Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

191
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 bao gồm các kiến thức về giới hạn, liên tục và vi phân như: Giới hạn và các tính chất, hàm số liên tục, giới hạn liên quan đến vô cùng, định nghĩa đạo hàm, một số quy tắc tính đạo hàm, xấp xỉ tuyến tính và vi phân, cực trị và giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, quy tắc L’Hospital, nguyên hàm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, VI PHÂN ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giới hạn và các tính chất. 2. Hàm số liên tục. 3. Giới hạn liên quan đến vô cùng. 4. Định nghĩa đạo hàm. 5. Một số quy tắc tính đạo hàm. 6. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 7. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 8. Quy tắc L’Hospital. 9. Nguyên hàm. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 2 vi phân
1. GIỚI HẠN VÀ CÁC TÍNH CHẤT • Cho 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 và hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên 𝑎, 𝑏 có thể ngoại trừ tại chính điểm 𝑥0 . • Nếu 𝑓 𝑥 có thể gần tùy ý về giá trị 𝐿 với mọi 𝑥 đủ gần 𝑥0 nhưng vẫn khác 𝑥0 thì ta nói 𝑓 𝑥 có giới hạn là 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑥0 và ký hiệu lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑥0 • Hàm số 𝑥2 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 có giới hạn bằng bao nhiêu khi 𝑥 → 1? C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 3 tục
C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 4 tục
• Các hàm số sau đây có giới hạn bằng bao nhiêu khi 𝑥 tiến về 1? C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 5 tục
Định nghĩa giới hạn Định nghĩa 1. Giới hạn – limit Cho 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 và hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 , có thể ngoại trừ tại 𝑥0 . Ta nói giới hạn của 𝑓 𝑥 khi 𝑥 tiến về 𝑥0 là bằng 𝐿, và viết lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑥0 nếu, với mọi 𝜀 > 0 tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 6 tục
C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 7 tục
Các tính chất Định lý 1. Các tính chất giới hạn hàm số Nếu lim 𝑓 𝑥 = 𝐿, lim 𝑔 𝑥 = 𝑀 và 𝑘 ∈ ℝ thì 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 lim 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =𝐿±𝑀 𝑥→𝑥0 lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐿𝑀 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝐿 lim = , 𝑀≠0 𝑥→𝑥0 𝑔 𝑥 𝑀 lim 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝐿𝑛 , 𝑛∈ℕ 𝑥→𝑥0 𝑛 𝑛 lim 𝑓 𝑥 = 𝐿, 𝑛∈ℕ 𝑥→𝑥0 (nếu 𝑛 chẵn thì giả sử rằng L > 0) C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 8 tục
• Suy ra, nếu 𝑃 𝑥 là một đa thức thì lim 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑥0 𝑥→𝑥0 • Người ta cũng chứng minh được, nếu 𝑓 𝑥 là một hàm số sơ cấp và 𝑥0 thuộc miền xác định của nó thì lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝑥→𝑥0 Ví dụ 1. Tính các giới hạn. 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 𝑎) lim 3𝑥 2 − 1 𝑏) lim 𝑥→−2 𝑥→3 𝑥2 − 9 𝑥 2 + 25 − 5 𝑐) lim 𝑥→0 𝑥2 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 9 tục
Giới hạn kẹp Định lý 2. Định lý giới hạn kẹp (Squeeze Theorem) Giả sử 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 với mọi 𝑥 trong một khoảng mở chứa 𝑐, có thể ngoại trừ tại 𝑥 = 𝑐. Khi đó nếu lim 𝑔 𝑥 = lim ℎ 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 thì lim 𝑓 𝑥 = 𝐿. 𝑥→𝑐 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 10 tục
C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 11 tục
Ví dụ 2. Tính lim 𝑢 𝑥 biết 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 1− ≤𝑢 𝑥 ≤1+ , ∀𝑥 ≠ 0 4 2 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 12 tục
Một số giới hạn quan trọng Định lý 3. Một số giới hạn quan trọng. sin 𝑥 1 − cos 𝑥 1 lim =1 lim 2 = 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 2 𝑒𝑥 − 1 ln 1 + 𝑥 lim =1 lim =1 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 13 tục
Giới hạn một phía • Nếu 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑐, 𝑏 và 𝑓 𝑥 có thể tiến gần tùy ý về 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑐 nhưng vẫn lớn hơn 𝑐 thì ta nói 𝑓 có giới hạn phải bằng 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑐. Ta viết lim+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑐 • Nếu 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑐 và 𝑓 𝑥 có thể tiến gần tùy ý về 𝑀 khi 𝑥 tiến về 𝑐 nhưng vẫn nhỏ hơn 𝑐 thì ta nói 𝑓 có giới hạn trái bằng 𝑀 khi 𝑥 tiến về 𝑐. Ta viết lim− 𝑓 𝑥 = 𝑀 𝑥→𝑐 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 14 tục
C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 15 tục
Định lý 4. Hàm số 𝑓 𝑥 có giới hạn khi 𝑥 → 𝑐 khi và chỉ khi nó có các giới hạn trái, giới hạn phải và các giới hạn một phía này bằng nhau. Nghĩa là lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ lim+ 𝑓 𝑥 = lim− 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 16 tục
• Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số sau đây tại các điểm 0,1,2,3,4. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 17 tục
Định nghĩa giới hạn trái, phải Định nghĩa 2. Giới hạn trái, giới hạn phải. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn phải (right-hand limit) bằng 𝐿 khi 𝑥 → 𝑥0 nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 −𝐿 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 −𝑀
Ví dụ 3. Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của 𝑥 a) 𝑓 𝑥 = khi 𝑥 → 0 𝑥 𝑥 2 + 1, nếu 𝑥 < 1 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1, nếu 𝑥 ≥ 1 khi 𝑥 → 1 và khi 𝑥 → 0. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 19 tục
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Cho hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . • Nếu 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 ta nói 𝑐 là điểm trong. • Nếu 𝑐 = 𝑎 hoặc 𝑐 = 𝑏 ta nói 𝑐 là điểm biên. Định nghĩa 3. Hàm số liên tục. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là liên tục (continuous) tại điểm trong 𝑐 của khoảng xác định nếu lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 𝑥→𝑐 Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là liên tục tại điểm biên trái 𝑎 (hoặc tại điểm biên phải 𝑏) của khoảng xác định nếu lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 (hoặc lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑏 ) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑏 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 20 tục