Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 trình bày về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Nội dung chính trong chương này gồm: Định nghĩa tích phân xác định, định lý cơ bản của phép tính vi tích phân, các phương pháp tính tích phân, một số ứng dụng của tích phân, tích phân suy rộng, các tiêu chuẩn hội tụ. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Tích phân suy rộng. 7. Các tiêu chuẩn hội tụ. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 2 dụng
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU • Tính diện tích hình phẳng 𝑅 nằm trên trục 𝑂𝑥, dưới đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 2 và giữa 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 3 dụng
• Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 4 dụng
• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 5 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 6 dụng
• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 7 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 8 dụng
• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của 𝑓 tại điểm giữa các khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 9 dụng
• Khoảng xác định 𝑎, 𝑏 của hàm số 𝑓 có thể được chia thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng nhau 𝑏−𝑎 Δ𝑥 = 𝑛 • Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của 𝑓 tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con. • Tổng như vậy có dạng 𝑓 𝑐1 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐2 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐3 𝛥𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑐𝑛 𝛥𝑥 • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác của diện tích cần tìm. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 10 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 11 dụng
Tính khoảng cách di chuyển • Nếu một vật di chuyển với vận tốc 𝑣 𝑡 thì trong khoảng thời gian từ 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 vật đó đi được bao xa? • Nếu biết một nguyên hàm của 𝑣 𝑡 là 𝐹 𝑡 thì vị trí của vật đó ở thời điểm 𝑡 là 𝑠 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐶. • Quãng đường đi được là 𝑠 𝑏 − 𝑠 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 . • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của 𝑣 𝑡 hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không? C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 12 dụng
• Chia khoảng 𝑎, 𝑏 thành n khoảng thời gian đều nhau có độ dài Δ𝑡. – Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn 𝑡1 tùy ý. – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn 𝑡2 tùy ý. – … – Trên khoảng thời gian thứ 𝑛, chọn 𝑡𝑛 tùy ý. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 13 dụng
• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ bằng 𝑣 𝑡1 Δ𝑡. – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ bằng 𝑣 𝑡2 Δ𝑡. –… – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 𝑛 xấp xỉ bằng 𝑣 𝑡𝑛 Δ𝑡. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 14 dụng
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma 𝑛 𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑘=1 • Ví dụ 10 12 + 22 + 32 + ⋯ + 102 = 𝑘2 𝑘=1 100 𝑓 1 + 𝑓 2 + ⋯ + 𝑓 100 = 𝑓 𝑖 𝑖=1 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 15 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 16 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 17 dụng
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 18 dụng
Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục 𝑂𝑥, đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 2 và hai đường thẳng đứng 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. Chia khoảng 0,1 thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng nhau Δ𝑥 = 1/𝑛. a) Viết lại tổng dưới 𝐿𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính lim 𝐿𝑛 𝑛→∞ b) Viết lại tổng trên 𝑈𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính lim 𝑈𝑛 𝑛→∞ Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số 𝑓 𝑥 bằng 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 . C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 19 dụng
Tổng Riemann • Tổng quát, xét hàm số 𝑓 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . • Chia 𝑎, 𝑏 thành 𝑛 khoảng (không nhất thiết có độ dài bằng nhau) bằng cách chọn 𝑛 − 1 điểm 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 nằm trong khoảng 𝑎, 𝑏 thỏa 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑏 • Để tiện lợi, đặt 𝑥0 = 𝑎 và 𝑥𝑛 = 𝑏. • Tập hợp 𝑃 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng 𝑎, 𝑏 . • Đặt Δ𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 (nếu cách khoảng chia đều nhau thì Δ𝑥𝑘 = 𝑏 − 𝑎 /𝑛 với mọi 𝑘). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng 24/08/2015 20 dụng