ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ế
ủ
ủ
ộ – T a đọ ộ c a vector
ệ §1. Khái ni m không gian vector ụ ế ự ộ ậ §2. S đ c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính ố ề c a kgvt §3. C sơ ở, s chi u ệ §4. Không gian sinh b i ở h vector §5. Không gian Euclide
………………………………………………………………
Ệ
§1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR (Vector space)
ị 1.1. Đ nh nghĩa
ầ ử
ộ V đ
ượ ọ c g i
ộ
V
ỗ • Cho t p ậ V khác r ngỗ , m i ph n t thu c Xét hai phép toán sau: là m t vector.
¡ ; ( ,
V )
.
V V ( , ) x y
y
x
x
V x
a
a 1
Ø Ch
là m tộ không ) trên ¡ , hay ¡ – không
ươ ng 3. Không gian vector ớ • Ta nói V cùng v i hai phép toán trên ế ắ gian vector (vi t t t là kgvt gian vector, n uế th a 8 tính ch t sau: ỏ , ,
)
y
;
1) ( x
z
x
( y
ấ ), z
,
: V x
2)
;
x y z V x V
x
)
x : (
, (
)
(
)
x
x
x
x
V
x
;
3)
x V
,
,
;
y
y
x
)
,
,
,
x
x y V y
,
,
x
) x
¡ ; ¡ ;
x y V x V
,
,
),
(
x x V
, ¡ ;
) x
x
x 4) 5) ( y x 6) ( 7) ( 8) 1. x
. ượ ọ
x , x V V
Trong đó,
đ
c g i là
vector không. 2
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
n
,
1,
)
i
n
x
x
¡
các b s ộ ố
VD 1. • T pậ ¡
,..., 2
i
n
ế
ầ
ủ ệ ươ trình tuy n tính thu n
ộ ệ V c a h ph
• T p nghi m
ớ
V M
ộ ma tr n ậ và
• T p ậ
( , x x 1 th c ự là m t không gian vector . ậ ng nh t là ấ m t ộ không gian vector. , ( ) ¡
m n
v i hai phép toán c ng ngướ là m t ộ không gian vector.
ứ
• T pậ
n
nhân vô h [ ]
nP x các đa th c có b
ậc không quá n :
...
,
{ ( ) p x
i
a x 1
, a a 0
ứ
¡ i ố ự ớ
0,..., } n ứ là
v i phép c ng đa th c và nhân s th c v i đa th c
3
ộ
a x n ớ ộ . m t không gian vector
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)
ị
Đ nh nghĩa
ượ
đ
ọ là không gian c g i ộ
Cho kgvt V , t p ậ W V vector con c a ủ V n u ế W cũng là m t kgvt.
Đ nh lý ị
,
)
y W
¡ thì ( x
là kgvt con c a ủ V n uế : Cho kgvt V , t p ậ W V x y W , .
( ,0,...,0)
W
ủ ọ VD 2. • T p ậ W là kgvt con c a m i kgvt V .
¡
n¡
{ }
……………………………………………………4
• T pậ là kgvt con c a ủ .
ng 3. Không gian vector
ươ Ø Ch Ự Ộ Ậ Ộ
Ế Ế §2. S Đ C L P TUY N TÍNH PH THU C TUY N TÍNH
iu (
n
1,..., i n ).
n
i
... , u u ¡ , Ụ ị 2.1. Đ nh nghĩa Trong kgvt V , xét n vector Khi đó: • T ng ổ u 1 1 u 2 2 n i i
1 i c a ủ n vector ượ ọ m tộ t h p tuy n tính
ượ ọ
u đ
c g i là
ổ ợ ế c g i là đ
iu . ộ ậ đ c l p
2
• H ệ g m ồ n vector ,..., }n { , u u 1 đltt) n uế : ế ắ (vi t t t là
0,
i
n
thì
.
u i
i
i
ế tuy n tính n
1,..., 5
1
i
ươ
ng 3. Không gian vector
ế ắ
• H ệ đ
{ , u u 1 2 ượ ọ c g i là
pttt).
Ø Ch ế ộ ậ ,..., }n u không là đ c l p tuy n tính thì ế nh (vi t t t là ộ ụ ph thu c tuy n tí
(1; 1),
u
(2; 3)} .
