dãy {xn} Hay xét 2 dãy con {x2n – 1} & {x2n}
GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU” Lập bảng giá trị 2 dãy số sau. Quan sát và rút ra kết luận n n n a / xn b / yn 1 n 1 n 1 5 0.8 3 5 0 .8 3 5 ￹ ￺ Nhận xét: n tăng, xn đến gần 1 còn yn đến 1 0 0 .9 1 0 .9 1 ￺ ￺ ￺ gần 1 Khi n : Giá trị xn 1, còn 1 5 0 .9 4 0 .9 4 ￺ ￺ ￺ yn KHÔNG đến gần giá trị cụ thể nào! 2 0 0 .9 5 0 .9 5 ￺ ￺ ￺ 2 5 0 .9 6 0 .9 6 ￺ Định nghĩa (“dễ chịu”): Dãy {xn} có ￺ ￺ 3 0 0 .9 7 0 .9 7 ￺ giới hạn bằng a xn a khi n đủ ￻ lớn sin n n 3 2 a / 0 b /1 2 Mánh: n đủ lớn (n = 1000) & lim 2 : n 2n n c /1 d/ MTBTúi 0.50025 (b)!
GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ a Toán học (ngôn ngữ – N0): x1 a x N 0a xN 0 1 x1000 xn “rất gần” a, n đủ lớn > 0 N0: | xn– a |
GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ Giới hạn = (vẫn là phân kỳ): Không thể xét | xn – a | ! lim xn M lôùn baát ,kyø N0 N : xn M n N0 n lim xn M (aâm) tuyøyù , N0 N : xn M n N0 n Định nghĩa xn phân kỳ: Phủ định (lôgich) mệnh đề hội tụ Hội a R, 0 luoân N 0 N : xn a n N0 tụ: Phân kỳ: a R, 0: N0 N n N 0 ñeåxn a Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = định nghĩa!
TÍNH CHẤT GIỚI HẠN lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v…) = Tổng (hiệu … ) lim lim xn yn lim xn lim yn n n n lim xn , lim yn lim xn yn lim xn lim yn ÑK : lim yn 0 n n n n n n lim xn lim xn ÑK : xn 0 & lim xn 0 n n n lim xn = a Mọi dãy con của xn đều a: lim xnk a k một dãy con phân kỳ của xn Dãy xn phân kỳ hai dãy con hội tụ có lim nhau VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ
GIỚI HẠN CƠ BẢN 0 lim n a 1 lim a n n n Lũy thừa: Hàm mũ: 0 lim n 0 0 a 1 lim a n 0 n n n 1 1 a / lim n 2 b / lim n 12 lim 0 c / lim 2 n & lim 0 n n n n n n 3 1 1 1 1 VD: (Tổng cấp số nhân) lim 1  n KQ: 2 n 2 4 2 1 12 2 n n 1 qn 1 Tổng quát: lim 1 q q  q Hdẫn: 1 q  q n 1 q n n 1 a Số e: lim 1 e & lim 1 ea Hay gặp: lim n n 1 n n n n n
NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới hạn cơ bản & thay vào 2n 2 1 3 5n 2 n VD: Tính giới hạn: lim 2 lim n lim n n 1 n n 1 n 4 2 5n n 2n 1 n 2 1n 2 2 2 2 lim 1 n 2 2 0 Giải: lim 2 lim 2 n 2 n n 1 n n 1 1 n2 1 lim 1 n 2 1 0 n n 3 5n 2 n 5n 3 2 5 3 lim n lim n n n 4 2 5n n 5 45 2 2 n n 1 1 lim n n 1 lim lim 0 n n n n 1 n n1 1 1n 2n 2 1 2x2 1 Thực tế: lim 2 lim 2 : Giới hạn hàm Lôpitan n n 1 x x 1
GIỚI HẠN KẸP Cho 3 dãy xn , yn , zn xn yn zn xn yn zn n N0 lim yn & lim yn a lim xn lim zn a n n n n a Hệ quả (hay sử 0 xn yn n & lim yn n 0 lim xn n 0 dụng): n n! n sin n 1000 n! 1 2 n 1 VD: lim n lim 2 lim 0 0 n n n n 1 n n nn n n n n n n n sin n n 1000 1 0 2 2 0 Với n 0 0 n 1 n 1 n 2 2000: n n 1 1 VD: lim n n Côsi: 1 n n n n n 11 1 n n
TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS Chứng minh dãy hội tụ Hay dùng: Tính đơn điệu & bị chặn Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ n 1 VD: Chứng minh tồn tại giới hạn (số lim 1 n n e) n n 1 n 1 1 1 1 Giải: Dãy tăng: 1 1 n 1 1 1 n n 1 n n 1 n 1 1 1n  1 n1 1n 1 1 Bđt Côsi: n 1 1 1 1 n n 1 n 1 n 1 Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công Khanh, trang 18 – 19
TỔNG KẾT Các kỹ thuật chứng minh dãy hội tụ  Bằng định nghĩa: Tìm giá trị a = limxn . Giải |xn a|  Tính giới hạn: Đưa về biểu thức theo các giới hạn cơ bản ặn x từ 2 phía Tính chất 3 dãy kẹp  Ch n  Chứng minh dãy tăng & chặn trên (giảm & chặn dưới) Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2 dãy con có lim khác nhau hoặc tối thiểu một dãy con không có giới hạn Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity) BT: Sách giáo khoa & Bổ sung (xem trên web)