Bài giảng Toán học (Chương 3) - Bài 8: Một số bài toán về dãy số và nhóm

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Một số bài toán về dãy số và nhóm, một số phương pháp giải các bài toán không điển hình ở tiểu học, quy luật dãy số, tìm số số hạng của dãy số,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán học (Chương 3) - Bài 8: Một số bài toán về dãy số và nhóm

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂN HÌNH Ở TIỂU HỌC BÀI 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ NHÓM
CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ NHÓM SỐ 1.Điền thêm vào số hạng sau, giữa hoặc trước một dãy số 2.Xác định số A có thuộc dãy số đã cho hay không. 3.Tìm số số hạng của dãy số 4.Tìm tổng các số hạng của dãy số
DẠNG 1: ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO SAU, GIỮA HAY TRƯỚC MỘT DÃY SỐ Để giải được dạng toán này ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật thường gặp của dãy số là: 1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a khác 0. 2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên b khác 0. 3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó. 4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với chỉ số thứ tự của số hạng đố rồi cộng thêm một số tự nhiên a khác 0. 6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó. 7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó. 8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó. 9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự. 10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên a rồi nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.
Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng của dãy sau: a) 0; 2; 4; 6; 12; 22;… b) 1; 2; 6; 24;… Bài giải: a) Nhận xét: Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4 Số hạng thứ năm của dãy số là: 12 = 2 + 4 +6 Số hạng thứ sáu của dãy số là: 22 = 4 + 6 +12 Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này, ta có: Số hạng thứ bẩy của dãy số là: 6 + 12 + 22 = 40 Số hạng thứ tám của dãy số là: 12 + 22 +40 = 74 Số hạng thứ chín của dãy số là: 22 + 40 + 74 = 136 Dãy số đã cho viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;… b) Nhận xét: Số hạng thứ hai của dãy số là: 2 1 2 Số hạng thứ ba của dãy số là:: 6 24 Số hạng thứ tư của dãy số là: 2 6 43 Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.
Áp dụng quy luật này ta có: Số hạng thứ năm của dãy số là: 24 5 120 Số hạng thứ sáu của dãy số là: 120 6 720 Số hạng thứ bảy của dãy số là: 720 7 5040 Dãy số đã cho viết là: 1; 2; 6; 24; 120; 720; 5040;… Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: ….;24;27;30 Bài giải: Nhận xét: Số hạng thứ mười của dãy số là: Số hạng thứ chín của dãy số là: 2730 9 103 3 Số hạng thứ tám của dãy số là: 24 8 3
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3. Áp dụng quy luật này ta có: Số hạng đầu tiên của dãy số là:1 3 3 Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau: 1; 4; 7; 10; …Biết dãy số có 10 số hạng. Bài giải: Nhận xét: Số hạng thứ hai của dãy số là: 4 1 3 (2 1) Số hạng thứ ba của dãy số là: Số hạng thứ tư của dãy số là: 7 1 3 (3 1) Quy luật của dãy số là: Mỗi s10 ố hạ1ng (k 3 ể( t4ừ s1ố) hạng thứ hai) bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 3 nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó trừ đi 1.
Số hạng thứ 50 của dãy số là:1 3 (50 1) 148 BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Tìm hai số hạng đầu của dãy số: a)…;39; 42; 45; b)…; 4; 2; 0; c)…; 23; 25; 27; 29; Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng. Bài 2: Cho dãy các số chẵn liên tiếp: 2; 4; 6; 8…Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm. Bài 3: Cho dãy các số lẻ liên tiếp: 1; 3; 5; 7…Hỏi số hạng thứ 2007 trong dãy là số nào? Giải thích cách tìm.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ A CÓ THUỘC DÃY SỐ ĐÃ CHO HAY KHÔNG? Để giải được loại toán này, ta thường làm như sau: Xác định đặc điểm của các số hạng trong dãy số. Kiểm tra số a có thỏa mãn đặc điểm đó hay không? Ví dụ1: Hãy cho biết: a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy số: 90; 95; 100;…hay không? b) Số 1996 có thuộc dãy số: 2; 5; 8; 11; …hay không? c) Số nào trong các số: 666; 1000 và 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24;…? Giải thích tại sao?
Bài giải: a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50.Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 không chia hết cho 5. b) Số 1996 không thuộc dãy số đã cho vì: các số hạng của dãy số khi chia cho 3 đều dư 2, mà 1996 chia cho 3 thì dư 1. c) Cả ba số 666; 1000; 9999 đều không thuộc dãy số đã cho, vì: Mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Cho nên mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước nó là số chẵn, mà 666 : 2 = 333 là số lẻ. Các số hạng của dãy số đều chia hết cho 3,mà 1000 không chia hết cho 3. Các số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 2) đều là số chẵn,
BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Cho dãy số: 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;.... 8 24 48 80 120 a. Tính tổng của 10 số hạng đàu tiên của dãy số trên b. Số 1 có phải là số hạng của dãy số đã cho không? Vì sao? 200 120 Bài 2: Hãy cho biết : a) Các số 248 và 126 có thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; …. hay không? b) Số 2009 có thuộc dãy số: 2; 5; 8; 11;… hay không? c) Số nào trong các số 166; 288 và 1244 thuộc dãy số: 1; 2; 2; 4; 8;….