2
1
(0; 0)
(1; 1) 1
(2; 3) 2
0
2¡ , xét s ự đltt hay pttt c aủ hệ 2 vector: VD 1. Trong { u A Gi i.ả Ta có: u u 2 2 1 1
ộ ậ
ế
V yậ hệ A là đ c l p tuy n tính .
6
0 . 0 0 2 2 3 2 1 1 1 2
ươ
ng 3. Không gian vector
(2; 0; 1),
Ø Ch 3¡ VD 2. Trong ( 1; 3; 2), { u
B
u
u
, xét s ự đltt hay pttt c aủ hệ 3 vector: (0; 6; 5)} .
1
2
3
0
1
3
2 2
0
u
Gi i.ả Ta có:
i
i
1
i
0
2
6 3 5 3
3 1 2 1
A
ậ ệ ố H ệ(I) có ma tr n h s
.
1 2 0 3 0 6 2 1 5 7
(I).
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
A
( ) 3 r A ,
1 2 0 0 1 1 0 0 0
Do
ệ ươ nên h ph
1 2 0 0 6 6 0 5 5 (I) có nghi m không ng trình
ụ
ế
ộ
V y h
ậ ệ B là ph thu c tuy n tính.
8
ệ ầ t m th ườ ng.
ng 3. Không gian vector , xét s ự đltt hay pttt c aủ hệ:
,
B
A
, C
VD 3. Trong
.
ươ Ø Ch 2,3( ) M ¡ 1 2 0 3 0 1
2 3 0 4 0 1
0 1 0 2 0 1
(0)
)
cC
a b c ¡ ( , ,
2 3
Gi i.ả Ta có:
0
0
(II).
0
aA bB
9
a 2 a 3 a 2 b 3 b 4 b c 2 c 0 a b c
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
2A B C O
ầ t m th ụ ệ H ệ(II) có nghi m không V yậ hệ vector đã cho là ph thu c ườ . ng ế ộ tuy n tính .
2,3
10
Cách khác Do nên h ệđã cho pttt.
ươ
n
n
VD 4. Trong
1,
2 ,...,
1 ,
{ u
u
Ø Ch ng 3. Không gian vector nP x , xét s ự đltt hay pttt c aủ hệ: [ ] u
, x u
u
x
x
x
} .
2
1
1
3
n
n
1
n
Gi i.ả Ta có:
u i
i
2
1
n
n
1
...
x
0
i x 2
1
x 3
x 1
n
n
...
0 .
1
2
3
1
n
n
ế
V yậ hệ vector đã cho là đ c l p
ộ ậ tuy n tính
.
11
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ồ ạ
ế
ợ
ỉ 1n vector còn l i.ạ
... ... . u u
ị 2.2. Đ nh lý ộ H ệ g m ồ n vector là pttt khi và ch khi t n t i m t ủ vector là t ổ h p tuy n tính c a Nghĩa là: u 1 1
1
1
n
j
j
j
j
j
H quệ ả
ộ tuy n tính. ế
ụ vector không thì ph thu c ộ ậ ủ ệpttt thì h ệpttt. ộ b ph n c a h 2 2 3 1) , 3 , , x v x v
{ v
( x
v
x
4 }
• H có ệ ế • N u có m t VD 5. Hệ
1
u 1 u 1 n
2 ộ ậ
3 2 ,
4 pttt.
1
2
2 3 } x 12
{ v x v là pttt vì b ph n
ươ
Ø Ch
ệ
ng 3. Không gian vector n¡
2.3. H vector trong
n¡
i
i
in
) a i m 1, , trong . ,..., 2
ậ
A
a
Ma tr n ậ
đ
c g i
c a ủ h ệ
u
m vector
ượ ọ là ma tr n dòng }m .
Xét m vector { , u u 1 ( , u a a 1 i ij m n ,..., 2
2
(1; 1; 2), u VD 6. H ệ 1 { u
ậ A có ma tr n dòng là .
13
1 1 4 2 (4; 2; 3)} 2 3
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
u
Trong
, cho hệ g m ồ m vector
có
{ , u u 1
,..., 2
}m
Đ nh lý ị n¡ ậ ma tr n dòng là
A .
