Đề cương ôn tập giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 (chuyên) năm 2024-2025 - Trường THPT Chuyên Bảo Lộc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề cương ôn tập giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 (chuyên) năm 2024-2025 - Trường THPT Chuyên Bảo Lộc” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề cương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương ôn tập giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 (chuyên) năm 2024-2025 - Trường THPT Chuyên Bảo Lộc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC TỔ: TOÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I NĂM HỌC: 2024 – 2025 LỚP 11 (CT CHUYÊN) A. NỘI DUNG KIẾN THỨC: I. Giải tích: 1) Dãy số - cấp số: - Phương pháp quy nạp toán học, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. - Cấp số cộng, cấp số nhân. 2) Giới hạn dãy số , giới hạn hàm số, hàm số liên tục và ứng dụng. 3) Đạo hàm và tiếp tuyến của đường cong. 4) Sự đồng biến , nghịch biến của hàm số. II. Hình học: 1) Véc tơ trong không gian và áp dụng vào giải toán. 2) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. 3) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 4) Hai mặt phẳng vuông góc. 5) Khoảng cách. B. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ THAM KHẢO: CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ I. Phöông phaùp qui naïp toaùn hoïc Ñeå chöùng minh meänh ñeà chöùa bieán A(n) laø moät meänh ñeà ñuùng vôùi moïi giaù trò nguyeân döông n, ta thöïc hieän nhö sau:  Böôùc 1: Kieåm tra meänh ñeà ñuùng vôùi n = 1.  Böôùc 2: Giaû thieát meänh ñeà ñuùng vôùi soá nguyeân döông n = k tuyø yù (k  1), chöùng minh raèng meänh ñeà ñuùng vôùi n = k + 1. Chuù yù: Neáu phaûi chöùng minh meänh ñeà A(n) laø ñuùng vôùi vôùi moïi soá nguyeân döông n  p thì: + ÔÛ böôùc 1, ta phaûi kieåm tra meänh ñeà ñuùng vôùi n = p; + ÔÛ böôùc 2, ta giaû thieát meänh ñeà ñuùng vôùi soá nguyeân döông baát kì n = k  p vaø phaûi chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n = k + 1. Baøi 1: Chöùng minh raèng vôùi moïi n  N*, ta coù: n(n  1) n(n  1)(2n  1) a) 1 + 2 + … + n = b) 12  22  ...  n2  2 6 2 3 3 3  n(n  1)  c) 1  2  ...  n   d) 1.4  2.7  ...  n(3n  1)  n(n  1)2  2   n(n  1)(n  2) 1 1 1 n e) 1.2  2.3  ...  n(n  1)  f)   ...   3 1.2 2.3 n(n  1) n  1 Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi n  N*, ta coù: a) 2n  2n  1 (n  3) b) 2n2  2n  5 1 1 1 1 3 2n  1 1 c) 1   ...   2  (n  2) d) . ...  22 n2 n 2 4 2n 2n  1 Năm học : 2024– 2025 Trang 1
1 1 1 1 1 13 e) 1   ...  2 n f)   ...   (n > 1) 2 n n 1 n  2 2n 24 Baøi 3: Chöùng minh raèng vôùi moïi n  N*, ta coù: a) n3  11n chia heát cho 6. b) n3  3n2  5n chia heát cho 3. c) 7.22 n2  32 n1 chia heát cho 5. d) n3  2n chia heát cho 3. e) 32 n1  2n2 chia heát cho 7. f) 13n  1 chia heát cho 6. n(n  3) Baøi 4: Chöùng minh raèng soá ñöôøng cheùo cuûa moät ña giaùc loài n caïnh laø . 2 Baøi 5: Daõy soá (an) ñöôïc cho nhö sau: a1  2, an1  2  an vôùi n = 1, 2, …  Chöùng minh raèng vôùi moïi n  N* ta coù: an  2 cos . 2 n1 II. Daõy soá 1. Daõy soá u : ℕ*  ℝ Daïng khai trieån: (un) = u1, u2, …, un, … n ֏ u(n) 2. Daõy soá taêng, daõy soá giaûm  (un) laø daõy soá taêng  un+1 > un vôùi  n  N*. un1  un+1 – un > 0 vôùi  n  N*   1 vôùi n  N* ( un > 0). un  (un) laø daõy soá giaûm  un+1 < un vôùi n  N*. un1  un+1 – un< 0 vôùi  n  N*   1 vôùi n  N* (un > 0). un 3. Daõy soá bò chaën  (un) laø daõy soá bò chaën treân  M  R: un  M, n  N*.  (un) laø daõy soá bò chaën döôùi  m  R: un  m, n  N*.  (un) laø daõy soá bò chaën  m, M  R: m  un  M, n  N*. Baøi 1: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un) cho bôûi: 2n2  1 n  (1)n n 1 a) un  b) un  c) un  2 n 1 2n  1 n2  1 n  1 (n  1)! d) un     e) un  n  cos2 n f) un   3 2n Baøi 2: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un) cho bôûi: 1 a) u1  2, un1   un  1 b) u1  15, u2  9, un2  un  un1 3 2 c) u1  0, un1  d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un 2 un  1 Baøi 3: Haõy vieát 5 soá haïng ñaàu cuûa daõy soá (un), döï ñoaùn coâng thöùc soá haïng toång quaùt un vaø chöùng minh coâng thöùc ñoù baèng qui naïp: 2 a) u1  1, un1  2un  3 b) u1  3, un1  1  un c) u1  3, un1  2un Năm học : 2024– 2025 Trang 2