DẠNG 3: TÌM SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ. Đối với các dạng toán này,ta thường sử dụng công thức về toán trồng cây. Cụ thể là: Số số hạng của dãy = số khoảng cách + 1 Đặc biệt, nếu quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nghiên d thì: Số số hạng của dãy = (số hạng đầu số hạng cuối) : d + 1 Ví dụ1: Cho dãy số 11; 14; 17; 20;…; 68. a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng? b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2007 là số nào?
Bài giải: a) Nhận xét: Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 = 11 + 3 Số hạng thứ 3 của dãy số là: 17 = 14 + 3 Số hạng thứ 4 của dãy số là: 20 = 17 + 3 Vậy quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3. Số số hạng của dãy số đó là: (68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng) b) Nhận xét: Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 11 3 (2 1) Số hạng thứ 3 của dãy số là: 17 11 3 (3 1) Số hạng thứ 4 của dãy số là:20 11 3 (4 1) 11 3 (2007 1) 6029 Vậy số hạng thứ 2007 của dãy số đó là:
Ví dụ 2: Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1đến 2007.Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số? Bài giải: Dãy số người đó viết ra là: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…99,100….999,1000,….2007 Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Số lượt chữ số trong nhóm 1 là: (9 – 1) + 1 = 9 (lượt) Số lượt chữ số trong nhóm 2 là: (lượt) ((99 10) 1) 2 180 Số lượt chữ số trong nhóm 3 là: (lượt) Số lượt chữ số trong nhóm 4 là:((((2007 999 1000 100 ) )1) 14) 4032 3 2700 (lượt) Số lượt chữ số người đó đã viết là:9 + 180 + 2700 + 4032= 6921(lượt)
BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Sách giáo khoa toán 5 có 184 trang. Hỏi người ta dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số thứ tự các trang của cuốn sách đó? Bài 2: Trong các số có 3 chữ số: a) Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9? b) Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1? Bài 3: Có bao nhiêu số: a) Có ba chữ số khi chia cho 5 dư 1, dư 2? b) Có bốn chữ số chia hết cho 3? c) Có ba chữ số bé hơn 500 mà chia hết cho 4?
DẠNG 4: TÌM TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ. Nếu dãy số là dãy số cách đều thì các tổng của hai số hạng Tổng các s cách đ ố hốạ hng c ều s ủa dãy s ạng đ ầu và sốố b hằạng số hốại b ng cu ng đầu cộng với ậy ằng nhau. Vì v số hạng cuối rồi chia cho 2. Ví dụ 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên Bài giải: Dãy một trăm số lẻ đầu tiên là: 1; 3; 5; 7;…; 199. Ta có tổng 100 số lẻ đầu tiên là: (1 + 99) x 100 : 2 = 10000 Ví dụ 2: Cho dãy số: 1, 2, 3,…,195 a) Tính số chữ số trong dãy b) Chữ số thứ 199 trong dãy là chữ số nào? c)Tính tổng các chữ số trong dãy.
Lời giải: a)Ta viết dãy số: 1,…,9 ;10,…,99 ;100,…,195 Số chữ số là: 9 + 180 + 96 x 3 = 189 + 288 = 477 (số) b)Ta tính chữ số trên của từng đoạn dãy. Vì 189
Có 200 số mỗi dòng và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 dòng Tổng các chữ số hàng đơn vị trong một dòng là: 1+2+ …+9=45 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 2 = 90. Tổng các chữ số hàng dọc 10 dòng đếm bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 1 x 10 + 2 x 10 + 9 x 10 +…+ 9 x 10 = 450 Tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900 Tổng các chữ số hàng trăm là 100 Vậy tổng các chữ số này là: 950 + 900 + 100 = 1900 Tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 1900 – (1+ 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830 Cách 2: Ta bổ sung thêm 0 vào các số 196, 197, 198 vào dãy và xếp thành dãy 0;1;2;3;…;197;198;199. Ta ghép cặp: 0,199 1,198 ……
Tổng sác chữ số mỗi cặp đều là 19. Vậy tổng các chữ số là: 99 x 100 = 1900 Sau khi bớt đi các chữ số bổ sung ta được tổng cần tìm là 1830 Ví dụ 3: Tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến n Lời giải: Ta ghép các cặp 1 với n, 2 với n1, 3 với n2…(Khi đó các cặp không sắp thứ tự). Khi đó tổng các số trong mỗi cặp đều là n1, mà có n2 cặp nên tổng cần tìm là: n (n 1) 2 BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Cho một dãy số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9…1980 1981 1982 1983. Hãy tính tổng tất cả các chữ số đó. (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1983)