.
m
.
m
ụ
ế
ỉ
ộ • Hệ ph thu c tuy n tính
khi và ch khi
( ) r A
ệ
H quệ ả n¡
• Trong
, h có nhi u h n
ề ơ n vector thì pttt.
0.
A
• Trong
n¡
, h ện vector đltt det
14
ộ ậ ế ỉ Khi đó: • H ệđ c l p tuy n tính khi và ch khi ( ) r A
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
VD 7. Xét s ự đltt hay pttt c a ủ các h ệvector:
B
B {( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)} . a) 1 {( 1; 2; 0), (2; 1; 1)} ; b) 2
Gi iả
A ( ) 2 r A .
a) Ta có: 1 2 0 2 1 1 1 2 0 0 5 1
15
ế V y h ậ ệ 1B đ c l p tuy n tính. ộ ậ
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
A
( ) 2 3 r A .
1 2 0 1 5 3 2 3 3
1 2 0 0 7 3 0 7 3
b) Ta có:
16
ụ ế ộ V y h ậ ệ 2B ph thu c tuy n tính.
ươ
ng 3. Không gian vector
m
Ø Ch 3¡ m
2)} .
VD 8. Trong {( ệ m để h ệsau là pttt: ề , tìm đi u ki n ; 1; 1), (1 4 ; 3; m
A . Gi i.ả Ta có:
1 1 3 m m m 1 4 2
1 1 m
A .
( ) 2 r A
m
V y h
ậ ệpttt
1 .
17
1 1 m 3 1 4 0 1 m m m m 2 1
ươ
ng 3. Không gian vector
VD 9. Trong
m
Ø Ch 3¡ m
1 1
1
A
.
Gi iả . Ta có:
m 1 1
m
ề , tìm đi u ki n {( ; 1; 1), (1; ệ m để h ệsau là đltt: )} ; 1), (1; 1; m .
m 1 det
H ệđltt
1 1
m
m 1
1
0
2 .
1
m
m 1 1
m
18
A 0
ươ
ng 3. Không gian vector
, cho 4 vector:
VD 10. Trong
Ø Ch 4¡
(1; 1; 0; 1),
; 1; 2)
u
u
( ; m m
,
(2; 2;
(0; 2; 0;
4
ề
ế
3 Đi u ki n
, u u u ? 3
4
1 2 ), ; 4) u m u m . , ủ 2 ổ ợ ệ m đ ể 1u là t h p tuy n tính c a , ế u u u nên 3
ổ ợ Gi i.ả Do 1u là t h p tuy n tính c a
4 ¡ không đ ng th i b ng 0 th a: ỏ
ồ bu
u
au
ủ 2 , ờ ằ cu .
4
3
1
2
19
, ,a b c
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1 ma
1
ệ có nghi m không ầ t m th ườ ng.
1 2 c 0 4 c
20
Suy ra hệ: 2 c 2 ma b a mc 2 a mb
ươ
0
ng 3. Không gian vector 2 1
2
2
A B
1 0
0
2
m 4 1
m
Ø Ch m m
1
0
2
1
1 0
0
m 0
2
0
0 1
m 0
1 0
0
0
2
1
0
m 4 2
1
1
4 2
m
m
m
m
2
m 0
1
21
Ta có:
ươ
ng 3. Không gian vector
Ø Ch m 0
1 0 0 1 0 1
2
1 1 m 0 0 2 m 0 0 4 2 m
1 0 0 1 m 0 0 1
2
.
3
2
1 0 0 2
22
0 0 m 0 m m 4 m 2
ươ
ng 3. Không gian vector
4
2
3
8 m
( ) r A
4 0
2
r A B
Ø Ch , ủ 2 ổ ợ V y ậ đ ể 1u là t h p tuy n tính c a 2 m
2 m
0
2
m
1
1
3
m
m
.
………………………………………………………………………
23
ế , u u u thì: 3
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
Ủ Ề C A KGVT
3.1. C sơ ở c a kủ hông gian vector
Ố §3. C SƠ Ở, S CHI U T A Đ Ọ Ộ C A Ủ VECTOR
F
đ
, 2
, }n u
c ượ ế ệ F là đltt và m i ọ
{ , u u 1 ộ c sơ ở (basic) c a ủ V n u h ế
ể
ễ
Trong kgvt V , hệ n vector ọ g i là m t vector c a ủ V đ uề đ
cượ bi u di n tuy n tính qua
F .
