Chương 3 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ThS. Huỳnh Văn Kha

TÓM TẮT NỘI DUNG

1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Tích phân suy rộng. 7. Các tiêu chuẩn hội tụ.

24/08/2015 2 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

• Tính diện tích hình phẳng 𝑅 nằm trên trục 𝑂𝑥, dưới đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 và giữa 𝑥 = 0, 𝑥 = 1.

24/08/2015 3 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum).

24/08/2015 4 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia.

24/08/2015 5 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 6 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum).

24/08/2015 7 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 8 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của 𝑓 tại điểm giữa các khoảng chia.

24/08/2015 9 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Khoảng xác định 𝑎, 𝑏 của hàm số 𝑓 có thể được chia thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng nhau

Δ𝑥 =

𝑏 − 𝑎 𝑛

• Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của 𝑓 tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con.

• Tổng như vậy có dạng

𝑓 𝑐1 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐2 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐3 𝛥𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑐𝑛 𝛥𝑥 • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác

của diện tích cần tìm.

24/08/2015 10 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 11 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tính khoảng cách di chuyển

• Nếu một vật di chuyển với vận tốc 𝑣 𝑡 thì trong

khoảng thời gian từ 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 vật đó đi được bao xa?

• Nếu biết một nguyên hàm của 𝑣 𝑡 là 𝐹 𝑡 thì vị trí

của vật đó ở thời điểm 𝑡 là 𝑠 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐶.

• Quãng đường đi được là 𝑠 𝑏 − 𝑠 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 . • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của 𝑣 𝑡 hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không?

24/08/2015 12 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Chia khoảng 𝑎, 𝑏 thành n khoảng thời gian đều

nhau có độ dài Δ𝑡. – Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn 𝑡1tùy ý. – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn 𝑡2 tùy ý. – … – Trên khoảng thời gian thứ 𝑛, chọn 𝑡𝑛 tùy ý.

24/08/2015 13 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau

– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ

bằng 𝑣 𝑡1 Δ𝑡.

– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ

bằng 𝑣 𝑡2 Δ𝑡.

– … – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 𝑛 xấp xỉ

bằng 𝑣 𝑡𝑛 Δ𝑡.

24/08/2015 14 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên)

có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma

𝑛

𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

𝑘=1

• Ví dụ

𝑘2

10 12 + 22 + 32 + ⋯ + 102 = 𝑘=1

100

𝑓 𝑖

𝑓 1 + 𝑓 2 + ⋯ + 𝑓 100 = 𝑖=1

24/08/2015 15 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 16 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 17 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 18 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục 𝑂𝑥, đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 và hai đường thẳng đứng 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. Chia khoảng 0,1 thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng nhau Δ𝑥 = 1/𝑛. a) Viết lại tổng dưới 𝐿𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính

𝐿𝑛

lim 𝑛→∞

b) Viết lại tổng trên 𝑈𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính

𝑈𝑛

lim 𝑛→∞

Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số 𝑓 𝑥 bằng 𝑔 𝑥 = 𝑥3.

24/08/2015 19 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tổng Riemann

• Tổng quát, xét hàm số 𝑓 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . • Chia 𝑎, 𝑏 thành 𝑛 khoảng (không nhất thiết có độ

dài bằng nhau) bằng cách chọn 𝑛 − 1 điểm 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1 nằm trong khoảng 𝑎, 𝑏 thỏa 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑏

• Để tiện lợi, đặt 𝑥0 = 𝑎 và 𝑥𝑛 = 𝑏. • Tập hợp

𝑃 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng 𝑎, 𝑏 .

• Đặt Δ𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 (nếu cách khoảng chia đều

nhau thì Δ𝑥𝑘 = 𝑏 − 𝑎 /𝑛 với mọi 𝑘).

