Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 1 (phần 1, 2) - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

362
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 (phần 1, 2) trình bày các kiên thức về số phức và véc-tơ. Nội dung cụ thể trong chương này gồm: Dạng đại số và các tính toán cơ bản, dạng lượng giác, lũy thừa và lấy căn, giải phương trình trong trường số phức, véc-tơ hai và ba chiều, tích vô hương và tích có hướng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 1 (phần 1, 2) - ThS. Huỳnh Văn Kha

CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC, VÉC-TƠ, MA TRẬN (Phần 1 và 2) ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn https://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai -giang-toan1e1-toan1
NỘI DUNG CHÍNH 1. Số phức – Dạng đại số và các tính toán cơ bản – Dạng lượng giác, lũy thừa và lấy căn – Giải phương trình trong trường số phức 2. Véc-tơ – Véc-tơ hai và ba chiều – Tích vô hương, tích có hướng 3. Ma trận và hệ phương trình tuyến tính – Các phép toán cơ bản trên ma trận – Định thức và ma trận nghịch đảo – Hệ phương trình tuyến tính 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 2
1. SỐ PHỨC • Số phức (complex number) là số có dạng 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 trong đó 𝑎, 𝑏 là những số thực và 𝑖 là đơn vị ảo có tính chất 𝑖 2 = −1. • Dạng trên được gọi dạng đại số của số phức. • Số thực 𝑎 được gọi là phần thực (real part) của 𝑧, số thực 𝑏 được gọi là phần ảo (imaginary part) của 𝑧 và thường được ký kiệu là Re 𝑧 = 𝑎, Im 𝑧 = 𝑏 • Ví dụ số phức 𝑧 = 2 − 3𝑖 có phần thực là 2 phần ảo là −3. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 3
Một số phép toán • Cho 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 và 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 thì ta có 𝑎=𝑐 𝑧=𝑤⇔ 𝑏=𝑑 𝑧+𝑤 = 𝑎+𝑐 + 𝑏+𝑑 𝑖 𝑧−𝑤 = 𝑎−𝑐 + 𝑏−𝑑 𝑖 𝑧𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 • Ta ký hiệu 𝑧 2 = 𝑧𝑧, 𝑧 3 = 𝑧 2 𝑧, 𝑧 𝑘+1 = 𝑧 𝑘 𝑧, … 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 4
Ví dụ 1. a) Tính 1 + 𝑖 3 . b) Tính 𝑖 2 , 𝑖 3 , 𝑖 4 , … 𝑖 𝑛 . Suy ra giá trị của 𝑖 2015 . Các câu c) đến f), tìm các số thực 𝑥, 𝑦 biết c) 1 + 2𝑖 𝑥 − 2 + 𝑖 𝑦 = 1 + 5𝑖 d) 2𝑥 + 𝑖 1 − 𝑖 + 𝑖𝑦 − 6𝑥 2 + 𝑖 = 4 + 9𝑖 e) 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑖𝑥𝑦 = 1 + 𝑖𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 f) 𝑒 + 𝑖2𝑦 = 𝑒 −2𝑥𝑦 + 𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 5
Số phức liên hợp (conjugate) • Liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số phức 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 • Một số tính chất 𝑧 =𝑧 𝑧 + 𝑧 = 2𝑎 + 0𝑖 = 2Re 𝑧 𝑧 − 𝑧 = 0 + 2𝑖𝑏 = 2𝑖 Im 𝑧 𝑧 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2 + 𝑏 2 • Nếu 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 và 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0 thì ta có phép chia số phức 𝑤 𝑤𝑧 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = = 2 2 + 2 2 𝑖 𝑧 𝑧𝑧 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 6
• Các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức có đầy đủ các tính chất như đối với số thực. • Ngoài ra, với số phức liên hợp, ta còn có các tính chất sau đây 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 7
Ví dụ 2. Tính (viết lại dưới dạng 𝑎 + 𝑏𝑖 với 𝑎, 𝑏 là các số thực). 2 1 1 𝑎) 𝑏) 𝑖 + 1 + 2𝑖 1 − 2𝑖 3 − 4𝑖 3 − 4𝑖 3 + 4𝑖 𝑐) 𝑑) + 1 + 2𝑖 1 + 2𝑖 1 − 2𝑖 7 7 7 4 − 4𝑖 4 − 4𝑖 4 + 4𝑖 𝑒) 𝑓) − 2 + 2𝑖 2 + 2𝑖 2 − 2𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 8
Mô-đun (Modulus) • Mô-đun của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 được định nghĩa là 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 • Mô-đun của số phức là một số thực không âm, ví dụ 2 + 𝑖 = 4 + 1 = 5. • Một số tính chất 𝑧𝑧 = 𝑧 2 𝑧 = 𝑧 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 = 𝑧2 𝑧2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 9
Ví dụ 3. Tính mô-đun của các số phức 3+𝑖 3 + 4𝑖 5 𝑎) − 𝑖 + 𝑏) 1−𝑖 1+𝑖 3 2 3 1 𝑐) 2 − 3𝑖 3 + 3𝑖 𝑑) 1 + 𝑖 + 1+𝑖 1 1 5 1−𝑖 𝑛 𝑒) + + 𝑓) 𝑛 𝑛∈ℕ 1 − 𝑖 1 + 𝑖 1 + 2𝑖 2 + 2𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 10
• Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được biểu diễn thành một điểm trong mặt phẳng. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 11
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 12
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 13
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 14
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 15
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 16
Dạng lượng giác của số phức • Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được diễn tả thông qua hai giá trị 𝑟 và 𝜃 như hình vẽ. • Rõ ràng 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 và ta gọi dạng này là dạng lượng giác của số phức 𝑧. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 17
Argument chính • Nếu 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 thì – Giá trị 𝑟 chính là mô-đun của 𝑧. – Giá trị 𝜃 được gọi là argument của 𝑧, ký hiệu arg 𝑧. • Argument của số phức là không duy nhất, chẳng hạn 𝜋 𝜋 1 + 𝑖 = 2 cos + 𝑖 sin 4 4 𝜋 𝜋 = 2 cos + 𝑘2𝜋 + sin + 𝑘2𝜋 , 𝑘∈ℤ 4 4 • Argument chính của 𝑧 được định nghĩa là giá trị của arg 𝑧 nằm trong khoảng −𝜋, 𝜋 . 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 18
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 19
31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 20