24
Đ nh ng ị hĩa
F
u
ng 3. Không gian vector { =(1; 1), =(0; 1)} u .
2
ươ , xét h ệ ộ ậ
ế
ặ
Ø Ch 2¡ VD 1. Trong 1 Ta có: h ệ F là đ c l p tuy n tính . ( ; ) a b M t khác, x
2 ta có:
ét vector tùy ý
au
x
) b u
x ¡
1 ơ ở ủ
( a 2¡ .
V y h
ậ ệ F là 1 c s c a
VD 2. Trong
, xét hệ 2 vector: (1; 0; 0),
B
3¡ { u
u
(0; 1; 0)} .
1
2
. 2
1
2
ơ ở ủ
V y h
ậ ệ B không ph i ả là c s c a
(1; 1; 1), , u u Ta có:
. 25
¡ . 3¡
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
n¡
0
j
VD 3. • Trong E a a n 1,2,..., }
i trong đó: c g i
; ;...; 1 2 i i n u ế i 1 n u ế i
{1;
ơ ở • Không gian vector 4[ ]P x có 1 c s là: 3 1) ; ( 1; ( x x
2 1) ; ( x
x
4 1) } .
Chú ý
ộ
ề ơ ở và s ố
M t không gi vector (h u h n
ể an vector có th có nhi u c s ổ ữ ạ ) trong các c s là không đ i. ơ ở
26
đ , h ện vector: ( { ), a e i in ija ija j , ắ . ượ ọ là c s chính t c ơ ở
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ố ề ủ hông gian vector ị
3.2. S chi u c a k Đ nh nghĩa ố
ủ ơ ở ấ ỳ c a không gian
ượ ọ
ố ề (dimension) c a ủ V . s chi u
S vector có trong 1 c s b t k vector V đ c g i là ệ dimV . Ký hi u là:
n
¡
P x dim [ ] 5 . 4
, VD 4. Ta có: dim n
ề • Trong , m i h g m ơ ở ọ ệ ồ n vector đltt đ u là c s . Chú ý n¡
ề ủ ạ ươ • S chi u c a kgvt có th vô h n. Trong ch ng trình,
27
ỉ ố ta ch xét nh n ể ề ữ g kgvt h u h n chi u. ữ ạ
ươ
ng 3. Không gian vector
ị
F ể
, 2 ế
ộ
Ø Ch ủ 3.3. T a đọ ộ c a vector a) Đ nh nghĩa Trong kgvt V , cho c s ơ ở Vector x V
,
x
duy nh tấ qua c s ơ ở F là
¡ .
u i
i
i
, }n { , u u u . 1 ễ tùy ý có bi u di n tuy n tính m t cách n
1
i
.
Ta nói x có t a đ đ i v i
; ( ọ ộ ố ớ c sơ ở F là 1
; ; 2
)n
1
...
)T
Ký hi uệ là:
.
( 1
2
[ ] x F
n
28
n
2 M
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
Quy
cướ
ế ướ ạ
;...;
x
ọ ộ ủ Ta vi t tế a đ c a vector ặ là [ ]x ho c vi t d
trong
ố ớ ơ ở i d ng
n¡
1(
ắ E x đ i v i c s chính t c )n .
2¡
x , cho (2; 1),
(3; 5) u
1
2
(1; 1)} VD 5. Trong { u B ? và 1 c s :ơ ở . Tìm [ ]Bx
x , ta có: Gi iả . G i ọ [ ]B
a b
1
2
x au bu a b
29
3 5 2 1 1 1
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
a
b
8 3
2 a
3
5
a
b
b
7 3
.
; . V y ậ [ ]Bx
30
8 3 là 7 3
ươ
4
3
ng 3. Không gian vector x
( )p x
x
và một
Ø Ch VD 6. Trong 4[ ]P x , cho vector ơ ở c s :
1;
1;
u
x
u
( x
A
u
1
3
2 1) ;
2
3 1) ;
4 1)
.
u
( x
u
( x
4
5
?
Hãy tìm [ ( )]A
p x
, ta có: ; ( là 4
) 5
; 2
p x
; 3 u 3 3
; 1 u 2 2
4
3
1)
2 1)
x
x
1
( x 2
( x 3
3 1)
4 1) .