24/08/2015 20 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 21 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘

• Trên khoảng con thứ 𝑘 chọn số 𝑐𝑘 tùy ý. • Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 𝑛 𝑆𝑃 = 𝑘=1 • Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và 𝑐𝑘 được chọn

tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì

𝑓 𝑎 + 𝑘

𝑏 − 𝑎 𝑛

𝑏 − 𝑎 𝑛

𝑛 𝑆𝑛 = 𝑘=1

24/08/2015 22 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 23 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Định nghĩa tích phân

• Chuẩn (norm) của phân hoạch 𝑃, ký hiệu 𝑃 , được định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con

Δ𝑥𝑘

𝑃 = max 1≤𝑘≤𝑛 • Nếu với mọi phân hoạch 𝑃 để cho 𝑃 đủ nhỏ, tổng Riemann 𝑆𝑃 đủ gần giá trị 𝐽 nào đó (bất chấp cách chọn 𝑐𝑘 trong mỗi khoảng con) thì ta nói 𝐽 là tích phân xác định của 𝑓 trên khoảng 𝑎, 𝑏 .

• Nói cách khác, nếu tổng Riemann 𝑆𝑃 tiến về giá trị 𝐽

nào đó khi 𝑃 → 0 thì ta nói tích phân xác định của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 là 𝐽.

24/08/2015 24 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral Cho hàm số 𝑓 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . Ta nói 𝐽 là tích phân xác định của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 nếu 𝐽 là giới hạn 𝑛 của tổng Riemann 𝑆𝑃 = 𝑘=1 𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 khi 𝑃 → 0 theo nghĩa

Với mọi 𝜀 > 0, tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi phân hoạch 𝑃 của 𝑎, 𝑏 thỏa 𝑃 < 𝛿 và với mọi sự lựa chọn 𝑐𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 ta có

𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 − 𝐽 < 𝜀

𝑛 𝑆𝑃 − 𝐽 = 𝑘=1

24/08/2015 25 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Tích phân xác định 𝐽 của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 được ký hiệu là

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

24/08/2015 26 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên

𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = ⋯

𝑏 𝑎

𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎

• Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 và hàm 𝑓 là khả tích trên 𝑎, 𝑏 . Khi 𝐽 = 𝑎 đó ta có thể viết

𝑛

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

lim 𝑃 →0

𝑏 𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 = 𝐽 = 𝑎

𝑘=1

24/08/2015 27 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tính khả tích của hàm liên tục

• Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số

𝑓 𝑥 =

là không khả tích.

1, nếu 𝑥 hữu tỉ 0, nếu 𝑥 vô tỉ

• Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là có bước nhảy (jump

discontinuity) tại 𝑐 nếu giới hạn trái và phải khi 𝑥 tiến về 𝑐 đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 tồn tại và 𝑓

Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục Nếu hàm số 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 hoặc nếu 𝑓 chỉ có hữu 𝑏 hạn bước nhảy trên 𝑎, 𝑏 thì 𝑎 khả tích trên 𝑎, 𝑏 .

24/08/2015 28 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Một số tính chất

24/08/2015 29 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 30 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 31 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 32 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 33 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Ví dụ 2. 1. Tính tích phân

𝑥𝑑𝑥 ,

với 𝑏 > 0

𝑏 0

2. Tính tích phân

𝑥𝑑𝑥 ,

với 𝑏 > 𝑎

𝑏 𝑎

3. Tính tích phân

𝑥2𝑑𝑥 ,

với 𝑏 > 𝑎

𝑏 𝑎

24/08/2015 34 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

• Nếu 𝑓 𝑡 khả tích trên 𝑎, 𝑏 thì với 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 đặt

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑎

24/08/2015 35 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥 ℎ

= 𝑓 𝑥

𝐹′ 𝑥 = lim ℎ→0

𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹 𝑥 ℎ

24/08/2015 36 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 liên tục

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥

𝐹′ 𝑥 =

Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 𝑥 Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 thì 𝐹 𝑥 = 𝑎 trên 𝑎, 𝑏 , khả vi trên 𝑎, 𝑏 và 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝑥 𝑎

Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính

𝑑𝑦 𝑑𝑥

biết 𝑥2

1 + 𝑡3 𝑑𝑡

cos 1 + 𝑡2 𝑑𝑡

2. 𝑦 = 1

𝑥 1. 𝑦 = 𝑎 4 3. 𝑦 =

𝑒sin 𝑡𝑑𝑡

1+3𝑥2

24/08/2015 37 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Công thức Newton-Leibnitz

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ≡

𝐹 𝑥

𝑎

Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 2 Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và 𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 thì 𝑏 𝑎

Ví dụ 4. Tính các tích phân.

sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑦 −

4 𝑦2 𝑑𝑦

𝜋 1. 0 1 𝑑𝑡 1 + 𝑡

4 3 2 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥

3. 0

2. 1 1 4. 0

24/08/2015 38 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích phân bất định Nếu 𝑢 = 𝑔 𝑥 là hàm số khả vi mà giá trị thuộc khoảng 𝐼 và nếu 𝑓 liên tục trên 𝐼 thì

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định.

1. 𝑥2𝑒 𝑥3

𝑑𝑥

2.

3. 𝑥 2𝑥 + 1𝑑𝑥 4.

𝑑𝜃 𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃 2𝑧𝑑𝑧 3 𝑧2 + 1

24/08/2015 39 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Nếu 𝑔′ liên tục trên 𝑎, 𝑏 và 𝑓 liên tục trên miền giá trị của 𝑢 = 𝑔 𝑥 thì

𝑔 𝑏

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑓 𝑢 𝑑𝑢

𝑔 𝑎

𝑏 𝑎

Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định.

1 1.

3𝑥2 𝑥3 + 1𝑑𝑥

2.

𝑑𝜃

𝜋/2 cos 𝜃 sin3 𝜃

𝜋/4

−1

𝑒 3

𝜋/4

3.

tan 𝑥 𝑑𝑥

4𝑑𝑡 𝑡 1 + ln2 𝑡

4. 1

−𝜋/3

24/08/2015 40 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tích phân của hàm đối xứng (symmetric function)

• Cho hàm số 𝑓 xác định trên khoảng đối xứng −𝑎, 𝑎 . • 𝑓 được nói là chẵn nếu 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ −𝑎, 𝑎 . • 𝑓 được nói là lẻ nếu 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ −𝑎, 𝑎 .

𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng Cho 𝑓 liên tục trên khoảng đối xứng −𝑎, 𝑎 . 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0.

𝑎 a) Nếu 𝑓 chẵn (even) thì −𝑎 𝑎 b) Nếu 𝑓 lẻ (odd) thì −𝑎

24/08/2015 41 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 42 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 43 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tích phân từng phần – integration by parts

Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định

𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

hoặc viết gọn 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢.

Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định.

1. 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

2. ln 𝑥 𝑑𝑥

3. arctan 𝑥 𝑑𝑥

24/08/2015 44 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định

𝑏

𝑏

𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏 𝑎

𝑏

− 𝑎 𝑣𝑑𝑢.

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎

𝑏 hoặc viết gọn 𝑎

𝑏 − 𝑎

Ví dụ 8. Tính các tích phân.

4

𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥

arcsin 𝑥 𝑑𝑥

1. 0

1 2. 0

3. 𝑥2𝑒 𝑥𝑑𝑥

4. 𝑥3 sin 3𝑥 𝑑𝑥

24/08/2015 45 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

• Một thiết diện (cross-section) của khối 𝑆 là một miền phẳng tạo thành từ việc cắt 𝑆 bằng một mặt phẳng.

24/08/2015 46 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tính thể tích

• Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao

Thểtích=diệntíchđáy×chiềucao

24/08/2015 47 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 48 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 49 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 50 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt mặt thứ nhất theo một góc 450 tại tâm của khối trụ. Tính thể tích cái nêm này.

24/08/2015 51 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 52 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 53 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 54 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tính độ dài đường cong

• Đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 gọi là trơn (smooth) nếu 𝑓 là

hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục.

