CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC, VÉC-TƠ, MA TRẬN (Phần 1 và 2) ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn https://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai -giang-toan1e1-toan1

NỘI DUNG CHÍNH

1. Số phức

– Dạng đại số và các tính toán cơ bản – Dạng lượng giác, lũy thừa và lấy căn – Giải phương trình trong trường số phức

– Véc-tơ hai và ba chiều –

Tích vô hương, tích có hướng

2. Véc-tơ

– – Định thức và ma trận nghịch đảo – Hệ phương trình tuyến tính

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

2

3. Ma trận và hệ phương trình tuyến tính Các phép toán cơ bản trên ma trận

1. SỐ PHỨC

• Số phức (complex number) là số có dạng

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 trong đó 𝑎, 𝑏 là những số thực và 𝑖 là đơn vị ảo có tính chất 𝑖2 = −1.

• Dạng trên được gọi dạng đại số của số phức. • Số thực 𝑎 được gọi là phần thực (real part) của 𝑧, số thực 𝑏 được gọi là phần ảo (imaginary part) của 𝑧 và thường được ký kiệu là Re 𝑧 = 𝑎,

Im 𝑧 = 𝑏

• Ví dụ số phức 𝑧 = 2 − 3𝑖 có phần thực là 2 phần ảo

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

3

là −3.

Một số phép toán

• Cho 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 và 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 thì ta có

𝑧 = 𝑤 ⇔

𝑎 = 𝑐 𝑏 = 𝑑 𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 𝑧 − 𝑤 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 𝑧𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

4

• Ta ký hiệu 𝑧2 = 𝑧𝑧, 𝑧3 = 𝑧2𝑧, 𝑧𝑘+1 = 𝑧𝑘𝑧, …

+ 𝑖2𝑦 = 𝑒−2𝑥𝑦 + 𝑖

Ví dụ 1. a) Tính 1 + 𝑖 3. b) Tính 𝑖2, 𝑖3, 𝑖4, … 𝑖𝑛. Suy ra giá trị của 𝑖2015. Các câu c) đến f), tìm các số thực 𝑥, 𝑦 biết c) 1 + 2𝑖 𝑥 − 2 + 𝑖 𝑦 = 1 + 5𝑖 d) 2𝑥 + 𝑖 1 − 𝑖 + 𝑖𝑦 − 6𝑥 2 + 𝑖 = 4 + 9𝑖 e) 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑖𝑥𝑦 = 1 + 𝑖𝑥 f) 𝑒 𝑥2+𝑦2

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

5

Số phức liên hợp (conjugate)

• Liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số phức

𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

• Một số tính chất

𝑧 = 𝑧 𝑧 + 𝑧 = 2𝑎 + 0𝑖 = 2Re 𝑧 𝑧 − 𝑧 = 0 + 2𝑖𝑏 = 2𝑖 Im 𝑧 𝑧 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2 + 𝑏2 • Nếu 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 và 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0 thì ta có phép

chia số phức

= =

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

6

𝑤 𝑧 𝑤 𝑧 𝑧 𝑧 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎2 + 𝑏2 𝑖

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức có đầy đủ các

tính chất như đối với số thực.

• Ngoài ra, với số phức liên hợp, ta còn có các tính chất

sau đây

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

=

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

7

𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2

Ví dụ 2. Tính (viết lại dưới dạng 𝑎 + 𝑏𝑖 với 𝑎, 𝑏 là các số thực).

2

𝑎)

𝑏)

𝑖 +

1 1 − 2𝑖

𝑐) + 𝑑)

7

1 1 + 2𝑖 3 − 4𝑖 1 + 2𝑖

7

3 + 4𝑖 1 − 2𝑖 7

𝑒) 𝑓) −

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

8

4 − 4𝑖 2 + 2𝑖 3 − 4𝑖 1 + 2𝑖 4 − 4𝑖 2 + 2𝑖 4 + 4𝑖 2 − 2𝑖

Mô-đun (Modulus)

• Mô-đun của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 được định nghĩa là 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 • Mô-đun của số phức là một số thực không âm, ví dụ

2 + 𝑖 = 4 + 1 = 5.

• Một số tính chất

=

𝑧 𝑧 = 𝑧 2 𝑧 = 𝑧 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧1 𝑧2 𝑧2

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

9

Ví dụ 3. Tính mô-đun của các số phức

𝑎) − 𝑖 + 𝑏)

3 + 𝑖 1 − 𝑖 3 + 4𝑖 5 1 + 𝑖 3

𝑐) 2 − 3𝑖 2 3 + 3𝑖 3 𝑑) 1 + 𝑖 +

𝑒)

+

+

𝑓)

1 1 − 𝑖 1 1 + 𝑖 5 1 + 2𝑖

1 1 + 𝑖 1 − 𝑖 𝑛 2 + 2𝑖 𝑛 𝑛 ∈ ℕ

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

10

• Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được biểu diễn thành một

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

11

điểm trong mặt phẳng.