5 u 1 d) u1  1, un1  2un  1 e) u1  1, un1  un  7 e) u1  , u n 1  n 4 2 Baøi 4: Xeùt tính taêng, giaûm cuûa caùc daõy soá (un) cho bôûi: 2n  1 4n  1 (1)n a) un  b) un  c) un  3n  2 4n  5 n2 n2  n  1 2n d) un  e) un  n  cos2 n f) un  2 n 1 n Baøi 5: Xeùt tính bò chaën treân, bò chaën döôùi, bò chaën cuûa caùc daõy soá (un) cho bôûi: 2n  3 1 a) un  b) un  c) un  n2  4 n2 n(n  1) n2  2n n  d) un  e) un  f) un  (1)n cos 2 n  n 1 n2  2n  n 2n III. Caáp soá coäng 1. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá coäng  un+1 = un + d, n  N* (d: coâng sai) 2. Soá haïng toång quaùt: un  u1  (n  1)d vôùi n  2 uk 1  uk 1 3. Tính chaát caùc soá haïng: uk  vôùi k  2 2 n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d    4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: Sn  u1  u2  ...  un  = 2 2 Baøi 1: Trong caùc daõy soá (un) döôùi ñaây, daõy soá naøo laø caáp soá coäng, khi ñoù cho bieát soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù: 3n  2 a) un = 3n – 7 b) un  c) un  n2 5 7  3n n d) un  3n e) un  f) un   1 2 2 Baøi 2: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa caáp soá coäng, bieát: u  u  u  10 u  u  u  10  u  15 a)  1 5 3 b)  2 5 3 c)  3  u1  u6  17  u4  u6  26 u14  18 u  u  8 u  u  60  u  u  u  12 d)  7 3 e)  7 15 2 2 f)  1 3 5  u2 .u7  75 u4  u12  1170   u1u2 u3  8 Baøi 3: a) Giöõa caùc soá 7 vaø 35 haõy ñaët theâm 6 soá nöõa ñeå ñöôïc moät caáp soá coäng. b) Giöõa caùc soá 4 vaø 67 haõy ñaët theâm 20 soá nöõa ñeå ñöôïc moät caáp soá coäng. Baøi 4: a) Tìm 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng, bieát toång cuûa chuùng laø 27 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 293. b) Tìm 4 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng, bieát toång cuûa chuùng baèng 22 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng baèng 66. Baøi 5: a) Ba goùc cuûa moät tam giaùc vuoâng laäp thaønh moät caáp soá coäng. Tìm soá ño caùc goùc ñoù. b) Soá ño caùc goùc cuûa moät ña giaùc loài coù 9 caïnh laäp thaønh moät caáp soá coäng coù coâng sai d = 30. Tìm soá ño cuûa caùc goùc ñoù. c) Soá ño caùc goùc cuûa moät töù giaùc loài laäp thaønh moät caáp soá coäng vaø goùc lôùn nhaát gaáp 5 laàn goùc nhoû nhaát. Tìm soá ño caùc goùc ñoù. Năm học : 2024– 2025 Trang 3
Baøi 6: Chöùng minh raèng neáu 3 soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá coäng thì caùc soá x, y, z cuõng laäp thaønh moät caáp soá coäng, vôùi: a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2 b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c 2  ab Baøi 7: Tìm x ñeå 3 soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá coäng, vôùi: a) a  10  3 x; b  2 x 2  3; c  7  4 x b) a  x  1; b  3 x  2; c  x 2  1 Baøi 8: Tìm caùc nghieäm soá cuûa phöông trình: x 3  15 x 2  71x  105  0 , bieát raèng caùc nghieäm soá phaän bieät vaø taïo thaønh moät caáp soá coäng. Baøi 9: Ngöôøi ta troàng 3003 caây theo moät hình tam giaùc nhö sau: haøng thöù nhaát coù 1 caây, haøng thöù hai coù 2 caây, haøng thöù ba coù 3 caây, …. Hoûi coù bao nhieâu haøng? IV. Caáp soá nhaân 1. Ñònh nghóa: (un) laø caáp soá nhaân  un+1 = un.q vôùi n  N* (q: coâng boäi) n 1 2. Soá haïng toång quaùt: un  u1.q vôùi n  2 2 3. Tính chaát caùc soá haïng: uk  uk 1.uk 1 vôùi k  2  Sn  nu1 vôùi q  1  4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: n  S  u1 (1  q ) vôùi q  1  n  1 q Baøi 1: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng boäi cuûa caáp soá nhaân, bieát: u  u  72 u  u  u  65 u  u  90 a)  4 2 b)  1 3 5 c)  3 5 u5  u3  144  u1  u7  325 u2  u6  240 u1  u2  u3  21 u  u  u  14  u  u  u  u  30  d)  1 2 3 e)  1 1 1 7 f)  1 22 32 42 2  u1.u2 .u3  64 u u    u3 12 u1  u2  u3  u4  340   1 2 Baøi 2: a) Giöõa caùc soá 160 vaø 5 haõy cheøn vaøo 4 soá nöõa ñeå taïo thaønh moät caáp soá nhaân. b) Giöõa caùc soá 243 vaø 1 haõy ñaët theâm 4 soá nöõa ñeå taïo thaønh moät caáp soá nhaân. Baøi 3: Tìm 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá nhaân bieát toång cuûa chuùng laø 19 vaø tích laø 216. Baøi 4: a) Tìm soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng coâng boäi laø 3, toång soá caùc soá haïng laø 728 vaø soá haïng cuoái laø 486. b) Tìm coâng boäi cuûa moät caáp soá nhaân coù soá haïng ñaàu laø 7, soá haïng cuoái laø 448 vaø toång soá caùc soá haïng laø 889. Baøi 5: a) Tìm 4 goùc cuûa moät töù giaùc, bieát raèng caùc goùc ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân vaø goùc cuoái gaáp 9 laàn goùc thöù hai. b) Ñoä daøi caùc caïnh cuûa ABC laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Chöùng minh raèng ABC coù hai goùc khoâng quaù 600. Baøi 6: Tìm boán soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá nhaân, trong ñoù soá haïng thöù hai nhoû hôn soá haïng thöù nhaát 35, coøn soá haïng thöù ba lôùn hôn soá haïng thöù tö 560. Baøi 7: Soá soá haïng cuûa moät caáp soá nhaân laø moät soá chaün. Toång taát caû caùc soá haïng cuûa noù lôùn gaáp 3 laàn toång caùc soá haïng coù chæ soá leû. Xaùc ñònh coâng boäi cuûa caáp soá ñoù. 148 Baøi 8: Tìm 4 soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng toång 3 soá haïng ñaàu laø , ñoàng thôøi, theo thöù 9 töï, chuùng laø soá haïng thöù nhaát, thöù tö vaø thöù taùm cuûa moät caáp soá coäng. Năm học : 2024– 2025 Trang 4