( x 4
( x 5
31
Gi iả . G i ọ [ ( )]A ( )p x u 1 1 u 4 4 u 5 5
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ồ
0
2
1
4
1
5
0
4
7
2
4
5
2
0
3 3 6
9
3
4
5
3
2 2 3 3 4
1
5
4
5
4
1
1.
5
5
p x
Đ ng nh t các h s , ta đ ệ ố ấ ượ c:
32
là (2; 7; 9; 5; 1). V y ậ [ ( )]A
ươ
ng 3. Không gian vector
VD 7. Trong
Ø Ch 2¡ , cho 2 c s :ơ ở { u u
1
1
(1; 0), B (0; 1)} ,
2 v
1
(2; 1), { v (1; 1)} .
[ ]Bx
2
1
? B 2 Cho bi tế [ ]Bx
1
2 là (1; 2). Hãy tìm
x ta có: ( ; ), [ ]B a b
1
2
x v 2 v • 2 x B
Gi iả . G i ọ x 1 2
2
x (4; 1) .
33
a b 1 1 2 1
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1
2
1
x u u [ ]Bx •
4 . 1 4 1 1 0 0 1
[ ]Bx
1
34
V yậ là (4; 1) .
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
trong các c s kh
ơ ở ác nhau
b) T a đ ậ
ể ơ ở
1,2,...,
B
B
i
n
.
1
2
ủ ọ ộc a vector Ma tr n chuy n c s Trong kgvt V , cho 2 c sơ ở: { }, v i
{ }, u i
BP
B
1
2
35
Ký hi uệ là: .
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
36
ươ
Ø Ch 3¡
ng 3. Không gian vector , cho hai c s ơ ở 1B và 2B . 1 2
1
0 1
3
VD 8. Trong
BP
B
2
1
v B
1
0 0
2
1 2 3
Cho bi t ế và .
ọ ộ ủ vector v trong c s ơ ở 2B ?
1
5
0 1
.
P B
B
2
1
v B
v B
1
2
0 0
1 2 1 3 2 2 3
11 6
Tìm t a đ c a Gi iả . Ta có:
là (5; 11; 6) .
[ ]Bv
2
37
V y ậ
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1
1
ta có: Gi iả . G i ọ [ ] v 1 B , [ ] v 2 B
c d
0 2 2 a
a b . [ ] v 11 B 1 b a b 1 1 0 • 1 2 1
0 1 c
38
c d . [ ] v 12 B 1 1 d 1 0 1 1 • 1 1
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
Ệ
§4. KHÔNG GIAN SINH B I Ở H VECTOR
ị 4.1. Đ nh nghĩa
S
ấ ả
ổ ợ
, }m 1{ , u u . ượ ọ ủ S đ c g i
Trong kgvt V cho h ệ g m ồ m vector ế T p ậ h p ợ t t c các t h p tuy n tính c a là không gian con sinh b iở S .
39
Ký hi uệ là: S ho c ặ spanS .
ươ
Ø Ch
ệ
ng 3. Không gian vector n¡
4.2. H vector trong
Trong kgvt
n¡
S , }m u
n
,
S
x
x
¡
¡
.
u i
i
i
1
i
ta có:
, xét h ệ ậ
1{ , u m
m vector c a ủ S .
S
n
S
( ) r A
• dim
và dim
.
G i ọ A là ma tr n dòng Khi đó:
k thì m i h con g m ồ k vector
40
ơ ở ủ ọ ệ S . • N u ế dim S ề đltt c a ủ S đ u là c s c a
ươ
ng 3. Không gian vector
Ø Ch 3¡ VD 1. Trong { u
S
ệ , cho h vector: (1; 0; 1), u
2
1
ọ ộ ủ
Hãy tìm d ng tạ
a đ c a vector
(0; 1; 1)} . ? v S
, nên: ( ; ;
) ( ,
)
Gi i.ả Ta có v S u
u
v
¡
.
1
2
41
ươ
ng 3. Không gian vector
, cho h ệvector:
Ø Ch 4¡
VD 2. Trong
S
{(1;2;3;4), (2;4;9;6), (1;2;5;3), (1;2;6;3)} .
ề ủ
Tìm s ố chi u c a không gian sinh
S ?
