Bài giảng Toán C2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 trình bày những kiến thức về không gian vector Rn. Chương này giúp người học nắm bắt được một số khái niệm cơ bản như không gian vector, không gian vector con, không gian sinh bởi tập hợp, độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; nắm bắt được các phép toán cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector; biết được các phép toán về tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán C2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR Rn Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
Nội dung 1 Một số khái niệm cơ bản Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector 3 Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
Không gian vector, kg vector con Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v , w ∈ V ; ∀h, k ∈ R 1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v ) + w = u + (v + w ) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v ) = hu + hv 8. 1.u = u Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 2 / 18
Ví dụ: Tập các ma trận Mm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân: I (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) I k (x1 , ..., xn ) = (kx1 , ..., kxn ) lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V Ký hiệu: W ≤ V Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 3 / 18
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không? 1. V = R2 , W = {(x, 0) : x ∈ R} 2. V = R2 , W = {(x, 1) : x ∈ R} 3. V = R3 , W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} 4. V = Rn , W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈ Mm×n ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 4 / 18
Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là kgvt và S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V Với mỗi bộ k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1 , u2 , . . . , un Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W Ký hiệu: W = hSi = hu1 , u2 , ..., un i Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 5 / 18
Ví dụ: Xét W = hu1 , u2 , u3 i ≤ R4 , với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W không? 2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d ) ∈ W Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 6 / 18
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho V là kgvt, S = {u1 , u2 , . . . , un } S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta có: k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un = 0 kéo theo k1 = k2 = · · · kn = 0 Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1 , u2 , u3 } có độc lập tuyến tính không? 1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 7 / 18
Cơ sở và số chiều Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính. n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dim V = n Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đó Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 8 / 18
Ví dụ: 1. Không gian Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R} có  là n; có một cơ sở là B0 = {e1 , e2 , . . . , en }, số chiều e = (1, 0, ..., 0)  1   e2 = (0, 1, ..., 0) với:   ... en = (0, 0, ..., 1)  Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn 2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không? Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 9 / 18
Chú ý Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi: S sinh ra V , nghĩa là: hSi = V , và S độc lập tuyến tính Nếu S là cơ sở của V thì: dim V = số phần tử của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 10 / 18
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của hSi Trong kgvt V , cho hệ S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V . Khi đó, số chiều của hSi gọi là hạng của S, ký hiệu: rank S Nếu S 0 thu được bằng cách: I Đổi chỗ 2 phần tử của S I Nhân một vector của S với số khác 0 I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một vector khác trong S Thì hSi = hS 0 i Để tìm cơ sở, số chiều của hSi, ta làm như sau: I Sắp các vector của S thành hàng I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 11 / 18
Ví dụ: 1. Trong R4 , xét S = {u1 , u2 , u3 , u4 }, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, −1, 9, 2), u4 = (−1, −7, −3, −3). Tìm cơ sở và số chiều cho hSi 2. Trong R4 , xét B = {v1 , v2 , v3 , v4 }, với v1 = (2, −1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1, −1), v3 = (−2, −2, −8, 3), v4 = (2, −7, 5, 1). Tìm cơ sở và số chiều cho hBi Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: rank(S) = số vector của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 12 / 18
Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều  Tìm Ví dụ: cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:  x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 0 1. 2x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0 2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0   x − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0  1   2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0 2.   3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 13 / 18
Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng 1 trong 2 cách sau: 1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số 2. Dùng phương pháp Gauss Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian W = {(a, b, c, d , e) : hệ dưới đây có nghiệm}    x1 + x2 + 2x4 = a  2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b   x1 + 3x2 + 5x4 = c 3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d      2x + 8x − 4x + 2x = e 1 2 3 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 14 / 18
Tọa độ Cho B = {e1 , e2 , . . . , en } là một cơ sở được sắp của kgvt V . Khi đó, ∀u ∈ V , ∃!(k1 , k2 , . . . , kn ) ∈ Rn sao cho: u = k1 e1 + k2 e2 + · · · + kn en   k1 k2  Tọa độ của u trong B là: [u]B =   ...   kn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 15 / 18
Ví dụ: 1. Tìm tọa độ của u = (x1 , x2 , . . . , xn ) trong cơ sở chính tắc của Rn 2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 = (−1, −1, −3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3 . Tìm tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B 3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1, −1, 1, 1), v2 = (2, −2, 3, 0), v3 = (3, −3, 4, 3)} là một cơ sở của W = hSi ≤ R4 . b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1, −2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S   −1 c) Biết [w ]S =  1 . Xác định w . 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 16 / 18
Ma trận chuyển cơ sở Cho B, và B 0 = {e10 , e20 , . . . , en0 } là các cơ sở của kgvt V . Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B 0 được định nghĩa là: P(B → B 0 ) = ([e10 ]B [e20 ]B · · · [en0 ]B ) Các tính chất: P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B 0 )P(B 0 → C) P(B → B 0 ) = [P(B 0 → B)]−1 [v ]B = P(B → B 0 )[v ]B0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 17 / 18
Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3 B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2, −3)}. 1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3 . 2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0 ), P(B → C), P(C → B) 3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B   −2 4. Cho [v ]C =  −1 . Tìm [v ]B 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 18 / 18