Baøi 9: Tìm 3 soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân, bieát raèng khi taêng soá thöù hai theâm 2 thì caùc soá ñoù taïo thaønh moät caáp soá coäng, coøn neáu sau ñoù taêng soá cuoái theâm 9 thì chuùng laïi laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Baøi 10: Tìm 4 soá trong ñoù ba soá ñaàu laø ba soá haïng keá tieáp cuûa moät caáp soá nhaân, coøn ba soá sau laø ba soá haïng keá tieáp cuûa moät caáp soá coäng; toång hai soá ñaàu vaø cuoái baèng 32, toång hai soá giöõa baèng 24. Baøi 11: Tìm caùc soá döông a vaø b sao cho a, a + 2b, 2a + b laäp thaønh moät caáp soá coäng vaø (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 laäp thaønh moät caáp soá nhaân. 2 1 2 Baøi 12: Chöùng minh raèng neáu 3 soá , , laäp thaønh moät caáp soá coäng thì 3 soá x, y, z laäp thaønh moät yx y yz caáp soá nhaân. CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN DÃY SỐ.GIỚI HẠN HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Giôùi haïn cuûa daõy soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1 1 lim n   lim nk   (k  ℤ  ) lim  0 ; lim  0 (k  ℤ  ) n n n n k lim q n   (q  1) lim q n  0 ( q  1) ; lim C  C 2. Ñònh lí: n n 2. Ñònh lí : 1 a) Neáu lim un   thì lim 0 a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì un  lim (un + vn) = a + b un  lim (un – vn) = a – b b) Neáu lim un = a, lim vn =  thì lim =0 vn  lim (un.vn) = a.b c) Neáu lim un = a  0, lim vn = 0 u a  lim n  (neáu b  0) u  neáu a.vn  0 vn b thì lim n =  vn  neáu a.vn  0 b) Neáu un  0, n vaø lim un= a d) Neáu lim un = +, lim vn = a thì a  0 vaø lim un  a  neáu a  0 thì lim(un.vn) =  c) Neáu un  vn ,n vaø lim vn = 0  neáu a  0 thì lim un = 0 d) Neáu lim un = a thì lim un  a 0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: , 0 3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn  u ,  – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh. S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1  1 q Moät soá phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa daõy soá:  Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n. 1 1 1 1  3 n 1 n  1 n2  n  3n n VD: a) lim  lim b) lim  lim 1 2n  3 3 2 1  2n 1 2 2 n n  4 1  c) lim(n 2  4n  1)  lim n2  1       n n2   Nhaân löôïng lieân hôïp: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc Năm học : 2024– 2025 Trang 5
 a  b  a  b   a  b;  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b VD: lim  n 2  3n  n  = lim  n2  3n  n  n2  3n  n  = lim 3n = 3  n2  3n  n  n 2  3n  n 2  Duøng ñònh lí keïp: Neáu un  vn ,n vaø lim vn = 0 thì lim un = 0 sin n sin n 1 1 sin n VD: a) Tính lim . Vì 0   vaø lim  0 neân lim 0 n n n n n 3sin n  4 cos n b) Tính lim . Vì 3sin n  4 cos n  (32  42 )(sin 2 n  cos2 n)  5 2 2n  1 3sin n  4 cos n 5 neân 0   . 2 2 2n  1 2n  1 5 3sin n  4 cos n Maø lim  0 neân lim 0 2n2  1 2n 2  1 Khi tính caùc giôùi haïn daïng phaân thöùc, ta chuù yù moät soá tröôøng hôïp sau ñaây:  Neáu baäc cuûa töû nhoû hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng 0.  Neáu baäc cuûa töø baèng baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù baèng tæ soá caùc heä soá cuûa luyõ thöøa cao nhaát cuûa töû vaø cuûa maãu.  Neáu baäc cuûa töû lôùn hôn baäc cuûa maãu thì keát quaû cuûa giôùi haïn ñoù laø + neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu cuøng daáu vaø keát quaû laø – neáu heä soá cao nhaát cuûa töû vaø maãu traùi daáu. Baøi 6: Tính caùc giôùi haïn sau: 2n2  n  3 2n  1 3n3  2n2  n a) lim b) lim c) lim 3n2  2n  1 n3  4 n 2  3 n3  4 n4 n2  1 2n 4  n2  3 d) lim e) lim f) lim (n  1)(2  n)(n2  1) 2n 4  n  1 3n3  2n2  1 Baøi 7: Tính caùc giôùi haïn sau: 1  3n 4.3n  7n1 4n1  6n 2 a) lim b) lim c) lim 4  3n 2.5n  7n 5n  8n 2 n  5n1 1  2.3n  7n 1  2.3n  6 n d) lim e) lim f) lim 1  5n 5n  2.7n 2n (3n1  5) Baøi 8: Tính caùc giôùi haïn sau: 3 4n 2  1  2 n  1 n2  3  n  4 n2  1  n6 a) lim b) lim c) lim n2  4n  1  n n2  2  n n 4  1  n2 4n 2  1  2n (2n n  1)( n  3) n 2  4n  4n 2  1 d) lim e) lim f) lim n2  4n  1  n (n  1)(n  2) 3n2  1  n Baøi 9: Tính caùc giôùi haïn sau:  1 1 1   1 1 1  a) lim    ...   b) lim    ...    1.3 3.5 (2n  1)(2n  1)   1.3 2.4 n(n  2)   1  1   1   1 1 1  c) lim  1    1   ...  1   d) lim    ...   2  2  3  2  n2   1.2 2.3 n(n  1)  Năm học : 2024– 2025 Trang 6
1  2  ...  n 1  2  22  ...  2 n e) lim f) lim n2  3n 1  3  32  ...  3n Baøi 10: Tính caùc giôùi haïn sau: a) lim  n2  2n  n  1  b) lim  n 2  n  n2  2  c) lim  2n  n3  n  1 3             d) lim  1  n2  n 4  3n  1    e) lim  n2  n  n  f) lim 1   n2  2  n 2  4 3 4n 2  1  2 n  1 n 2  1  n6 n 2  4n  4n 2  1 g) lim h) lim i) lim n2  4n  1  n n 4  1  n2 3n2  1  n Baøi 11: Tính caùc giôùi haïn sau: 2 cos n2 (1)n sin(3n  n2 ) 2  2n cos n a) lim b) lim c) lim 2 n 1 3n  1 3n  1 3sin 6 n  5cos2 (n  1) 3sin2 (n3  2)  n2 3n2  2n  2 d) lim e) lim f) lim n2  1 2  3n 2 n(3cos n  2)  1  1   1  Baøi 12: Cho daõy soá (un) vôùi un =  1   1   ...  1   , vôùi  n  2.  2  3   n2  2 2 a) Ruùt goïn un. b) Tìm lim un. 1 1 1 Baøi 13: a) Chöùng minh:   (n  N*). n n  1  (n  1) n n n 1 1 1 1 b) Ruùt goïn: un =   ...  . 1 2 2 1 2 3 3 2 n n  1  (n  1) n c) Tìm lim un. u1  1  Baøi 14: Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi:  1 . un1  un  n (n  1)  2 a) Ñaët vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. u  0; u2  1 Baøi 15: Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi:  1 2un2  un1  un , (n  1) 1 a) Chöùng minh raèng: un+1 =  un  1 , n  1. 2 2 b) Ñaët vn = un – . Tính vn theo n. Töø ñoù tìm lim un. 3 II. Giôùi haïn cuûa haøm soá Giôùi haïn höõu haïn Giôùi haïn voâ cöïc, giôùi haïn ôû voâ cöïc 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: 1. Giôùi haïn ñaëc bieät: lim x  x0 ; lim c  c (c: haèng soá)  neáu k chaün x  x0 x  x0 lim x k   ; lim x k   x  x   neáu k leû 2. Ñònh lí: c a) Neáu lim f ( x )  L vaø lim g( x )  M lim c  c ; lim 0 x  x0 x  x0 x  x  x k Năm học : 2024– 2025 Trang 7
thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M 1 1 x  x0 lim   ; lim   x 0 x x 0 x lim  f ( x )  g( x )  L  M 1 1 x  x0 lim  lim   x 0 x x 0 x lim  f ( x ).g( x )  L .M x  x0 2. Ñònh lí: f (x) L Neáu lim f ( x )  L  0 vaø lim g( x )   thì: lim  (neáu M  0) x  x0 x  x0 x  x 0 g( x ) M  neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu b) Neáu f(x)  0 vaø lim f ( x )  L  x  x0 x  x0 lim f ( x )g( x )   x  x0   neáu L vaø lim g( x ) traùi daáu thì L  0 vaø lim f (x)  L  x  x0 x  x0 0 neáu lim g( x )   c) Neáu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L f (x)  x  x0 x  x0 x  x0 lim   neáu lim g( x )  0 vaø L .g( x )  0 x  x0 g( x )  x  x0  3. Giôùi haïn moät beân:  neáu xlim g( x )  0 vaø L .g( x )  0  x0  lim f ( x )  L  x  x0 0 * Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: ,  lim  f ( x )  lim  f ( x )  L 0 x  x0 x  x0  ,  – , 0. thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh.  Moät soá phöông phaùp khöû daïng voâ ñònh: 0 1. Daïng 0 P( x ) a) L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc vaø P(x0) = Q(x0) = 0 x  x0 Q ( x ) Phaân tích caû töû vaø maãu thaønh nhaân töû vaø ruùt goïn. x3  8 ( x  2)( x 2  2 x  4) x 2  2 x  4 12 VD: lim  lim  lim  3 x2  4 x 2 x 2 ( x  2)( x  2) x 2 x2 4 P( x ) b) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa caên cuøng baäc x  x0 Q ( x ) Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc ñeå nhaân löôïng lieân hôïp ôû töû vaø maãu. 2 4 x  2  4  x  2  4  x  1 1 VD: lim  lim  lim  x 0 x x 0 x 2  4  x  x 0 2  4  x 4 P( x ) c) L = lim vôùi P(x0) = Q(x0) = 0 vaø P(x) laø bieâåu thöùc chöùa caên khoâng ñoàng baäc x  x 0 Q( x ) m u( x )  n v( x ) vôùi m u( x Giaû söû: P(x) = 0)  n v( x 0 )  a . Ta phaân tích P(x) =  m u( x )  a    a  n v( x )  . 3  3 x 1 1 1 1 x  x 1  1 x VD: lim  lim    x 0 x x 0  x x   1 1  1 1 5 = lim      x 0  3  ( x  1)2  3 x  1  1 1  1  x  3 2 6   P( x ) 2. Daïng : L = lim vôùi P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc hoaëc caùc bieåu thöùc chöùa caên.  x  Q( x ) – Neáu P(x), Q(x) laø caùc ña thöùc thì chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x. Năm học : 2024– 2025 Trang 8
– Neáu P(x), Q(x) coù chöùa caên thì coù theå chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa x hoaëc nhaân löôïng lieân hôïp. 5 3 2 2  2 x  5x  3 x x2 VD: a) lim  lim 2 x  x 2  6 x  3 x  6 3 1  x x2 3 2 2x  3 x b) lim  lim  1 x  x2  1  x x  1  1 1 x2 3. Daïng  – : Giôùi haïn naøy thöôøng coù chöùa caên Ta thöôøng söû duïng phöông phaùp nhaân löôïng lieân hôïp cuûa töû vaø maãu.   1  x  x  1  x  x  1 VD: lim 1  x  x   lim  lim 0 x  x  1 x  x x  1 x  x 4. Daïng 0. : Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp nhö caùc daïng ôû treân. x x  2. x 0. 2 VD: lim ( x  2)  lim  0 x 2  2 x 4 x 2 x2 2 Baøi 6: Tìm caùc giôùi haïn sau:   sin  x   1  x  x2  x3 3x2  1  x  4 a) lim b) lim c) lim x 0 1 x x 1 x 1 x  x 2 x 1 x2  x  1 x2  2x  3 d) lim e) lim f) lim x 1 x4  x  3 x 2 x 1 x 1 x 1 3 x 8 3 3 x 2  4  3x  2 1 g) lim h) lim i) lim x 2 sin x 1 x2 x 2 x 1 x 0 2 Baøi 7: Tìm caùc giôùi haïn sau: x3  x 2  x  1 x4 1 x5  1 a) lim b) lim c) lim x 1 x 2  3x  2 x 1 x3  2x2  x x 1 x3  1 x3  5x2  3x  9 x  5x 5  4 x 6 xm 1 d) lim e) lim f) lim x 3 x 4  8x 2  9 x 1 (1  x )2 x 1 xn 1 (1  x )(1  2 x )(1  3 x )  1 x  x 2  ...  x n  n x 4  16 g) lim h) lim i) lim x 0 x x 1 x 1 x 2 x3  2x2 Baøi 8: Tìm caùc giôùi haïn sau: 4x  1  3 3 x 1 1 x2 1 a) lim b) lim . c) lim x 2 x2  4 x 1 3 4x  4  2 x 0 x x2 2 2 x  2  3x  1 x2  1 1 d) lim e) lim f) lim x 2 x  7 3 x 1 x 1 x 0 x 2  16  4 1 x 1 x  3  2x x  9  x  16  7 g) lim h) lim i) lim x 0 3 1  x 1 x 3 2 x  3x x 0 x Năm học : 2024– 2025 Trang 9
