Ø Ch ng 3. Không gian vectorươ
§1. Khái ni m không gian vectorệ
§2. S đc l p tuy n tính và ph thu c tuy n tínhự ộ ậ ế ụ ộ ế
§3. C sơ ở, s chi uố ề c a kgvtủ – T a đọ ộ c a vectorủ
§4. Không gian sinh b i ởh vectorệ
§5. Không gian Euclide
………………………………………………………………
§1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTORỆ
(Vector space)
1.1. Đnh nghĩaị
• Cho t p ậ
V
khác r ngỗ, m i ph n t thu c ỗ ầ ử ộ
V
đc g i ượ ọ
là m t vector.ộ Xét hai phép toán sau:
( , ) ; ( , ) .
V V V V V
x y x y x x
¡
a a
1
Ø Ch ng 3. Không gian vectorươ
• Ta nói
V
cùng v i hai phép toán trên ớlà m tộ không
gian vector (vi t t t là kgvtế ắ ) trên
¡
, hay
¡
– không
gian vector, n uế th a 8 tính ch t sau:ỏ ấ
1)
( ) ( ), , ,x y z x y z x y z V
;
2) : ,V x x x x V
;
3) , ( ) :( ) ( )x V x V x x x x
;
4)
, ,x y y x x y V
;
5) ( ) , , ,x y x y x y V
¡ ;
6) ( ) , , ,x x x x V
¡ ;
7)
( ) ( ), , ,x x x V
¡
;
8) 1. ,x x x V .
Trong đó,
V
đc g i là ượ ọ vector không.
2
Ø Ch ng 3. Không gian vectorươ
VD 1.
• T pậ
1 2
( , ,..., ) , 1,
n
n i
x x x x i n ¡ ¡
các b s ộ ố
th c ựlà m t không gian vectorộ.
• T p nghi m ậ ệ
V
c a h ph ng ủ ệ ươ trình tuy n tính thu nế ầ
nh t là ấm t ộkhông gian vector.
• T p ậ
,
( )
m n
V M¡ v i hai phép toán c ng ớ ộ ma tr n ậvà
nhân vô h ngướ là m t ộkhông gian vector.
• T pậ
[ ]
n
P x
các đa th c có bứ ậc không quá
n
:
1 0
{ ( ) ... , , 0,..., }
n
n i
p x a x a x a a i n ¡
v i phép c ng đa th c và nhân s th c v i đa th cớ ộ ứ ố ự ớ ứ là
m t không gian vectorộ.
3
Ø Ch ng 3. Không gian vectorươ
1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)
Đnh nghĩaị
Cho kgvt
V
, t p ậ
W V
đc g i ượ ọ là không gian
vector con c a ủ
V
n u ế
W
cũng là m t kgvt.ộ
Đnh lýị
Cho kgvt
V
, t p ậ
W V
là kgvt con c a ủ
V
n uế:
, ,x y W
¡
thì
( )x y W
.
VD 2.
• T p ậ
{ }W
là kgvt con c a m i kgvt ủ ọ
V
.
• T pậ
( ,0,...,0)W
¡
là kgvt con c a ủ
n
¡
.
……………………………………………………4
Ø Ch ng 3. Không gian vectorươ
§2. S ĐC L P TUY N TÍNHỰ Ộ Ậ Ế
PH THU C TUY N TÍNHỤ Ộ Ế
2.1. Đnh nghĩaị
Trong kgvt
V
, xét
n
vector
i
u
( 1,...,i n).
Khi đó:
• T ng ổ
1 1 2 2 1
... ,
n
n n i i i
i
u u u u
¡ ,
đc g i là ượ ọ m tộ t h p tuy n tínhổ ợ ế c a ủ
n
vector
i
u
.
• H ệg m ồ
n
vector
1 2
{ , ,..., }
n
u u u
đc g i là ượ ọ đc l p ộ ậ
tuy n tínhế (vi t t t là ế ắ đltt) n uế:
1
n
i i
i
u
thì
0, 1,...,
i
i n
.
5