Gi iả . Ta có:
dim S r r
0 0 2
42
0 0 3 1 2 3 4 2 4 9 6 1 2 5 3 1 2 6 3 1 2 3 4 2 0 0 3 1 1
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1 2 3 4
dim r S 3 .
43
0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1
ươ
ng 3. Không gian vector
Ø Ch 4¡
u
1
S
S :
VD 3. Trong { =( 2;4; 2; 4), =(2; 5; 3;1), =( 1;3;4;1)} u u . 2 Hãy tìm dim S ệ , cho h vector 3 và 1 c s ơ ở c a ủ ?
44
2 4 5 2 1 3 1 2 1 5 1 0 5 0 1 Gi iả . Ta có: 4 2 3 1 1 4 2 3 3
ươ
Ø Ch
2
1
2 1
1
5
0
( ) 2 r A .
0
0
0 0
ng 3. Không gian vector 3
2
dim
2
S
S
ộ ậ ế { , } u u là đ c l p tuy n tính nên: Do h ệ 1
là
1
…………………………………………………………………………
45
và 1 c s ơ ở c a ủ { , } u u . 2
Không gian nghi mệ
ị
ấ
ậ
ệ
ợ ậ n, t p h p các ấ ầ ng trình tuy n tính thu n nh t
• Đ nh nghĩa: Cho ma tr n A c p m ế ủ ệ ươ ượ ọ
c g i là không gian
ủ
ệ
nghi m c a h ph ệ Ax= 0, kí hi u là Nul A, đ nghi m c a A.
(cid:0)
ậ
ấ
ị
ớ
• Đ nh lý: Cho ma tr n A c p m
n v i rank A = r.
Khi đó dim NulA = n – r .
ơ ả ủ ệ ươ
ệ
ế
• H nghi m c b n c a h ph
ng trình tuy n tính
ộ ơ ở ủ
ầ
ệ ấ
thu n nh t Ax = 0 là m t c s c a NulA.
46
(cid:0)
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE
ị 5.1. Đ nh nghĩa • Cho không gian vector V trên ¡ . M t quy lu t cho
ươ ứ
t
ặ ng ng c p vector ấ
)
ậ ộ ộ V v i sớ ố ấ ỳ ,x y b t k thu c x y ), th a mãn:
0
0
x x
x x
x
ự ỏ th c duy nh t, ký hi u ệ x y (hay ( ,
y x
1) và ;
,
) y z
x z
y z
z V
2) x y ;
,
x y
x y
3) ( x ;
¡
4)
ượ ọ đ c g i là tích vô h ngướ c a ủ x và y . 47
ươ
Ø Ch
ề
• Không gian vector V h u h n chi u trên
¡ có tích
ướ
vô h
ư ng nh trên đ
ng 3. Không gian vector ạ ữ ượ ọ c g i là
không gian Euclide.
x y
x
n¡ VD 1. Kgvt ( ,..., x 1
n
n
x y n n
ườ ng: ... có tích vô h ) ( ,..., y 1 ướ ng thông th ) x y y 1 1
ộ là m t không gian Euclide.
ố ự C a b – không gian các hàm s th c
ị ượ c tích vô h ướ ng:
VD 2. Trong [ ; ] [ ; ] ụ a b , ta xác đ nh đ liên t c trên b
[ ; ]
ư
a ướ
V y ậ
C a b có tích vô h
ng nh trên là kg Euclide. 48
f g ( ) ( ) f x g x dx .
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ị
ố ự
ẩ ủ 5.2. Chu n c a vector a) Đ nh nghĩa • Trong không gian Euclide V , s th c
u u
ộ ủ vector u . ượ ọ chu nẩ (hay đ dài) c a
u .
u u
c g i là đ ệ Ký hi u là
V y, ậ u .
u
1 .
ượ ọ • Vector u đ c g i là vector đ n vơ ị n u ế
u
v
49
ượ ọ ả • ( , ) d u v đ c g i là gi a ữ u , v . kho ng cách
ươ
ng 3. Không gian vector
Ø Ch n¡
n
...
u
u u
u
u
u
u
u u cho vector , ta có: VD 3. Trong ( , u u 1 ,..., 2 )n
2 1
2 2
2 n
2 i
1
i
C a b , ta có:
VD 4. Trong không gian Euclide [ ; ]
b
2( )
f
f
f
f
x dx
.
a
50
.