Baøi 9: Tìm caùc giôùi haïn sau: 1 x  3 1 x 3 8 x  11  x  7 2 1 x  3 8  x a) lim b) lim c) lim x 0 x x 2 x 2  3x  2 x 0 x 3 1  4x  3 1 6x 3 8 x  11  x  7 5  x3  x2  7 d) lim e) lim f) lim x 0 x2 x 2 2 x 2  5x  2 x 1 x2 1 1  4x . 1  6x 1 1  2 x .3 1  4 x  1 3 x 1  1 x g) lim h) lim i) lim x 0 x x 0 x x 0 x Baøi 10: Tìm caùc giôùi haïn sau: x2  1 2x2  x  1 2 x2  1 a) lim b) lim c) lim x  2x2  x  1 x  x 2 x  x3  3x 2  2 x2  2x  3  4x  1 4x2  2x  1  2  x x x 1 d) lim e) lim f) lim x  4x2  1  2  x x  9x 2  3x  2 x x  x2  x  1 (2 x  1) x 2  3 x 2  2 x  3x x 2  5x  2 g) lim h) lim i) lim x  x  5x 2 x  4x2  1  x  2 x  2 x  1 Baøi 11: Tìm caùc giôùi haïn sau: a) lim   x2  x  x  b) lim  2 x  1  4 x 2  4 x  3     x    x      c) lim  x 2  1  x 3  1  3   d) lim  x  x  x  x  x    x    e) lim  3 2x 1  3 2x  1 f) lim  3 3x 3  1  x2  2  x  x   1 3   1 1  g) lim    h) lim    x 1  1  x 1  x 3  2 2 x 2  x  3 x  2 x  5 x  6  Baøi 12: Tìm caùc giôùi haïn sau: x  15 x  15 1  3x  2 x 2 a) lim b) lim c) lim x 2  x2 x 2  x 2 x 3 x 3 x2  4 2 x 2x d) lim e) lim f) lim x 2  x 2 x 2  2 2 x  5x  2 x 2 2 x  5 x  2  2 Baøi 13: Tìm caùc giôùi haïn moät beân cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:  1 x 1 3 khi x  0  9  x2  1 x 1  a) f ( x )   taïi x  0 b) f ( x )   x  3 khi x  3 taïi x  3 3 khi x  0 1  x khi x  3  2   x2  2 x  x 2  3x  2  khi x  2  khi x  1  3  2 c) f ( x )   8  x taïi x  2 d) f ( x )   x  1 taïi x  1 4  x  16  x khi x  1  x 2 khi x  2  2   Baøi 14: Tìm giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau coù giôùi haïn taïi ñieåm ñöôïc chæ ra::  x3  1  1 3  khi x  1   khi x  1 a) f ( x )   x  1 taïi x  1 b) f (x)   x  1 x  1 3 taïi x  1 mx  2 khi x  1 m2 x2  3mx  3 khi x  1   Năm học : 2024– 2025 Trang 10
x  m khi x  0  2 x  3m khi x  1 c) f ( x )   x  100 x  3 taïi x  0 d) f (x)   2 taïi x  1  khi x  0 x  x  m  3 khi x  1  x3 III. Haøm soá lieân tuïc 1. Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm: y = f(x) lieân tuïc taïi x0  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0  Ñeå xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 ta thöïc hieän caùc böôùc: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f ( x ) (trong nhieàu tröôøng hôïp ta caàn tính lim f ( x ) , lim f ( x ) )   x  x0 x  x0 x  x0 B3: So saùnh lim f ( x ) vôùi f(x0) vaø ruùt ra keát luaän. x  x0 2. Haøm soá lieân tuïc treân moät khoaûng: y = f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù. 3. Haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]: y = f(x) lieân tuïc treân (a; b) vaø lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b) x a x b 4.  Haøm soá ña thöùc lieân tuïc treân R.  Haøm soá phaân thöùc, caùc haøm soá löôïng giaùc lieân tuïc treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa chuùng. 5. Giaû söû y = f(x), y = g(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0. Khi ñoù:  Caùc haøm soá y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) lieân tuïc taïi x0. f (x)  Haøm soá y = lieân tuïc taïi x0 neáu g(x0)  0. g( x ) 6. Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì toàn taïi ít nhaát moät soá c  (a; b): f(c) = 0. Noùi caùch khaùc: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø f(a). f(b)< 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm c (a; b). Môû roäng: Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a; b]. Ñaët m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi ñoù vôùi moïi T  (m; M)  a;b  a;b luoân toàn taïi ít nhaát moät soá c  (a; b): f(c) = T. Baøi 10: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:  x 3 2 x3  khi x  1 a) f ( x )   x  1 khi x  1 taïi x  1   b) f ( x )   x  1 taïi x  1 1  khi x  1 1 khi x  1 4  2  7x  5x2  x3  x 5  khi x  2 taïi x  2 d) f ( x )   khi x  5 c) f (x)    2x 1  3 taïi x  5 x2  3x  2 1 khi x  2 ( x  5)2  3 khi x  5    x 1 1  cos x khi x  0  khi x  1 e) f ( x )   taïi x  0 f) f ( x )   2  x  1 taïi x  1  x 1 khi x  0 2 x khi x  1  Baøi 11: Tìm m, n ñeå haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:  x3  x2  2x  2 x2 khi x  1 taïi x  1  khi x  1 taïi x  1 a) f ( x )   b) f (x)   x 1 2mx  3 khi x  1 3x  m khi x  1  Năm học : 2024– 2025 Trang 11
m khi x  0  2 x  x6 c) f ( x )   khi x  0, x  3 taïi x  0 vaø x  3  x ( x  3) n  khi x  3  x2  x  2  khi x  2 d) f ( x )   x  2 taïi x  2 m  khi x  2 Baøi 12: Xeùt tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá sau treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng:  x3  x  2  2  3  x 1 khi x  1  x  3x  4 khi x  2 a) f ( x )   b) f ( x )  5 khi x  2 4 khi x  1 2 x  1  khi x  2 3   x2  4  x2  2  khi x  2  khi x  2 c) f ( x )   x  2 d) f ( x )   x  2  4 khi x  2   2 2 khi x  2 Baøi 13: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc haøm soá sau lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa chuùng:  x2  x  2  2 khi x  1  khi x  2 x  x a) f ( x )   x  2 b) f ( x )  2 khi x  1 m khi x  2  mx  1  khi x  1   x3  x2  2x  2  khi x  1  2 khi x  1 c) f ( x )   x 1 d) f ( x )   x 3 x  m  2mx  3 khi x  1  khi x  1 Baøi 14: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: a) x 3  3 x  1  0 b) x 3  6 x 2  9 x  1  0 c) 2 x  6 3 1  x  3 Baøi 15: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm: a) x 5  3 x  3  0 b) x 5  x  1  0 c) x 4  x 3  3 x 2  x  1  0 Baøi 16: Chöùng minh raèng phöông trình: x 5  5 x 3  4 x  1  0 coù 5 nghieäm treân (–2; 2). Baøi 17: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá: a) m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  0 b) x 4  mx 2  2mx  2  0 