24/08/2015 55 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 56 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 57 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Tính độ dài của đồ thị hàm số

𝑓 𝑥 =

+

,

𝑥 ∈ 1,4

𝑥3 12

1 𝑥

24/08/2015 58 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tính công của lực

• Một vật chịu tác động của một lực (force) 𝐹 có độ lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di chuyển một khoảng 𝑑 thì công (work) của lực 𝐹 được định nghĩa là 𝑊 = 𝐹𝑑.

• Nếu lực 𝐹 = 𝐹 𝑥 (không phải là hằng số), tác động làm vật di chuyển từ 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 thì công của lực là bao nhiêu?

• Chia khoảng 𝑎, 𝑏 thành 𝑛 khoảng con 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 . Lấy 𝑐𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 thì công được xấp xỉ bằng 𝑛

𝐹 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘

Work ≈ 𝑘=1

24/08/2015 59 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 60 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn 𝑥 đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với 𝑥 𝐹 = 𝑘𝑥

với 𝑘 là hằng số.

• Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự nhiên 1 𝑓𝑡 xuống còn 0.75 𝑓𝑡, biết 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑓𝑡

24/08/2015 61 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 62 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

6. PHƯƠNG PHÁP SỐ

• Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation)

24/08/2015 63 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Quy tắc hình thang

24/08/2015 64 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule

• Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường

parabol.

24/08/2015 65 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 66 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 67 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

• Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I).

Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, ∞ thì ∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑏→∞

𝑏 𝑎

𝑎 Nếu 𝑓 liên tục trên −∞, 𝑏 thì 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑎→−∞

−∞

𝑏 𝑎

24/08/2015 68 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).

• Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân

suy rộng loại I ∞

∞

𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

−∞

với 𝑓 liên tục trên −∞, ∞ và 𝑐 là hằng số tùy ý. • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân

vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

24/08/2015 69 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng.

∞

𝑒−𝑥/2𝑑𝑥

1. 0

24/08/2015 70 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

1 2.

𝑑𝑥

1 2𝑥 − 3

−∞

∞

1

𝑑𝑥

𝑥 + 1

3. 0

∞ 𝑑𝑥

4.

1 + 𝑥2

−∞

24/08/2015 71 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

0 5.

𝑒2𝑥𝑑𝑥

−∞

∞

1

6.

3𝑥 + 5 3 𝑑𝑥

−1

∞ ln 𝑥

𝑥2 𝑑𝑥

7. 1

24/08/2015 72 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

∞ 2𝑥 + 1

𝑒3𝑥 𝑑𝑥

8. 0

∞

9.

𝑒 𝑥 1 + 𝑒2𝑥 𝑑𝑥

−∞

Ví dụ 10. Với giá trị nào của 𝑝 thì tích phân sau hội tụ?

∞ 1

𝑥𝑝 𝑑𝑥

𝐼 = 1

24/08/2015 73 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Tích phân suy rộng loại II

• Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong

khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là suy rộng loại II (improper integral of Type II).

Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và gián đoạn tại 𝑎 thì

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑐→𝑎+

𝑎

𝑏 𝑐

Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và gián đoạn tại 𝑏 thì

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑐→𝑏−

𝑎

𝑐 𝑎

24/08/2015 74 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).

• Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑐 ∪ 𝑐, 𝑏 và gián đoạn tại 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân

vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

24/08/2015 75 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

Ví dụ 11. Tính các tích phân suy rộng. 1 𝑑𝑥 𝑥

1. 0

24/08/2015 76 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

1 1

𝑑𝑥

1 − 𝑥

2. 0

24/08/2015 77 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

𝑑𝑥 𝑥 − 1 2/3

3 3. 0

24/08/2015 78 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

𝜋/2 𝑑𝑥 cos 𝑥

4. 0

ln 𝑥 𝑑𝑥

1 5. 0

Ví dụ 12. Với giá trị nào của 𝑝 thì tích phân sau hội tụ? 1 1 𝑥𝑝 𝑑𝑥

0

24/08/2015 79 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

7. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ

24/08/2015 80 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 81 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 82 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 83 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng

24/08/2015 84 C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng dụng