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

12

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

13

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

14

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

15

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

16

Dạng lượng giác của số phức

• Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được diễn tả thông qua

hai giá trị 𝑟 và 𝜃 như hình vẽ.

• Rõ ràng 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 và ta gọi dạng này là

dạng lượng giác của số phức 𝑧.

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

17

Argument chính

• Nếu 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 thì – Giá trị 𝑟 chính là mô-đun của 𝑧. – Giá trị 𝜃 được gọi là argument của 𝑧, ký hiệu arg 𝑧.

• Argument của số phức là không duy nhất, chẳng hạn

1 + 𝑖 = 2 cos + 𝑖 sin

𝜋 4

𝜋 4 + 𝑘2𝜋 + sin = 2 cos + 𝑘2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

𝜋 4

𝜋 4

• Argument chính của 𝑧 được định nghĩa là giá trị của

arg 𝑧 nằm trong khoảng −𝜋, 𝜋 .

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

18

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

19

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

20

Nhân, chia dạng lượng giác

• Cho 𝑧1 = 𝑟1 cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 và 𝑧2 = 𝑟2 cos 𝜃2 +

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

21

Lũy thừa nguyên số phức

• Cho số phức 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 và 𝑛 ∈ ℕ thì

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃

𝑧−𝑛 =

1 𝑧𝑛 = 𝑟−𝑛 cos −𝑛𝜃 + 𝑖 sin −𝑛𝜃

• Nếu 𝑟 = 1 ta có công thức DeMoivre’s

cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 𝑚 = cos 𝑚𝜃 + 𝑖 sin 𝑚𝜃 , 𝑚 ∈ ℤ

11

3

Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

3 + 𝑖

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

22

a) 1 + 𝑖 3 c) 3 − 4𝑖 6 b) 1 + 𝑖 3 d) 3 + 4𝑖 −6

Căn bậc 𝑛 số phức

• Căn bậc 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) của số phức 𝑧 được định nghĩa là số

phức 𝑤 thỏa 𝑤𝑛 = 𝑧.

𝑛 𝑧 = 𝑛 𝑟 cos

• Ký hiệu của căn bậc 𝑛 là 𝑛 𝑧 hoặc 𝑧1/𝑛. • Nếu 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 thì

+ + 𝑖 sin + ,

𝜃 𝑛

𝑘2𝜋 𝑛

𝜃 𝑛

𝑘2𝜋 𝑛

𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1

• Cho 𝑛 ∈ ℕ và 𝑚 ∈ ℤ ta định nghĩa

𝑧𝑚/𝑛 = 𝑛 𝑧 𝑚

= 𝑛 𝑟 𝑚 cos

+

+ 𝑖 sin

+

𝑚𝜃 𝑛

𝑘𝑚2𝜋 𝑛

𝑚𝜃 𝑛

𝑘𝑚2𝜋 𝑛

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

23

Ví dụ 6. Tính

1/5

𝑎) −1

𝑐) 1 + 𝑖 3

4

𝑏) 𝑛 1 𝑑) 3 27𝑖

8 1 − 𝑖

𝑓) 2 3 − 2𝑖 𝑒) 1 + 𝑖 5/6

𝑔)

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

24

3 + 𝑖

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

25

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

26

Giải phương trình trên tập số phức

• Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số phức, 𝑎 ≠ 0. Xét phương trình

𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0

• Đặt Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 thì nghiệm là 𝑧 =

−𝑏+ Δ 2𝑎

Ví dụ 7. Giải các phương trình

𝑖 4

𝑎) 𝑤2 + 𝑤 + = 0 𝑏) 𝑤6 + 𝑤3 + 1 = 0 𝑐) 𝑧2 + 1 − 𝑖 𝑧 + 4 + 7𝑖 = 0 𝑑) 𝑖𝑧4 − 3 + 2𝑖 𝑧2 + 2 − 2𝑖 = 0 e) 1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4 = 0

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

27

2. VÉC-TƠ

• Véc-tơ trong không gian hai chiều là một bộ gồm hai

số thực có dạng 𝑎, 𝑏 .

• Véc-tơ trong không gian ba chiều là một bộ gồm ba

số thực có dạng 𝑎, 𝑏, 𝑐 .

• Tích vô hướng của 𝑢1 = 𝑎1, 𝑏1 và 𝑢2 = 𝑎2, 𝑏2 là 𝑢1, 𝑢2 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2

• Tích vô hướng của 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 và 𝑣2 =

𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 là

𝑣1, 𝑣2 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

28

• Tích có hướng của hai véc-tơ 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 và 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 trong không gian ba chiều là

,

,

𝑐1 𝑎1 𝑐2 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2

𝑣1, 𝑣2 = = 𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1, 𝑐1𝑎2 − 𝑐2𝑎1, 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1

31/12/2015

29