c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0 d) (1  m 2 )( x  1)3  x 2  x  3  0 e) cos x  m cos 2 x  0 f) m(2 cos x  2)  2sin 5 x  1 Baøi 18: Chöùng minh caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm: 2 a) ax  bx  c  0 vôùi 2a + 3b + 6c = 0 b) ax 2  bx  c  0 vôùi a + 2b + 5c = 0 c) x 3  ax 2  bx  c  0  1 Bài 10: Chöùng minh raèng phöông trình: ax 2  bx  c  0 luoân coù nghieäm x   0;  vôùi a  0 vaø  3 2a + 6b + 19c = 0. CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1. Ñònh nghóa ñaïo haøm taïi moät ñieåm  Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b) vaø x0  (a; b): f(x)  f(x 0 ) y f '(x 0 )  lim = lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) x x 0 x  x0 x  0 x  Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì noù lieân tuïc taïi dieåm ñoù. Năm học : 2024– 2025 Trang 12
2. YÙ nghóa cuûa ñaïo haøm  YÙ nghóa hình hoïc: + f (x0) laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M  x 0 ;f(x 0 )  . + Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) taïi M  x 0 ;f(x 0 )  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0)  YÙ nghóa vaät lí: + Vaän toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng thaúng xaùc ñònh bôûi phöông trình s = s(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø v(t0) = s(t0). + Cöôøng ñoä töùc thôøi cuûa ñieän löôïng Q = Q(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø I(t0) = Q(t0). 3. Qui taéc tính ñaïo haøm 1 (xn) = n.xn–1  n  N   x      (C)' = 0 (x) = 1 n 1  2 x  u  uv  vu  (u  v) = u  v (uv) = uv + vu    (v  0) v v2  1  v (ku) = ku    2 v v  Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp: Neáu u = g(x) coù ñaïo haøm taïi x laø ux vaø haøm soá y = f(u) coù ñaïo haøm taïi u laø yu thì haøm soá hôïp y = f(g(x) coù ñaïo haøm taïi x laø: yx  yu.ux 4. Ñaïo haøm cuûa haøm soá löôïng giaùc sin x sin u(x)  lim  1; lim  1 (vôùi lim u(x)  0 ) x 0 x u(x) x x 0 x x 0  (sinx) = cosx (cosx) = – sinx  tan x    1  cot x     1 cos2 x sin2 x 5. Vi phaân  dy  df(x)  f (x).x  f(x 0  x)  f(x 0 )  f (x 0 ).x 6. Ñaïo haøm caáp cao   f ''(x)   f '(x) ; f '''(x)   f ''(x) ; f (n) (x)   f (n 1) (x) (n  N, n  4)    YÙ nghóa cô hoïc: Gia toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng s = f(t) taïi thôøi ñieåm t0 laø a(t0) = f(t0). VAÁN ÑEÀ 1: Tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 baèng ñònh nghóa ta thöïc hieän caùc böôùc: B1: Giaû söû x laø soá gia cuûa ñoái soá taïi x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y B2: Tính lim . x 0 x Baøi 16: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: a) y  f(x)  2x2  x  2 taïi x 0  1 b) y  f(x)  3  2x taïi x0 = –3 2x  1  c) y  f(x)  taïi x0 = 2 d) y  f(x)  sin x taïi x0 = x 1 6 x2  x  1 e) y  f(x)  3 x taïi x0 = 1 f) y  f(x)  taïi x0 = 0 x 1 Baøi 17: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f(x)  x2  3x  1 b) f(x)  x3  2x c) f(x)  x  1, (x   1) Năm học : 2024– 2025 Trang 13
1 1 d) f(x)  e) f(x)  sin x f) f(x)  2x  3 cos x VAÁN ÑEÀ 2: Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) baèng coâng thöùc ta söû duïng caùc qui taéc tính ñaïo haøm. Chuù yù qui taéc tính ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp. Baøi 1: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 3 2 a) y  2x 4  x3  2 x  5 b) y   x  x x. c) y  (x3  2)(1  x 2 ) 3 x 2 3  1 d) y  (x 2  1)(x 2  4)(x 2  9) e) y  (x 2  3x)(2  x) f) y    x 1   x   1  3 2x  1 1  x  x2 g) y  h) y  i) y  2x  1 1  3x 1  x  x2 x2  3x  3 2x 2  4x  1 2x 2 k) y  l) y  m) y  x 1 x3 x2  2x  3 Baøi 2: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 3  2x  1  a) y  (x 2  x  1)4 b) y  (1  2x2 )5 c) y     x 1  (x  1)2 1 4 d) y  e) y  f) y   3  2x 2  (x  1)3 (x2  2x  5)2 Baøi 3: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) y  2x2  5x  2 b) y  3 x3  x  2 c) y  x  x 4x  1 4  x2 d) y  (x  2) x2  3 e) y  f) y  x2  2 x x3 3 g) y  h) y  (x  2)3 i) y  1  1  2x  x 1 Baøi 4: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2  sin x  a) y    b) y  x.cos x c) y  sin3 (2x  1)  1  cos x  d) y  cot 2x e) y  sin 2  x2 f) y  sin x  2x 2 1 g) y  tan 2x  tan3 2x  tan 5 2x h) y  2sin2 4x  3cos3 5x 3 5  x 1 i) y  (2  sin2 2x)3 k) y  sin  cos2 x tan 2 x  l) y  cos2    x 1    Baøi 5: Cho n laø soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng: a) (sin n x.cos nx)'  n sin n 1 x.cos(n  1)x b) (sin n x.sin nx)'  n.sin n 1 x.sin(n  1)x c) (cosn x.sin nx)'  n.cosn 1 x.cos(n  1)x d) (cosn x.cos nx)'   n.cosn 1 x.sin(n  1)x VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) 1. Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0)  (C) laø: y  y 0  f '(x 0 )(x  x 0 ) (*) 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C), bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k: + Goïi x0 laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm. Ta coù: f (x 0 )  k (yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) + Giaûi phöông trình treân tìm x0, roài tìm y 0  f(x 0 ). Năm học : 2024– 2025 Trang 14