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ấ ỳ
ị b) Đ nh lý Trong kg Euclide V cho 2 vector ,u v b t k . Ta có:
ấ ẳ
• B t đ ng th c
ứ Cauchy – Schwarz
.
u v
u
v
ấ ẳ
ứ
• B t đ ng th c tam giác
u
v
u
v
u
v
;
51
.
ươ
ng 3. Không gian vector ứ
ấ ẳ
, b t đ ng th c Cauchy
– Schwarz là:
Ø Ch n¡
VD 5. Trong
n
n
n
i
2 i
2 i
1
1
1
i
i
i
ấ ẳ
ứ
C a b , b t đ ng th c Cauchy
–Schwarz:
VD 6. Trong [ ; ]
b
b
b
.
( ) ( ) f x g x dx
f
2 ( ) x dx
2 ( ) g x dx
.
a
a
a
52
. x y . x y i
ươ
Ø Ch
ị
ị
ng 3. Không gian vector ẩ ơ ở ự 5.3. C s tr c chu n a) Đ nh nghĩa Trong không gian Euclide n chi u ề V , ta đ nh nghĩa :
ượ ọ
ự
u v
• Hai vector ,u v đ
c g i là
n u ế
0 ;
tr c giao
{ , u u 1
2
,..., }n u đ
n uế
ự c sơ ở tr c giao ừ ượ ọ c g i là ự • C sơ ở ộ các vector c a ủ c sơ ở là tr c giao t ng đôi m t;
ẩ c sơ ở tr c chu n ự 1, ( i
n
{ , • C sơ ở u u 1 2 n u ế c s là
,..., }n u đ ự ơ ở tr c giao và
1,..., ) .
ượ ọ c g i là iu
53
ươ
Ch
ng 3. Không gian vector
ơ
ơ ủ
ớ
c a
ệ
ượ ọ
ầ
vuông góc v i m i vect , đ
ọ c g i là ph n bù vuông góc
ợ ậ • T p h p các vect ậ t p M, kí hi u M ủ ậ c a t p M.
ậ • Nh n xét: - M(cid:0)
là không gian con c a Vủ
ế
ủ
ự ộ ơ ở ủ
ự
ớ
ỉ
ớ - N u M là không gian con c a V thì x tr c giao v i M khi và ch khi x tr c giao v i m t c s c a M.
54
(cid:0)
ươ
ng 3. Không gian vector
, ta có:
Ø Ch 2¡
VD 7. Trong
• H ệ{(2; 1), ( 3; 6)}
ơ ở ự là c s tr c giao;
;
;
• H ệ
ẩ là cơ s tr c chu n. ở ự
2 2
2 2
2 2
2 2
,
55
ọ ề ề ồ ạ ơ ở ự ị b) Đ nh lý M i kg Euclide ẩ n chi u đ u t n t i c s tr c chu n.
ẩ
– Schmidt
ươ Ø Ch ng 3. Không gian vector Thu t toán tr c chu n hóa Gram ự ướ Trong không gian Euclide n chi u ề V , ch n ọ
ậ • B c 1.
{ , u u 1
2
,..., }n ơ ở ự
c sơ ở ấ ỳ u b t k .
{ , v v 1
2
,..., }n v :
u
ự ướ Xây d ng c s tr c giao
• B c 2. Đ t ặ 1 v ; 1
2
1
u v
2
2
2
v u v ; 1
1
v
3
1
3
2
u v u v
3
3
1
2
2
v u v v ; 2
1
2
… … … … … … … … … … … … …56
v v
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
1
n
i
n
v u
n
n
i
2
1
i
v u v .
i
v
ẩ ơ tr c chu n
,..., }n w c 2:
ự ệ ở ự • B c ướ 3. Xây d ng c s { , w w 1 2 ở ướ ẩ ằ b b ng vi c chu n hóa các vector
1
2
3
n
v v v v
1
2
3
n
; ; ;...; w w w w .
1
2
3
n
57
v v v v
ươ
ự
Ø Ch 3¡ (1; 0; 0),
ng 3. Không gian vector ơ ở ẩ , hãy tr c chu n hóa c s : (0; 1; 1),
VD 8. Trong { u
F
u
u
(0; 1; 1)} .