+ Vieát phöông trình tieáp tuyeán theo coâng thöùc (*) 3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán (d) vôùi (C), bieát (d) ñi qua ñieåm A(x1, y1) cho tröôùc: + Goïi (x0 , y0) laø tieáp ñieåm (vôùi y0 = f(x0)). + Phöông trình tieáp tuyeán (d): y  y 0  f '(x 0 )(x  x 0 ) (d) qua A (x1 , y1 )  y1  y 0  f '(x 0 ) (x1  x 0 ) (1) + Giaûi phöông trình (1) vôùi aån laø x0, roài tìm y 0  f(x 0 ) vaø f '(x 0 ). + Töø ñoù vieát phöông trình (d) theo coâng thöùc (*). 4. Nhaéc laïi: Cho (): y = ax + b. Khi ñoù: 1 + (d)  ()  k d  a + (d)  ( )  k d   a Baøi 1: Cho haøm soá (C): y  f(x)  x2  2x  3. Vieát phöông trình tieáp vôùi (C): a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = 1. b) Song song vôùi ñöôøng thaúng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x + 4y = 0. d) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát cuûa goùc hôïp bôûi caùc truïc toïa ñoä. 2  x  x2 Baøi 2: Cho haøm soá y  f(x)  (C). x 1 a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M(2; 4). b) Vieát phöông trình ttieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 1. 3x  1 Baøi 3: Cho haøm soá y  f(x)  (C). 1 x a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7). b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung. 1 d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi d: y  x  100 . 2 e) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi : 2x + 2y – 5 = 0. Baøi 4: Cho haøm soá (C): y  x3  3x 2 . a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm I(1, –2). b) Chöùng minh raèng caùc tieáp tuyeán khaùc cuûa ñoà thò (C) khoâng ñi qua I. Baøi 5: Cho haøm soá (C): y  1  x  x2 . Tìm phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): 1 a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 = . 2 b) Song song vôùi ñöôøng thaúng x + 2y = 0. VAÁN ÑEÀ 4: Tính ñaïo haøm caáp cao 1. Ñeå tính ñaïo haøm caáp 2, 3, 4, ... ta duøng coâng thöùc: y(n)  (y n 1 )/ . 2. Ñeå tính ñaïo haøm caáp n:  Tính ñaïo haøm caáp 1, 2, 3, ... töø ñoù döï ñoaùn coâng thöùc ñaïo haøm caáp n.  Duøng phöông phaùp quy naïp toaùn hoïc ñeå chöùng minh coâng thöùc ñuùng. Baøi 15: Cho haøm soá f(x)  3(x  1)cos x .  a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''(), f ''   ,f ''(1) 2 Năm học : 2024– 2025 Trang 15
Baøi 16: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá ñeán caáp ñöôïc chæ ra: x3 a) y  cos x, y''' b) y  5x 4  2x3  5x 2  4x  7, y'' c) y  , y'' x4 d) y  2x  x2 , y '' e) y  xsin x, y'' f) y  x tan x, y '' 1 g) y  (x 2  1)3 ,y'' h) y  x6  4x3  4, y(4) i) y  , y(5) 1 x Baøi 17: Cho n laø soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng: (n)  1  (1)n n!  n.   n.  a)    b) (sin x)(n)  sin  x   c) (cos x)(n)  cos  x    1 x  (1  x) n 1  2   2  Baøi 18: Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá sau: 1 1 x a) y  b) y  c) y  x2 2 x  3x  2 2 x 1 1 x d) y  e) y  sin2 x f) y  sin 4 x  cos4 x 1 x Baøi 19: Chöùng minh caùc heä thöùc sau vôùi caùc haøm soá ñöôïc chæ ra:  2 a) y  xsin x  b) y  2x  x   xy'' 2(y' sin x)  xy  0 3 y y'' 1  0   x3  y  x tan x y  c)  2 2 2 d)  x4  x y'' 2(x  y )(1  y)  0  2 2y  (y  1)y '' sin u(x) VAÁN ÑEÀ 5: Tính giôùi haïn daïng lim x x 0 u(x) Ta söû duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå bieán ñoåi vaø söû duïng coâng thöùc sin u(x) lim  1 (vôùi lim u(x)  0 ) x x 0 u(x) x x 0 Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn sau: sin3x 1  cos x 1  sin x cos x  sin x a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 sin 2x x 0 x 2 x    2 x  cos2x 2   x 4 2    sin  x   1  sin x  cos x tan 2x    6 e) lim f) lim g) lim   x  tan x h) lim x 0 1  sin x  cos x x 0 sin 5x  2   3 x x 2 6  cos x 2 VAÁN ÑEÀ 6: Caùc baøi toaùn khaùc Baøi 1: Giaûi phöông trình f '(x)  0 vôùi: a) f(x)  3cos x  4sin x  5x b) f(x)  cos x  3 s ón  2x  1 cos 4x cos6x c) f(x)  sin2 x  2 cos x d) f(x)  sin x   4 6 3  x e) f(x)  1  sin(  x)  2 cos f) f(x)  sin3x  3 cos3x  3(cos x  3 sin x) 2 Baøi 2: Giaûi phöông trình f '(x)  g(x) vôùi:  4  3 a)  f(x)  sin 3x b)  f(x)  sin 2x g(x)  sin 6x g(x)  4 cos2x  5sin 4x Năm học : 2024– 2025 Trang 16
 x  2 x f(x)  2x 2 cos2 f(x)  4x cos 2  c)  2 d)  g(x)  x  x2 sin x  g(x)  8cos x  3  2xsin x   2 Baøi 3: Giaûi baát phöông trình f '(x)  g'(x) vôùi: x2 a) f(x)  x3  x  2, g(x)  3x2  x  2 b) f(x)  2x3  x 2  3, g(x)  x3   3 2 2 c) f(x)  , g(x)  x  x3 x Baøi 4: Xaùc ñònh m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x  R: mx3 mx3 mx 2 a) f '(x)  0 vôùi f(x)   3x 2  mx  5 b) f '(x)  0 vôùi f(x)    (m  1)x  15 3 3 2 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Ñinh nghóa: Haøm soá f ñoàng bieán treân K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 2. Ñieàu kieän caàn: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f(x)  0, x  I b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f(x)  0, x  I 3. Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I. b) Neáu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I. c) Neáu f(x) = 0, x  I thì f khoâng ñoåi treân I. Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù. VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y = 0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) – Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: x2 5 a) y   2 x 2  4 x  5 b) y  x c) y  x 2  4 x  3 4 4 2x 1 x 1 1 d) y  e) y  f) y  1  x5 2x 1 x 2 x 2  x  26 1 4 x 2  15 x  9 g) y  h) y   x  3  k) y  x2 1 x 3x Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: Năm học : 2024– 2025 Trang 17