1
3
ự
ự
ệ ướ
c 3:
2 Gi i.ả C s ơ ở F là tr c giao, nên ta th c hi n b
1
u
1
(1; 0; 0) w ;
1
1
1
2
(0; 1; 1)
0;
;
w
;
2
2
2
u u
2 1
2 1
1
3
;
(0; 1; 1)
0;
w
.
3
u
2
2
2
3
u 1 u
ậ ơ ở ự ẩ V y c s tr c chu n là { , , w w w . 58 2 1 } 3
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
ẩ
là m t c s tr c chu n c
a kủ g Euclide
Đ nh lý ị N u ế 1{ ,..., }n u u n chi u ề V và u V
.
uu
u
u
i
i
ộ ơ ở ự thì: n
1
i
3¡
3
1 ọ ộ ủ
VD 9. Trong ơ ở ẩ ự , hãy tr c chu n hóa c s : (0; 1; 1), { u u u (1; 1; 1)} .
2 (1; 2; 3)
ơ ở ự ẩ (1; 1; 0), u Tìm t a đ c a trong c s tr c chu n đó.
59
• Xây d ng c s tr c giao Gi iả , } { , v v v : 1 2 3
1
1
ơ ở ự (1; 1; 0) ự u v ;
ươ
ng 3. Không gian vector
1
Ø Ch u v 2
2
2
2
v u v 1
1
(0; 1; 1) (1; 1; 0)
(0; 1; 1)
(1; 1; 0)
2
(1; 1; 0)
v
(0; 1; 1) (1; 1; 0) ;
60
1 2 1 1 ; 2 2 ; 1
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
(1; 1; 0) v 3
4 1 1 ; 3 2 2
ươ 0 2
; 1
; ; .
(1; 1; 1) 1 1 1 3 3 3
v
1
1
(1; 1; 0)
;
w
;
1
{ , , } w w w : 3 1 2 1 1
; 0
v
2
2
2
1
ơ ở ự ự ẩ Xây d ng c s tr c chu n
2
v 1 2 1
2
; ; w ;
2
61
2 1 1 ; 3 2 2 ; 1 v 6 6 6
ươ
Ø Ch
v
3
;
;
;
w
3
3 3
3 3
3 3
1 1 1 3 3 3
3 ;
v
ng 3. Không gian vector
3
.
ậ ơ ở ự ẩ W V y c s tr c chu n là { , w w w 1 , 2 } . 3
• T a đ c a
1 3
3
1
2
; , , u w u w u w . ọ ộ ủ vector u trong c sơ ở W là:
62
; 2 3 2 6
ươ
Ø Ch 4¡
VD 10. Trong
ng 3. Không gian vector ồ , cho h ệS g m 3 vector: u
1
3
2
ơ ở ự
ủ
{ =(1; 1; 0; 0), =(1; 0; 1; 0), =( 1; 0; 0; 1)} u . .
u ẩ c a không
Hãy tìm m tộ c s tr c chu n
gian S
ấ ệ
ộ ậ
ế
ậ
Gi i.ả Nh n th y h đã cho là đ c l p tuy n tính.
, } { , v v v : 1 2 3
ơ ở ự ự • Xây d ng c s tr c giao
1
1
(1; 1; 0; 0) v u ;
2
(1; 0; 1; 0) (1; 1; 0; 0) ; v ;
63
1 2 1 2 1 2 ; 1; 0
ươ
Ø Ch
ng 3. Không gian vector
3
( 1; 0; 0; 1) (1; 1; 0; 0) v
1 2 1 2 1 1 ; 3 2 ; 1; 0
; ; .
1 1 1 3 3 3 ; 1
{ , , } w w w : 2 1 3
v
1
1
1
1
(1; 1; 0; 0)
;
w
;
1
; 0; 0
v
2
2
2
1
64
ơ ở ự ự ẩ • Xây d ng c s tr c chu n
ươ
ng 3. Không gian vector
v
1
1
2
2
;
;
w
;
2
Ø Ch
; 0
v
6
6
6
2
v
3
;
;
;
w
3
3 6
3 6
3 6
3 2
v
3
.
………………………………………………………………………………
65
ậ ơ ở ự ẩ W V y c s tr c chu n là { , w w w 1 , 2 } . 3