x2  1 x2  x  1 a) y  6 x 4  8 x 3  3 x 2  1 b) y  c) y  x2  4 x2  x  1 2x 1 x d) y  e) y  f) y  x  3  2 2  x 2 2 x x  3x  2 g) y  2 x  1  3  x h) y  x 2  x 2 i) y  2 x  x 2       k) y  sin 2 x   x  l) y  sin 2 x  x    x    2 2  2 2 VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) Cho haøm soá y  f ( x , m ) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.  Haøm soá f ñoàng bieán treân D  y  0, x  D.  Haøm soá f nghòch bieán treân D  y  0, x  D. Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m. Chuù yù: 1) y = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. 2) Neáu y '  ax 2  bx  c thì:  a  b  0  a  b  0  c  0  c  0  y '  0, x  R     y '  0, x  R     a  0   a  0     0     0  3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai g( x )  ax 2  bx  c :  Neáu  < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a. b  Neáu  = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x =  ) 2a  Neáu  > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a. 4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai g( x )  ax 2  bx  c vôùi soá 0:   0   0    x1  x2  0   P  0  0  x1  x2   P  0  x1  0  x2  P  0 S  0  S  0  5) Ñeå haøm soá y  ax 3  bx 2  cx  d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Tính y.  Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán: a  0  (1)   0  Bieán ñoåi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2 (2)  Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.  Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm. Baøi 1. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù: Năm học : 2024– 2025 Trang 18
x 3 mx 2 xm a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m b) y    2x 1 c) y  3 2 xm mx  4 x 2  2mx  1 x 2  2mx  3m2 d) y  e) y  f) y  xm xm x  2m Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá: a) y  x 3  3 x 2  mx  m nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. 1 3 1 2 b) y  x  mx  2mx  3m  1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. 3 2 1 c) y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. 3 Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá: x3 a) y   (m  1) x 2  (m  1) x  1 ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). 3 b) y  x 3  3(2m  1) x 2  (12m  5) x  2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +). mx  4 c) y  (m  2) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). xm xm d) y  ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +). xm x 2  2mx  3m2 e) y  ñoàng bieán treân khoaûng (1; +). x  2m 2 x 2  3x  m  1  f) y  nghòch bieán treân khoaûng   ;   . 2x  1  2  VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc
 c) a  tan a  b  tan b, vôùi 0  a  b  2 VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình.  Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C1) vaø y = g(x) (C2). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C1) vaø (C2) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù hoaønh ñoä x0. Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*). Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng. Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13x  7  8 b) 2 x  x  x  7  2 x 2  7 x  49 Baøi 2. Giaûi caùc heä phöông trình sau: tan x  tan y  y  x sin x  sin y  3 x  3y   sin 2 x  2 y  sin 2 y  2 x 5   a) 2 x  3y  b)  x  y  c) 2 x  3y     4  5      x, y  0  0  x , y     x, y    2  2 2 cot x  cot y  x  y  d) 5 x  7 y  2 0  x, y    B.HÌNH HỌC: CHÖÔNG III: VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn  Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö trong maët phaúng.  Löu yù: + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB  BC  AC + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB  AD  AC + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.ABCD, ta coù: AB  AD  AA '  AC ' + Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. Ta coù: IA  IB  0 ; OA  OB  2OI + Heä thöùc troïng taâm tam giaùc: Cho G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. Ta coù: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Heä thöùc troïng taâm töù dieän: Cho G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. Ta coù: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông (a  0)  ! k  R : b  ka + Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k  1), O tuyø yù. Ta coù: Năm học : 2024– 2025 Trang 20